
\begin{enumerate}
\item Le polynôme $2X^2- 3X + 2$ admet pour discriminant:
\[
\Delta = b^2-4ac = (-3)^2 - 4\times2\times2 = -7 >0.
\]
Donc l'équation $2X^2- 3X + 2 = 0$ n'admet aucune solution sur \R.

$\mathcal{C}_f$ coupe l'axe des abscisses si l'équation $f(x)=0$ admet au moins une solution. Or,
\begin{align*}
f(x)=0 & \iff x\Big[2\big(\ln(x)\big)^2 - 3\ln(x) + 2 \Big] = 0\\
       & \iff 2\big(\ln(x)\big)^2 - 3\ln(x) + 2 = 0\text{ (car $x\neq0$)}\\
       & \iff 2X^2 - 3X + 2 = 0 \text{ en posant }X=\ln(x).
\end{align*}
Cette dernière équation n'admettant aucune solution, l'équation $f(x)=0$ n'admet aucune solution.

Ainsi, $\mathcal{C}_f$ ne coupe pas l'axe des abscisses.

\item Factorisons $f(x)$ par $\ln(x)$:
\[
f(x)= x\ln(x)\left[2\ln(x) - 3 + \dfrac{2}{\ln(x)} \right].
\]
\begin{itemize}
\item $\limite{x}{+\infty}{(x)}=+\infty$ et $\limite{x}{+\infty}{\big[ \ln(x) \big]}=+\infty$ donc, par produit des limites,
\[
\limite{x}{+\infty}{\big[ x\ln(x) \big]} = +\infty.
\]

\item $\limite{x}{+\infty}{\big[ 2\ln(x) \big]}=+\infty$ et $\limite{x}{+\infty}{\left(\dfrac{2}{\ln(x)}\right)} = \limite{X}{+\infty}{\left(\dfrac{2}{X}\right)}=0$ donc, par somme des limites,
\[
\limite{x}{+\infty}{\left[ 2\ln(x) - 3 + \dfrac{2}{\ln(x)} \right]} = +\infty.
\]
\end{itemize}
Ainsi, par produit des limites,
\[
\boxed{\limite{x}{+\infty}{\big[ f(x) \big]} = +\infty}
\]

\item $f'(x) = 2\big(\ln(x))^2 + \ln(x) - 1$.
\begin{enumerate}
\item Dérivons $f'(x)$.

La fonction $x\mapsto \big(\ln(x))^2$ est de la forme $u^2$, avec $u(x) = \ln(x)$, donc sa dérivée est $2u'u$, soit\linebreak $x\mapsto 2\times\dfrac{1}{x}\times \ln(x)$ car $u'(x)=\dfrac{1}{x}$.

D'où:
\begin{align*}
f''(x) & = 2 \times 2\times\dfrac{1}{x}\times\ln(x) + \dfrac{1}{x}\\
       & = 4\dfrac{\ln(x)}{x} + \dfrac{1}{x}\\
\Aboxed{f''(x) & = \dfrac{1}{x}\big( 4\ln(x) + 1 \big)}
\end{align*}

\item $\begin{aligned}[t]
f''(x) \geqslant 0 & \iff 4\ln(x) + 1 \geqslant 0 \text{ car  }\dfrac{1}{x}>0\text{ sur }\intervOO{0}{+\infty}\\
                   & \iff \ln(x) \geqslant -\dfrac{1}{4}\\
                   & \iff x \geqslant \e^{-1/4}.
\end{aligned}$

On en déduit alors que:
\begin{itemize}
\item sur \intervOO{0}{\e^{-1/4}}, $f''(x) < 0$ et donc que $f$ est concave;
\item sur \intervOO{\e^{-1/4}}{+\infty}, $f''(x) > 0$ et donc que $f$ est convexe;
\item $f''\left(\e^{-1/4}\right)=0$ en changeant de signe donc que $\mathcal{C}_f$ admet un point d'inflexion d'abscisse $x=\e^{-1/4}$.
\end{itemize}

\item L'abscisse de $B$ est $\e>\e^{-1/4}$ donc $T_B$ est comme toutes les tangentes à $\mathcal{C}_f$ sur \intervOO{\e^{-1/4}}{+\infty} en dessous de $\mathcal{C}_f$ (car $f$ est, sur cet intervalle, convexe).

Ainsi, $\mathcal{C}_f$ est bien au-dessus de $T_B$ sur \intervOO{\e^{-1/4}}{+\infty} , et donc sur $\intervFO{1}{+\infty} \subset \intervOO{\e^{-1/4}}{+\infty}$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
