
\begin{enumerate}
\item D'après le cours, $(E_0)$ a pour solutions :
\[
\boxed{ y_0(x)=C\e^{-5x}\quad,\quad C\in\R }
\]

\item
\begin{enumerate}
\item $f(x)=a\cos(x) + b\sin(x) \Rightarrow f'(x)=-a\sin(x) + b\cos(x)$.
\begin{align*}
f\text{ solution de (E)} & \iff f'(x) + 5f(x) = 12\cos(x)\\
& \iff -a\sin(x) + b\cos(x) + 5(a\cos(x) + b\sin(x)) = 12\cos(x)\\
& \iff (5a+b-12)\cos(x) + (-a+5b)\sin(x) = 0\\
& \iff
\begin{cases}
5a+b=12\\
a = 5b
\end{cases}\\
&
\iff
\begin{cases}
6b=12\\
a=5b
\end{cases}
\\
& \iff \begin{cases}
b=2\\
a=10
\end{cases}
\end{align*}
Ainsi,
\[
\boxed{f(x)=10\cos(x) + 2\sin(x)\text{ est une solution particulière de (E).}}
\]
\item On déduit de ce qui précède que l'ensemble des solutions de (E) est l'ensemble des fonctions :
\[
\boxed{y(x)=10\cos(x)+2\sin(x) + C\e^{-5x},\ C\in\R}
\]
\end{enumerate}
\end{enumerate}
