\chapter{Dérivation, convexité et continuité d'une fonction}


\section{Compléments sur la dérivation}

\subsection{Dérivée d'une fonction composée}

\begin{defin}
Soient $u$ et $v$ deux fonctions telles que $u$ est définie sur un ensemble $I$ et $v$ est définie sur un ensemble $J$, avec $u(I) \subseteq J$.

On appelle \textit{fonction composée de $u$ par $v$} la fonction définie par:
\[
x \mapsto v\big[u(x)\big] \qquad \text{notée}\qquad (v \circ u)(x).
\]
\end{defin}

\begin{exemple}
\begin{itemize}
\item $f:x\mapsto\sqrt{3x+1}$ est la composée de $u:x\mapsto 3x+1$ et $v:x\mapsto\sqrt{x}$ car $f(x)=\sqrt{u(x)}=v\big[u(x)\big]$.

\item $g:x\mapsto\e^{x^2}$ est la composée de $u:x\mapsto x^2$ et $v:x\mapsto\e^x$ car $g(x)=\e^{u(x)}=v\big[u(x)\big]$.

\item $h:x\mapsto\dfrac{1}{3x^2+1}$ est la composée de $u:x\mapsto 3x^2+1$ et $v:x\mapsto\dfrac{1}{x}$ car $h(x)=\dfrac{1}{u(x)}=v\big[u(x)\big]$.
\end{itemize}
\end{exemple}

\begin{thm}[théorème de dérivation des fonctions composées] 
Soit $f(x)=(v\circ u)(x)$. Sa dérivée est:
\[
f'(x)=u'(x) \times v'\big[u(x)\big].
\]
\end{thm}

On en déduit alors les propriétés suivantes:

\begin{prop}
Soit $u$ une fonction dérivable sur un intervalle $I$.
\medskip 
\begin{center}
\begin{tabular}{|*3{>{\columncolor{white}}c|}}
\rowcolor{prop!20}\hline
Fonction  & Dérivée & Condition\\
\hline
$\e^u$ & $u'\e^u$ & \diagbox[width=25mm,height=5mm,dir=SW]{\diagbox[width=25mm,height=5mm]{}{}}{} \\
\hline
$\sqrt{u}$ & $\dfrac{u'\strut}{2\sqrt{u}\strut}$ & $u(x)>0$ sur $I$\\
\hline
$u^n$  & $nu'u^{n-1}$\rule[-1mm]{0pt}{5mm} & \diagbox[width=25mm,height=5mm,dir=SW]{\diagbox[width=25mm,height=5mm]{}{}}{} \\
\hline
%$\ln (u)$ & $\dfrac{u'}{u\strut}$\rule[-1mm]{0pt}{7mm}  & $u(x)>0$ sur $I$\\
%\hline
$\sin(u)$ & $u' \times \cos (u)$ & \diagbox[width=25mm,height=5mm,dir=SW]{\diagbox[width=25mm,height=5mm]{}{}}{} \\
\hline
$\cos(u)$ & $-u' \times \sin(u)$ & \diagbox[width=25mm,height=5mm,dir=SW]{\diagbox[width=25mm,height=5mm]{}{}}{} \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\end{prop}

\begin{exemple}
Soit $f(x)=\e^{x^2}$. 

On peut écrire $f(x)=\e^{u(x)}$ avec $u(x)=x^2$ et $u'(x)=2x$.

Ainsi, $f'(x)=u'(x)\e^{u(x)}=2x\e^{x^2}$.
\end{exemple}

\newpage

\subsection{Limite et nombre dérivé}

\begin{defin}[dérivabilité en un point]
Soient $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$ et $a$ un réel appartenant à $I$. 

On dit que $f$ est \emph{dérivable} en $a$ si :
\medskip
\[\lim_{h\to0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}=\lim_{x\to a}\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}\]
\medskip
est une limite réelle finie $\ell$.

$\ell$ est alors appelé le nombre dérivé de $f$ en $a$, et on le note $f'(a)$.
\end{defin}

\begin{exemple}
On souhaite calculer:
\[
\limite{x}{0}{\left(\dfrac{\sqrt{1+x^2}-1}{x}\right)}.
\]
Au prime abord, on a une forme indéterminée du type \og $\dfrac{0}{0}$ \fg.

Posons alors $u(x)=\sqrt{1+x^2}$. Ainsi, $u'(x)=\dfrac{2x}{2\sqrt{1+x^2}}$ et:
\[
\limite{x}{0}{\left(\dfrac{\sqrt{1+x^2}-1}{x}\right)} = \limite{x}{0}{\left(\dfrac{u(x)-u(0)}{x-0}\right)}=u'(0)=0.
\]
\end{exemple}


\section{Convexité d'une fonction}

\subsection{Dérivée seconde}

\begin{defin}
Soit $f$ une fonction dérivable sur un intervalle $I$ telle que sa dérivée $f'$ soit elle aussi dérivable sur $I$.

On appelle \textit{dérivée seconde de $f$} la dérivée de la dérivée de $f$, et on la note $f''$.
\end{defin}

\begin{exemple}
Soit $f(x)=x^3$. Alors, $f'(x)=3x^2$ et $f''(x)=\big(3x^2\big)' = 6x$.
\end{exemple}

\subsection{Fonction concave, fonction convexe}

\begin{defin}
On dit que $f$ est \textit{concave} sur un intervalle $I$ si $f''(x)<0$ sur $I$.

On dit que $f$ est \textit{convexe} sur un intervalle $I$ si $f''(x)>0$ sur $I$.
\end{defin}

\newpage

\textit{Interprétation graphique :} 
\begin{itemize}
\item la courbe représentative d'une fonction \textit{convexe}  sur un intervalle $I$ sera toujours \textit{au-dessus} de ses tangentes;

\item la courbe représentative d'une fonction \textit{concave}  sur un intervalle $I$ sera toujours \textit{en dessous} de ses tangentes.
\end{itemize}

\begin{minipage}{0.45\linewidth}
\begin{center}
\includegraphics{continuite-fig5b.pdf}

Fonction concave sur $[-3~;~2]$
\end{center}
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}{0.45\linewidth}
\includegraphics{continuite-fig5a.pdf}

\hspace*{2mm}
Fonction convexe sur $[-3~;~2]$
\end{minipage}

\subsection{Point d'inflexion}

\begin{defin}
Soit $f$ une fonction deux fois dérivable sur un intervalle $I$, et soit $a\in I$.

On dit que le point de coordonnées $\big(a~;~f(a)\big)$ est un \textit{point d'inflexion} de la courbe représentative de $f$ si $f''(x)$ s'annule en $a$ en  changeant de signe.
\end{defin}

Graphiquement, cela se traduit par un changement de convexité en $a$.

\medskip

\begin{center}
\includegraphics{continuite-fig6.pdf}
\end{center}


\begin{exemple}
Soit $f(x)=x^3$. Alors, $f''(x)=6x$ et:
\begin{itemize}
\item $f''(x)<0$ sur $]-\infty~;~0[$;
\item $f''(x)>0$ sur $]0~;~+\infty[$;
\item $f''(x)=0$.
\end{itemize}

Donc le point de coordonnées $(0~;~f(0))$, c'est-à-dire l'origine du repère, est un point d'inflexion de la courbe représentative de la fonction $f$.

\medskip

\begin{center}
\includegraphics{continuite-fig7.pdf}
\end{center}
\end{exemple}

\section{Continuité}

\subsection{Continuité en un point a}

\begin{defin}
Soit une fonction $f$ définie sur un intervalle $I$ et $a\in I$. 

On dit que $f$ est \emph{continue} en $a$ si :
\[
\limite[x<a]{x}{a}{f(x)} = \limite[x>a]{x}{a}{f(x)} = f(a).
\]
On dit que  $f$ est \emph{continue} sur $I$ si $f$ est continue en tout point de $I$.
\end{defin}


Cela se traduit graphiquement par le fait que la courbe représentative d'une fonction continue sur $I$ peut se tracer sans lever le crayon sur cet intervalle.

\begin{exemple}[et contre-exemple]
La courbe représentative de la fonction inverse n'est pas continue sur $\R$ (car ses limites en 0 sont infinies). En revanche, elle l'est sur $]-\infty~;0[$ et sur $]0~;+\infty[$.

\medskip

\begin{minipage}{0.45\linewidth}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.9]
\draw[->,>=latex,thick] (-3,0) -- (3,0);
\draw[->,>=latex,thick] (0,-3) -- (0,3);
\draw[<->,>=latex,green!50!black,very thick] (-3,-3.5) -- (3,-3.5) node[midway,below] {$I=\R$};
\clip (-3,-3) rectangle (3,3);
\draw[courbe,thick] plot[domain=-3:-0.1,samples=70] (\x,{1/\x});
\draw[courbe,thick] plot[domain=0.1:3,samples=70] (\x,{1/\x});
\node[courbe] at (2.5,1) {$\dfrac{1}{x}$};
\node[below left] at (0,0) {$O$};
\end{tikzpicture}

Il y a un \og trou \fg{} au niveau de $x=0$ donc la fonction n'est pas continue en 0, donc pas continue sur $\R$.
\end{center}
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}{0.45\linewidth}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.9]
\draw[->,>=latex,thick] (-3,0) -- (3,0);
\draw[->,>=latex,thick] (0,-3) -- (0,3);
\draw[<->,>=latex,green!50!black,very thick] (-3,-3.5) -- (0,-3.5) node[midway,below] {$I_1=\intervOO{-\infty}{0}$};
\draw[<->,>=latex,green!50!black,very thick] (0,-3.5) -- (3,-3.5) node[midway,below] {$I_2=\intervOO{0}{+\infty}$};
\clip (-3,-3) rectangle (3,3);
\draw[courbe,thick] plot[domain=-3:-0.1,samples=70] (\x,{1/\x});
\draw[courbe,thick] plot[domain=0.1:3,samples=70] (\x,{1/\x});
\node[courbe] at (2.5,1) {$\dfrac{1}{x}$};
\node[below left] at (0,0) {$O$};
\end{tikzpicture}

Il n'y a pas de trou sur chaque intervalle $I_1$ et $I_2$ donc la fonction est continue sur $I_1$ et sur $I_2$.
\end{center}
\end{minipage}
\end{exemple}

\begin{rem}
\begin{itemize}
\item Dans le second cas, on ne dit pas que la fonction est continue sur $I_1\cup I_2$, mais \textit{continue sur chacun des intervalles}.
\item Quand une fonction n'est pas continue, on ne dit pas qu'elle est \textit{discontinue}.
\end{itemize}
\end{rem}

\begin{defin}
On appelle \textit{point de discontinuité} tout point en lequel une fonction n'est pas continue.
\end{defin}

\begin{exemple}
$x=0$ est un point de discontinuité de la fonction inverse.
\end{exemple}

\subsection{Fonctions continues de référence}


\begin{prop}
\begin{enumerate}
\item Les fonctions \emph{polynômes} sont continues sur $\R$.

\item Les fonctions \emph{rationnelles} sont continues sur tout intervalle inclus dans leur ensemble de définition.

\item La fonction \emph{racine carrée} est continue sur $\left[0~;+\infty\right[$.

\item Les fonctions $x\mapsto\cos x$ et $x\mapsto\sin x$ sont continues sur $\R$.

\item Les fonctions obtenues par somme, produit ou quotient de fonctions continues sont continues sur chacun des intervalles où elles sont définies.
\end{enumerate}
\end{prop}

\begin{exemple}
\begin{enumerate}
\item La fonction $x\mapsto x^3+2x-5$ est continue sur $\R$ comme fonction polynôme.
\item La fonction $x\mapsto\sin(x)+\cos(x)$ est continue sur $\R$ comme somme de deux fonctions continues sur $\R$.
\item La fonction $x\mapsto(x^2+1)\cos(x)$ est continue sur $\R$ comme produit de deux fonctions continues sur $\R$.
\item La fonction $x\mapsto\dfrac{x^2+1}{x-1}$ est continue sur $]-\infty~;~1[$ et sur $]1~;~+\infty[$ comme fonction rationnelle définie sur ces deux intervalles.
\end{enumerate}
\end{exemple}

\subsection{Continuité d'une fonction composée}

\begin{prop}
Soit $f = v \circ u$ une fonction définie sur un intervalle $I$ de $\R$.

Si $u$ est continue sur $I$ et si $v$ est continue sur $u(I)$ alors $f$ est continue sur $I$.
\end{prop}


\begin{exemple}
Soient $u\;:\;x\mapsto x-1$ et $v\;:\;\sqrt{x}$.

Notons $f(x) = (v\circ u)(x)=\sqrt{x-1}$. 

