
\begin{enumerate}
\item D'après le cours,
\begin{align*}
5y' + 2y = 7 & \iff -\dfrac{2}{5}y + \dfrac{7}{5}\\
& \iff y(x) = C\e^{ -\frac{2}{5}x } - \dfrac{\frac{7}{5}}{-\frac{2}{5}}\quad,\quad C\in\R\\
& \iff \boxed{ y(x) = C\e^{-\frac{2}{5}x} + \dfrac{7}{2}\quad,\quad C\in\R }
\end{align*}

\item On cherche la solution $f$ de $(E)$ telle que:
\begin{align*}
f(-1) = 3 & \iff  C\e^{-\frac{2}{5}\times(-1)} + \dfrac{7}{2} = 3\\
& \iff  C\e^{\frac{2}{5}} + \dfrac{7}{2} = 3\\
& \iff  C\e^{\frac{2}{5}} = 3-\dfrac{7}{2}=-\dfrac{1}{2}\\
& \iff C = -\dfrac{1}{2}\e^{-\frac{2}{5}}
\end{align*}
Ainsi,
\[
f(x)=-\dfrac{1}{2}\e^{-\frac{2}{5}} \times \e^{-\frac{2}{5}x} + \dfrac{7}{2}
\]
que l'on peut aussi écrire:
\[
\boxed{ f(x) = -\dfrac{1}{2}\e^{ -\frac{2}{5}(x+1) } + \dfrac{7}{2} }
\]
\end{enumerate}
