
\begin{enumerate}
\item La probabilité d'obtenir un \og 6 \fg{} au premier lancer est $\dfrac{1}{6}$ (en supposant que le dé est équilibré). Donc $\probavar{X}{1}=\dfrac{1}{6}$.

\item Obtenir un \og 6 \fg{} au second lancer sous-entend que l'on a obtenu une autre face que \og 6 \fg{} au premier lancer, de probabilité $1-\dfrac{1}{6}=\dfrac{5}{6}$.

La probabilité d'obtenir un \og 6 \fg{} au second lancer est donc égale à $\dfrac{5}{6}\times\dfrac{1}{6}=\dfrac{5}{36}$.

Ainsi, $\probavar{X}{2}=\dfrac{5}{36}$.

\item Obtenir un \og 6 \fg{} au $k$-ième lancer signifie avoir obtenu $(k-1)$ autres faces que \og 6 \fg{} avant, dont la probabilité est égale à $\left(\dfrac{5}{6}\right)^{k-1}$.

Ainsi, $\probavar{X}{k}=\left(\dfrac{5}{6}\right)^{k-1}\times\dfrac{1}{6}$.

\item
\begin{enumerate}
\item $u_n=\left(\dfrac{5}{6}\right)^{n-1}\times\dfrac{1}{6}$.

Ainsi,
\begin{align*}
\dfrac{u_{n+1}}{u_n} & = \dfrac{\left(\frac{5}{6}\right)^{n}\times\frac{1}{6}}{\left(\frac{5}{6}\right)^{n-1}\times\frac{1}{6}}\\
& = \dfrac{5}{6}.
\end{align*}

Donc \suite{u}{n}{n\geqslant1} est une suite géométrique de raison $q=\dfrac{5}{6}$ et de premier terme $u_1=\dfrac{1}{6}$.

\newpage

\item D'après le cours, la somme des $n$ premiers termes d'une suite géométrique est égale à :
\begin{center}
1\ier{} terme $\times\dfrac{1-\text{raison}^{\text{nombre de termes dans la somme}}}{1-\text{raison}}$.
\end{center}
$S_n$ représente la somme des $n$ premiers termes de \suite{u}{n}{n\geqslant1} donc :
\begin{align*}
S_n & = \dfrac{1}{6}\times\dfrac{1-\left(\frac{5}{6}\right)^n}{1-\frac{5}{6}}\\
& = \dfrac{1}{6}\times\dfrac{1-\left(\frac{5}{6}\right)^n}{\frac{1}{6}}\\
\Aboxed{S_n & = 1-\left(\dfrac{5}{6}\right)^n}
\end{align*}

\item $0<\dfrac{5}{6}<1$ donc $\limite{n}{+\infty}{\left(\dfrac{5}{6}\right)^n}=0$.

Ainsi, $\limite{n}{+\infty}{S_n}=1$.
\end{enumerate}

%\newpage

\item
\begin{enumerate}
\item $f_k(x)=x^k$ donc $f_k'(x)=kx^{k-1}$.
\item $\begin{aligned}[t]
F_n(x) & =f_1(x)+f_2(x)+\cdots+f_n(x)\\
       & = x+x^2+x^3+\cdots+ x^n\\
       & = x\big(1+x+x^2+\cdots+x^{n-1}\big)\\
       & = x\times\dfrac{1-x^n}{1-x}\\
       & = \dfrac{x-x^{n+1}}{1-x}
\end{aligned}$

Donc $F_n'(x)=\left(\dfrac{x-x^{n+1}}{1-x}\right)^\prime$.

$F_n(x)$ est de la forme $\dfrac{u}{v}$ donc $F_n'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}$ avec :

$u(x)=x-x^{n+1}$ donc $u'(x)=1-(n+1)x^{n}$ ;

$v(x)=1-x$ donc $v'(x)=-1$.

On a alors :
\begin{align*}
F_n'(x) & = \dfrac{\big[1-(n+1)x^{n}\big](1-x)-(-1)\big(x-x^{n+1}\big)}{(1-x)^2}\\
& = \dfrac{1-(n+1)x^{n}-x+(n+1)x^{n+1}+x-x^{n+1}}{(1-x)^2}\\
\Aboxed{F_n'(x)& = \dfrac{1-x-(n+1)x^{n}+nx^{n+1}}{(1-x)^2}}
\end{align*}

\item $\begin{aligned}[t]
F_n'(x) & =f_1'(x)+f_2'(x)+\cdots+f_n'(x) = 1+2x+3x^2+\cdots+nx^{n-1} = \sum\limits_{k=1}^n kx^{k-1}\;.
\end{aligned}$

Donc : $\begin{aligned}[t]
F_n'\left(\dfrac{5}{6}\right) &
  = \sum\limits_{k=1}^n k\left(\dfrac{5}{6}\right)^{k-1}\\
& = \dfrac{1-\frac{5}{6}-(n+1)\left(\frac{5}{6}\right)^{n}+n\left(\frac{5}{6}\right)^{n+1}}{(1-\frac{5}{6})^2}\text{ (d'après la question précédente)}\\
& = \dfrac{\frac{1}{6}-(n+1)\left(\frac{5}{6}\right)^{n}+n\left(\frac{5}{6}\right)^{n+1}}{\frac{1}{36}}
\end{aligned}$

Or, $\limite{n}{+\infty}{\left(\dfrac{5}{6}\right)^n}=0$ donc $\limite{n}{+\infty}{F_n'\left(\dfrac{5}{6}\right)}=\dfrac{\frac{1}{6}}{\frac{1}{36}}=6$.

\medskip

Donc $\esp{X}=\dfrac{1}{6}\limite{n}{+\infty}{\sum\limits_{k=1}^nk\left(\dfrac{5}{6}\right)^{k-1}}=\dfrac{1}{6}\times6=1$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
