T- Probabilités, loi binomiale, loi des grands nombres N- Terminale, enseignement de spécialité C- Pour chacune des questions suivantes, plusieurs réponses peuvent être exactes. Lesquelles ? Cochez la ou les bonnes réponses. DEBUT- Q- Laquelle ou lesquelles des expériences suivantes peuvent être modélisées par une loi binomiale ? R- Lancer un dé équilibré 5 fois et compter le\newline nombre de fois où on obtient un 6|1 Lancer une pièce 10 fois et compter le nombre\newline de piles obtenues|1 Choisir au hasard 10 élèves et noter leur âge|0 Mesurer 5 fois la masse d’un objet avec une balance imprécise|0 I- Une loi binomiale modélise un nombre de succès pour une répétition d’épreuves indépendantes identiques avec deux issues (succès ou échec) et une probabilité constante de succès. Q- On note X la variable qui suit la loi binomiale de paramètres $n = 6$ et $p = 0,3$. Quelle est la valeur de $P(X = 2)$ ? R- $\binom{6}{2} \times 0{,}3^4 \times 0{,}7^2$|0 $\binom{6}{2} \times 0{,}3^2 \times 0{,}7^4$|1 $\binom{6}{2} \times 0{,}7^2 \times 0{,}3^4$|0 $\binom{6}{2} \times 0{,}3^2 \times 0{,}7^2$|0 I- $P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}$ donc ici $P(X = 2) = \binom{6}{2} \times 0,3^2 \times 0,7^4$. Q- Si $X$ suit la loi binomiale $\mathcal{B}(n = 10; p = 0,4)$, alors lesquelles des affirmations suivantes sont vraies ? R- $E(X) = 4$|1 $\sigma(X) = 2,4$|0 $E(X) = 10,4$|0 $\sigma(X) = \sqrt{2,4}$|1 I- Pour une loi $\mathcal{B}(n; p)$, on a $E(X) = np$ et $\sigma(X) = \sqrt{np(1 - p)}$, donc ici E(X) = 4 et \newline $\sigma(X) = \sqrt{10 \times 0,4 \times 0,6} = \sqrt{2,4}$. -NEWPAGE- Q- On note X la variable aléatoire suivant la loi $\mathcal{B}(5; 0,6)$. Parmi les expressions suivantes, lesquelles permettent de calculer $P(X \leqslant 2)$ ? R- $P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2)$|1 $1 - P(X \geqslant 3)$|1 $P(X = 2)$|0 $1 - P(X = 3) - P(X = 4) - P(X = 5)$|1 I- $P(X \leqslant 2)$ est une somme de probabilités : $P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2)$, ou encore $1 - P(X \geqslant 3) = 1 - P(X = 3) - P(X = 4) - P(X = 5)$. Q- Une machine produit des pièces avec une probabilité de 0,1 d’être défectueuse. On contrôle un échantillon de 10 pièces. Quelle(s) expression(s) donne(nt) la probabilité d’avoir au plus une pièce défectueuse ? R- $P(X = 0) + P(X = 1)$|1 $1 - P(X \geqslant 2)$|1 $1 - P(X = 2) - P(X = 3) - \cdots - P(X = 10)$|1 $P(X \leqslant 1)$|1 I- Si $X \sim \mathcal{B}(10; 0,1)$, alors $P(X \leqslant 1) = P(X = 0) + P(X = 1) = 1 - P(X \geqslant 2)$.\newline Cela correspond aussi à $1 - P(X = 2) - P(X = 3) - \cdots - P(X = 10)$. Q- Un test médical détecte une maladie avec une probabilité de 0,95 si la personne est malade. On teste 8 personnes atteintes, quelle est la probabilité d’avoir exactement 7 tests positifs ? R- $P(X = 7)$ avec $X \sim \mathcal{B}(8; 0,95)$|1 $P(X = 1)$ avec $X \sim \mathcal{B}(8; 0,95)$|0 $\binom{8}{1} \times 0,95 \times 0,05^7$|0 $\binom{8}{7} \times 0,95^7 \times 0,05$|1 I- Le nombre de tests positifs suit une loi $\mathcal{B}(8; 0,95)$.