
\begin{enumerate}
\item Un programme Python possible est le suivant :

\begin{python}
from math import cos
u = 1
for n in range(31):
    u = cos(u)
    print('n = {} et u = {}'.format(n,u))
\end{python}

\begin{console}
n =  0  et u =  0.5403023058681398
n =  1  et u =  0.8575532158463933
n =  2  et u =  0.6542897904977792
[...]
n =  29  et u =  0.7390870426953322
n =  30  et u =  0.7390838469650002
\end{console}


\item Un programme Python possible est le suivant :

\begin{python}
from math import cos
u,n = 1,0
while abs(u-cos(u)) > 10**(-8):
    u = cos(u)
    print('n = {} et u = {}'.format(n,u))
    n += 1
\end{python}

\begin{console}
n =  0  et u =  0.5403023058681398
n =  1  et u =  0.8575532158463933
n =  2  et u =  0.6542897904977792
[...]
n =  42  et u =  0.7390851219886894
n =  43  et u =  0.7390851407774467
n =  44  et u =  0.7390851281211138
\end{console}


\item À la vue des termes calculés, la suite ne semble pas monotone.

En effet, $u_0 < u_1$, $u_1 > u_2$, $u_2 < u_3$, etc.

\item Pour tout entier naturel $n$,
\begin{align*}
v_{n+1} & = u_{2(n+1)}\\
        & = u_{2n+2}\\
        & = u_{\textcolor{red}{2n+1}+1}\\
        & = \cos\big(u_{\textcolor{red}{2n+1}}\big)\\
        & = \cos\big(\cos(u_{2n})\big)\\
\Aboxed{v_{n+1} & = \cos\big(\cos(v_n)\big)}
\end{align*}

\item $f(x)=\cos(\cos(x))$ donc $f'(x)=-\sin(x) \times \big[-\sin(\cos(x))\big] = \sin(x) \times \sin(\cos(x))$.

Sur $\intervOF{0}{1}$, $\sin(x) \geqslant 0$; de plus, $\cos(x) > 0$ donc $\sin(\cos(x)) >0$. Ainsi, $f'(x) \geqslant 0$.

\underline{La fonction $f$ est donc croissante sur \intervOF{0}{1}.}

\item
\begin{itemize}
\item \textbf{Initialisation :} pour $n=0$, $v_0=1$ et $v_1\approx0,86$ donc $0 < v_1 < v_0 \leqslant 1$.

\item \textbf{Hérédité :} supposons que pour un entier $k$ fixé, $0 < v_{k+1} < v_k \leqslant 1$.

Alors, $f(0) < f(v_{k+1}) < f(v_k) \leqslant f(1)$ car $f$ est croissante sur \intervOF{0}{1}.

Or, $f(0)=\cos(\cos 0)\approx0,54>0$ et $f(1)=\cos(\cos 1)\approx0,86<1$.

Donc $0 < f(v_{k+1}) < f(v_k) \leqslant 1$, soit $0 < v_{k+2} < v_{k+1} \leqslant 1$.

L'hérédité est alors vérifiée.

\medskip

\underline{Ainsi, pour tout entier naturel $n$, $0 < v_{n+1} < v_n \leqslant 1$.}

\item D'après ce qui vient d'être démontré, $(v_n)$ est décroissante et minorée (par 0). Donc elle converge. Sa limite est donc le nombre $\ell$ tel que $\ell = f(\ell)$. Or, $v_n=u_{2n}$ donc la limite de $(v_n)$ est celle de $(u_n)$. D'après les valeurs données par les algorithmes précédents, on en déduit que \underline{$\ell\approx\numprint{0,739085}$}.
\end{itemize}
\end{enumerate}
