
On souhaite démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$, $0\leqslant u_n \leqslant 5$.

\begin{itemize}
\item \textbf{Initialisation}.

$u_0=1$ donc $0 \leqslant u_0 \leqslant 5$. La propriété est donc vraie pour $n=0$.

\item \textbf{Hérédité}.

Supposons que pour un entier $k$ fixé, $0\leqslant u_k \leqslant 5$.

Alors, puisque $f$ est croissante sur \intervFF{0}{5}, on peut prendre l'image de chaque membre de cet encadrement sans changer le sens des inégalités: les images de 0, $u_k$ et 4 sont rangées dans le même ordre:
\[ f(0) \leqslant f(u_k) \leqslant f(5) \]
soit:
\[ 1 \leqslant u_{k+1} \leqslant 5\qquad\text{et donc:}\qquad
0 \leqslant u_{k+1} \leqslant 5. \]
L'hérédité est alors vérifiée.

\item \textbf{Conclusion.}

La propriété est vraie pour $n=0$ et elle est héréditaire donc, d'après le principe de récurrence, $0\leqslant u_n \leqslant 5$ pour tout entier naturel $n$.
\end{itemize}
