
\begin{enumerate}
\item Soit $f(x)=k$ une fonction constante, définie sur $\R$, solution de $\left( E_0\right)$.

Alors,
\[
f'=f
\]
soit:
\[
0=k.
\]
Ainsi, $f(x)=0$.

\medskip

L'unique fonction constante solution de l'équation différentielle $\left(E_{0}\right)$ est donc la fonction nulle.

\item D'après le cours, les solutions de l'équation différentielle $\left(E_{0}\right)$ sont les fonctions:
\[
f(x)=C\e^x,\qquad C \in \R.
\]


\item \label{trigoequadifq2} Pour tout réel $x$, on a :
\[
h'(x) =-2\sin(x) +\cos(x).
\]
D'autre part,
\begin{align*}
h(x)-\cos (x)-3 \sin (x) & = 2 \cos (x)+\sin (x)- \cos (x)-3 \sin (x)\\
                         & = \cos(x)-2\sin(x)\\
                         & = h'(x).
\end{align*}
Donc $h$ est solution de l'équation différentielle $(E)$.

\item Pour tout réel $x$, on a :
\begin{align*}
(f-h)\text{ est solution de }(E_0)
& \iff (f-h)'(x) = (f-h)(x)\\
& \iff f'(x) - \textcolor{red}{h'(x)} = f(x) - h(x)\\
& \iff f'(x) - \big[ \textcolor{red}{h(x)-\cos(x)-3\sin(x)} \big] = f(x) - h(x)\\
& \iff f'(x) \cancel{- h(x)} + \cos(x) + 3\sin(x) = f(x) \cancel{- h(x)}\\
&\qquad\quad\text{car $h$ est solution de $(E)$}\\
& \iff f'(x) = f(x) - \cos(x)-3\sin(x)\\
& \iff f\text{ est solution de }(E).
\end{align*}


Par conséquent, on a bien l'équivalence:
\begin{center}
$f$ est solution de $(E)$ $\iff$ $f-h$ est solution de $(E_0)$.
\end{center}

\item D'après la question précédente, chercher les solutions $f$ de $(E)$ revient à chercher les solutions $(f-h)$ de $(E_0)$. Or, d'après la question \ref{trigoequadifq2}:
\[
(f-h)(x)=C\e^{x},\quad C\in\R.
\]
On en déduit alors que:
\[
f(x) = h(x) + C\e^x,\quad C\in\R
\]
Toutes les solutions de l'équation différentielle $(E)$ sont donc les fonctions:
\[
\boxed{f(x)=2\cos(x)+\sin(x)+C\e^c,\qquad C \in \R}
\]

\item $g$ est solution de l'équation différentielle $(E)$  donc il existe un réel $C$ tel que:
\[
g(x)=C\e^x +2\cos(x)+\sin(x).
\]
De plus,  $g(0)=0$ donc $g(0)=C\e^0 +2\cos(0)+\sin(0)=0$.

D'où:
\[
C\times 1 +2\times 1 + 0 =0 \Longleftrightarrow C=-2.
\]
On a donc :
\[
\boxed{g(x)=-2\e^x +2\cos(x)+\sin(x)}
\]

\item Calculons :
\begin{align*}
I & = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\Big[-2 \e^{x}+\sin (x)+2 \cos (x)\Big] \dx \\
  & = \Big[ -2\e^{x} -\cos(x) +2\sin(x) \Big]_0^ {\frac{\pi}{2}}\\
  & = -2\e^{\frac{\pi}{2}} -\cos\left(  {\dfrac{\pi}{2}}\right) +2\sin\left(  {\dfrac{\pi}{2}}\right)  - \left(  -2\e^{0} -\cos(0) +2\sin(0)  \right) \\
  & = -2\e^{\frac{\pi}{2}} -0+2\times 1 - \left( -2 -1+2\times 0\right)\\
  & =  -2\e^{\frac{\pi}{2}}+ 2 +3\\
\Aboxed{ I  & = -2\e^{\frac{\pi}{2}}+ 5}
\end{align*}
\end{enumerate}
