
\begin{enumerate}
\item $\begin{aligned}[t]
I_0 & = \int_0^\pi \e^0 \sin(x)\dx\\
    & =  \int_0^\pi \sin(x)\dx\\
    & = \big[ -\cos(x) \big]_0^\pi\\
    & = -\cos(\pi) - \big( -\cos(0) \big)\\
    & = -(-1) - (-1)\\
\Aboxed{I_0  & = 2}
\end{aligned}$

\item
\begin{enumerate}
\item Sur \intervFF{0}{\pi}, pour tout entier naturel $n$,
\begin{itemize}
\item $\e^{-nx} > 0$
\item $0 \leqslant \sin(x) \leqslant 1$
\end{itemize}
donc $\e^{-nx}\sin(x) \geqslant 0$.

Ainsi, par positivité de l'intégrale, $\dint_0^\pi \e^{-nx}\sin(x)\dx \geqslant 0$.

\item Pour tout entier naturel $n$,
\begin{align*}
I_{n+1} - I_n & = \dint_0^\pi \e^{-(n+1)x}\sin(x)\dx - \dint_0^\pi \e^{-nx}\sin(x)\dx\\
& = \dint_0^\pi \Big( \e^{-(n+1)x}\sin(x) - \e^{-nx}\sin(x)\Big)\dx {\color{red} \text{ (par linéarité de l'intégrale)}}\\
& = \dint_0^\pi \e^{-nx}\sin(x)\big( \e^{-x} - 1 \big)\dx.
\end{align*}
Or, sur \intervFF{0}{\pi},
\begin{itemize}
\item $\e^{-nx}\sin(x)\geqslant 0$;
\item $0 < \e^{-x} \leqslant 1$ donc $-1 < \e^{-x}-1 \leqslant 0$.
\end{itemize}
Ainsi, $\e^{-nx}\sin(x)\big(\e^{-x}-1\big) \leqslant$ et donc,
\[
\dint_0^\pi \e^{-nx}\sin(x)\big(\e^{-x}-1\big)\dx \leqslant 0
\]
soit:
\[
\boxed{I_{n+1}-I_n \leqslant 0}
\]

\item D'après les deux questions précédentes, $(I_n)$ est minorée (par 0) et décroissante (car $I_{n+1}-I_n\leqslant0$, soit $I_{n+1}\leqslant I_n$).

Ainsi, d'après le théorème de convergence des suites monotones, $(I_n)$ converge.
\end{enumerate}

\item
\begin{enumerate}
\item\label{trigoq3a} Pour tout entier naturel $n$,
\begin{align*}
0 \leqslant x \leqslant \pi & \iff 0 \leqslant \sin(x) \leqslant 1\\
& \iff 0 \leqslant \e^{-nx}\sin(x) \leqslant 1 \times \e^{-nx}\\
& \iff 0 \leqslant \dint_0^\pi \e^{-nx}\sin(x)\dx \leqslant \dint_0^\pi \e^{-nx} \dx\\
& \Longrightarrow \boxed{I_n \leqslant \dint_0^\pi \e^{-nx} \dx}
\end{align*}

\item\label{trigoq3b} Pour tout entier naturel $n$,
\begin{align*}
\dint_0^\pi \e^{-nx} \dx & = \Big[ -\dfrac{1}{n}\e^{-nx} \Big]_0^\pi\\
& = -\dfrac{1}{n}\e^{-n\pi} - \big( -\dfrac{1}{n}\e^{-0} \big)\\
& =  -\dfrac{1}{n}\e^{-n\pi} + \dfrac{1}{n}\\
\Aboxed{I_n & = \dfrac{1-\e^{-n\pi}}{n} }
\end{align*}

