
\begin{itemize}
\item \textit{Existence d'une asymptote horizontale.}

Pour tout réel $x$ non nul,
\begin{align*}
f(x) & = \dfrac{-3x+1}{x-5}\\
     & = \dfrac{\cancel{x}\left(-3+\frac{1}{x}\right)}{\cancel{x}\left(1-\frac{5}{x}\right)}\\
     & = \dfrac{-3+\frac{1}{x}}{1-\frac{5}{x}}.
\end{align*}
Pour tout entier naturel $n$ non nul, $\limite{x}{+\infty}{\left(\dfrac{1}{x^n}\right)}=0$. Ainsi, par quotient des limites:
\[
\limite{x}{+\infty}{f(x)}=-3.
\]
Ainsi, la courbe représentative de la fonction $f$ admet une asymptote horizontale d'équation $y=-3$ au voisinage de $+\infty$.

\begin{rem}
Il en est de même au voisinage de $-\infty$ car la limite de $f$ est la même en $-\infty$.
\end{rem}

\item \textit{Existence d'une asymptote verticale.}

La fraction rationnelle possède une valeur interdite ($x=5$). On calcule alors la limite de $f(x)$ en $x=5$ (par valeurs supérieures ou inférieures).
\[
\left.
\begin{array}{l}
\limite{x}{5}{(-3x+1)} = -3\times5+1 = -14<0\\
\limite[x>5]{x}{5}{(x-5)} = 0^+\text{ car }x>5\iff x-5>0
\end{array}\right\}
\Rightarrow
\text{(par quotient)}
\limite[x>5]{x}{5}{\left( \dfrac{-3x+1}{x-5} \right)} = \limite{X}{0^+}{\left(\dfrac{-14}{X}\right)}=+\infty.
\]
Ainsi, la courbe représentative de $f$ admet une asymptote verticale d'équation $x=5$.
\begin{rem}
Inutile de déterminer la limite de $f(x)$ en 5 par valeurs inférieures car le résultat obtenu est suffisant pour prouver l'existence d'une asymptote verticale.
\end{rem}
\end{itemize}
