
\og D\'eterminer la convexit\'e d'une fonction \fg{} signifie regarder sur quels intervalles cette fonction est concave, et sur quels autres intervalles elle est convexe.


Quand il s'agit de regarder la convexit\'e d'une fonction en ayant son expression, nous devons calculer sa d\'eriv\'ee et \'etudier le signe de cette derni\`ere.

$f$ est de la forme $uv$ donc $f'=u'v+v'u$ avec :
\[
\begin{array}{l@{\hspace*{3cm}}l}
u(x)=x & u'(x)=1\\
v'(x)=\e^{-x} & v'(x)=-\e^{-x}
\end{array}
\]
d'o\`u :
\begin{align*}
f'(x) & = 1 \times  \e^{-x} + x \times \big(-\e^{-x}\big)\\
& = 1{\color{red}\e^{-x}} - x{\color{red}\e^{-x}}\\
& = (1-x)\e^{-x}.
\end{align*}

$f'$ est aussi de la forme $uv$ avec :
\[
\begin{array}{l@{\hspace*{3cm}}l}
u(x)=1-x & u'(x)=-1\\
v(x)=\e^{-x} & v'(x)=-\e^{-x}
\end{array}
\]
d'o\`u :
\begin{align*}
f''(x) & = -1 \times \e^{-x} + (1-x) \times \big(-\e^{-x}\big)\\
& = -1{\color{red}\e^{-x}}-(1-x){\color{red}\e^{-x}}\\
& = \big[-1-(1-x)\big]\e^{-x}\\
& = (-1-1+x)\e^{-x}\\
& = (x-2)\e^{-x}.
\end{align*}
Or, pour tout r\'eel $x$,
\[
\e^{-x}>0
\]
donc $f''(x)$ est du signe de $x-2$, d'o\`u le tableau de la page suivante.
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\node[inner sep = 0pt, outer sep = 0pt] (tab) {
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=2,color,colorV=corrigenumbg!10,colorL=corrigenumbg!10,colorC=corrigenumbg!10]
{$x$ / 0.5 , $f''(x)$ / 0.7 , $f$ / 0.7}
{ $-\infty$ , $2$ , $+\infty$ }
\tkzTabLine{ , - , z , + , }
\tkzTabLine{ , \text{concave} , {\color{red}\text{P.I.}} , \text{convexe} , }
\end{tikzpicture}};
\drawshadow{tab}{black}
\draw[<-,>=stealth',red] ($(tab.310)+(0,-0.1)$) to[bend left=20] ($(tab.290)+(-1,-0.75)$) node[left,text width=7cm,inner sep=0,outer sep=0] {Il y a ici un point d'inflexion car $f''(x)$ s'annule en changeant de signe.};
\end{tikzpicture}
\end{center}