$u$ est continue sur $\R$ mais $f$ n'est pas définie sur $\R$ car $x-1<0$ pour $x<1$. Ainsi, $f$ est définie sur $I=[1~;~+\infty[$, et elle est continue sur $I$ car $u$ est continue sur $I$ et $v$ est continue sur\linebreak $u(I) = [0~;~+\infty[$.
\end{exemple}

\subsection{Continuité et tableau de variations}

Dans un tableau de variations, un point de discontinuité est représenté par une double barre verticale. Par exemple, pour la fonction inverse, on a:

\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\node[inner sep = 0pt, outer sep = 0pt] (tab) {
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[color,colorL=backnumpagecours!10,colorC=backnumpagecours!10,colorV=backnumpagecours!10]{$x$/0.5,$f(x)$/1}{$-\infty$,0,$+\infty$}
\tkzTabVar{-/,+D-/ /,+/}
\end{tikzpicture}};
\drawshadow{tab}{black}
\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Fonction définie et fonction continue}

Une fonction peut être définie sur un intervalle $I$ sans nécessairement être continue sur $I$.

\begin{exemple}
On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par :
\[
f(x)=E(x)=\lfloor x \rfloor.
\]
Cette fonction est appelée \textit{fonction partie entière} : pour tout entier relatif $n$, 
\[
\forall\, x \in [n~;~n+1[,\quad f(x)=n.
\]
Sa représentation graphique est la suivante:

\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\draw[gray!50,dashed] (-5,-4) grid (5,4);
\draw[->,>=latex,thick] (-5,0) -- (5,0);
\draw[->,>=latex,thick] (0,-4) -- (0,4);
\foreach \x in {-4,-3,-2,-1,1,2,3,4}
{
	\draw[thick] (\x,0.1) -- (\x,-0.1) node[below] {$\x$};
}
\foreach \x in {-3,-2,-1,1,2,3}
{
	\draw[thick] (0.1,\x) -- (-0.1,\x) node[left] {$\x$};
}
\node[below left] at (0,0) {0};
\foreach \x in {-3,-2,...,3}
{
\draw[thick,courbe,*-(] ({\x-0.1},\x) -- ({\x+1},\x);
}
\end{tikzpicture}
\end{center}

Cette fonction est définie en tout point de $\R$, mais elle n'est pas continue sur $\R$.
\end{exemple}

\subsection{Dérivabilité et continuité}

\begin{thm}
Si $f$ est une fonction définie et dérivable en $a$ alors elle est continue en $a$.
\end{thm}

\begin{attention}
La réciproque de ce théorème est fausse : une fonction  peut être continue sans être dérivable. Par exemple, la fonction $f\;:\;x\mapsto |x|$ est continue en $0$, mais pas dérivable en $0$  car :
\[
\lim\limits_{h\to0^-}\dfrac{f(0+h)-f(0)}{h}=-1\quad\text{et}\quad\lim\limits_{h\to0^+}\dfrac{f(0+h)-f(0)}{h}=+1.
\]
\end{attention}



\subsection{Théorème des valeurs intermédiaires}

\begin{thm}
Soit $f$ une fonction définie et continue sur un intervalle $I$, et soient $a$ et $b$ deux réels de $I$. 
Pour tout réel $k$ compris entre $f(a)$ et $f(b)$, l'équation $f(x)=k$ admet au moins une solution comprise entre $a$ et $b$.
\end{thm}

\begin{attention}
Ce théorème assure, sous certaines hypothèses, l'existence d'\textit{au moins un} antécédent à $k$, mais il n'assure pas son unicité et ne permet pas de calculer sa valeur.
\end{attention}


\begin{prop}[corollaire du théorème des valeurs intermédiaires]
Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$, et soient $a$ et $b$ deux réels de $I$ tels que $a<b$. 

Si $f$ est continue et  strictement monotone sur $[a~;b]$, alors pour tout réel $k$ compris entre $f(a)$ et $f(b)$, l'équation $f(x)=k$ admet une solution unique dans l'intervalle $[a~;b]$.
\end{prop}


\begin{exemple}
Soit $f(x)=\cos x-x$. Alors, $f'(x)=-\sin x-1<0$ sur $\R$ donc $f$ est strictement décroissante. $f$ est aussi continue sur $\R$ comme la somme de deux fonctions continues sur $\R$.

De plus, 
\begin{itemize}
\item $f(0)=\cos0-0=1>0$
\item $f(\pi)=\cos\pi-\pi=-\pi<0$
\end{itemize}
donc $0\in]f(\pi)~;~f(0)[$. 
\medskip
Ainsi, d'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l'équation $f(x)=0$ admet une unique solution sur $[0~;~\pi]$.
\end{exemple}

\begin{rem}
Le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires est aussi appelé \textit{théorème de la bijection}.
\end{rem}

\subsection{Théorème du point fixe}

\begin{thm}
Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $I$ telle que $f(I) \subseteq I$.

Soit \suite{u}{n}{} une suite définie par $u_0\in I$ et, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=f(u_n)$ telle que \suite{u}{n}{} converge vers un nombre réel $\ell$.

Alors, $\ell = f(\ell)$.
\end{thm}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\exotype
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{exercicetype}{Dérivation de fonctions composées}{}
Donner la dérivée des fonctions suivantes, sans vous soucier du domaine de définition ni du domaine de dérivabilité.
\begin{enumerate}
\begin{multicols}{3}
\item $f(x)=\sqrt{3x+1}$
\item $g(x)=\e^{5x-3}$
\item $h(x)=(-4x+7)^9$
\end{multicols}
\end{enumerate}

\tcblower

\begin{enumerate}
\item $f(x)=\sqrt{3x+1}$.

\medskip

$f = \sqrt{u}$, avec $u(x) = 3x+1$, et $u'(x) = 3$. Donc,
\[
f'(x) = \dfrac{u'(x)}{2\sqrt{u(x)}} = \dfrac{3}{2\sqrt{3x+1}}.
\]

\item $g(x)=\e^{5x-3}$.

$g = \e^u$, avec $u(x) = 5x-3$ et $u'(x)=5$. Donc:
\[
g'(x)=u'(x) \times \e^{u(x)} = 5\e^{5x-3}.
\]

\item $h(x)=(-4x+7)^9$.

$h=u^9$, avec $u(x)=-4x+7$ et $u'(x)=-4$. Donc:
\[
h'(x) = u'(x) \times \big[ u(x)\big]^{9-1} = -4(-4x+7)^8.
\]
\end{enumerate}
\end{exercicetype}


%%%

\begin{exercicetype}{nombre dérivée et limite}{}
On souhaite calculer $\limite{x}{2}{\left( \dfrac{\e^{x-2} - 1}{x - 2} \right)}$.
\begin{enumerate}
\item On pose $f(x)=\e^{x-2}$. Déterminer sa dérivée $f'(x)$.
\item Exprimer le taux d'accroissement de $f$ entre les valeurs $x$ et 2.
\item En déduire la valeur de $\limite{x}{2}{\left( \dfrac{\e^{x-2} - 1}{x - 2} \right)}$.
\end{enumerate}

\tcblower

\begin{enumerate}
\item $f(x) = \e^{x-2}$ donc $f=\e^u$, avec $u(x)=x-2$ et $u'(x)=1$. Alors,
\[
f'(x) = u'(x) \times \e^{u(x)} = 1 \times \e^{x-2} = \e^{x-2}.
\]

\item Le taux d'accroissement de $f$ entre les valeurs $x$ et 2 est:
\[
\dfrac{f(x)-f(2)}{x-2} = \dfrac{\e^{x-2} - \e^{2-2}}{x-2} = \dfrac{\e^{x-2} - 1}{x-2}.
\]

\item On a:
\[
\limite{x}{2}{\left( \dfrac{\e^{x-2} - 1}{x - 2} \right)} = \limite{x}{2}{\left( \dfrac{f(x)-f(2)}{x - 2} \right)} = f'(2)\text{ (par définition).}
\]
Or, $f'(2)=\e^{2-2} = 1$. Ainsi,
\[
\limite{x}{2}{\left( \dfrac{\e^{x-2} - 1}{x - 2} \right)} = 1.
\]
\end{enumerate}
\end{exercicetype}

%%%

\begin{exercicetype}{Convexité d'une fonction}{}
Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par:
\[
f(x) = (3x-1)\e^{-x}.
\]
\begin{enumerate}
\item Calculer $f'(x)$, puis $f''(x)$.
\item En déduire la convexité de $f$ sur $\R$ en précisant si sa courbe représentative admet ou non un point d'inflexion.
\end{enumerate}

\tcblower

\begin{enumerate}
\item $f(x) = (3x-1)\e^{-x}$.

\begin{itemize}
\item $f = u \times v$ avec : $\begin{aligned}[t]
u(x) = 3x-1 & \qquad v(x) = \e^{-x}\\
u'(x) = 3 & \qquad v'(x) = -\e^{-x}
\end{aligned}$

Ainsi,
\begin{align*}
f'(x) & = (u'v + uv')(x)\\
      & = 3\e^{-x} + (3x-1)\big(-\e^{-x}\big)\\
      & = \big[ 3 + (3x-1)(-1) \big] \e^{-x}\\
      & = (3-3x+1)\e^{-x}\\
      & = (-3x+4)\e^{-x}.
\end{align*}

\item $f' = u \times v$ avec: $\begin{aligned}[t]
u(x) = -3x+4 & \qquad v(x)=\e^{-x}\\
u'(x)=-3 & \qquad v'(x)=-\e^{-x}
\end{aligned}$

Ainsi,
\begin{align*}
f''(x) & = -3\e^{-x} + (-3x+4)\big(-\e^{-x}\big)\\
       & = \big[ -3 + (-3x+4)(-1) \big]\e^{-x}\\
       & = (-3+3x-4)\e^{-x}\\
       & = (3x-7)\e^{-x}.
\end{align*}
\end{itemize}

\item $f''(x)$ est du signe de $3x-7$ car $\e^{-x}>0$ pour tout réel $x$.
\[
3x-7 \geqslant 0 \iff 3x \geqslant 7 \iff x \geqslant \dfrac{7}{3}.
\]

Ainsi,
\begin{itemize}
\item sur \intervOO{-\infty}{\dfrac{7}{3}}, $f''(x)<0$ donc $f$ est \textit{concave};
\item sur \intervOO{\dfrac{7}{3}}{+\infty}, $f''(x) > 0$ donc $f$ est \textit{convexe};
\item $f''\left(\dfrac{7}{3}\right)=0$ et $f''(x)$ change de signe en $\dfrac{7}{3}$ donc la courbe représentative de $f$ admet un point d'inflexion en $x=\dfrac{7}{3}$. 
\end{itemize}
\end{enumerate}
\end{exercicetype}

%%%

\newpage

\begin{exercicetype}{Continuité d'une fonction définie par morceaux}{}
Soit $f$ la fonction définie par morceaux de la manière suivante:
\[
f(x) = \begin{cases}
x^2-5x+2 & \qquad \text{pour }x < -1\\
-5x+3 & \qquad \text{pour } x > -1
\end{cases}
\]
Est-elle continue en $-1$ ?

\tcblower

D'une part, on a:
\[
\limite[x<-1]{x}{-1}{f(x)} = \limite{x}{-1}{(x^2-5x+2)} = (-1)^2-5\times(-1)+2=1+5+2=8,
\]
et d'autre part,
\[
\limite[x>1]{x}{1}{f(x)} = \limite[x>1]{x}{1}{(-5x+3)} = -5\times(-1)+3 = 5+3=8.
\]
On constate alors que:
\[
\limite[x<-1]{x}{-1}{f(x)} =\limite[x>-1]{x}{-1}{f(x)} =8
\]
et donc que $f$ est continue en $-1$.
\end{exercicetype}

%%%

\begin{exercicetype}{Corollaire du théorème des valeurs intermédiaires}{}
Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par:
\[
f(x)=x^3+5x+1.
\]
Montrer que l'équation $f(x)=0$ admet une unique solution sur \R.

\tcblower

\begin{itemize}
\item \textit{On étudie le sens de variation de $f$ sur \R.}
\[
f(x) = 3x^2+5>0.
\]
Ainsi, $f$ est strictement croissante sur \R.

\item \textit{On calcule les limites aux bornes de l'ensemble.}
\begin{itemize}
\item $\limite{x}{-\infty}{f(x)} = \limite{x}{-\infty}{\left[ x^3\left(1+\dfrac{5}{x^2}+\dfrac{1}{x^3} \right) \right]}$.

Or, 
\[
\forall n\in\N*,\ \limite{x}{-\infty}{\left(\dfrac{1}{x^n}\right)} = 0
\]
donc, par somme et produit de limites,
\[
\limite{x}{-\infty}{\left(1+\dfrac{5}{x^2}+\dfrac{1}{x^3}\right)} = 1.
\]
Or, $\limite{x}{-\infty}{\big(x^3\big)}=-\infty$ donc, par produit,
\[
\limite{x}{-\infty}{f(x)}=-\infty.
\]

\item Par un raisonnement analogue, on montre que:
\[
\limite{x}{+\infty}{f(x)}=+\infty.
\]
\end{itemize}

\item \textit{On applique le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires.}

Sur $\R$,
\begin{itemize}
\item $f$ est continue (comme polynôme) et strictement monotone (croissante);
\item $f(\R) = \R$ et $0\in\R$.
\end{itemize}

Ainsi, d'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, il existe une unique valeur $\alpha \in\R$ telle que $f(\alpha) = 0$.
\end{itemize}
\end{exercicetype}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\exercices
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\subsectionnn{Complément sur la dérivation}

%%%

\begin{exocor}{}[1]
On considère la fonction $f$ définie sur \intervFO{0}{+\infty} par :
\[
f(x)=\sqrt{\dfrac{1}{3}x^3+2x^2+1}.
\]
Déterminer la fonction dérivée $f'(x)$ de $f(x)$.

\tcblower
$f$ est de la forme $\sqrt{u}$ avec:
\[
u(x)=\dfrac{1}{3}x^3+2x^2+1 \Longrightarrow u'(x)=x^2+4x.
\]
Donc $f'=\dfrac{u'}{2\sqrt u}$ soit :
\[
\boxed{f'(x)=\dfrac{x^2+4x}{2\sqrt{\dfrac{1}{3}x^3+2x^2+1}}}
\]
\end{exocor}


%%%

\begin{exocor}{}[1]
Soit $f$ la fonction définie sur \R par:
\[
f(x)=(3x+1)\e^{-x}.
\]
\begin{enumerate}
\item Déterminer la fonction dérivée $f'(x)$ de $f(x)$.
\item En déduire les variations de $f$ sur $\R$.
\end{enumerate}

\tcblower

\begin{enumerate}
\item $f = u \times v$ avec $\begin{aligned}[t]
u(x) = 3x+1 & \qquad v(x)=\e^{-x}\\
u'(x) = 3 & \qquad v'(x)=-\e^{-x}
\end{aligned}$

\medskip

Ainsi, $\begin{aligned}[t]
f'(x) & = (u'v+v'u)(x)\\
      & = 3\e^{-x} + (3x+1)\big(-\e^{-x}\big)\\
      & = (3 - 3x - 1)\e^{-x}\\
\Aboxed{f'(x) & = (-3x+2)\e^{-x}}
\end{aligned}$

\item Sur \R, $\e^{-x}>0$ donc $f'(x)$ est du signe de $-3x+2$. 
\begin{align*}
-3x+2 \geqslant 0 & \iff -3x \geqslant -2\\
& \iff x \leqslant \dfrac{2}{3}.
\end{align*}
D'où le tableau suivant:
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\node[inner sep = 0pt, outer sep = 0pt] (tab) {
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=3,color,colorL=corrigenumbg!10,colorC=corrigenumbg!10,colorV=corrigenumbg!10]{$x$/0.5,$f'(x)$/0.5,$f$/1}{$-\infty$,$\frac{2}{3}$,$+\infty$}
\tkzTabLine{,+,z,-,}
\tkzTabVar{-/,+/,-/}
\end{tikzpicture}};
\drawshadow{tab}{black}
\end{tikzpicture}
\end{center}
\end{enumerate}
\end{exocor}

%%% 

\begin{exocor}{}[1]
\'Etudier les variations de la fonction $f$ définie sur \R* par:
\[
f(x)=\dfrac{1}{\e^{x^2}-1}.
\]

\tcblower

\medskip

$f=\dfrac{1}{g}$ avec $g(x)=\e^{x^2}-1$.

