
\begin{enumerate}
\item $f(x) = \e^{2x}-6x+1$ donc $f'(x)=2\e^{2x}-6$. Ainsi,
\begin{align*}
f'(x)-2f(x) & = 2\e^{2x}-6 - 2\big( \e^{2x}-6x+1 \big)\\
    		& = 2\e^{2x}-6 - 2\e^{2x} + 12x - 2\\
    		& = 12x-8\\
    		& \neq -6x+1.
\end{align*}
Donc $f$ n'est pas solution de l'équation différentielle $y'-2y=-6x+1$.

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\textbf{L'affirmation 1 est donc fausse}.

\bigskip

\item $f(x)=x\ln(x)=u \times v$ avec $u = x$ et $v = \ln(x)$. Alors, $u'(x)=1$ et $v'(x)=\dfrac{1}{x}$. Alors,
\[
f'(x)=u'v+uv' = \ln(x) + x\times\dfrac{1}{x} = 1+\ln(x).
\]
Ainsi,
\begin{align*}
xf'(x)-f(x) & = x \times \big( 1 + \ln(x) \big) - x\ln(x)\\
     		& = x + x\ln(x) - x\ln(x)\\
      		& = x.
\end{align*}

$f$ est donc une solution l'équation différentielle.

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\textbf{L'affirmation 2 est donc vraie.}

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\item $f(x)=5x\e^{-x}$ donc:
\[
f'(x) = 5\e^{-x} + 5x\times\big( -\e^{-x} \big) = (5-5x)\e^{-x}.
\]
Ainsi,
\begin{align*}
f'(x)+f(x) & = (5-5x)\e^{-x} + 5\e^{-x}\\
		   & = (10-5x)\e^{-x}\\
		   & \neq 5\e^{-x}.
\end{align*}
$f$ n'est donc pas une solution de $(E)$.

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\textbf{L'affirmation 3 est donc fausse.}

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\item L'équation $(E)$ est de la forme $y' = ay + b$, où $a=-0,08$ et $b=\dfrac{q}{50}$. Ainsi, d'après le cours, les solutions de $(E)$ sont de la forme:
\begin{align*}
f(x) & = C\e^{ax}-\dfrac{b}{a}\\
	 & = C\e^{-0,08x} - \dfrac{\tfrac{q}{50}}{-0,08}\\
	 & = C\e^{-0,08x} + \dfrac{q}{50\times0,08}\\
	 & = C\e^{-0,08x} + \dfrac{q}{4}.
\end{align*}

\textbf{L'affirmation 4 est donc vraie.}
\end{enumerate}