\newline On utilise $P(X = 7) = \binom{8}{7} \times 0,95^7 \times 0,05$. Q- On lance une pièce équilibrée 6 fois. Quelle est la probabilité d’obtenir au plus 2 fois pile ? R- $P(X \leqslant 2)$ avec $X \sim \mathcal{B}(6; 0,5)$|1 $1 - P(X \leqslant 2)$|0 $P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2)$|1 $P(X = 3)$|0 I- La probabilité d’obtenir au plus 2 piles est $P(X \leqslant 2) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2)$ pour $X \sim \mathcal{B}(6; 0,5)$. Q- Une urne contient des boules rouges et vertes avec une proportion de 0,2 de rouges. On tire 10 fois avec remise. Quelle est l'espérance du nombre de rouges obtenues ? R- $E(X) = 10 \times 0,8$|0 $E(X) = 0,2$|0 $E(X) = 2$|1 $E(X) = 10 + 0,2$|0 I- Pour $X \sim \mathcal{B}(10; 0,2)$, on a $E(X) = 10 \times 0,2 = 2$. -NEWPAGE- Q- Un joueur a \pourcent{40} de chances de gagner une partie. Il joue 12 parties. Quelle est la variance du nombre de victoires ? R- $V(X) = 12 \times 0,4 \times 0,6$|1 $V(X) = \sqrt{2,88}$|0 $V(X) = 2,88$|1 $V(X) = \sigma(X)$|0 I- Pour $X \sim \mathcal{B}(12; 0,4)$, on a $V(X) = np(1 - p) = 12 \times 0,4 \times 0,6 = 2,88$. Q- Une pièce est lancée 4 fois. Quelle est la probabilité d’obtenir exactement deux fois face ? R- $\binom{4}{2} \times 0,5^2 \times 0,5^2$|1 $P(X = 1)$ avec $X \sim \mathcal{B}(4; 0,5)$|0 $P(X = 2)$ avec $X \sim \mathcal{B}(4; 0,5)$|1 $\binom{4}{1} \times 0,5^2 \times 0,5^2$|0 I- $P(X = 2) = \binom{4}{2} \times 0,5^2 \times 0,5^2$ car $X \sim \mathcal{B}(4; 0,5)$. Q- On répète un très grand nombre de fois une expérience aléatoire indépendante ayant une espérance $E(X) = 5$ et un écart-type $\sigma(X) = 2$. Laquelle ou lesquelles des affirmations suivantes sont vraies selon la loi des grands nombres et le théorème de Bienaymé-Tchebychev ? R- La moyenne des résultats va nécessairement\newline converger vers 5|1 La moyenne des résultats a de fortes chances\newline d’être proche de 5|1 La moyenne va toujours être inférieure à 5|0 Avec une probabilité élevée, la moyenne s’écarte de 5 de moins de 1 unité|1 I- La loi des grands nombres indique que la moyenne empirique converge vers l’espérance. Le théorème de Bienaymé-Tchebychev permet de majorer la probabilité qu’une moyenne s’écarte trop de cette valeur. Q- On répète $n = 100$ fois une expérience aléatoire avec espérance $E(X) = 50$ et écart-type $\sigma(X) = 10$. On note $\overline{X}$ la moyenne des 100 résultats. Laquelle ou lesquelles des affirmations suivantes sont vraies d’après le théorème de Bienaymé-Tchebychev ? R- $P\left(\vert\overline{X} - 50\vert \geqslant 2\right) \leqslant 0,25$|1 Le théorème permet de connaître\newline précisément $P\left(\vert\overline{X} - 50\vert \geqslant 2\right)$|0 Le théorème s’applique uniquement si la variable suit une loi binomiale|0 $P\left(\vert\overline{X} - 50\vert \geqslant 2\right) \leqslant \dfrac{10^2}{100 \times 2^2}$|1 I- Le théorème de Bienaymé-Tchebychev donne une borne supérieure de la probabilité d’un écart : \newline $P(\vert\overline{X} - E(X)\vert \geqslant a) \leqslant \dfrac{\sigma^2}{n a^2} = \dfrac{100}{100 \times 4} = 0{,}25$. -NEWPAGE- Q- Un fabricant produit en moyenne 120 pièces par heure avec un écart-type de 8. Sur une journée, la production horaire est mesurée pendant 100 heures différentes. On note $\bar{X}$ la moyenne de ces 100 mesures. Quelle(s) estimation(s) peut-on faire selon le théorème de Bienaymé-Tchebychev ? R- $P\left(\vert \bar{X} - 120 \vert \geqslant 2\right) \leqslant 0,16$|1 $P\left(\vert \bar{X} - 120 \vert \geqslant 4\right) \leqslant 0{,}04$|1 \columnbreak La probabilité que $\bar{X}$ diffère de 120 de plus de 4 est inférieure à 0{,}1|1 Le théorème affirme que $\bar{X}$ est exactement égal à 120|0 I- Avec $E(X) = 120$, $\sigma(X) = 8$ et $n = 100$, la variance de la moyenne vaut $\dfrac{64}{100}$. \newline Donc $P\left(\vert \bar{X} - 120 \vert \geqslant a\right) \leqslant \dfrac{64}{100 a^2}$ selon le théorème de Bienaymé-Tchebychev. Q- Une enquête est menée dans $n$ lycées choisis au hasard. Dans chaque lycée, un échantillon de 50 élèves est interrogé pour savoir s’ils pratiquent une activité physique régulière. La variable aléatoire $X_i$ correspond au nombre d’élèves qui répondent \og oui \fg{} dans le lycée $i$, pour $i = 1$ à $n$. On suppose que ces variables aléatoires sont indépendantes, de même espérance $E(X_i) = 28$ et de même variance $V(X_i) = 10,8$. On note $M_n = \dfrac{X_1 + X_2 + \cdots + X_n}{n}$ la moyenne des $X_i$. Quelle(s) affirmation(s) est (sont) correcte(s) ? R- $E(M_n) = 28$|1 $V(M_n) = \dfrac{10{,}8}{n}$|1 $\sigma(M_n) = 10{,}8$|0 Pour tout réel $a > 0$, $P(\vert M_n - 28 \vert \geqslant a) \leqslant \dfrac{10{,}8}{n a^2}$|1 I- L’espérance d’une moyenne est la moyenne des espérances, donc $E(M_n) = 28$. Les $X_i$ étant indépendantes, on a $V(M_n) = \dfrac{V(X_i)}{N} = \dfrac{10{,}8}{n}$. L’inégalité de Bienaymé-Tchebychev donne : $P(\vert M_n - 28 \vert \geqslant a) \leqslant \dfrac{V(M_n)}{a^2}$. Q- On considère la variable aléatoire $M_n$ définie comme précédemment, avec $E(M_n) = 28$ et $V(M_n) = \dfrac{10{,}8}{n}$. Quelle est la plus petite valeur de $n$ parmi les propositions suivantes pour lesquelles l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev permet d’assurer que\newline $P(27{,}5 < M_n < 28{,}5) \geqslant 0{,}95$ ? R- $n = 45$|0 $n = 46$|0 $n = 864$|1 $n = 799$|0 I- L’inégalité de Bienaymé-Tchebychev donne : $P(\vert M_n - 28 \vert \geqslant 0{,}5) \leqslant \dfrac{10{,}8}{n \times 0{,}5^2} = \dfrac{43{,}2}{n}$. On veut que cette probabilité soit inférieure ou égale à $0{,}05$, donc $\dfrac{43{,}2}{n} \leqslant 0{,}05$, soit $n \geqslant 864$. Ainsi, seules les valeurs de $n$ supérieures ou égales à $864$ conviennent, donc ici, seules $n = 864$ ou plus seraient acceptables. -NEWPAGE- Q- On considère une variable aléatoire $X$ suivant une loi d'espérance $E(X) = 5$ et de variance $V(X) = 20$. On effectue $n$ tirages indépendants de $X$ et on note $\overline{X}_n$ la moyenne des $n$ valeurs obtenues. Pour $n = 40$, quelle(s) est (sont) la ou les affirmations exactes concernant $P(\vert \overline{X}_n - 5 \vert \geqslant 1)$ ? R- $P(\vert \overline{X}_n - 5 \vert \geqslant 1) \leqslant 0,66$|1 $P(\vert \overline{X}_n - 5 \vert \geqslant 1) \leqslant 0,4$|0 $P(\vert \overline{X}_n - 5 \vert \geqslant 1) \leqslant 0,25$|0 $P(\vert \overline{X}_n - 5 \vert \geqslant 1) \leqslant 0,5$|1 I- L'inégalité de Bienaymé-Tchebychev donne : $P(\vert \overline{X}_n - 5 \vert \geqslant \varepsilon) \leqslant \dfrac{V(X)}{n \varepsilon^2}$ donc ici :\newline $P(\vert \overline{X}_n - 5 \vert \geqslant 1) \leqslant \dfrac{20}{40 \times 1^2} = 0{,}5$. Toutes les valeurs $\lambda$ supérieures ou égales à 0,5 sont correctes dans l'inégalité $P(\vert \overline{X}_n - 5 \vert \geqslant 1) \leqslant \lambda$. Q- Une variable aléatoire $X$ suit une loi de moyenne $\mu = 12$ et de variance $V(X) = 9$. On effectue $n = 100$ tirages indépendants de $X$, et on note $\overline{X}_{100}$ la moyenne des 100 valeurs obtenues. Quelle(s) est (sont) la ou les affirmations exactes concernant $P(\vert \overline{X}_{100} - 12 \vert < 1{,}5)$ ? R- $P(\vert \overline{X}_{100} - 12 \vert < 1{,}5) \geqslant 0{,}9$|1 $P(\vert \overline{X}_{100} - 12 \vert < 1{,}5) \geqslant 0{,}75$|1 $P(\vert \overline{X}_{100} - 12 \vert < 1{,}5) \geqslant 0{,}5$|1 $P(\vert \overline{X}_{100} - 12 \vert < 1{,}5) \geqslant 0{,}1$|1 I- L’inégalité de Bienaymé-Tchebychev donne : $$P(\vert \overline{X}_n - 12 \vert \geqslant \varepsilon) \leqslant \dfrac{V(X)}{n \varepsilon^2} = \dfrac{9}{100 \times 1{,}5^2} = \dfrac{9}{225} = 0{,}04.