
\begin{enumerate}
\item Regardons les premières valeurs de $S_n$:
\begin{itemize}
\item $S_1 \in \{-1;1\}$ car $X_1$ ne peut prendre pour valeurs que $-1$ ou $1$;
\item $S_2 \in \{-1-1;-1+1;1-1;1+1\}$ soit $S_2 \in \{-2;0;2\}$;
\item $S_3\in\{-3;-1;1;3\}$.
\end{itemize}
On s'aperçoit que $S_n$ est la position à laquelle nous nous trouvons dans $\Z$ à la fin de l'étape~$n$.

\item $\begin{aligned}[t]
\mu = E(X_k) & = 1\times P(X_k=1) + (-1)\times P(X_k=-1) = 1 \times p + (-1)\times(1-p) = 2p-1.
     \end{aligned}$

\item $\dfrac{S_n}{n}=\dfrac{X_1+\cdots+X_n}{n}$ et d'après le théorème de Khintchine (loi faible des grands nombres),
\[
\forall\delta>0,\
\lim_{n\to+\infty} P\left( \left| \dfrac{S_n}{n} - \mu \right| \geqslant \delta\right) = 0.
\]
Cela signifie donc que $\lim\limits_{n\to+\infty}{\left(\dfrac{S_n}{n}\right)}=2p-1$.
\end{enumerate}
