
Le nombre de pannes $X_{\{A/B\}}$ est une variable aléatoire suivant une loi binomiale car \og les pannes surviennent de façon indépendante \fg.

\begin{itemize}
\item \textbf{Drone A:} $X_A \hookrightarrow \mathcal{B}\coord{2}{p}$ (car il y a 2 moteurs).

La probabilité qu'il y ait strictement moins de la moitié de ses moteurs qui tombe en panne est:
\[
P_A=P(X_A=0)=(1-p)^2.
\]

\item \textbf{Drone B:} $X_B \hookrightarrow \mathcal{B}\coord{4}{p}$ (car il y a 2 moteurs).

La probabilité qu'il y ait strictement moins de la moitié de ses moteurs qui tombe en panne est:
\[
P_B=P(X_A\leqslant1)=P(X_A=0)+P(X_A=1)=(1-p)^4 + 4p(1-p)^3 = (1-p)^3(1+3p).
\]
\end{itemize}
Ainsi,
\begin{align*}
P_B-P_A & = (1-p)^3(1+3p) - (1-p)^2\\
& = (1-p)^2\big[(1-p)(1+3p)-1\big]\\
& = (1-p)^2p(2-3p).
\end{align*}
$P_B-P_A$ est du signe de $2-3p$ donc:
\begin{itemize}
\item $P_B-P_A>0 \iff p < \dfrac{2}{3}$, auquel cas le drone B doit être choisi;
\item $P_B-P_A<0 \iff p > \dfrac{2}{3}$, auquel cas le drone A doit être choisi;
\item si $p=\dfrac{2}{3}$, le choix du drone est indifférent.
\end{itemize}

