
\begin{enumerate}
\item $S_{n}$ suit la loi binomiale de paramètres $n$ et $p = 0,95$ donc :
\[
E\left(S_n\right)=n\times p = 0,95n \quad \text{et} \quad V(X)=np(1-p)= n \times 0,95 \times 0,05 = 0,0475n.
\]

\item Dans cette question, on pose $n = 150$.
\begin{enumerate}
\item 	$\begin{aligned}[t]
P\left(S_{150}=145\right) & = \dbinom{150}{145}\times 0,95^{145}\times 0,05^{150 - 145}\\
			& = \numprint{591600030}\times 0,95^{145} \times 0,05^{5}\\
			& \approx 0,109.
\end{aligned}$

\medskip

Dans le contexte de l'exercice, dans environ 10,9\% des cas, 145 jouets sur les 150 du lot réussissent le test de fabrication.

\item \pourcent{94} des jouets de ce lot correspondent à 141 jouets.

À l'aide de la calculatrice, on trouve:
\[
P\left(S_{150} \geqslant 141\right) \approx 0,781.
\]

La probabilité qu'au moins \pourcent{94} des jouets de ce lot réussissent le test de fabrication vaut environ $0,781$.
\end{enumerate}

\item Dans cette question, l'entier naturel non nul $n$ n'est plus fixé.

\begin{enumerate}
\item D'après les propriétés sur l'espérance d'une somme de variables aléatoires :
\[
E\big(\,F_{n}\big)= E\left(\dfrac{S_{n}}{n}\right) = \dfrac{E\left( S_{n}\right)}{n}= \dfrac{0,95n}{n}= 0,95.
\]

D'après les propriétés sur la variance d'une somme de variables aléatoires indépendantes :
\[
V\big( F_{n} \big)= V\left(\dfrac{S_{n}}{n}\right) = \dfrac{V\left( S_{n}\right)}{n^2}= \dfrac{0,0475n}{n^2}= \dfrac{0,0475}{n}.
\]

\item On souhaite déterminer une valeur de $n$ pour laquelle:
\begin{align*}
P(I) \geqslant 0,96 & \iff P(0,93 < F_n < 0,97 \geqslant 0,96\\
& \iff 1- P(|F_n-0,95| \geqslant 0,02) \geqslant 0,96\\
& \iff P(|F_n-0,95| \geqslant 0,02) \leqslant 0,04.
\end{align*}
Or, d'après l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev,
\[
\forall \delta>0,\quad P(|F_n-E(F_n)|\geqslant\delta) \leqslant\dfrac{V(F_n)}{\delta^2n}.
\]
En prenant $\delta=0,02$, cela donne:
\[
P(|F_n-0,95|\geqslant0,02) \leqslant\dfrac{0,0475}{4\times10^{-4}n}=\dfrac{118,75}{n}.
\]
Ainsi, pour que $P(|F_n-0,95| \geqslant 0,02) \leqslant 0,04$, il suffit de prendre $n$ tel que:
\[
\dfrac{118,75}{n} \leqslant 0,04  \iff n \geqslant \dfrac{118,75}{0,04} \iff n \geqslant \numprint{2968,75}.
\]
Ainsi, à partir de $\numprint{2969}$ jouets prélevés, la probabilité de l'événement $I$ est supérieure ou égale à $0,96$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
