
\begin{enumerate}
\item Les vecteurs $\vv{AE}\begin{pmatrix}0 \\ 0 \\ 1\end{pmatrix}$ et $\vv{AI}\begin{pmatrix}\frac{1}{2} \\ 1 \\ 0\end{pmatrix}$ ne sont pas colinéaires et appartiennent au plan $(AEJ)$.

De plus, $\vv{u}\cdot\vv{AE}=0 \times 1 + 0 \times \left(-\frac{1}{2}\right) + 1 \times 0 = 0$ et $\vv{u}\cdot\vv{AI}=\frac{1}{2}\times 1 + 1 \times \left(-\frac{1}{2}\right) + 0 \times 0 = 0$.

Ainsi, $\vv{u}$ est orthogonal aux vecteurs $\vv{AE}$ et $\vv{AI}$ ; donc \underline{$\vv{u}$ est normal au plan $(AEJ)$.}

\item L'équation cartésienne du plan $(AEJ)$ est de la forme $ax+by+cz+d=0$, où $\vv{u}\begin{pmatrix}a \\ b \\c \end{pmatrix}$ est un vecteur normal au plan. Ainsi :
\[
(AEJ):x-\frac{1}{2}y+d=0.
\]
De plus, $A \in (AEJ)$ donc ses coordonnées vérifient l'équation d'où : $d=0$. On a alors :
 \[
 \boxed{(AEJ):x-\frac{1}{2}y=0}
 \]

\item Le volume de la pyramide $AEJIK$ est :
\[
\mathcal{V} = \mathcal{B} \times h
\]
où $\mathcal{B}$ est l'aire de la base (ici $AEJI$) et $h$ la hauteur (celle que nous avons calculé dans la question précédente). Donc :
\[
\mathcal{V} = AE \times AI \times \frac{1}{\sqrt{5}} = 1 \times \frac{\sqrt{5}}{2} \times \frac{1}{\sqrt{5}}.
\]
Ainsi :
\[
\boxed{\mathcal{V}=\frac{1}{2}}
\]

\item Nous savons qu'une représentation paramétrique de $\mathcal{D}$ est de la forme :
\[
\left\lbrace
\begin{array}{l}
x = x_K + at\\
y = y_K + bt\\
z = z_K + ct
\end{array}
\right., t \in\R
\]

où $K(x_k;y_K,z_K) \in \mathcal{D}$ et où $\vv{u}\begin{pmatrix}a \\ b \\ c\end{pmatrix}$ est un vecteur normal à $\mathcal{D}$. Ainsi :
\[
\left\lbrace
\begin{array}{l}
x = t\\
y = 1-\frac{1}{2}t\\
z = \frac{1}{2}
\end{array}
\right., t \in\R
\]
Nommons $H$ le pied de la hauteur de la pyramide $AEJIK$ issue du sommet $K$. Alors, $H \in \mathcal{D}$ et $H \in (AEJ)$, ce qui se traduit de façon analytique de la façon suivante (on remplace $x$ par $t$ et $y$ par $1-\frac{1}{2}t$ dans l'équation cartésienne de $(AEJ)$) :
\[
t - \frac{1}{2}\left(1-\frac{1}{2}t\right)=0.
\]
On trouve alors :
\[
t=\frac{2}{5}.
\]
D'où :
\[
\left\lbrace
\begin{array}{l}
x_H = \frac{2}{5}\\
y_H = 1-\frac{1}{2}\times \frac{2}{5}=1-\frac{1}{5}=\frac{4}{5}\\
z_H = \frac{1}{2}
\end{array}
\right.
\]
Ainsi :
\[
\boxed{H\left(\frac{2}{5};\frac{4}{5};\frac{1}{2}\right)}
\]
\end{enumerate}
