
\begin{enumerate}
\item $\begin{aligned}[t]
\text{Pour }x\neq0,\ \dfrac{2x^2-5x+3}{3x^2+4x-1} & = \dfrac{\cancel{x^2}\left(2-\dfrac{5}{x}+\dfrac{3}{x^2}\right)}{\cancel{x^2}\left(3+\dfrac{4}{x}-\dfrac{1}{x^2}\right)} = \dfrac{2-\dfrac{5}{x}+\dfrac{3}{x^2}}{3+\dfrac{4}{x}-\dfrac{1}{x^2}}.\end{aligned}$

Or,  pour tout entier naturel non nul $n$, $\limite{x}{+\infty}{\left(\dfrac{1}{x^n}\right)}=0$ donc :
\begin{itemize}
\begin{multicols}{2}
\item $\limite{x}{+\infty}{\left(2-\dfrac{5}{x}+\dfrac{3}{x^2}\right)}=2$;
\item $\limite{x}{+\infty}{\left(3+\dfrac{4}{x}-\dfrac{1}{x^2}\right)}=3$.
\end{multicols}
\end{itemize}

Ainsi, par quotient des limites, $\boxed{\limite{x}{+\infty}{\left(\dfrac{2x^2-5x+3}{3x^2+4x-1}\right)}=\dfrac{2}{3}}$

\item Pour $x\neq0$, $\dfrac{\sqrt{x^2+1}}{2x+3} = \dfrac{\sqrt{x^2\left(1+\dfrac{1}{x^2}\right)}}{x\left(x+\dfrac{3}{x}\right)} = \dfrac{\cancel{x}\sqrt{1+\dfrac{1}{x^2}}}{\cancel{x}\left(2+\dfrac{3}{x}\right)} = \dfrac{\sqrt{1+\dfrac{1}{x^2}}}{\left(2+\dfrac{3}{x}\right)}$.

Or, pour tout entier naturel non nul $n$, $\limite{x}{+\infty}{\left(\dfrac{1}{x^n}\right)}=0$ donc :
\begin{itemize}
\item $\limite{x}{+\infty}{\sqrt{1+\dfrac{1}{x^2}}}=\sqrt{1}=1$;
\item $\limite{x}{+\infty}{\left(2+\dfrac{3}{x}\right)}=2$.
\end{itemize}
Ainsi, par quotient des limites, $\boxed{\limite{x}{+\infty}{\left(\dfrac{\sqrt{x^2+1}}{2x+3}\right)}=\dfrac{1}{2}}$

\item $\begin{aligned}[t]
\sqrt{x^2+3}-\sqrt{x^2+1} & = \dfrac{\big(\sqrt{x^2+3}-\sqrt{x^2+1}\big)\big(\sqrt{x^2+3}+\sqrt{x^2+1}\big)}{\sqrt{x^2+3}+\sqrt{x^2+1}}\\[12pt]
& = \dfrac{x^2+3-(x^2+1)}{\sqrt{x^2+3}+\sqrt{x^2+1}}\\[12pt]
& = \dfrac{2}{\sqrt{x^2+3}+\sqrt{x^2+1}}
\end{aligned} $

\medskip

$\limite{x}{+\infty}{\sqrt{x^2+3}}=\limite{x}{+\infty}{\sqrt{x^2+1}}=+\infty$ donc par somme, $\limite{x}{+\infty}{\left(\sqrt{x^2+3}+\sqrt{x^2+1}\right)}=+\infty$.

Ainsi, par quotient, $\boxed{\limite{x}{+\infty}{\left(\sqrt{x^2+3}-\sqrt{x^2+1}\right)}=0}$

\item $\begin{aligned}[t]
\sqrt{x^2+3}-\sqrt{x+1} & = \sqrt{x^2\left(1+\dfrac{3}{x^2}\right)}-\sqrt{x^2\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x^2}\right)}\quad\text{pour }x\neq0\\
& = x\sqrt{1+\dfrac{3}{x^2}}-x\sqrt{\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x^2}}\quad\text{pour }x>0\\
& = x\left(\sqrt{1+\dfrac{3}{x^2}}-\sqrt{\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x^2}}\right)
\end{aligned}$

Or, $\limite{x}{+\infty}{\sqrt{1+\dfrac{3}{x^2}}}=1$ et $\limite{x}{+\infty}{\sqrt{\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x^2}}}=0$ donc par somme :
\mbox{$\limite{x}{+\infty}{\left(\sqrt{1+\dfrac{3}{x^2}}-\sqrt{\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x^2}}\right)}=1$}.

Ainsi, par produit, $\boxed{\limite{x}{+\infty}{\big(\sqrt{x^2+3}-\sqrt{x+1}\big)}=+\infty}$
\end{enumerate}