De plus, $g = \e^u-1$ avec $u(x)=x^2$ et $u'(x)=2x$, donc:
\[
g'(x) = u'(x) \e^{u(x)} = 2x\e^{x^2}.
\]
Ainsi,
\begin{align*}
f'(x) & = -\dfrac{g'(x)}{\big[g(x)\big]^2}  = - \dfrac{2x\e^{x^2}}{\big( \e^{x^2} - 1 \big)^2}.
\end{align*}
Ainsi, $f'(x)$ est du signe de $-x$, car $\e^{x^2}>0$ et $\big(\e^{x^2}-1\big)^2>0$ sur \R*. 

D'où le tableau suivant:
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\node[inner sep = 0pt, outer sep = 0pt] (tab) {
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=3,color,colorL=corrigenumbg!10,colorC=corrigenumbg!10,colorV=corrigenumbg!10]{$x$/0.5,$f'(x)$/0.5,$f$/1}{$-\infty$,$0$,$+\infty$}
\tkzTabLine{,+,d,-,}
\tkzTabVar{-/,+D+/ /,-/}
\end{tikzpicture}};
\drawshadow{tab}{black}
\end{tikzpicture}
\end{center}

\end{exocor}


%%%

\begin{exocor}{}[1]
Déterminer la dérivée de la fonction suivante, sans se soucier de son domaine de définition ni de son domaine de dérivabilité:
\[
f(x)=\sqrt{(5-7x)^3}.
\]

\tcblower

\medskip

$f=\sqrt{g}$ avec $g=u^3$, où $u(x)=5-7x$ et $u'(x)=-7$, donc :
\[
g'(x)=3\times u'(x) \times \big[ u(x) \big]^2 = -21(5-7x)^2.
\]
Ainsi,
\begin{align*}
f'(x) & = \dfrac{g'(x)}{2\sqrt{g(x)}}\\
      & = \dfrac{-21(5-7x)^2}{2\sqrt{(5-7x)^3}}\\
      & = \dfrac{-21(5-7x)^2}{2\sqrt{(5-7x)^2 \times (5-7x)}}\\
      & = \dfrac{-21(5-7x)^2}{2(5-7x)\sqrt{5-7x}}\\\\
      & = \dfrac{-21(5-7x)}{2\sqrt{5-7x}}\\
\Aboxed{f'(x) & = \dfrac{-21}{2}\sqrt{5-7x}}
\end{align*}
\begin{rem}
N'oublions pas, d'une part, que:
\[
\sqrt{(5-7x)^2}=5-7x\qquad\text{ car }5-7x>0
\]
et d'autre part, que:
\[
\dfrac{X}{\sqrt{X}} = \dfrac{\sqrt{X} \times \sqrt{X}}{\sqrt{X}} = \sqrt{X}.
\]
\end{rem}
\end{exocor}


%%%

\begin{exocor}{}[2]
On considère la fonction $f$ définie sur \intervFO{1}{+\infty} par:
\[
f(x)=\sqrt{\dfrac{\e^x-1}{\e^x+1}}.
\]
Déterminer l'expression de $f'(x)$, puis en déduire les variations de $f$ sur \intervFO{1}{+\infty}.

\tcblower

$f=\sqrt{g}$ avec $g(x)=\dfrac{\e^x-1}{\e^x+1}=\dfrac{u(x)}{v(x)}$, où:
\[
\begin{array}{ll}
u(x) = \e^x-1 & \qquad v(x)=\e^x+1\\
u'(x)=\e^x & \qquad v'(x)=\e^x
\end{array}
\]
Alors,
\begin{align*}
g'(x) & = \dfrac{u'v-v'u}{v^2}(x)\\
      & = \dfrac{\e^x(\e^x+1) - \e^x(\e^x-1)}{(\e^x+1)^2}\\
      & = \dfrac{\e^x(\e^x+1-\e^x+1)}{(\e^x+1)^2}\\
      & = \dfrac{2\e^x}{(\e^x+1)^2}.
\end{align*}
Ainsi,
\begin{align*}
f'(x) & = \dfrac{g'(x)}{2\sqrt{g(x)}}\\
      & = \dfrac{\frac{2\e^x}{(\e^x+1)^2}}{2\sqrt{\frac{\e^x-1}{\e^x+1}}}\\
      & = \dfrac{\e^x}{(\e^x+1)^2\sqrt{\frac{\e^x-1}{\e^x+1}}}.
\end{align*}
Inutile d'aller plus loin quand notre objectif est de trouver le signe de $f'(x)$.

En effet, on constate que sur \intervFO{0}{+\infty},
\begin{itemize}
\item $2\e^x>0$ 
\item $(\e^x+1)^2\sqrt{\frac{\e^x-1}{\e^x+1}}>0$
\end{itemize}
 donc $f'(x)>0$, et donc $f$ est strictement croissante sur $\intervFO{0}{+\infty}$.
\vspace*{5mm}
\end{exocor}

%%%
\newpage
\begin{exocor}{}[2]
On considère la fonction $f$ définie sur \intervFO{0}{+\infty} par :
\[ 
f(x)=\frac{2x-\sqrt{x}}{2+\sqrt{x}}.
\]
\begin{enumerate}
\item Montrer que la dérivée de $f(x)$ est:
\[ f'(x)=\dfrac{x+4\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}\left(2+\sqrt{x}\right)^2}.\]

\item Dresser le tableau de signes du polynôme $X^2+4X-1$.

\item En déduire le signe de $f'(x)$ ainsi que les variations de $f$ sur \intervFO{0}{+\infty}.

Dresser alors un tableau de variations complet de la fonction $f$ sur \intervFO{0}{+\infty}.

On veillera notamment à calculer la valeur de l'extremum de $f$.
\end{enumerate}

\tcblower

\begin{enumerate}
\item $f$ est de la forme $\dfrac{u}{v}$ avec :

\begin{multicols}{2}
$u(x)=2x-\sqrt{x}$

$u'(x)=2-\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$

\columnbreak

$v(x)=2+\sqrt{x}$

$v'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$
\end{multicols}

D'où :
\begin{align*}
f'(x) & = \dfrac{u'v-uv'}{v^2}(x)\\
& = \dfrac{\left(2-\frac{1}{2\sqrt{x}}\right)\left(2+\sqrt{x}\right)-\left(2x-\sqrt{x}\right)\times\frac{1}{2\sqrt{x}}}{\left(2+\sqrt{x}\right)^2}\\
& = \dfrac{\left(4\sqrt{x}-1\right)(2+\sqrt{x})-(2x-\sqrt{x})}{2\sqrt{x}(2+\sqrt{x})^2}\\
 & = \dfrac{8\sqrt{x}+4x-2-\sqrt{x}-2x+\sqrt{x}}{2\sqrt{x}(2+\sqrt{x})^2}\\
& = \dfrac{2(x+4\sqrt{x}-1)}{2\sqrt{x}(2+\sqrt{x})^2}\\
\Aboxed{f'(x) & = \dfrac{x+4\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}(2+\sqrt{x})^2}}
\end{align*}

\item Le discriminant du polynôme $X^2+4X-1$ est :
\begin{align*}
\Delta & = b^2-4ac\\
& = 4^2-4\times 1\times (-1)\\
\Delta & = 20.
\end{align*}
Les deux racines du polynôme sont donc :
\begin{multicols}{2}
\begin{align*}
X_1 & =\dfrac{-4-\sqrt{20}}{2}\\
& = \dfrac{-4-2\sqrt{5}}{2}\\
& = -2-\sqrt{5}.
\end{align*}

\begin{align*}
X_2 & =\dfrac{-4+\sqrt{20}}{2}\\
& = \dfrac{-4+2\sqrt{5}}{2}\\
& = -2+\sqrt{5}.
\end{align*}
\end{multicols}

D'où le tableau de signe suivant :

\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\node[inner sep = 0pt, outer sep = 0pt] (tab) {
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=3,color,colorL=corrigenumbg!10,colorC=corrigenumbg!10,colorV=corrigenumbg!10]{$X$/0.5,$X^2+4X-1$/0.5}{$-\infty$,$X_1$,$X_2$,$+\infty$}
\tkzTabLine{,+,z,-,z,+}
\end{tikzpicture}};
\drawshadow{tab}{black}
\end{tikzpicture}
\end{center}

\item $f'(x)$ est du signe de $x+4\sqrt{x}-1$, c'est-à-dire de $X^2+4X-1$ en posant $X=\sqrt{x}$, et donc $X>0$ et $x=X^2$.

D'après le tableau de signes précédent, 
\begin{align*}
x+4\sqrt{x}-1>0 & \iff \sqrt{x}>-2+\sqrt{5}\\
& \iff x > \left(-2+\sqrt{5}\right)^2\\
& \iff x>9-4\sqrt{5}.
\end{align*}

\bigskip

D'où:
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\node[inner sep = 0pt, outer sep = 0pt] (tab) {
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[color,colorL=corrigenumbg!10,colorC=corrigenumbg!10,colorV=corrigenumbg!10]{$x$/0.5,$f'(x)$/0.5,$f$/1}{0,$9-4\sqrt{5}$,$+\infty$}
\tkzTabLine{,-,z,+}
\tkzTabVar{+/0,-/$-9+4\sqrt{5}$,+/$+\infty$}
\end{tikzpicture}};
\drawshadow{tab}{black}
\end{tikzpicture}
\end{center}

\begin{align*}
f\left(9-4\sqrt{5}\right) & = \dfrac{2\left(9-4\sqrt{5}\right)-\sqrt{9-4\sqrt{5}}}{2+\sqrt{9-4\sqrt{5}}}\\
& = \dfrac{18-8\sqrt{5}-\left(-2+\sqrt{5}\right)}{2-\left(-2+\sqrt{5}\right)}\\
& = \dfrac{20-9\sqrt{5}}{\sqrt{5}}\textcolor{red}{\times\dfrac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}}\\
& = \dfrac{-45+20\sqrt{5}}{5}\\
& = -9+4\sqrt{5}.
\end{align*}

\begin{rem}
Précisons que $\sqrt{9-4\sqrt{5}}=-2+\sqrt{5}$ d'après les calculs faits précédemment.
\end{rem}
\end{enumerate}
\end{exocor}

\bigskip

\sectionnn{Limite en un nombre fini à l'aide du nombre dérivé}

\begin{exocor}{méthodes diverses}[2]
Calculer les limites suivantes.

\begin{enumerate}
\begin{multicols}{2}
\item $\limite{x}{\pi}{\left(\dfrac{\cos x+1}{x-\pi}\right)}$
\item $\limite{x}{1}{\left(\dfrac{\sqrt{x+1}-\sqrt{2}}{x-1}\right)}$
\end{multicols}
\end{enumerate}

\tcblower

\begin{enumerate}
\item On pose $u(x)=\cos x$. Alors, $u'(x)=-\sin x$ et :
\[
\limite{x}{\pi}{\left(\dfrac{\cos x+1}{x-\pi}\right)}=\limite{x}{\pi}{\left(\dfrac{u(x)-u(\pi)}{x-\pi}\right)}=u'(\pi)=-\sin\pi=0.
\]

Ainsi, $\boxed{\limite{x}{\pi}{\dfrac{\cos x+1}{x-\pi}}=0}$

\item On pose $u(x)=\sqrt{x+1}$. Alors, $u'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{x+1}}$ et :
\[
\limite{x}{1}{\left( \dfrac{\sqrt{x+1}-\sqrt{2}}{x-1} \right) } = \limite{x}{1}{\left( \dfrac{u(x)-u(1)}{x-1} \right)}=u'(1)=\dfrac{1}{2\sqrt{2}}.
\]
Ainsi,
\[
\boxed{\limite{x}{1}{\dfrac{\sqrt{x+1}-\sqrt{2}}{x-1}}=\dfrac{1}{2\sqrt{2}}}
\]
\end{enumerate}
\end{exocor}

%%%

\begin{exocor}{règle de l'Hospital}[3]
Soient $f$ et $g$ deux fonctions définies et dérivables en un nombre réel $a$ telles que $f(a)=g(a)=0$ et $g'(a)\neq0$.

\begin{enumerate}
\item Montrer que $\limite{x}{a}{\left( \dfrac{f(x)}{g(x)} \right)} = \dfrac{f'(a)}{g'(a)}$. C'est la \textit{règle de l'Hospital}.

\medskip

\textit{On pourra considérer le taux d'accroissement des fonctions $f$ et $g$ en $x=a$.}

\item Calculer $\limite{x}{0}{\left( \dfrac{\cos(5x)-\cos(3x)}{\sin(4x)-\sin(3x)} \right) }$.
\end{enumerate}

\tcblower

\begin{enumerate}
\item On peut écrire :
\[
\dfrac{f(x)}{g(x)}=\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}\times\dfrac{x-a}{g(x)-g(a)}
\]
car $f(a)=g(a)=0$.

Or, $\limite{x}{a}{\left(\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}\right)}=f'(a)$ d'après la définition du nombre dérivé (vue en classe de première).

De même, $\limite{x}{a}{\left(\dfrac{g(x)-g(a)}{x-a}\right)}=g'(a)$ donc $\limite{x}{a}{\left(\dfrac{x-a}{g(x)-g(a)}\right)}=\dfrac{1}{g'(a)}$ ($g'(a)\neq0$ par hypothèses).

Ainsi,
\[
\limite{x}{a}{\left(\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}\times\dfrac{x-a}{g(x)-g(a)}\right)}=f'(a)\times\dfrac{1}{g'(a)}
\]
et donc :
\[
\boxed{\limite{x}{a}{\left(\dfrac{f(x)}{g(x)}\right)}=\dfrac{f'(a)}{g'(a)}}
\]

\item Posons $f(x)=\cos(5x)-\cos(3x)$ et $g(x)=\sin(4x)-\sin(3x)$. 

