T-
Géométrie dans l'espace

N-
Terminale, enseignement de spécialité

C-
Pour chacune des questions suivantes, plusieurs réponses peuvent être exactes. Lesquelles ? Cochez la ou les bonnes réponses.

DEBUT-


Q-
Trois vecteurs $\vv{u}$, $\vv{v}$ et $\vv{w}$ sont dits coplanaires si...

R-
ils sont tous nuls|0
il existe des réels $\alpha$, $\beta$ tels que $\vv{w} = \alpha \vv{u} + \beta \vv{v}$|1
leurs extrémités sont dans un même plan|0
ils sont tous parallèles|0

Q-
Soit $A(1;2;3)$ et $B(4;0;-1)$. Un vecteur directeur $\vv{AB}$ est :

R-
$\begin{pmatrix}-3\\2\\4\end{pmatrix}$|0
$\begin{pmatrix}1\\-2\\2\end{pmatrix}$|0
$\begin{pmatrix}4\\2\\-4\end{pmatrix}$|0
$\begin{pmatrix}-6\\4\\8\end{pmatrix}$|1

Q-
Quelle est une forme correcte d'une représentation paramétrique d'une droite passant par $A(1;2;3)$ et de vecteur directeur $\vv{u}\begin{pmatrix}1\\-1\\2\end{pmatrix}$ ?

R-
$\begin{cases}x = 1 + t\\ y = 2 - t\\ z = 3 + 2t\end{cases},\ t\in\R$|1
$\begin{cases}x = t\\ y = -t\\ z = 2t\end{cases},\ t\in\R$|0
$\begin{cases}x = 1t\\ y = 2t\\ z = 3t\end{cases},\ t\in\R$|0
$\begin{cases}x = 1 - t\\ y = 2 + t\\ z = 3 - 2t\end{cases},\ t\in\R$|0

Q-
Quelle est une équation cartésienne d’un plan passant par $A(1;2;3)$ et de vecteur normal $\vv{n} = \begin{pmatrix} 2\\-1\\1 \end{pmatrix}$ ?

R-
$2x - y + z = 0$|0
$2x - y + z = 3$|1
$2x + y + z = 1$|0
$2(x - 1) - (y - 2) + (z - 3) = 0$|1

-NEWPAGE-

Q-
Soit un point $A(1;2;3)$ et un plan $\mathcal{P}$ d’équation $x - 2y + 2z = 4$. Quel calcul permet de trouver la formule de la distance de $A$ au plan $\mathcal{P}$ ?

R-
$\dfrac{1 - 2 + 3 - 4}{\sqrt{1 + 4 + 4}}$|0
$\dfrac{\vert1 - 2 \times 2 + 2 \times 3 - 4\vert}{\sqrt{1^2 + (-2)^2 + 2^2}}$|1
$\dfrac{\vert x - 2y + 2z + 4\vert}{3}$|0
$\sqrt{(1 - 2)^2 + (2 + 2)^2 + (3 + 4)^2}$|0

Q-
Trois vecteurs $\vv{u}$, $\vv{v}$, $\vv{w}$ ne sont pas coplanaires si...

R-
ils sont linéairement indépendants|1
l’un est combinaison linéaire des deux autres|0
ils appartiennent tous à un même plan|0
ils sont tous nuls|0

Q-
La distance d’un point $A$ à un plan $\mathcal{P}$ est...

