
\begin{enumerate}
\item $\limite{x}{+\infty}\left(\dfrac{1-\sin x}{x^2}\right)$.

Pour tout réel $x$ non nul,
\begin{align*}
-1 \leqslant \sin x \leqslant x & \iff -1 \leqslant -\sin x \leqslant 1\\
& \iff 0 \leqslant 1-\sin x \leqslant 2\\
& \iff  0\leqslant \dfrac{1-\sin x}{x^2} \leqslant \dfrac{2}{x^2}.
\end{align*}
\newpage
Or,
\[
\limite{x}{+\infty}\left(\dfrac{2}{x^2}\right)=0
\]
donc, d'après le théorème des gendarmes,
\[
\boxed{\limite{x}{+\infty}\left(\dfrac{1-\sin x}{x^2}\right) = 0}
\]


\item $\limite{x}{-\infty}\big[\cos(x)\e^x\big]$.

Pour tout réel $x$,
\[
-1 \leqslant \cos x \leqslant 1 \iff -\e^x \leqslant \cos(x)\e^x \leqslant \e^x.
\]
Or, $\limite{x}{-\infty}\big(\e^x\big) = 0$ donc, d'après le théorème des gendarmes,
\[
\boxed{\limite{x}{-\infty}\big(\cos(x)\e^x\big)=0}
\]

\item $\limite{x}{+\infty}(x^2-\sin x)$. Pour tout réel $x$,
\[
-1 \leqslant -\sin x \leqslant x \iff {\color{red}x^2-1 \leqslant x^2 -\sin x} \leqslant x^2+1
\]
En tenant compte de la partie gauche de l'encadrement (en rouge), d'après le théorème de minoration,
\[
\limite{x}{+\infty}(x^2-1)=+\infty \Rightarrow \boxed{\limite{x}{+\infty}(x^2-\sin x)=+\infty}
\]

\item $\limite{x}{+\infty}{\left(\dfrac{4x+3}{x-7\sin x}\right)}$.
\begin{align*}
\forall x\in\R_+,\qquad -1 \leqslant \sin x \leqslant 1 & \iff -7 \leqslant -7\sin x \leqslant 7\\
& \iff x-7 \leqslant x-7\sin x \leqslant x+7\\
& \iff \dfrac{1}{x+7} \leqslant \dfrac{1}{x-7\sin x} \leqslant \dfrac{1}{x-7}\\
& \iff \dfrac{4x+3}{x+7} \leqslant \dfrac{4x+3}{x-7\sin x} \leqslant \dfrac{4x+3}{x-7}\\
& \text{(on a multiplié par }4x+3>0\text{ donc on ne change pas le sens des inégalités)}
\end{align*}
Or, $\limite{x}{+\infty}{\left(\dfrac{4x+3}{x+7}\right)}=\limite{x}{+\infty}{\left(\dfrac{4x}{x}\right)}=4$.

De même, $\limite{x}{+\infty}{\left(\dfrac{4x+3}{x-7}\right)}=4$.

Ainsi, d'après le théorème des gendarmes,
\[
\boxed{ \limite{x}{+\infty}{\left(\dfrac{4x+3}{x-7\sin x}\right)} = 4 }
\]
\end{enumerate}
\vspace*{2cm}