Alors, $f'(x)=-5\sin(5x)+3\sin(3x)$ et $g'(x)=4\cos(4x)-3\cos(3x)$. 

Ainsi, $f'(0)=0$ et $g'(0)=1$.

$f$ et $g$ vérifient toutes les conditions nécessaires pour utiliser la règle de l'Hospital donc :
\[
\boxed{\limite{x}{0}{\left( \dfrac{\cos(5x)-\cos(3x)}{\sin(4x)-\sin(3x)} \right)}=0}
\]
\end{enumerate}
\vspace*{5mm}
\end{exocor}

%%%

\begin{exocor}{avec une exponentielle}[3]
Calculer $\limite{x}{0}{\left( \dfrac{\e^x-1}{\e^{2x}-1} \right)}$.

\tcblower

\begin{itemize}
\item $\limite{x}{0}{\big(\e^x-1\big)}=\e^0-1=1-1=0$.
\item $\limite{x}{0}{\big(\e^{2x}-1\big)}=\e^0-1=1-1=0$.
\end{itemize}
On a donc une forme indéterminée du type \og $\dfrac{0}{0}$ \fg{} donc on pense à faire apparaître un ou plusieurs taux d'accroissement.
\[
\dfrac{\e^x-1}{\e^{2x}-1} = \dfrac{\e^x-1}{x-0} \times \dfrac{x-0}{\e^{2x}-1}.
\]
\begin{itemize}
\item $\limite{x}{0}{\left(\dfrac{\e^x-1}{x-0}\right)} = \limite{x}{0}{\left(\dfrac{u(x)-u(0)}{x-0}\right)}=u'(0)=\e^0=1$ avec $u(x)=\e^x$ et donc $u'(x)=\e^x$;
\item $\limite{x}{0}{\left(\dfrac{x-0}{\e^{2x}-1}\right)}=\limite{x}{0}{\left(\dfrac{x-0}{v(x)-v(0)}\right)}=\dfrac{1}{v'(0)}=\dfrac{1}{2\e^0}=\dfrac{1}{2}$ avec $v(x)=\e^{2x}$ et donc $v'(x)=2\e^{2x}$.
\end{itemize}
On en déduit alors que:
\[
\boxed{ \limite{x}{0}{\left(\dfrac{\e^x-1}{\e^{2x}-1}\right)} = \dfrac{1}{2} }
\]
\begin{methode}
On aurait pu aussi utiliser la \textit{règle de l'Hospital} vue dans l'exercice précédent, mais elle n'est pas au programme...
\end{methode}
\end{exocor}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\newpage

\sectionnn{Continuité}

\subsectionnn{Lectures graphiques}

%%%

\begin{exocor}{tangente et équation}[1]
On donne le tableau de variations d'une fonction $f$ définie et dérivable sur l'intervalle \intervOO{2}{+\infty} ci-dessous. On note $f'$ la fonction dérivée de $f$ sur l'intervalle \intervOO{2}{+\infty}.

On appelle $\mathcal{C}$ la courbe représentative de $f$ dans un repère orthonormé.

On suppose de plus que $f(5)=0$ et que $f'(5)=-$2.

\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\node[inner sep = 0pt, outer sep = 0pt] (tab) {
\begin{tikzpicture}
\tkzTab[lgt=3,color,colorV=exercicenumbg!10,colorL=exercicenumbg!10,colorC=exercicenumbg!10]
{
	$x$ / 1 ,
	$f^{\prime}(x)$ / 1,
	$f$ / 1.5
}
{ $2$ , $3$ , $10$, $+\infty$ }
{ , + , z , - , z , +}
{ D-/$-\infty$ , +/$6$ ,  -/$-5$ , +/$4$}
\end{tikzpicture}};
\drawshadow{tab}{black}
\end{tikzpicture}
\end{center}

\newpage

\'A l'aide du tableau de variations, répondre aux questions suivantes. 

Aucune justification n'est demandée.
\begin{enumerate}
\item Donner une équation de la tangente à la courbe représentative de $f$ au point d'abscisse 3.
\item Quel est le nombre de solutions de l'équation $f(x)=4$ sur l'intervalle \intervOO{2}{+\infty} ?
\end{enumerate}

\tcblower

\begin{enumerate}
\item La tangente à $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $x=3$ est horizontale car $f'(3)=0$. 

$f(3)=6$ donc  son équation est : $\underline{y=6}$.

\item Il y a deux solutions à l'équation $f(x)=4$ : l'une sur l'intervalle \intervOO{2}{3} et l'autre sur l'intervalle \intervOO{3}{10}.
\end{enumerate}
\end{exocor}

%%%

\begin{exocor}{nombres dérivés et inéquation}[1]
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\node[inner sep = 0pt, outer sep = 0pt] (tab) {
\begin{tikzpicture}[scale=1.5]
\filldraw[fill=white,draw=black] (-2,-3) rectangle (5,1);
\draw[gray!50,dashed] (-1.9,-2.9) grid (4.9,0.9);
\clip (-2,-3) rectangle (5,1);
\draw[->,>=stealth'] (-2,0) -- (5,0);
\draw[->,>=stealth'] (0,-3) -- (0,1);
\draw[courbe] plot[domain=-2:5,samples=70] (\x,{\x*exp(-\x)});
\draw[green!50!black] plot[domain=-2:5,samples=70] (\x,{\x});
\draw[courbe2] plot[domain=-2:5] (\x,{\x*\x/2-2*\x});
\draw[red] (-2,-2) -- (5,-2) node[below left] {${\cal T}_1$};
\draw (.05,-1) -- (-.05,-1) node[left] {$-1$};
\draw (1,0.05) -- (1,-0.05) node[outer ysep=3mm,below] {$1$};
\node[above right,courbe] at (-1,-3) {$\mathcal{C}_f$};
\node[below right,courbe2] at (4.3,1) {$\mathcal{C}_g$};
\node[above right,green!50!black] at (-2,-1.8) {$\mathcal{T}$};
\end{tikzpicture}};
\drawshadow{tab}{black}
\end{tikzpicture}
\end{center}

\begin{itemize}
\item $\color{green!50!black}\mathcal{T}$ est la tangente à $\mathcal{C}_f$ au point d'abscisse 0.
\item $\color{red}{\cal T}_1$ est la tangente à ${\cal C}_g$ au point d'abscisse 2.
\item ${\cal C}_g$ et ${\cal C}_f$ se coupent en deux points d'abscisses respectives 0 et 4.
\end{itemize}

\'A l'aide du graphique ci-dessus, répondez aux questions suivantes.

\begin{enumerate}
\item Que vaut $f'(0)$ ? $g'(2)$ ?
\item Résoudre l'inéquation $f(x) \geqslant g(x)$ sur $\intervFF{-2}{5}$.
\end{enumerate}

\tcblower

\begin{enumerate}
\item $f'(0)=1$ car $f'(0)$ représente le coefficient directeur de la tangente $\mathcal{T}$. Et pour calculer le coefficient directeur de cette droite, on considère deux points qui sont sur cette droite : par exemple, A\coord{-1}{-1} et O\coord{0}{0}.
\[
f'(0)=\dfrac{y_O-y_A}{x_O-x_A}=\dfrac{0-(-1)}{0-(-1)}=1.
\]

$g'(2)=0$ car la tangente à $\mathcal{C}_g$ est horizontale, et comme toute droite horizontale, elle a un coefficient directeur nul.

\item $f(x)\geqslant g(x) \iff x \in\intervFF{0}{4}$ car c'est sur cet intervalle que $\mathcal{C}_f$ est au-dessus de $\mathcal{C}_g$.
\end{enumerate}
\end{exocor}

%%%

\begin{exocor}{nombres dérivés et équation}[1]
\begin{minipage}{\dimexpr\linewidth-8cm}
Une fonction $f$ est représentée par la courbe $\mathcal{C}$ ci-contre.

$\mathcal{D}$ est la tangente à $\mathcal{C}$ au point d'abscisse 0.

Le point de $\mathcal{C}$ d'abscisse 1 est un minimum local.

\medskip

Répondre aux questions suivantes par lectures graphiques :

\begin{enumerate}
\item Donner la valeur de $f(0)$ et $f'(0)$.
\item Donner la valeur de $f'(1)$.
\item Donner, sur \intervFF{-3}{3}, les solutions de l'équation :
\[ f(x)=x-1.\]
\item Dresser un tableau de signes de la fonction $f'$.
\end{enumerate}
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}{75mm}
\begin{tikzpicture}
\node[inner sep = 0pt, outer sep = 0pt] (img) {
\begin{tikzpicture}[yscale=0.6]
\fill[white] (-4,-2) rectangle (3,6);
\draw[gray,dotted] (-4,-2) grid (3,6);
\draw[->,>=stealth'] (-4,0) -- (3,0);
\draw[->,>=stealth'] (0,-2) -- (0,6);
\clip (-4,-2) rectangle (3,6);
\draw[courbe] plot[domain=-1:3,samples=150] (\x,{\x*\x*\x-2*\x*\x+\x-1});
\draw[green!50!black] plot[domain=-4:3] (\x,{\x-1}) node[left] {$\mathcal{D}$};
\node[courbe] at (2,5) {$\mathcal{C}$};
\foreach \x in {-3,-2,-1,1,2}
{
	\draw (\x,.1) -- (\x,-.1) node[below] {$\x$};
}
\foreach \y in {-1,1,2,3,4,5}
{
	\draw (.1,\y) -- (-.1,\y) node[left] {$\y$};
}

\end{tikzpicture}};
\drawshadow{img}{black}
\end{tikzpicture}
\end{minipage}

\tcblower

\begin{enumerate}
\item $f(0)$ est l'ordonnée du point de $\mathcal{C}$ d'abscisse 0 : c'est le point d'intersection de la courbe avec l'axe des ordonnées. Donc $f(0)=-1$.

$f'(0)$ correspond au coefficient directeur de la tangente à $\mathcal{C}$ au point d'abscisse 0. C'est donc le coefficient directeur de $\mathcal{D}$. Donc $f'(0)=1$ (les points de coordonnées \coord{0}{-1} et \coord{1}{0} sont sur la droite donc le coefficient directeur est \mbox{$\dfrac{y_b-y_A}{x_B-x_A}=\dfrac{0-(-1)}{1-0}=1$}.

\item L'énoncé dit que le point de la courbe d'abscisse 1 est un minimum local. Donc $f'(1)=0$.

\item $\mathcal{D}$ a pour équation $y=x-1$ (coefficient directeur égal à 1 et coupe l'axe des ordonnées en $-1$). Donc l'équation revient à trouver les abscisses des points d'intersection de $\mathcal{D}$ et $\mathcal{C}$.

Les solutions sont donc $x=0$ et $x=2$.

\newpage

\item La fonction $f$ est croissante jusqu'à $\dfrac{1}{3}$, puis décroissante jusqu'à 1, puis croissante, d'où le tableau de signes suivant.
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\node[inner sep = 0pt, outer sep = 0pt] (tab) {
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[color,colorV=corrigenumbg!10,colorL=corrigenumbg!10,colorC=corrigenumbg!10]{$x$/1,$f'$/1}{$-\infty$,$\frac{1}{3}$,1,$+\infty$}
\tkzTabLine{,+,0,-,0,+}
\end{tikzpicture}};
\drawshadow{tab}{black}
\end{tikzpicture}
\end{center}
\end{enumerate}
\end{exocor}

%%%

\begin{exocor}{image, nombre dérivé et tableau de signes}[1]
\begin{minipage}{\dimexpr\linewidth-70mm}
La courbe ci-contre représente une fonction $f$ sur  \intervFF{-3}{5}.

\bigskip

La droite {\color{cyan}${\cal T}_1$} est tangente à la courbe au point d'abscisse 0.

\medskip

La droite {\color{green!50!black}${\cal T}_2$} est tangente à la courbe au point d'abscisse 3,5.

\bigskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer $f(0)$ et $f'(0)$.
\item Avec la précision que permet le graphique, déterminer $f(3,5)$ et $f'(3,5)$.
\item Dresser un tableau de signes de $f'$ avec la précision que permet le graphique.
\end{enumerate}
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}{65mm}
\begin{tikzpicture}
\node[inner sep = 0pt, outer sep = 0pt,fill=white] (img) {
\begin{tikzpicture}[scale=0.8]
\draw[gray,dotted] (-3,-3) grid (5,7);
\draw[->,>=stealth'] (-3,0) -- (5,0);
\draw[->,>=stealth'] (0,-3) -- (0,7);
\foreach \x in {-2,-1,1,2,3,4}
{
	\draw (\x,.1) -- (\x,-.1) node[below] {$\x$};
}
\foreach \y in {-2,-1,1,2,3,4,5,6}
{
	\draw (.1,\y) -- (-.1,\y) node[left] {$\y$};
}
\clip (-3,-3) rectangle (5,7);
\draw[courbe] plot[domain=-3:5,samples=100] (\x,{0.1*\x*\x*\x-0.5*\x+1-0.1*\x*exp(-\x)});
\draw[courbe2] plot[domain=-3:5] (\x,{-0.6*\x+1}) node[below left] {${\cal T}_1$};
\draw[green!50!black] plot[domain=-3:5] (\x,{3.2*\x-7.7});
\node[green!50!black] at (4.5,5.5) {${\cal T}_2$};
\end{tikzpicture}};
\drawshadow{img}{black}
\end{tikzpicture}
\end{minipage}

\tcblower

\begin{enumerate}
\item $f(0)=1$ (cela correspond à l'ordonnée du point d'abscisse 0 qui est sur la courbe).

$f'(0)=-\dfrac{3}{5}$. Pour déterminer cette valeur, on prend deux points de la tangente à la courbe passant par le point d'abscisse $x=0$. Les points A\coord{0}{1} et B\coord{5}{-2} sont sur cette tangente. On calcule alors la pente de cette droite :
\[
f'(0)=\dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A}=\dfrac{-2-1}{5-0}=-\dfrac{3}{5}.
\]

\item $f(3,5)\approx3,5$ et $f'(3,5)\approx3,2$.