$$ Donc : $P(\vert \overline{X}_n - \mu \vert < \varepsilon) \geqslant 1 - 0{,}04 = 0{,}96$. Toutes les propositions sont donc vraies. Q- Une entreprise produit des capsules de café. Le poids de café contenu dans une capsule, en grammes, est modélisé par une variable aléatoire $X$ telle que $E(X) = 5{,}3$ et $\sigma(X) = 0{,}2$. On prélève un échantillon aléatoire de $n = 50$ capsules et on note $\overline{X}_{50}$ la masse moyenne mesurée. Que peut-on affirmer d’après l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev ? R- $P(\vert \overline{X}_{50} - 5{,}3 \vert \geqslant 0{,}1) \leqslant 0{,}2$|0 $P(\vert \overline{X}_{50} - 5{,}3 \vert \geqslant 0{,}1) \leqslant 0{,}4$|0 $P(\vert \overline{X}_{50} - 5{,}3 \vert \geqslant 0{,}1) \leqslant 0{,}08$|1 $P(\vert \overline{X}_{50} - 5{,}3 \vert \geqslant 0{,}1) \leqslant 0{,}04$|0 I- On a $V(\overline{X}_{50}) = \dfrac{V(X)}{50} = \dfrac{0{,}2^2}{50} = \dfrac{0{,}04}{50} = 0{,}0008$. L’inégalité de Bienaymé-Tchebychev donne : $P(\vert \overline{X}_{50} - 5{,}3 \vert \geqslant 0{,}1) \leqslant \dfrac{0{,}0008}{0{,}1^2} = \dfrac{0{,}0008}{0{,}01} = 0{,}08$. -NEWPAGE- Q- Dans une réserve naturelle, le nombre de pollens déposés chaque jour sur une surface donnée (en mm²) est modélisé par une variable aléatoire $X$ avec $E(X) = 1200$ et $\sigma(X) = 150$. On effectue des mesures pendant $n = 36$ jours et on note $\overline{X}_{36}$ la moyenne des valeurs observées. Que peut-on affirmer d’après l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev ? R- $P(\vert \overline{X}_{36} - \numprint{1200} \vert \geqslant 50) \leqslant 0{,}09$|0 $P(\vert \overline{X}_{36} - \numprint{1200} \vert \geqslant 50) \leqslant 0{,}25$|1 $P(\vert \overline{X}_{36} - \numprint{1200} \vert \geqslant 50) \leqslant 0{,}01$|0 $P(\vert \overline{X}_{36} - \numprint{1200} \vert \geqslant 50) \leqslant 0{,}16$|0 I- On a $V(\overline{X}_{36}) = \dfrac{150^2}{36} = \dfrac{\numprint{22500}}{36} = 625$. L’inégalité de Bienaymé-Tchebychev donne : $$P(\vert \overline{X}_{36} - \numprint{1200} \vert \geqslant 50) \leqslant \dfrac{625}{50^2} = \dfrac{625}{\numprint{2500}} = 0{,}25.$$ Q- Un logiciel analyse automatiquement la hauteur moyenne (en Hz) des notes jouées lors de concerts d’un violoniste. On modélise cette hauteur par une variable aléatoire $X$ de moyenne $E(X) = 440$ et d’écart-type $\sigma(X) = 20$. Si l'on mesure cette hauteur sur $n = 100$ concerts, que peut-on affirmer avec l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev ? R- $P(\vert \overline{X}_{100} - 440 \vert \geqslant 5) \leqslant 0{,}16$|1 $P(\vert \overline{X}_{100} - 440 \vert \geqslant 5) \leqslant 0{,}25$|1 $P(\vert \overline{X}_{100} - 440 \vert \geqslant 5) \leqslant 0{,}01$|0 $P(\vert \overline{X}_{100} - 440 \vert \geqslant 10) \leqslant 0{,}04$|1 I- On a $V(\overline{X}_{100}) = \dfrac{20^2}{100} = 4$. L'inégalité de Bienaymé-Tchebychev donne : $$P(\vert \overline{X}_{100} - 440 \vert \geqslant a) \leqslant \dfrac{V(X_{100})}{n a^2} = \dfrac{4}{a^2}.$$ \begin{itemize}\item Pour $a = 5$ : $\dfrac{4}{25} = 0{,}16$;\item Pour $a = 10$ : $\dfrac{4}{100} = 0{,}04$\end{itemize} FIN-