
Considérons la fonction $f(x)=\sqrt{4x-x^2}$ définie sur \intervFF{0}{4}.

\medskip

Considérons un point $M\coord{x}{y=f(x)}$ sur la courbe représentative de $f$. Alors,
\begin{align*}
y =\sqrt{4x-x^2} & , y \geqslant 0\\
y^2 = 4x-x^2 & , y \geqslant 0\\
0 = x^2-4x+y^2 & , y \geqslant 0\\
0 = (x-2)^2-4+y^2 & , y \geqslant 0\\
4 = (x-2)^2+y^2 & , y \geqslant 0
\end{align*}

Cette dernière équation cartésienne est celle du demi-cercle de centre $A(2;0)$ et de rayon $r=2$.

\medskip

De plus, $I$ représente l'aire du domaine délimité par la courbe représentative de $f$ et l'axe des abscisses sur \intervFF{-2}{2}, donc l'aire de ce demi-cercle.

Ainsi, $I=\dfrac{\pi r^2}{2}$ soit:
\[
\boxed{ I=2\pi }
\]