\item Le tableau de signes de la fonction $f'$ est le suivant:
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\node[inner sep = 0pt, outer sep = 0pt] (tab) {
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[color,colorV=corrigenumbg!10,colorL=corrigenumbg!10,colorC=corrigenumbg!10]{$x$/0.7,$f'$/0.7}{$-\infty$,${1,5}$,$+\infty$}
\tkzTabLine{,-,0,+}
\end{tikzpicture}};
\drawshadow{tab}{black}
\end{tikzpicture}
\end{center}
\end{enumerate}
\end{exocor}

%%%%

\newpage

\begin{exocor}{coefficients indéterminés}[2]
\begin{minipage}{\dimexpr\linewidth-70mm}
La courbe $\mathcal{C}$ ci-contre est celle d'une fonction $f$ telle que : 
\[ f(x)=ax^2+bx+c+\frac{d}{x^2+1}.\]
On sait :
\begin{itemize}
\item Condition $(1)$ : que les points $A\coord{-1}{0}$, $B\coord{0}{1}$, $C\coord{1}{2}$ appartiennent à $\mathcal{C}$ ;
\item Condition $(2)$ : l'axe des abscisses est tangente à $\mathcal{C}$ au point $A$.
\end{itemize}
\begin{enumerate}
\item Exprimez en fonction de $a$, $b$, $c$ et $d$ la dérivée $f'(x)$ de $f(x)$.

Quelle équation peut-on alors écrire à partir de la condition $(2)$ ?

\item écrivez, en fonction de $a$, $b$, $c$ et $d$, les trois équations que permet d'établir la condition~$(1)$.

\item Trouvez alors, à l'aide des quatre équations établies, la valeur de $a$, $b$, $c$ et $d$.
\end{enumerate}
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}{65mm}
\begin{tikzpicture}
\node[inner sep = 0pt, outer sep = 0pt, fill = white] (img) {
\begin{tikzpicture}[scale=0.9]
\draw[gray,dotted] (-4,-2) grid (3,6);
\draw[->,>=stealth'] (-4,0) -- (3,0);
\draw[->,>=stealth'] (0,-2) -- (0,6);
\clip (-4,-2) rectangle (3,6);
\draw[courbe] plot[domain=-4:3,samples=100] (\x,{\x*\x+\x-1+2/(\x*\x+1)});
\node[courbe] at (2.5,5.5) {$\mathcal{C}$};
\foreach \x in {-3,-2,-1,1,2}
{
	\draw (\x,.1) -- (\x,-.1) node[below] {$\x$};
}
\foreach \y in {-1,1,2,3,4,5}
{
	\draw (.1,\y) -- (-.1,\y) node[left] {$\y$};
}
\fill (1,2) circle (2pt) node[below right, outer sep = 3mm] {$C$};
\node[above,outer sep = 3mm] at (-1,0) {$A$};
\node[below right,outer sep = 1mm] at (0,1) {$B$};
\end{tikzpicture}};
\drawshadow{img}{black}
\end{tikzpicture}
\end{minipage}


\tcblower

\begin{enumerate}
\item $f'(x)=2ax+b-\dfrac{2dx}{\left(x^2+1\right)^2}$.

La condition $(2)$ permet d'écrire : $f'(-1)=0$, soit : \[ -2a+b+\frac{1}{2}d=0.\]
\item La condition $(1)$ permet d'écrire :

\begin{enumerate}
\item[$\blacktriangleright$] $A(-1;0)\in\mathcal{C}\Longrightarrow f(-1)=0 \Rightarrow a-b+c+\frac{1}{2}d=0$.
\item[$\blacktriangleright$] $B(0;1)\in\mathcal{C}\Longrightarrow f(0)=1 \Rightarrow c+d=1$.
\item[$\blacktriangleright$] $C(1;2)\in\mathcal{C}\Longrightarrow f(1)=2 \Rightarrow a+b+c+\frac{1}{2}d=2$.
\end{enumerate}

\item Nous avons alors le système suivant :
\[ 
\systeme{-2a+b+\frac{1}{2}d=0@E_{*},c+d=1,a-b+c+\frac{1}{2}d=0,a+b+c+\frac{1}{2}d=2}
\]
En faisant $(E_4)-(E_3)$, on arrive à l'équation : \[ (E_4)-(E_3)\quad :\quad 2b=2\]
Ainsi, \underline{$b=1$}, d'où le système suivant :
\[\systeme{-2a+\frac{1}{2}d=-1@E'_{*},c+d=1,a+c+\frac{1}{2}d=1} \]
En faisant $(E^\prime_3)-(E^\prime_2)$, on a :
\[ (E^\prime_3)-(E^\prime_2)\quad : \quad a-\frac{1}{2}d=0\]
Soit : \underline{$d=2a$}. L'équation $(E^\prime_1)$ est donc équivalente à :
\[-d+\frac{1}{2}d=-1 \]
Soit : $\underline{d=2}$ et donc $\underline{a=1}$.
L'équation $(E^\prime_2)$ donne alors : $c+2=1$, soit $\underline{c=-1}$.

\medskip

Finalement, on a : $\boxed{f(x)=x^2+x-1+\dfrac{2}{x^2+1}}$.
\end{enumerate}
\end{exocor}

%%%

\bigskip

\begin{exocor}{coefficients indéterminés}[2]
\begin{minipage}{\dimexpr\linewidth-70mm}
On a représenté ci-contre la courbe représentative $\mathcal{C}_f$ d'une fonction $f$ ainsi que deux de ses tangentes $\mathcal{T}_1$ et $\mathcal{T}_{-1}$.

On sait que $f(x)=ax^2+bx+c$.

\begin{enumerate}
\item Par lecture graphique, donner la valeur de $f(0)$.

En déduire la valeur de $c$.

\item Exprimer $f'(x)$ en fonction de $a$ et $b$.

\item Par lecture graphique, donner la valeur des nombres $f'(1)$ et $f'(-1)$.

En déduire les valeurs de $a$ et $b$.

\item Par lecture graphique, résoudre l'équation $f(x)=0$. 

Retrouver ce résultat par le calcul.
\end{enumerate}
%\vspace*{15mm}
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}{65mm}
\begin{tikzpicture}
\node[inner sep = 0pt, outer sep = 0pt, fill = white] (img) {
\begin{tikzpicture}[yscale=0.6,xscale=0.8]
\draw[gray!20] (-4,-2) grid (4,10);
%\draw (-4,-2) rectangle (4,10);
\clip (-4,-2) rectangle (4,10);
\draw[->,>=stealth'] (-4,0) -- (4,0);
\draw[->,>=stealth'] (0,-2) -- (0,10);
\draw[thick,courbe] plot[domain=-4:4,samples=70] (\x,{-\x*\x-\x+6});
\draw[green!50!black] plot[domain=-4:4] (\x,{-3*\x+7});
\node[below right,green!50!black] at (-.7,10) {$\mathcal{T}_1$};
\draw[cyan] plot[domain=-4:4] (\x,{\x+7});
\node[below right,violet] at (-4,3) {$\mathcal{T}_{-1}$};
\node[above right,courbe] at (-3,-2) {$\mathcal{C}_f$};
\draw (1,.2) -- (1,-.2) node[below] {1};
\draw (.1,1) -- (-.1,1) node[left] {1};
\end{tikzpicture}};
\drawshadow{img}{black}
\end{tikzpicture}
\end{minipage}



\tcblower

\begin{enumerate}
\item $f(0)=6$ car $\mathcal{C}_f$ coupe l'axe des ordonnées en un point d'ordonnée égale à 6.

De plus, $f(0)=a\times 0^2+b\times 0+c=c$. Donc $c=6$.

\item $f'(x)=2ax+b$.

\item $f'(1)=-3$ car le coefficient directeur de $\mathcal{T}_1$ est égal à $-3$.

$f'(-1)=1$ car le coefficient directeur de $\mathcal{T}_{-1}$ est égal à $1$.

$f'(1)=2a+b=-3$ et $f'(-1)=-2a+b=1$. D'où :
\[
\begin{cases}
2a+b=-3\\
-2a+b=1
\end{cases} \Longrightarrow (2a+b)+(-2a+b)=-3+1 \Longrightarrow 2b=-2 \Longrightarrow b=-1.
\]
alors,
\[
2a+b=-3 \Longrightarrow 2a+(-1)=-3 \Longrightarrow2a=-3+1=-2 \Longrightarrow a=-1.
\]

\item L'équation $f(x)=0$ admet pour solutions $-3$ et $2$. En effet, $\mathcal{C}_f$ coupe l'axe des abscisses en deux points d'abscisses respectives $-3$ et $2$.

$f(x)=-x^2-x+6$ donc son discriminant est :
\begin{align*}
\Delta & = b^2-4ac = (-1)^2-4\times(-1)\times 6 = 25,
\end{align*}
d'où deux racines :
\[
x_1 =\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{1-5}{-2}=\frac{-4}{-2}=2\quad\text{et}\quad x_2 =\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{1+5}{-2}=\frac{6}{-2}=-3.
\]
\end{enumerate}
\end{exocor}

\bigskip


\subsectionnn{Fonctions définies par morceaux}

%%%

\begin{exocor}{continuité en un point}[1]
Soit $f$ la fonction définie par :
\[
f(x)=\begin{cases}
(x-1)^2+3 & \text{ si }x \leqslant 1\\
x+2 & \text{ si } x>1
\end{cases}
\]

$f$ est-elle continue sur \R ? Justifier.

\tcblower

$f(x)=\begin{cases}
(x-1)^2+3 & \text{ si }x \leqslant 1\\
x+2 & \text{ si } x>1
\end{cases}$

\begin{itemize}
\item Sur $\intervOF{-\infty}{1}$, $f$ est une fonction polynôme de degré 2 donc continue;
\item sur $\intervOO{1}{+\infty}$, $f$ est une fonction affine donc continue;
\item de plus, $\limite[x<1]{x}{1}f(x)=(1-1)^2+3=3$ et $\limite[x>1]{x}{1}f(x)=1+2=3$, donc $f$ est continue en 1.
\end{itemize}
Ainsi, $f$ est continue sur \R.
\end{exocor}

%%%

\begin{exocor}{continuité en un point}[1]
On définit la fonction $g$ par :
\[
g(x)=\begin{cases}
x^2+3x-k & \text{si } x \leqslant 0\\
\e^x + 2 & \text{si } x > 0
\end{cases}
\]
Pour quelle valeur de $k$ la fonction $g$ est-elle continue sur \R ?

\tcblower

$g(x)=\begin{cases}
x^2+3x-k & \text{si } x \leqslant 0\\
\e^x + 2 & \text{si } x > 0
\end{cases}$

Sur $\intervFO{-\infty}{0}$ et sur $\intervOO{0}{+\infty}$, $g$ est continue comme fonction polynôme d'une part, et exponentielle d'autre part.

Pour que $g$ soit continue sur \R, il faut que $g$ soit continue en 0, c'est-à-dire que :
\[
\limite[x<0]{x}{0}\big(x^2+3x-k\big)=\limite[x>0]{x}{0}\big(\e^x+2\big),
\]
soit quand :
\[
-k=\e^0+2\qquad\text{donc}\qquad \boxed{k=-3}
\]
\end{exocor}

%%%

\begin{exocor}{racine carrée et cosinus}[1]
On considère la fonction $f$ définie par :
\[
f(x)=
\begin{cases}
\sqrt{1-x^2} & si\quad -1 \leqslant x \leqslant 0\\
\cos(x) & si\quad 0 < x \leqslant\dfrac{\pi}{2}
\end{cases}
\]
$f$ est-elle continue en 0 ?

\tcblower

$\limite{x}{0}{\left(\sqrt{1-x^2}\right)}=\sqrt{1-0^2}=1$;

$\limite{x}{0}{\cos(x)}=\cos(0)=1$.

Les deux limites (à droite et à gauche de zéro) sont égales, donc $f$ est continue en 0.
\end{exocor}

%%%

\begin{exocor}{continuité en un point}[2]
On considère la fonction $f$ définie sur $\mathcal{D}=\intervOO{-\infty}{0}\cup\intervOF{0}{4}$ par :
\[ 
\left\lbrace
\begin{array}{l}
f(x)=\dfrac{x-2}{\sqrt{4-x}-2}\\
f(2)=0
\end{array}
\right.
\]
\begin{enumerate}
\item La fonction $f$ est-elle continue en 0 ?
\item La fonction $f$ est-elle continue en 2 ?
\end{enumerate}

\tcblower

\begin{enumerate}
\item Calculons \limite{x}{0}{f(x)}. Pour cela, on écrit :
\begin{align*}
f(x) & = \dfrac{x-2}{\sqrt{4-x}-2}\times\dfrac{\sqrt{4-x}+2}{\sqrt{4-x}+2}\\
& = \dfrac{(x-2)\left(\sqrt{4-x}+2\right)}{4-x-4}\\
& = \dfrac{(x-2)\left(\sqrt{4-x}+2\right)}{-x}
\end{align*}

\medskip

$\left.\begin{array}{r}
\limite{x}{0}{\left[(x-2)\left(\sqrt{4-x}+2\right)\right]}=-8\\
\limite[x>0]{x}{0}{(-x)}=0^-
\end{array}\right\}\Rightarrow \text{(par quotient) }\limite[x>0]{x}{0}{f(x)}=+\infty$

\medskip

$\left.\begin{array}{r}
\limite{x}{0}{\left[(x-2)\left(\sqrt{4-x}+2\right)\right]}=-8\\
\limite[x<0]{x}{0}{(-x)}=0^+
\end{array}\right\}\Rightarrow \text{(par quotient) }\limite[x<0]{x}{0}{f(x)}=-\infty$

\medskip

$\limite[x<0]{x}{0}{f(x)}\neq\limite[x>0]{x}{0}{f(x)}$ donc $f$ n'est pas continue en 0.

\item Calculons \limite{x}{2}{f(x)}.

\medskip

$\left.\begin{array}{l}
\limite{x}{2}{(x-2)\left(\sqrt{4-x}+2\right)}=0^-\\
\limite{x}{2}{(-x)}=-2
\end{array}\right\rbrace\Rightarrow\text{ (par quotient) }\limite{x}{2}{f(x)}=0$

\medskip

Ainsi, $f(2)=\limite{x}{2}{f(x)}$.