\item Des questions \ref{trigoq3a} et \ref{trigoq3b}, on a:
\[
0 \leqslant I_n \leqslant \dfrac{1-\e^{-n\pi}}{n}.
\]
Or, pour tout réel $x\in\intervFF{0}{\pi}$,
\[
\limite{n}{+\infty}{\big(\e^{-nx}\big)} = 0
\]
donc:
\[
\limite{n}{+\infty}{\big(1-\e^{-nx}\big)}=1.
\]
Ainsi,
\[
\limite{n}{+\infty}{\left( \dfrac{1-\e^{-nx}}{n} \right)}= \limite{n}{+\infty}{\left(\dfrac{1}{n}\right)}=0.
\]
Et d'après le théorème des gendarmes, on obtient:
\[
\boxed{\limite{n}{+\infty}{(I_n)}=0}
\]
\end{enumerate}

\item
\begin{enumerate}
\item Intégrons par parties de deux manières différentes $I_n$.
\begin{itemize}
\item \textbf{Première manière.}

On pose:
\vspace{-1.5em}
\[
\begin{array}{l@{\hspace*{5mm};\hspace*{5mm}}l}
u'(x) = \e^{-nx} & u(x) = -\dfrac{1}{n}\e^{-nx} \\
v(x) = \sin(x)   & v'(x) = \cos(x)
\end{array}
\]
Dans ce cas,
\begin{align*}
I_n & = \big[u(x)v(x)\big]_0^\pi - \dint_0^\pi u(x)v'(x) \dx\\
    & = \left[ -\dfrac{1}{n}\e^{-nx}\sin(x) \right]_0^\pi + \dint_0^\pi \dfrac{1}{n}\e^{-nx}\cos(x)\dx\\
    & = -\dfrac{1}{n}\e^{-n\pi}\sin(\pi)+\dfrac{1}{n}\e^{-0}\sin(0)+\dfrac{1}{n}\int_0^\pi \e^{-nx}\cos(x)\dx\\
\Aboxed{I_n & = \dfrac{1}{n}J_n}
\end{align*}

\item \textbf{Deuxième méthode.}

On pose:
\[
\begin{array}{l@{\hspace*{5mm};\hspace*{5mm}}l}
u(x) = \e^{-nx} & u'(x) = -n\e^{-nx} \\
v'(x) = \sin(x)   & v(x) = -\cos(x)
\end{array}
\]
Dans ce cas,
\begin{align*}
I_n & = \big[u(x)v(x)\big]_0^\pi - \dint_0^\pi u(x)v'(x) \dx\\
    & = \left[ -\e^{-nx}\cos(x) \right]_0^\pi - \dint_0^\pi n\e^{-nx}\cos(x)\dx\\
    & = -\e^{-n\pi}\cos(\pi)+\e^{-0}\cos(0) - n\int_0^\pi \e^{-nx}\cos(x)\dx\\
\Aboxed{I_n & = 1-\e^{-n\pi}-nJ_n}
\end{align*}
\end{itemize}

\item Des deux égalités précédentes, on déduit la suivante:
\begin{align*}
\dfrac{1}{n}J_n = 1-\e^{-n\pi}-nJ_n & \iff \dfrac{1}{n}J_n + nJ_n = 1-\e^{-n\pi}\\
& \iff \left(\dfrac{1}{n}+n\right)J_n = 1-\e^{-n\pi}\\
& \iff \dfrac{n^2+1}{n}J_n = 1-\e^{-n\pi}\\
& \iff J_n = 1-\e^{-n\pi} \times \dfrac{n}{n^2+1}\\
& \iff J_n = \dfrac{n\big(1-\e^{-n\pi\big)}}{n^2+1}.
\end{align*}

Et donc:
\[
I_n=\dfrac{1}{n}J_n = \dfrac{1}{\cancel{n}}\times\dfrac{\cancel{n}\big(1-\e^{-n\pi\big)}}{n^2+1} = \boxed{ \dfrac{1-\e^{-n\pi}}{n^2+1} }
\]
\end{enumerate}

\item On souhaite calculer les termes de la suite $(I_n)$ \textit{tant que} $I_n \geqslant 0,1$ et s'arrêter dès que $I_n<0,1$. On doit donc  utiliser une boucle conditionnelle:

\begin{python}
from math import *

def seuil() :
    n = 0
    I = 2
    while I >= 0.1:
        n = n + 1
        I = (1+exp(-n*pi))/(n*n+1)

    return n
\end{python}
\end{enumerate}
