
\bigskip

\partie{A}


\begin{enumerate}
\item $h(t)= \dfrac{1}{120}$ donc $h'(t)=0$.
On a donc:
\[
h'(t) + 0,48 h(t) = 0 + 0,48 \times \dfrac{1}{120} = \dfrac{1}{250}.
\]
La fonction $h$ est donc une solution de l'équation différentielle $\left(E_{1}\right)$.

\item Les solutions de l'équation différentielle $y'+0,48 y=0$ sont, d'après le cours, les fonctions de la forme:
\[
f_0(t) =C \e^{-0,48t}\quad,\quad C \in \R.
\]

\item Les solutions de l'équation différentielle $\left(E_{1}\right)$ sont, toujours d'après le cours, les fonctions de la forme:
\[
f(t) = f_0(t) + h(t) = C \e^{-0,48t} + \dfrac{1}{120}\quad,\quad C \in \R.
\]
\end{enumerate}


\partie{B}

\begin{enumerate}
\item $\begin{aligned}[t]
p\text{ solution de }(E_2) & \Longrightarrow p' = \dfrac{1}{250}p(120-p)\\
& \Longrightarrow -\dfrac{y'}{y^2} = \dfrac{1}{250}\times\dfrac{1}{y}\left(1-\dfrac{1}{y}\right)\\
& \Longrightarrow -\dfrac{y'}{y^2}{\color{red} \times y^2} = \dfrac{1}{250}\times\dfrac{1}{y}\left(1-\dfrac{1}{y}\right){\color{red} \times y^2}\\
& \Longrightarrow -y' = \dfrac{1}{250}y\left(1-\dfrac{1}{y}\right)\\
& \Longrightarrow -y' = \dfrac{1}{250}(120y-1)\\
& \Longrightarrow y' = -\dfrac{120}{250}y + \dfrac{1}{250}\\
& \Longrightarrow y' = -0,48y + \dfrac{1}{250}\\
& \Longrightarrow y' + 0,48y = \dfrac{1}{250}\\
& \Longrightarrow y\text{ solution de }(E_1).
\end{aligned}$.

\item Avec la réciproque admise dans cette question, on a:
\begin{align*}
p\text{ solution de }(E_2) & \iff y\text{ solution de }(E_1)\\
& \iff y(t) = C\e^{-0,48t}+\dfrac{1}{120}\text{ d'après la partie A}\\
& \iff \dfrac{1}{p(t)} = C\e^{-0,48t}+\dfrac{1}{120}\\
& \iff p(t) = \dfrac{1}{C\e^{-0,48t}+\tfrac{1}{120}}\\
& \iff p(t) = \dfrac{1}{\tfrac{120C\e^{-0,48t}+1}{120}}\\
& \iff p(t) = \dfrac{120}{120C\e^{-0,48t}+1}\\
& \iff p(t) = \dfrac{120}{K\e^{-0,48t}+1}\quad,\quad K\in\R.
\end{align*}


\item $\begin{aligned}[t]
p(0)=30 & \iff \dfrac{120}{K\e^{-0,48\times0}+1} = 30\\
& \iff \dfrac{120}{1+K}=30\\
& \iff \dfrac{1+K}{120}=\dfrac{1}{30}\\
& \iff 1+K=\dfrac{120}{30}=4\\
& \iff K = 4-1=3.
\end{aligned}$

\item On a: $\begin{cases}
\lim\limits_{t \to +\infty }(-0,48t)= -\infty\\
\lim\limits_{X\to -\infty} \big( \e^X \big) = 0
\end{cases}$ donc, par composition,
\[
\lim\limits_{t\to +\infty }\big( \e^{-0,48t} \big)=0.
\]
Donc, par produit et somme,
\[
\lim\limits_{t \to +\infty}\big( 1+3\e^{-0,48t} \big) = 1.
\]

Finalement, par quotient,
\[
\boxed{ \lim\limits_{t \to +\infty}\big[ p(t) \big] =120 }
\]

Dans le contexte de l'exercice, cela signifie que la population de bactéries  se rapprochera à longs termes vers $\numprint{120000}$.

\item $\begin{aligned}[t] p(t)=60 & \iff \dfrac{120}{3 \e^{-0,48t} +1 }=60 \\
	& \iff 120 = 60 \times \left(3 \e^{-0,48t} +1\right)\\
	& \iff 2 = 3 \e^{-0,48t} + 1\\
	& \iff \dfrac{1}{3}= \e^{-0,48t}\\
	& \iff -0,48 t = \ln\left(\dfrac{1}{3}\right)=-\ln(3)\\
	& \iff t = \dfrac{\ln(3)}{0,48}\approx 2,289
	\end{aligned}$
	
Le temps nécessaire pour que la population de bactéries dépasse $\numprint{60000}$ individus est de $2,289$ heures soit 2 heures et 17 minutes.
\end{enumerate}
