
\begin{enumerate}
\item Pour tout réel $x$ :
\begin{align*}
f_0'(x) & = \left(2x+3\right) \times \e^{-x}+ \left(x^2+3x\right)\times (-\e^{-x})\\
	& = \left(2x+3-x^2-3x\right)\e^{-x}\\
	& =\left(-x^2-x+3\right)\e^{-x}.
\end{align*}

Pour tout réel $x$, on a donc :
\begin{align*}
f_0(x)+f_0'(x)& = \left(x^{2}+3 x\right) \e^{-x}+\left(-x^2-x+3\right)\e^{-x}\\
	& = \left(x^{2}+3 x-x^2-x+3\right)\e^{-x}\\
	&=\left(2 x+3\right)\e^{-x}.
\end{align*}

La fonction $f_{0}$  est donc une solution de l'équation différentielle $(E)$.

\item  $\left(E_{0}\right): y+y’=0 \iff y'=-y$.

D'après le cours, les solutions sont les fonctions de la forme:
\[
x \longmapsto C\e^{-x}\qquad,\qquad C\in R.
\]

\item $(E)$ est une équation différentielle de la forme $y'=ay+f$, où $f_0$  est une solution particulière.

Les solutions sont donc les fonctions :
\[
x\longmapsto C\e^{-x } + f_0(x)\qquad,\qquad C\in\R.
\]
que l'on peut aussi écrire sous la forme:
\[
x\longmapsto  \left(x^{2}+3 x+C\right) \e^{-x}\qquad,\qquad C\in\R.
\]
\end{enumerate}
