
\begin{enumerate}
\item $f(x)$ est défini quand $1+\sin(x)\neq0$.

Or, $1+\sin(x)=0 \iff \sin(x)=-1 \iff x=-\dfrac{\pi}{2}+2k\pi$, $k\in\Z$.

\medskip

Ainsi, le domaine de définition de $f$ est $\boxed{{\cal D}_f=\R\setminus\left\{-\dfrac{\pi}{2}+2k\pi,\ k\in\Z \right\}}$.


\item On sait que $\cos(x+2\pi)=\cos(x)$ et $\sin(x+2\pi)=\sin(x)$. Par conséquent, $f(x+2\pi)=f(x)$.

\underline{Ainsi, $f$ est $2\pi$-périodique.}


\item $f$ est de la forme $\dfrac{u}{v}$, avec $u(x)=\cos(x)$ et $v(x)=1+\sin(x)$.

Ainsi, $f'$ est de la forme $\dfrac{u'v-uv'}{v^2}$, avec $u'(x)=-\sin(x)$ et $v'(x)=\cos(x)$.
\begin{align*}
f'(x) & = \dfrac{-\sin(x)(1+\sin(x))-\cos^2x}{(1+\sin(x))^2}\\[8pt]
& = \dfrac{-\sin(x)-\sin^2x-\cos^2x}{(1+\sin(x))^2}\\[8pt]
& = \dfrac{-\sin(x)-(\sin^2x+\cos^2x)}{(1+\sin(x))^2}\\[8pt]
\Aboxed{f'(x) & = -\dfrac{\sin(x)+1}{(1+\sin(x))^2}}\quad\text{ car }\cos^2x+\sin^2x=1\text{ pour tout réel }x.
\end{align*}
Or, pour tout réel $x\in\intervOO{-\dfrac{\pi}{2}}{\dfrac{3\pi}{2}}$, $-1\leqslant\sin(x)\leqslant 1$ donc $0\leqslant\sin(x)+1\leqslant2$.

De plus, $(1+\sin(x))^2>0$ donc $f'(x)<0$ sur \intervOO{-\dfrac{\pi}{2}}{\dfrac{3\pi}{2}}.

\medskip

\underline{Ainsi, $f$ est strictement décroissante sur \intervOO{-\dfrac{\pi}{2}}{\dfrac{3\pi}{2}}.}
\end{enumerate}
\vspace*{2cm}
