
\begin{enumerate}
\item $v_n=\dfrac{n}{2+\cos(n)}.$ Pour tout entier naturel $n$,
\begin{align*}
-1 \leqslant \cos(n) \leqslant 1 & \iff 2-1 \leqslant 2+\cos(n) \leqslant 2+1\\
& \iff 1 \leqslant 2+\cos(n) \leqslant 3\\
& \iff \dfrac{1}{3} \leqslant \dfrac{1}{2+\cos(n)} \leqslant 1\\
& \iff \dfrac{n}{3} \leqslant \dfrac{n}{2+\cos(n)} \leqslant n\quad(n\geqslant0).
\end{align*}
Ainsi, $v_n \geqslant \dfrac{n}{3}$.

Or, $\limite{n}{+\infty}{\left(\dfrac{n}{3}\right)}=+\infty$ donc, d'après le théorème de minoration, $\limite{n}{+\infty}{(v_n)}=+\infty$.

\medskip

\textbf{L'affirmation est donc vraie.}

\bigskip

\item $\begin{aligned}[t]
u_n & = \dfrac{1+5^n}{2+3^n}\\
    & = \dfrac{5^n\left(1+\dfrac{1}{5^n}\right)}{3^n\left( 1 + \dfrac{2}{3^n} \right)}\\
    & = \left( \dfrac{5}{3} \right)^n \times \dfrac{1+\left(\dfrac{1}{5}\right)^n}{1+2\times\left( \dfrac{1}{3} \right)^n}.
\end{aligned}$

De plus,
\begin{itemize}
\item $\dfrac{5}{3}>1$ donc $\limite{n}{+\infty}{\left(\dfrac{5}{3}\right)^n}=+\infty$;

\item $0 < \dfrac{1}{5} < 1$ et $0 < \dfrac{1}{3} < 1$ donc $\limite{n}{+\infty}{\left(\dfrac{1}{5}\right)^n} = \limite{n}{+\infty}{\left(\dfrac{1}{3}\right)^n}=0$.
\end{itemize}
Ainsi, par somme, produit et quotient des limites, $\limite{n}{+\infty}{(u_n)}=+\infty$.

\medskip

\textbf{L'affirmation est donc fausse.}

\bigskip

\item $u_n=1+\dfrac{3}{4}+\left(\dfrac{3}{4}\right)^2+\cdots+\left(\dfrac{3}{4}\right)^n=\dfrac{1-\left(\dfrac{3}{4}\right)^{n+1}}{1-\dfrac{3}{4}} = 4\left[ 1-\left(\dfrac{3}{4}\right)^{n+1} \right]$.

Or, $0<\dfrac{3}{4}<1$ donc $\limite{n}{+\infty}{\left(\dfrac{3}{4}\right)^n}=\limite{n}{+\infty}{\left(\dfrac{3}{4}\right)^{n+1}}=0$.

Ainsi, $\limite{n}{+\infty}{(u_n)}=4\times(1-0)=4$.

\medskip

\textbf{L'affirmation est donc fausse.}

\bigskip

\item Dans le programme donné, la première valeur de \texttt{i} est 0 (car cette variable varie de 0 à $k-1$).

Ainsi, lors du premier passage dans la boucle, $S$ devient $S + (3/4)^0 = 0+1 = 1$; c'est le terme $u_0$.

Lors du deuxième passage dans la boucle, $S$ devient $S+(3/4)^1 = 1 + 3/4=u_1$.

Mais la dernière valeur de \texttt{i} étant $k-1$, la variable \texttt{S} contiendra $1 + (3/4) + \cdots + (3/4)^{k-1}=u_{k-1}$.

Donc l'instruction \texttt{suite(50)} renvoie $u_{49}$.

\medskip

\textbf{L'affirmation est donc fausse.}

\item Considérons la suite $(u_n)$ définie par $u_n=1+\dfrac{1}{n+1}$.

Elle est bien minorée par 0 car $u_n > 1$, donc $u_n>0$.

De plus, $u_{n+1}-u_n=\dfrac{1}{n+2}-\dfrac{1}{n+1}=\dfrac{(n+1)-(n+2)}{(n+1)(n+2)}=\dfrac{-1}{(n+1)(n+2)}<0$ donc $(u_n)$ est décroissante.

Cependant, $\limite{n}{+\infty}{\left(\dfrac{1}{n+1)}\right)}=0$ donc, par somme des limites, $\limite{n}{+\infty}{(u_n)}=1$, ce qui contredit l'affirmation.

\medskip

\textbf{L'affirmation est donc fausse.}
\end{enumerate}
