
\begin{enumerate}
\item
\begin{itemize}
\item Par linéarité de l'espérance, $\esp{T} = \esp{$T_1+T_2$} = \esp{$T_1$} + \esp{$T_2$} = 4+3=7$;
\item De plus, $T_1$ et $T_2$ sont indépendantes donc $\var{T} = \var{$T_1$}+\var{$T_2$} = 2+1=3$.
\end{itemize}

\item Nous cherchons ici à démontrer que:
\begin{align*}
P(5 \leqslant T \leqslant 9) \geqslant \dfrac{2}{3} & \iff P(7-2 \leqslant T \leqslant 7+2) \geqslant \dfrac{2}{3}\\
& \iff P( |X-7| \leqslant 2) \geqslant \dfrac{2}{3}.
\end{align*}

D'après l'inégaité de Bienaymé-Tchebychev,
\begin{align*}
        & \forall \delta > 0,\quad P( | T - \esp{T} | \geqslant \delta) \leqslant \dfrac{\var{T}}{\delta^2}\\
\iff    & \forall \delta > 0,\quad P( | T - 7 | \geqslant \delta) \leqslant \dfrac{3}{\delta^2}
\intertext{En prenant alors $\delta=3$, on a:}
 & \quad P( | T - 7 | \geqslant 3) \leqslant \dfrac{3}{3^2}\\
\iff & 1- P( | T - 7 | < 3) \leqslant \dfrac{1}{3}\\
\iff & 1- P( | T - 7 | \leqslant 2) \leqslant \dfrac{1}{3} \quad \text{ car $|T-7|$ est entier}\\
\iff & P(|T-7|\leqslant2) \geqslant 1-\dfrac{1}{3}=\dfrac{2}{3}.
\end{align*}

\end{enumerate}