\medskip

La fonction $f$ est donc continue en 0.
\end{enumerate}
\end{exocor}

%%%

\begin{exocor}{continuité en un point}[2]
On considère la fonction $f$ définie par :
\[ 
\left\lbrace
\begin{array}{ll}
f(x)=\dfrac{\sqrt{x^2+x+2}-2}{x-1} & \text{si } x\neq1\\
f(1)=\dfrac{3}{4}
\end{array}
\right.
\]
$f$ est-elle continue en 1 ?

\tcblower

$\begin{aligned}[t]
f(x) & = \dfrac{\sqrt{x^2+x+2}-2}{x-1}\times\dfrac{\sqrt{x^2+x+2}+2}{\sqrt{x^2+x+2}+2}\\
& = \dfrac{x^2+x-2}{(x-1)\left(\sqrt{x^2+x+2}+2\right)}
\end{aligned}$

$\begin{aligned}[t]
f(x) & = \dfrac{(x-1)(x+2)}{(x-1)\left(\sqrt{x^2+x+2}+2\right)}\\
&= \dfrac{x+2}{\sqrt{x^2+x+2}+2} \quad\text{si }x\neq1
\end{aligned}$

\medskip

Ainsi, $\limite{x}{1}{f(x)}=\dfrac{3}{4}=f(1)$. Donc $f$ est continue en 1.
\end{exocor}

%%%

\bigskip

\subsectionnn{Théorème des valeurs intermédiaires}

%%%

\begin{exocor}{polynôme de degré 3}[1]
Montrer que l'équation $3x^3-5x+1=0$ admet trois solutions réelles dont on donnera une valeur approchée à 0,001 près.

\tcblower

Posons $f(x)=3x^3-5x+1$.
\begin{itemize}
\item $\limite{x}{-\infty}{f(x)}=-\infty$.

$\limite{x}{+\infty}{f(x)}=+\infty$.

\item $f'(x)=9x^2-5$ d'où le tableau de variation suivant :
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\node[inner sep = 0pt, outer sep = 0pt] (tab) {
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[color,colorL=corrigenumbg!10,colorC=corrigenumbg!10,colorV=corrigenumbg!10]{$x$/1.3,$f'(x)$/0.7,$f$/1.5}{$-\infty$,$-\dfrac{\sqrt5}{3}$,$\dfrac{\sqrt5}{3}$,$+\infty$}
\tkzTabLine{,+,z,-,z,+}
\tkzTabVar{-/$-\infty$,+/${3,48}$,-/$-{1,48}$,+/$+\infty$}
\end{tikzpicture}};
\drawshadow{tab}{black}
\end{tikzpicture}
\end{center}
\[
f\left(-\dfrac{\sqrt5}{3}\right)\approx3,48\qquad ; \qquad f\left(\dfrac{\sqrt5}{3}\right)\approx-1,48.
\]
\item Notons $I_1=\intervOO{-\infty}{-\dfrac{\sqrt5}{3}}$, $I_2=\intervOO{-\dfrac{\sqrt5}{3}}{\dfrac{\sqrt5}{3}}$ et $I_3=\intervOO{\dfrac{\sqrt5}{3}}{+\infty}$.

$f$ est continue et strictement monotone sur $I_k$, $k=1,\ 2,\ 3$.

De plus, d'après les variations de $f$, $0\in f(I_k)$, $k=1,\ 2,\ 3$.

\medskip

Ainsi, d'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires appliqué sur chacun des intervalles $I_k$, $k=1,\ 2,\ 3$, l'équation $f(x)=0$ admet une unique solution que chacun d'eux.

Donc l'équation $f(x)=0$ admet trois solutions réelles :
\begin{itemize}
\item $\alpha\approx-1,381$;
\item $\beta\approx0,205$;
\item $\gamma\approx1,176$.
\end{itemize}
\end{itemize}
\end{exocor}

%%%

\begin{exocor}{avec une exponentielle}[1]
On considère la fonction $f$ définie sur \intervFF{-2}{1} par: $f(x) = x\e^{-x}+2$.
\begin{enumerate}
\item Montrer que $f'(x)=(1-x)\e^{-x}$.
\item En déduire les variations de $f$.
\item Montrer que l'équation $f(x)=0$ admet une unique solution $\alpha$.\\ Donner alors une valeur approchée de $\alpha$ au centième.
\end{enumerate}

\tcblower

\begin{enumerate}
\item $f$ est de la forme $u \times v$ avec:
\[ 
u(x) = x,\quad u'(x) = 1\qquad;\qquad v(x)=\e^{-x},\quad v'(x) = -\e^{-x}.
\]
\begin{align*}
\text{D'où:}\qquad f'(x) & =( u'v + v'u)(x)\\
      & = 1 \times \e^{-x} + \big(\e^{-x}\big) \times x\\
\Aboxed{f'(x) & = (1 - x)\e^{-x}}
\end{align*}

\item $\e^{-x}>0$ pour tout réel $x$ donc $f'(x)$ est du signe de $1-x$, c'est-à-dire positif sur \intervFF{-2}{1} (intervalle où est définie notre fonction $f$).

Par conséquent, $f$ est strictement croissante sur \intervFF{-2}{1}.

\newpage

\item Sur \intervFF{-2}{1},
\begin{itemize}
\item $f$ est continue (comme produit de deux fonctions continues) et strictement croissante;
\item $f(-2)=-2\e^2+2\approx-12,8 < 0$ et $f(1)=e^{-1}+2 > 0$; ainsi, 0 est une valeur intermédiaire entre $f(-2)$ et $f(1)$.
\end{itemize}
Ainsi, d'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, il existe une unique valeur $\alpha\in\intervFF{-2}{1}$ telle que $f(\alpha)=0$.

À l'aide de la calculatrice, on trouve $\alpha\approx-0,85$ (il suffit de dresser un tableau de valeurs de $f(x)$ sur \intervFF{-2}{1} avec un pas de 0,01 pour $x$).
\end{enumerate}
\end{exocor}

%%%

\begin{exocor}{taux de médicament dans le sang}[1]
On injecte par voie intraveineuse un médicament. 

Le taux du produit dans le sang est modélisé par la fonction:
\[
f(t)=(1-0,02t)\e^{-0,2t}\qquad,\qquad t \in \intervFF{0}{50}.
\]
où $t$ représente le temps après injection, exprimé en heures.
\begin{enumerate}
\item Montrer que $f$ est strictement décroissante sur \intervFO{0}{50}.
\item Montrer que l'équation $f(t)=0,5$ admet une unique solution sur \intervFF{0}{50}. En Donner alors une valeur approchée au dixième. Interpréter ce résultat.
\end{enumerate}

\tcblower

\begin{enumerate}
\item $f$ est de la forme $u \times v$ avec:

$u(t) = 1-0,02t$, $u'(t)=-0,02$, $v(t)=\e^{-0,2t}$, $v'(t)=-0,2\e^{-0,2t}$.
\begin{align*}
f'(t) & = (u'v+v'u)(t)\\
& = -0,02\e^{-0,2t} -0,2(1-0,02t)\e^{-0,2t}\\
& = \big[-0,02 - 0,2(1-0,02)t\big]\e^{-0,2t}\\
& = (0,004t-0,22)\e^{-0,2t}.
\end{align*}
$\e^{-0,2t}>0$ pour tout réel $t$ donc $f'(t)$ est du signe de $0,004t-0,22$.
\[
0,004t-0,22 > 0 \iff t > \dfrac{0,22}{0,004} \iff t > 55.
\]
Ainsi, $f'(t) < 0$ sur \intervFF{0}{50}. La fonction $f$ est donc strictement décroissante sur cet intervalle.

\item Sur \intervFF{0}{50},
\begin{itemize}
\item $f$ est continue et strictement décroissante;
\item $f(0)=0$ et $f(50)=0$ donc $0,5$ est une valeur intermédiaire entre $f(0)$ et $f(50)$.
\end{itemize}
Par conséquent, d'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, il existe une unique valeur $\alpha\in\intervFF{0}{50}$ telle que $f(\alpha)=0,5$.

À l'aide de la calculatrice, on trouve $\alpha \approx 3,1$.

Cela signifie qu'au bout de 3,1 h, soit 3 heures 06 min, le taux du médicament dans le sang sera de 0,5.
\end{enumerate}
\end{exocor}

%%%


\begin{exocor}{démonstration}[2]
Soit $f$ une fonction continue sur \intervFF{0}{1} telle que $f(0)=1$ et $f(1)=0$.

En considérant la fonction $g$ définie par $g(x) = f(x)-x$, montrer que l'équation $f(x)=x$ admet au moins une solution sur \intervFF{0}{1}.

\tcblower

Posons $g(x)=f(x)-x$. 
\begin{itemize}
\item $g(0)=f(0)-0=1-0=1>0$;
\item $g(1)=f(1)-1=0-1=-1<0$;
\item $g$ est continue (car c'est la somme de deux fonctions continues) sur \intervFF{0}{1}.
\end{itemize}

Ainsi, d'après le théorème des valeurs intermédiaires, l'équation $g(x)=0$ admet au moins une solution sur \intervFF{0}{1}, ce qui signifie qu'il en est de même pour l'équation $f(x)=x$ car $g(x)=0 \iff f(x)=x$.
\vspace*{5cm}
\end{exocor}

%%%

\begin{exocor}{approximation d'une fonction par une autre}[2]
\partie{A}

On considère la fonction $u$ définie sur \intervFF{0}{\frac{1}{2}} par:
\[
u(x)=1+(x-1)\sqrt{1+x}.
\]
\begin{enumerate}
\item Montrer que $u'(x)=\dfrac{3x+1}{2\sqrt{1+x}}$.
\item En déduire les variations de $u$, puis le signe de $u(x)$ sur \intervFF{0}{\frac{1}{2}}.
\end{enumerate}

\bigskip

\partie{B}

On considère les fonctions $f$ et $g$ définies sur \intervFF{0}{\frac{1}{2}} par:
\[
f(x)=\sqrt{1+x} \qquad ; \qquad g(x)=1+\frac{1}{2}x-\frac{1}{4}x^2.
\]
On considère alors la fonction $d$ définie sur \intervFF{0}{1} par:
\[
d(x)=f(x)-g(x)
\]
\begin{enumerate}
\item Montrer que $d'(x)=\dfrac{u(x)}{2\sqrt{1+x}}$.
\item En déduire les variations de $d$ sur \intervFF{0}{\frac{1}{2}}. 

Dresser un tableau de variations complet. 

\item Pour $x\in\intervFF{0}{\frac{1}{2}}$, majorer l'erreur commise en approximant $f(x)$ par $g(x)$.

\item Proposer une méthode sans calculatrice pour approximer $\sqrt{4,5}$.
\end{enumerate}

\tcblower

\medskip

\partie{A}
\begin{enumerate}
\item $\begin{aligned}[t]
u'(x) & = 1 \times \sqrt{1+x} + (x-1)\times\dfrac{1}{2\sqrt{1+x}}\\
& = \sqrt{1+x} + \dfrac{x-1}{2\sqrt{1+x}}\\
& = \dfrac{\big( \sqrt{1+x} \times 2\sqrt{1+x}\big) +x-1}{2\sqrt{1+x}}\\
& = \dfrac{2(1+x)+x-1}{2\sqrt{1+x}}\\
& = \dfrac{2+2x+x-1}{2\sqrt{1+x}}\\
& = \boxed{\dfrac{3x+1}{2\sqrt{1+x}}}
\end{aligned}$

\item Sur \intervFF{0}{\frac{1}{2}}, $3x+1)>0$ donc $u$ est strictement croissante.

De plus, $u(0) = 1 + (0-1)\sqrt{1+0} = 1 - 1 = 0$.

On en déduit alors que $u(x) \geqslant 0$ sur \intervFF{0}{\frac{1}{2}}.
\end{enumerate}

\bigskip

\partie{B}

\begin{enumerate}
\item $\begin{aligned}[t]
d'(x) & = f'(x) - g'(x)\\
& = \dfrac{1}{2\sqrt{1+x}} - \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2}x\\
& = \dfrac{1}{2\sqrt{1+x}} - \dfrac{\sqrt{1+x}}{2\sqrt{1+x}} + \dfrac{x\sqrt{1+x}}{2\sqrt{1+x}}\\ 
& = \dfrac{1-\sqrt{1+x}+x\sqrt{1+x}}{2\sqrt{1+x}}\\
& = \dfrac{1+(x-1)\sqrt{1+x}}{2\sqrt{1+x}}\\
& = \boxed{\dfrac{d(x)}{2\sqrt{1+x}}}
\end{aligned}$

\item $d'(x)$ est du signe de $d(x)$ sur \intervFF{0}{\frac{1}{2}} car $2\sqrt{1+x}>0$.

D'après la partie A, $d(x) \geqslant 0$ sur \intervFF{0}{\frac{1}{2}} donc $d'(x) \geqslant 0$.

Ainsi, $d$ est croissante sur \intervFF{0}{\frac{1}{2}}.

\medskip

On a : $d(0) = f(0) - g(0) = 1 - 1 = 0$ et $d\left(\dfrac12\right) = f\left(\dfrac{1}{2}\right)-g\left(\dfrac{1}{2}\right)=\sqrt{\dfrac{3}{2}}-\dfrac{19}{16}$.

On a le tableau suivant:

\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit%
[deltacl=1,color,colorL=corrigenumbg!10,colorC=corrigenumbg!10,colorV=corrigenumbg!10]%
{$x$/0.5,$f(x)$/1.5}{0,1}
\tkzTabVar{-/0,+/{$\sqrt{\tfrac{3}{2}}-\tfrac{19}{16}$}}
\end{tikzpicture}
\end{center}

\item Les variations de $d$ nous suggèrent qu'en approximant $f(x)$ par $g(x)$ pour $x\in\intervFF{0}{\dfrac{1}{2}}$, l'erreur commise est inférieure ou égale à $\sqrt{\dfrac{3}{2}}-\dfrac{19}{16}$, soit inférieure à 0,04.

