
\medskip

\partie{A}
\begin{enumerate}
\item Le programme dûment complété est le suivant:

\begin{python}
def suite(k):
    L = []
    u = 5
    for i in range(k):
        L.append(u)
        u = 2 + log(u*u - 3)
    return L
\end{python}


\item D'après ce que renvoie \texttt{suite(9)}, on peut conjecturer que:
\begin{itemize}
\item $\suite{u}{n}{}$ semble \textit{croissante} car les nombres contenus dans la liste représentent les termes successifs de la suite et ils sont de plus en plus grands;
\item $\suite{u}{n}{}$ semble \textit{convergente} car ces nombres se rapprochent les uns des autres et semblent se rapprocher d'un nombre dont une valeur approchée est 5,163.
\end{itemize}

\item Dans la fonction  \texttt{mystere(10000)}:
\begin{itemize}
\item dans la boucle \texttt{for}, l'instruction \texttt{range(n-1)} signifie que \text{i} prend ses valeurs de 0 à $n-2$ (n'oublions pas que \texttt{range(p)} désigne les valeurs de 0 à $p-1$);

\item on parcourt donc la liste composée de tous les termes de $u_0$ à $u_{n-2}$;

\item on affecte la valeur 0 à la variable \texttt{c} (qui contenait initialement la valeur 1) si un terme est plus grand que son suivant;

\item comme la fonction renvoie la valeur 1, cela signifie que le test a échoué pour tous les termes et donc que la suite est \textit{croissante}.
\end{itemize}


Le fait que \og \texttt{mystere(10000)} \fg{} renvoie la valeur 1 ne contredit donc pas la conjecture selon laquelle la suite est croissante.
\end{enumerate}

\partie{B}

\begin{enumerate}
\item $g = 2 + \ln(u)$, avec $u(x)=x^2-3$ et $u'(x)=2x$ donc:
\begin{align*}
g'(x) & = 0 + \dfrac{u'(x)}{u(x)}\\
& = \dfrac{2x}{x^2-3}.
\end{align*}

Or, sur \intervFO{2}{+\infty}, $x^2-3>0$ et $2x>0$ donc $g'(x)>0$.

Ainsi, $g$ est strictement croissante sur \intervFO{2}{+\infty}.

\item
\begin{enumerate}
\item Posons $(\mathcal{P}_n)$ : $4 \leqslant u_n \leqslant u_{n+1} \leqslant 6$.
\begin{itemize}
\item \textbf{Initialisation.}

$u_0=5$ et $u_1 = 2+\ln\big(u_0^2-3\big) = 2+\ln(5^2-3) = 2+\ln(22) \approx 5,1$.

Ainsi,
\[
4 \leqslant u_0 \leqslant u_1 \leqslant 6.
\]

$(\mathcal{P}_0)$ est donc vraie.

\medskip

\item \textbf{Hérédité.}

Supposons que pour un entier naturel $k$ fixé, $(\mathcal{P}_k)$ est vraie, c'est-à-dire:
\[
4  \leqslant u_k \leqslant u_{k+1} \leqslant 6.\tag{HR}
\]
Montrons alors que $(\mathcal{P}_{k+1})$ est aussi vraie, c'est-à-dire:
\[
4  \leqslant u_{k+1} \leqslant u_{k+2} \leqslant 6.
\]
Partons de l'hypothèse de récurrence (HR):
\begin{align*}
4  \leqslant u_k \leqslant u_{k+1} \leqslant 6 & \Longrightarrow g(4)  \leqslant g(u_k) \leqslant g(u_{k+1}) \leqslant g(6)\text{\color{red}~ car $g$ est croissante sur \intervFF{4}{6}}\\
& \Longrightarrow 2+\ln(13) \leqslant u_{k+1} \leqslant u_{k+2} \leqslant 2+\ln(33)\\
& \Longrightarrow 4 \leqslant u_{k+1} \leqslant u_{k+2} \leqslant 6\text{\color{red}~ car $2+\ln(13)\approx4,56$ et $2+\ln(33)\approx5,5$)}.
\end{align*}
L'hérédité est alors prouvée.

\item \textbf{Conclusion.}

$(\mathcal{P}_0)$ est vraie et, pour un entier naturel $k\geqslant0$, $(\mathcal{P}_k) \Rightarrow (\mathcal{P}_{k+1})$ donc, d'après le principe de récurrence,
\[
\forall n\in\N,\ (\mathcal{P}_n)\text{ est vraie, soit: }4 \leqslant u_n \leqslant u_{n+1} \leqslant 6.
\]
\end{itemize}

\item Nous venons de montrer que \suite{u}{n}{} est croissante (car $u_n \leqslant u_{n+1}$) et majorée (car $un\leqslant6$).

Ainsi, d'après le théorème de convergence des suites monotones, \suite{u}{n}{} converge.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\partie{C}

\begin{enumerate}
\item
\begin{itemize}
\item L'équation $f(x)=0$ admet une solution évidente d'après le tableau de variations de la fonction $f$. En effet, $f(2)=0$ donc $\alpha=2$ est une solution.

\item Sur \intervFF{2}{3}, $f$ est strictement croissante  et $f(2)=0$ donc l'équation $f(x)=0$ n'admet pas d'autres solutions que $\alpha=2$ sur cet intervalle.

\item Sur \intervFO{3}{+\infty},
\begin{itemize}
\item $f$ est continue et strictement décroissante;
\item $f(3)>0$ et $\limite{x}{+\infty}{f(x)}<0$ donc $0 \in f\big( \intervFO{3}{+\infty} \big)$.
\end{itemize}

Ainsi, d'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires (théorème de la bijection), l'équation $f(x)=0$ admet une unique solution $\beta$ sur \intervFO{3}{+\infty}.

\item Nous avons déjà dit que $\alpha=2$ dans la question précédente.

À l'aide de la calculatrice, on trouve une valeur approchée de l'autre solution à l'équation $f(x)=0$: $\beta\approx 5,164$.
\end{itemize}

\item D'après la partie B,
\begin{itemize}
\item $\forall n\in\N$, $u_n\in\intervFF{4}{6}$;
\item $u_{n+1}=g(u_n)$, avec $g$ continue sur \intervFF{4}{6};
\item $(u_n)$ est convergente vers un nombre $\ell$.
\end{itemize}
donc d'après le théorème du point fixe, $\ell$ est solution de l'équation $g(x)=x$, et donc:
\begin{align*}
\ell = g(\ell) & \iff \ell = 2+\ln(\ell^2-3)\\
& \iff 2+\ln(\ell^2-3)-\ell = 0\\
& \iff f(\ell) = 0\\
& \iff \ell=\alpha=2\text{ ou }\ell=\beta\approx5,164
\end{align*}
Or, $\alpha\not\in\intervFF{4}{6}$ et $\beta\in\intervFF{4}{6}$ donc $\ell=\beta$.
\end{enumerate}
