
\bigskip

\partie{A}
\begin{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item $\limite{x}{-\infty}{\left(\dfrac{1}{x}\right)}=0$ donc $\limite{x}{-\infty}{\left(\e^{\frac{1}{x}}\right)}=\e^0=1$.

Ainsi, par somme, $\limite{x}{-\infty}{f(x)}=-\infty$.

\item De même, $\limite{x}{+\infty}{f(x)}=+\infty$.

\item $\limite[x<0]{x}{0}{\left(\dfrac{1}{x}\right)}=-\infty$ et $\limite{X}{-\infty}{\left(\e^X\right)}=0$ donc $\limite[x<0]{x}{0}{\left(\e^\frac{1}{x}\right)}=0$.

Ainsi, $\limite[x<0]{x}{0}{f(x)}=0$.

\item $\limite[x>0]{x}{0}{\left(\dfrac{1}{x}\right)}=+\infty$ et $\limite{X}{+\infty}{\left(\e^X\right)}=+\infty$ donc $\limite[x>0]{x}{0}{\left(-\e^\frac{1}{x}\right)}=-\infty$.

Ainsi, par somme, $\limite[x>0]{x}{0}{f(x)}=-\infty$.
\end{enumerate}

\item $f'(x)=1-\left(-\dfrac{1}{x^2}\right)\e^{\frac{1}{x}}=1+\dfrac{1}{x^2}\e^{\frac{1}{x}}>0$ pour tout $x$ non nul.

Par conséquent, $f$ est strictement croissante sur \intervOO{-\infty}{0} et sur \intervOO{0}{+\infty}.

\item $f$ est continue et strictement croissante sur \intervOO{0}{+\infty}.

De plus, $\limite[x>0]{x}{0}{f(x)}=-\infty$ et $\limite{x}{+\infty}{f(x)}=+\infty$. Ainsi, 0 est une valeur intermédiaire entre $\limite[x>0]{x}{0}{f(x)}$ et $\limite{x}{+\infty}{f(x)}$.

Donc, d'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, il existe donc une unique valeur $\alpha$ sur \intervOO{0}{+\infty} telle que $f(\alpha)=0$.

À la calculatrice, on trouve: $\alpha \approx 1,76$.
\end{enumerate}

\bigskip

\partie{B}

Notons $\ell$ la limite de \suite{u}{n}{}. Alors, $\ell > 0$ car $u_n$ est une exponentielle.

De plus, la suite \suite{u}{n}{} est définie par la relation de récurrence $u_{n+1} = g(u_n)$, avec $g(x)=\e^{\frac{1}{x}}$.

$g$ est continue sur \intervOO{0}{+\infty}; de plus, $\limite{x}{0}{g(x)}=0$ et $\limite{x}{+\infty}{g(x)}=1$ donc $g\big(\intervOO{0}{+\infty}\big) = \intervOO{0}{1} \subseteq \intervOO{0}{+\infty}$.

Ainsi, d'après le théorème du point fixe, $\ell = g(\ell)$, soit:
\begin{align*}
\ell = \e^{\frac{1}{\ell}} & \iff \ell - \e^{\frac{1}{\ell}} = 0\\
& \iff f(\ell) = 0.
\end{align*}
Or, l'unique solution de l'équation $f(x)=0$ est $\alpha$.

Donc $\ell= \alpha$.