\item $\begin{aligned}[t]
\sqrt{4,5} & = \sqrt{4+0,5}\\
& = \sqrt{4\left( 1+\dfrac{0,5}{4} \right)}\\
& = \sqrt4 \times \sqrt{1+\dfrac{1}{8}}\\
& = 2\sqrt{1+\dfrac{1}{8}}\\
& = 2f\left(\dfrac{1}{8}\right)\\
& \approx 2g\left(\dfrac{1}{8}\right)\\
& \approx 2 \times \left[ 1 + \dfrac{1}{2}\times\dfrac{1}{8} - \dfrac{1}{4}\times\dfrac{1}{8^2} \right]\\
& \approx2 + \dfrac{1}{8} - \dfrac{1}{128}\qquad\textcolor{red}{\rightarrow\quad-\dfrac{1}{128}=\dfrac{0,5}{64}=\dfrac{0,25}{32}=\cdots=0,0078125}\\
& \approx 2 + 0,125 - 0,0078125\\
& \approx 2,117.
\end{aligned}$

\medskip

À la calculatrice, on trouve $\sqrt{4,5}\approx2,121$. La marge d'erreur est alors d'environ 0,004 avec la valeur trouvée avec $g$. 
\end{enumerate}
\end{exocor}

%%%

\begin{exocor}{dilution d'un produit dans le sang}[2]
Une entreprise pharmaceutique étudie la dilution dans le sang d'un nouveau produit. Après observations, elle modélise le taux de  présence dans le sang de ce produit à l'aide de la fonction $f$ définie par:
\[
f(t)=1,5(t+1)\e^{-t}-0,5
\]
où $t$ est le temps, exprimé en heures, écoulé depuis son injection.

Ainsi, $f(0)=1$ signifie que \pourcent{100} du produit est initialement présent dans le sang.

\begin{enumerate}
\item Quel est, en pourcentage, le taux de présence de ce produit après 1 heure ?
\item Montrer que la dérivée de $f(t)$ peut s'exprimer sous la forme : $f'(t)=-1,5t\e^{-t}$.
\item Quel est le sens de variation de $f$ sur \intervFO{0}{+\infty} ?
\item Calculer $\limite{t}{+\infty}{f(t)}$.
\item Montrer que l'équation $f(t)=0$ admet une unique solution $\alpha$ sur \intervFO{0}{+\infty}. Donner alors une valeur approchée de $\alpha$ au centième. 

Interpréter ce résultat dans le contexte de cet exercice.

\item On admet que la dérivée seconde de $f$ est:
\[
f''(t)=1,5(t-1)\e^{-t}.
\]
Déterminer à quel moment la vitesse de dilution du produit commence à diminuer.
\end{enumerate}

\tcblower

\begin{enumerate}
\item Le taux de présence de ce produit après 1 heure correspond à:
\[
f(1) = 1,5\times2\times\e^{-1}-0,5 \approx 0,6036.
\]
Le produit injecté est donc présent dans le sang à environ \pourcent{60,36} après une heure.

\item $f$ est de la forme $u \times v$ donc $f'=u'v+uv'$, avec :
\begin{align*}
u(t) = 1,5(t+1) & \qquad & v(t)=\e^{-t}\\
u'(t)=1,5 & \qquad & v(t)=-\e^{-t}
\end{align*}

Ainsi,
\begin{align*}
f'(t) & = 1,5\e^{-t} + 1,5(t+1)\big(-\e^{-t}\big)\\
& = \big[1,5 + (1,5t+1,5)(-1)\big]\e^{-t}\\
\Aboxed{f'(t) & = -1,5t\e^{-t}}
\end{align*}

\item Pour $t \in \intervFO{0}{+\infty}$, $-1,5t\leqslant0$ et $\e^{-t}>0$, donc $f'(t) \leqslant0$.

$f$ est donc décroissante sur $\intervFO{0}{+\infty}$.

\item Nous avons:
\begin{itemize}
\item $\limite{t}{+\infty}{1,5(t+1)} = +\infty$;
\item $\limite{t}{+\infty}{\e^{-t}}=0$.
\end{itemize}
Ainsi, $\limite{t}{+\infty}{1,5(t+1)\e^{-t}}$ est une forme indéterminée du type \og $\infty \times 0$ \fg{} ; il nous faut donc exprimer $f(t)$ différemment pour lever cette indétermination.
\begin{align*}
f(t) & = 1,5\dfrac{t}{\e^t} + 1,5\e^{-t} - 0,5.
\end{align*}
Or, $\limite{t}{+\infty}{\dfrac{t}{\e^t}}=0$ (cours: croissances comparées) et $\limite{t}{+\infty}{\e^{-t}}=0$ donc, par somme:
\[
\boxed{ \limite{t}{+\infty}{f(t)}=-0,5 }
\]

\item Sur \intervFO{0}{+\infty}, $f$ est continue et décroissante.

De plus $f(0)=1$, $\limite{t}{+\infty}{f(t)}=-0,5$, et  $0\in\intervOF{-0,5}{1}$.

Ainsi, d'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l'équation $f(t)=0$ admet une unique solution $\alpha$ sur  \intervFO{0}{+\infty}.

À l'aide de la calculatrice, on trouve $\alpha\approx2,29$.

\textit{Cela signifie qu'après 2,29 h, soit après 2 heures 17 min 24 s, le produit aura théoriquement totalement disparu du sang.}

\item $t-1\geqslant0 \iff t \geqslant 1$ et $1,5\e^{-t}>0$. Ainsi, 
\begin{itemize}
\item $f''(t) \leqslant 0$, donc $f$ est concave, sur \intervFF{0}{1};
\item $f''(t) \geqslant 0$, donc $f$ est convexe, sur \intervFO{1}{+\infty};
\end{itemize}

Par conséquent, la courbe représentative de $f$ admet un point d'inflexion de coordonnées \coord{1}{f(1)}. 

La vitesse de dilution du produit correspond à la dérivée $f'(t)$, et cette vitesse diminue quand la fonction passe de concave à convexe.

Ainsi, la vitesse de dilution du produit commence à diminuer à partir d'une heure après son injection.
\end{enumerate}

\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\node[inner sep = 0pt, outer sep = 0pt, fill = white] (img) {
\begin{tikzpicture}[xscale=4,yscale=4, every node/.style={outer sep = 2mm}]
\draw[gray,dashed] (0,-0.2) grid[xstep=0.1,ystep=0.1] (3,1);
\draw[thick,->,>=stealth'] (0,0) -- (3,0);
\draw[thick,->,>=stealth'] (0,-0.2) -- (0,1.2);
\draw[very thick,color=courbe] plot[domain=0:3,samples=100] (\x,{1.5*(\x+1)*exp(-\x)-0.5});
\fill[red] (1,{3*exp(-1)-0.5}) circle (0.5pt);
\draw[thick] (1,0.05) -- (1,-0.05) node[below] {1};
\draw[thick] (2,0.05) -- (2,-0.05) node[below] {2};
\draw[thick] (0,1) -- (0.05,1) node[right] {1};
\end{tikzpicture}};
\drawshadow{img}{black}
\end{tikzpicture}
\end{center}
\end{exocor}

%%%

\begin{exocor}{}[2]
On considère les fonctions $f$ et $g$ définies sur \R{} par :
\[ f(x)=\sqrt{x^2+1}-2x \qquad ; \qquad g(x)=\dfrac{x}{\sqrt{x^2+1}}.\]

\begin{enumerate}
\item Montrer que $g'(x)=\dfrac{1}{(x^2+1)\sqrt{x^2+1}}$.

En déduire le sens de variations de $g$ sur \R.

\item Calculer \limite{x}{-\infty}{g(x)} et \limite{x}{+\infty}{g(x)}.

\item Montrer que $f'(x)=g(x)-2$.

En déduire le signe de $f'(x)$ puis les variations de $f$ sur \R.
\item Monter que l'équation $f(x)=0$ admet une unique solution $\alpha$ sur \intervFF{0}{1}, puis déterminer une valeur approchée de $\alpha$ à $10^{-2}$ près.
\end{enumerate}

\tcblower

\begin{enumerate}
\item %$g$ est de la forme $\dfrac{u}{v}$, avec $u(x)=x$ et $v(x)=\sqrt{x^2+1}$.
$g'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}$, avec $u'(x)=1$ et $v'(x)=\dfrac{2x}{2\sqrt{x^2+1}}=\dfrac{x}{\sqrt{x^2+1}}$.
\begin{align*}
g'(x) & = \dfrac{1\times\sqrt{x^2+1}-x\times\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}}{\sqrt{x^2+1}^2}\\
& = \dfrac{\sqrt{x^2+1}-\dfrac{x^2}{\sqrt{x^2+1}}}{x^2+1}\\
& = \dfrac{\frac{\left(\sqrt{x^2+1}\right)^2-x^2}{\sqrt{x^2+1}}}{x^2+1}\\
\Aboxed{g'(x) & = \dfrac{1}{(x^2+1)\sqrt{x^2+1}}}
\end{align*}

$(x^2+1)>0$ et $\sqrt{x^2+1}>0$ donc $g'(x)>0$ sur \R.

Ainsi, $g$ est strictement croissante sur \R.

\item Notons que la fonction $g$ est impaire car $g(-x)=g(x)$ et que son domaine de définition est centré en 0. Donc $\limite{x}{-\infty}{g(x)}=-\limite{x}{+\infty}{g(x)}$.

On peut écrire :
\begin{align*}
g(x) & = \dfrac{x}{\sqrt{x^2\left(1+\frac{1}{x^2}\right)}}\quad\text{pour }x\neq0\\
& = \dfrac{x}{|x|\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}}\\
& = \dfrac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}}\qquad\text{pour }x>0.
\end{align*}

Or, $\limite{x}{+\infty}{\dfrac{1}{x^2}}=0$ donc $\limite{x}{+\infty}{\sqrt{1+\dfrac{1}{x^2}}}=\sqrt{1}=1$.

Par conséquent, $\limite{x}{+\infty}{g(x)}=1$ et donc $\limite{x}{-\infty}{g(x)}=-1$.

\item $\begin{aligned}[t]
f'(x) & = \dfrac{2x}{2\sqrt{x^2+1}}-2\\
& = \dfrac{x}{\sqrt{x^2+1}}-2\\
f'(x) & = g'(x)-2.
\end{aligned}$

Nous avons dit que $g$ était strictement croissante sur \R{} et que $\limite{x}{+\infty}{g(x)}=1$. 

Donc $g(x)<1$ sur \R.

Par conséquent, $g(x)-2<0$ sur \R, donc $f'(x)<0$ sur \R.

$f$ est donc strictement décroissante sur \R.

\item $f(0)=1$ et $f(1)=\sqrt{2}-2<0$.

Or, $f$ est strictement décroissante et continue sur \intervFF{0}{1}. Donc, d'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l'équation $f(x)=0$ admet une unique solution $\alpha$ sur \intervFF{0}{1}. On trouve $\alpha\approx0,58$.
\end{enumerate}
\end{exocor}

%%%

\begin{exocor}{}[2]
On considère la fonction $f$ définie par :
\[
f(x)=\dfrac{\e^x + \e^{-x}}{x}.
\]

\begin{enumerate}
\item Montrer que pour tout réel $x$ non nul, $f(-x)=-f(x)$.
\end{enumerate}

On se place alors sur l'intervalle \intervOO{0}{+\infty}.

\begin{enumerate}[start=2]
\item Calculer la limite de $f$ en $+\infty$.

\item En vous aidant de l'égalité : $\limite{x}{0}\left(\dfrac{\e^x-1}{x}\right)=1$, déterminer la limite de $f$ en 0.

\item Montrer que la dérivée de $f$ est : $f'(x)=\dfrac{(x-1)\e^{2x}-x-1}{x^2\e^x}$.

\item On pose $u(x)=(x-1)\e^{2x}-x-1$.
\begin{enumerate}
\item Montrer que $u''(x)=4x\e^{2x}$.
\item En déduire que l'équation $u'(x)=0$ admet une unique solution $\alpha$ sur \intervFO{0}{+\infty}.
\item En déduire les variations de $u$ sur \intervFO{0}{+\infty}, puis que l'équation $u(x)=0$ admet une unique solution sur \intervFO{0}{+\infty}.
\end{enumerate}
\item Déduire de ce qui précède le sens de variations de $f$ sur \intervOO{0}{+\infty}.
\end{enumerate}

\tcblower

\begin{enumerate}
\item $\begin{aligned}[t]
f(-x) & = \dfrac{\e^{-x} + \e^x}{-x}\\
& = -\dfrac{\e^x + \e^{-x}}{x}\\
& = f(x).
\end{aligned}$

\begin{rem}
Cela signifie que la courbe représentative de $f$ est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées, ce qui justifie que l'on étudie $f$ uniquement sur \intervOO{0}{+\infty} par la suite.
\end{rem}

\item $f(x)=\dfrac{\e^x}{x} + \dfrac{\e^{-x}}{x}$.

Or, 
\[
\limite{x}{+\infty}\left(\dfrac{\e^x}{x}\right)=+\infty
\]
et
\[
\limite{x}{+\infty}\left(\dfrac{\e^{-x}}{x}\right)=\limite{x}{+\infty}\left(\dfrac{1}{x\e^x}\right)=0.
\]
Par conséquent,
\[
\boxed{\limite{x}{+\infty}f(x)=+\infty}
\]

\item On peut écrire pour tout réel $x$ non nul:
\[
f(x)  = \dfrac{\e^x-1}{x}+\dfrac{1+\e^{-x}}{x}.
\]
Or, $\limite{x}{0}\left(\dfrac{\e^x-1}{x}\right)=1$ et $\limite[x>0]{x}{0}\left(\dfrac{1+\e^{-x}}{x}\right)=\limite[x>0]{x}{0}\left(\dfrac{2}{x}\right)=+\infty$.