R-
la longueur du segment perpendiculaire de $A$\newline au plan $\mathcal{P}$|1
la plus petite distance entre $A$ et un point\newline du plan|1
la norme du vecteur entre $A$ et un point\newline quelconque du plan|0
toujours nulle si $A$ appartient au plan|1

Q-
On considère les points $A(1;0;2)$, $B(3;1;0)$ et $C(2;-1;1)$. La droite $d$ a pour représentation paramétrique: $$ \begin{cases}x = 1 + t\\ y = -1 + 2t\\ z = 2 - t \end{cases},\quad t \in \R $$

R-
$d$ est orthogonale à $(ABC)$|1
$d$ est strictement parallèle à $(ABC)$|0
$d$ est incluse dans $(ABC)$|0
$d$ est sécante à $(ABC)$|1

Q-
Soit le plan $\mathcal{P}$ d'équation $x - 2y + z = 1$ et la droite $d$ de représentation paramétrique $\begin{cases}x = 2 + t\\y = -1 + 3t\\z = 4 - 2t\end{cases},\ t \in \R$. Quelles sont les coordonnées du point d’intersection de $d$ et $\mathcal{P}$ ?

R-
$\coordEsp{3}{2}{2}$|1
$\coordEsp{1}{0}{3}$|0
$\coordEsp{0}{1}{6}$|0
$\coordEsp{2}{-1}{4}$|0

I-
On remplace les expressions de $x$, $y$ et $z$ dans l’équation du plan : $(2 + t) - 2(-1 + 3t) + (4 - 2t) = 8 - 7t$. En résolvant $8 - 7t = 1$, on trouve $t = 1$. Les coordonnées du point d’intersection sont donc $x = 3$, $y = 2$, $z = 2$, soit $\begin{pmatrix}3\\2\\2\end{pmatrix}$.

-NEWPAGE-

Q-
Soit le plan $\mathcal{P}$ d'équation $2x - y + z = 5$ et la droite $d$ de représentation paramétrique $\begin{cases}x = 1 + t\\y = 3 - 2t\\z = 4 + t\end{cases},\ t \in \R$. La droite $d$ coupe-t-elle le plan $\mathcal{P}$ ?

R-
Oui, en $\coordEsp{2}{1}{5}$|0
Non, car un vecteur directeur de $d$ est orthogonal\newline au vecteur normal au plan $\mathcal{P}$|0
Non, car un vecteur directeur de $d$ est parallèle au plan $\mathcal{P}$ mais la droite n’est pas incluse dans ce plan|1
Oui, car la droite est contenue dans le plan $\mathcal{P}$|0

I-
Un vecteur directeur de $d$ est $\vv{u} = \begin{pmatrix}1\\-2\\1\end{pmatrix}$ et un vecteur normal au plan $\mathcal{P}$ est $\vv{n} = \begin{pmatrix}2\\-1\\1\end{pmatrix}$. Leur produit scalaire vaut $1 \times 2 + (-2) \times (-1) + 1 \times 1 = 5 \neq 0$, donc $d$ n’est pas orthogonale au plan.\newline  On vérifie si un point de $d$ (par exemple $\coordEsp{1}{3}{4}$) satisfait l’équation du plan : $2 \times 1 - 3 + 4 = 3 \neq 5$, donc $d$ n’est pas incluse dans le plan. \newline Comme un vecteur directeur n’est pas orthogonal au vecteur normal, la droite est parallèle au plan mais ne l’intersecte pas.

Q-
Soit le plan $\mathcal{P}$ d'équation $x + 2y - z = 4$ et la droite $d$ de représentation paramétrique $\begin{cases}x = 2 + t\\y = 1\\z = 3 + 2t\end{cases},\ t \in \R$. Quelles sont les coordonnées du point d’intersection de $d$ et $\mathcal{P}$ ?

R-
$\coordEsp{1}{1}{5}$|0
$\coordEsp{-1}{1}{-3}$|1
$\coordEsp{2}{1}{3}$|0
$\coordEsp{0}{1}{0}$|0

I-
On remplace $x = 2 + t$, $y = 1$, $z = 3 + 2t$ dans l’équation $x + 2y - z = 4$ : $(2 + t) + 2 - (3 + 2t) = 1 - t$. En résolvant $1 - t = 4$, on obtient $t = -3$. En remplaçant dans les équations de $d$, on trouve $x = -1$, $y = 1$, $z = -3$, soit $\coordEsp{-1}{1}{-3}$.

FIN-