Ainsi, par somme, 
\[
\boxed{\limite[x>0]{x}{0}f(x)=+\infty}
\]


\item $f(x)=\dfrac{u(x)}{v(x)}$ avec :

\begin{multicols}{2}
$u(x) = \e^x + \e^{-x}$

$u'(x) = \e^x - \e^{-x}$

\columnbreak

$v(x)=x$

$v'(x)=1$
\end{multicols}

Donc :
\begin{align*}
f'(x) & = \dfrac{u'v - v'u}{v^2}(x)\\
& = \dfrac{x\big(\e^x - \e^{-x}\big) - \big(\e^x + \e^{-x}\big)}{x^2}\\
& = \dfrac{x\e^x - x\e^{-x} - \e^x - \e^{-x}}{x^2}\textcolor{red}{\times\dfrac{\e^{x}}{\e^x}}\\
& = \dfrac{x\e^{2x}-x-\e^{2x}-1}{x^2\e^x}\\
\Aboxed{f'(x) & = \dfrac{(x-1)\e^{2x}-x-1}{x^2\e^x}}
\end{align*}

\item
\begin{enumerate}
\item $u'(x)=\e^{2x} + 2(x-1)\e^{2x}-1 = (2x-1)\e^{2x}-1$.

Par suite, on trouve $u''(x)=2\e^{2x}+2(2x-1)\e^{2x}=4x\e^{2x}$.

\item Sur \intervFO{0}{+\infty}, $u''(x)\geqslant0$ donc $u'$ est strictement croissante.

De plus, $u'(0)=-2$ et $\limite{x}{+\infty}u'(x)=+\infty$.

$u'$ étant continue, d'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l'équation $u'(x)=0$ admet une unique solution $\alpha$ sur \intervFO{0}{+\infty}.
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\node[inner sep = 0pt, outer sep = 0pt] (tab) {
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[color,colorL=corrigenumbg!10,colorV=corrigenumbg!10,colorC=corrigenumbg!10]{$x$/0.5,$u'(x)$/1.5}{0,$+\infty$}
\tkzTabVar{-/$-2$,+/$+\infty$}
\tkzTabVal{1}{2}{0.5}{$\alpha$}{0}
\end{tikzpicture}};
\drawshadow{tab}{black}
\end{tikzpicture}
\end{center}

À la calculatrice, on trouve : $\alpha\approx0,639$.

\item On déduit de la question précédente le tableau suivant:

\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\node[inner sep = 0pt, outer sep = 0pt] (tab) {
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[color,colorL=corrigenumbg!10,colorV=corrigenumbg!10,colorC=corrigenumbg!10]{$x$/0.5,$u'(x)$/0.5,$u(x)$/1}{0,$\alpha$,$+\infty$}
\tkzTabLine{,-,z,+}
\tkzTabVar{+/$-2$,-/$u(\alpha)$,+/$+\infty$}
\end{tikzpicture}};
\drawshadow{tab}{black}
\end{tikzpicture}
\end{center}

\begin{itemize}
\item $u(\alpha)\approx-2,9$.
\item $u(x)=x\left[ \dfrac{x-1}{x}\e^{2x} - 1 - \dfrac{1}{x} \right]$.

De plus, 
\[
\left.\begin{array}{r}\left.\begin{array}{r}\limite{x}{+\infty}\left(\dfrac{x-1}{x}\right)=1\\\limite{x}{+\infty}\big(\e^{2x}\big)=+\infty\end{array}\right\rbrace\Rightarrow \limite{x}{+\infty}\left( \dfrac{x-1}{x}\e^{2x} \right)=+\infty \\ \limite{x}{+\infty}\left(-1-\dfrac{1}{x}\right)=-1\end{array}\right\rbrace\Rightarrow\limite{x}{+\infty}u(x)=+\infty.
\]
\end{itemize}

$u$ étant continue sur \intervOO{\alpha}{+\infty}, d'après le corolaire du théorème des valeurs intermédiaires, il existe une unique solution $\beta$ à l'équation $u(x)=0$ sur cet intervalle.

\`A la calculatrice, on trouve $\beta\approx1,2$.
\end{enumerate}

\item $f'(x)$ est du signe de $u(x)$ donc:

\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\node[inner sep = 0pt, outer sep = 0pt] (tab) {
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[color,colorL=corrigenumbg!10,colorV=corrigenumbg!10,colorC=corrigenumbg!10]{$x$/0.5,$f'(x)$/0.5,$f(x)$/1}{0,$\beta$,$+\infty$}
\tkzTabLine{,-,z,+}
\tkzTabVar{+/,-/,+/}
\end{tikzpicture}};
\drawshadow{tab}{black}
\end{tikzpicture}
\end{center}
\end{enumerate}
\end{exocor}


\bigskip

\subsectionnn{Théorème du point fixe}

%%%

\begin{exocor}{étude de fonction et suites}[2]
\partie{A}

On considère la fonction $f$ définie sur $\R*$ par:
\[
f(x) = x - \e^{\frac{1}{x}}.
\]

\begin{enumerate}
\item Calculer:
\begin{enumerate}
\begin{multicols}{4}
\item \limite{x}{-\infty}{f(x)}
\item \limite{x}{+\infty}{f(x)}
\item \limite[x<0]{x}{0}{f(x)}
\item \limite[x>0]{x}{0}{f(x)}
\end{multicols}
\end{enumerate}

\item Montrer que $f$ est strictement croissante sur $\intervOO{-\infty}{0}$ et sur \intervOO{0}{+\infty}.

\item Montrer que l'équation $f(x)=0$ admet une unique solution, notée $\alpha$, sur \intervOO{0}{+\infty}.

Donner une valeur approchée de $\alpha$ à $10^{-2}$ près.
\end{enumerate}

\partie{B}

On considère la suite \suite{u}{n}{n\in\N} telle que:
\[
\begin{cases}
u_0 = 3\\
u_{n+1} = \e^{\frac{1}{u_n}}
\end{cases}
\]
On admet que la suite converge.

\medskip

Montrer que $\limite{n}{+\infty}{u_n}=\alpha$, où $\alpha$ est la valeur trouvée dans la partie A. 

\tcblower

\bigskip

\partie{A}
\begin{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item $\limite{x}{-\infty}{\left(\dfrac{1}{x}\right)}=0$ donc $\limite{x}{-\infty}{\left(\e^{\frac{1}{x}}\right)}=\e^0=1$.

Ainsi, par somme, $\limite{x}{-\infty}{f(x)}=-\infty$.

\item De même, $\limite{x}{+\infty}{f(x)}=+\infty$.

\item $\limite[x<0]{x}{0}{\left(\dfrac{1}{x}\right)}=-\infty$ et $\limite{X}{-\infty}{\left(\e^X\right)}=0$ donc $\limite[x<0]{x}{0}{\left(\e^\frac{1}{x}\right)}=0$.

Ainsi, $\limite[x<0]{x}{0}{f(x)}=0$.

\item $\limite[x>0]{x}{0}{\left(\dfrac{1}{x}\right)}=+\infty$ et $\limite{X}{+\infty}{\left(\e^X\right)}=+\infty$ donc $\limite[x>0]{x}{0}{\left(-\e^\frac{1}{x}\right)}=-\infty$.

Ainsi, par somme, $\limite[x>0]{x}{0}{f(x)}=-\infty$.
\end{enumerate}

\item $f'(x)=1-\left(-\dfrac{1}{x^2}\right)\e^{\frac{1}{x}}=1+\dfrac{1}{x^2}\e^{\frac{1}{x}}>0$ pour tout $x$ non nul.

Par conséquent, $f$ est strictement croissante sur \intervOO{-\infty}{0} et sur \intervOO{0}{+\infty}.

\item $f$ est continue et strictement croissante sur \intervOO{0}{+\infty}.

De plus, $\limite[x>0]{x}{0}{f(x)}=-\infty$ et $\limite{x}{+\infty}{f(x)}=+\infty$. Ainsi, 0 est une valeur intermédiaire entre $\limite[x>0]{x}{0}{f(x)}$ et $\limite{x}{+\infty}{f(x)}$.

Donc, d'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, il existe donc une unique valeur $\alpha$ sur \intervOO{0}{+\infty} telle que $f(\alpha)=0$.

À la calculatrice, on trouve: $\alpha \approx 1,76$.
\end{enumerate}

\bigskip

\partie{B}

Notons $\ell$ la limite de \suite{u}{n}{}. Alors, $\ell > 0$ car $u_n$ est une exponentielle.

De plus, la suite \suite{u}{n}{} est définie par la relation de récurrence $u_{n+1} = g(u_n)$, avec $g(x)=\e^{\frac{1}{x}}$. 

$g$ est continue sur \intervOO{0}{+\infty}; de plus, $\limite{x}{0}{g(x)}=0$ et $\limite{x}{+\infty}{g(x)}=1$ donc $g\big(\intervOO{0}{+\infty}\big) = \intervOO{0}{1} \subseteq \intervOO{0}{+\infty}$.

Ainsi, d'après le théorème du point fixe, $\ell = g(\ell)$, soit:
\begin{align*}
\ell = \e^{\frac{1}{\ell}} & \iff \ell - \e^{\frac{1}{\ell}} = 0\\
& \iff f(\ell) = 0.
\end{align*}
Or, l'unique solution de l'équation $f(x)=0$ est $\alpha$.

Donc $\ell= \alpha$.
\end{exocor}

%%%

\begin{exocor}{existence d'une solution à une équation}[2]
Le but de l'exercice est de démontrer que l'équation :
\[
(E)\qquad:\qquad \e^x=\frac{1}{x}
\]
admet une unique solution dans l'ensemble \R{} des nombres réels.

On pose pour tout réel $x$ :
\[
f(x)=x-\e^{-x}.
\]

\begin{enumerate}
\item Démontrer que $x$ est solution de $(E)$ si et seulement si $f(x)=0$.
\item \'Etude du signe de $f$.
\begin{enumerate}
\item \'Etudier le sens de variations de la fonction $f$ sur \R.
\item En déduire que l'équation $(E)$ possède une unique solution sur \R, notée $\alpha$.
\item Démontrer que $\alpha$ appartient à l'intervalle
\intervFF{\dfrac{1}{2}}{1}.
\item \'Etudier le signe de $f$ sur l'intervalle \intervFF{0}{\alpha}.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip


On pose pour tout réel $x$ de l'intervalle \intervFF{0}{1} :
\[ g(x)=\dfrac{1+x}{1+\e^x}.\]

\begin{enumerate}[start=3]
\item Démontrer que l'équation $f(x)=0$ est équivalente à l'équation $g(x)=x$.
\item En déduire que $\alpha$ est l'unique réel vérifiant : $g(\alpha)=\alpha$.
\item Calculer $g'(x)$ et en déduire que la fonction $g$ est croissante sur l'intervalle \intervFF{0}{\alpha}.
\end{enumerate}

\medskip

On considère  la suite \suite{u}{n}{} définie par :
\[
\left\{
\begin{array}{l}
u_0=0\\
u_{n+1}=g(u_n)\quad\forall n\in\N
\end{array}
\right.
\]

\begin{enumerate}[start=6]
\item Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$ : $0\leqslant u_n \leqslant u_{n+1} \leqslant \alpha$.
\item En déduire que la suite \suite{u}{n}{} est convergente. On note $\ell$ sa limite.
\item Justifier l'égalité : $g(\ell)=\ell$. En déduire la valeur de $\ell$.
\item \`A l'aide de la calculatrice, déterminer une valeur approchée de $u_4$ arrondie à la sixième décimale.
\end{enumerate}

\tcblower

\begin{enumerate}
\item $\begin{aligned}[t]
\e^x=\dfrac{1}{x} & \iff \e^{-x}=x\\
& \iff x-\e^{-x}=0
\end{aligned}$

Ainsi, $x$ est solution de $(E)$ si et seulement si $f(x)=0$.

\item 
\begin{enumerate}
\item $f'(x)=1+\e^{-x}>0$ car une exponentielle est toujours strictement positive.

Ainsi, $f$ est strictement croissante sur \R.

\item 
\begin{itemize}
\item $\limite{x}{-\infty}{\left(\e^{-x}\right)}=\limite{X}{+\infty}{\left(\e^X\right)}=+\infty$ donc $\limite{x}{-\infty}{\left(-\e^{-x}\right)}=-\infty$. 

Ainsi, par somme, $\limite{x}{-\infty}{f(x)}=-\infty<0$.

\item $\limite{x}{+\infty}{\left(\e^{-x}\right)}=\limite{X}{-\infty}{\left(\e^X\right)}=0$ donc $\limite{x}{+\infty}{f(x)}=+\infty>0$.

\item $f$ est continue et strictement croissante sur \R.
\end{itemize}

Par conséquent, d'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires (théorème de la bijection), il existe une unique valeur $\alpha$ sur \R{} telle que $f(\alpha)=0$.

\item $f\left(\dfrac{1}{2}\right)=\dfrac{1}{2}-\e^{-\frac{1}{2}}\approx-0,12$ et $f(1)=1-\e^{-1}\approx0,63>0$ donc $\alpha\in\intervFF{\dfrac{1}{2}}{1}$.

\item La fonction $f$ est strictement croissante sur \intervFF{0}{\alpha} et $\alpha\in\intervFF{\dfrac{1}{2}}{1}$ donc $f(x)<0$ sur \intervFF{0}{\alpha}.
\end{enumerate}

\item $\begin{aligned}[t]
g(x)=x & \iff \dfrac{1+x}{1+\e^x}=x\\
& \iff 1+x=x(1+\e^x)\\
& \iff 1+x=x+x\e^x\\
& \iff 1=x\e^x\\
& \iff \dfrac{1}{\e^x}=x\\
& \iff x-\dfrac{1}{\e^x}=0\\
& \iff x-\e^{-x}=0\\
& \iff f(x)=0
\end{aligned}$

\item $\alpha$ est l'unique solution de l'équation $f(x)=0$, donc l'unique solution de l'équation \mbox{$g(x)=x$} car les deux équations sont équivalentes.

\item $\begin{aligned}[t]
g'(x)&=\dfrac{1\times(1+\e^x)-(1+x)\times\e^x}{(1+\e^x)^2}\\
& = \dfrac{1+\e^x-\e^x-x\e^x}{(1+\e^x)^2}\\
& = \dfrac{1-x\e^x}{(1+\e^x)^2}
\end{aligned}$

Ainsi, $g'(x)>0\iff 1-x\e^x>0$ car $(1+\e^x)^2>0$ pour tout réel $x$.

Or, $\begin{aligned}[t]
1-x\e^x>0 & \iff 1>x\e^x \iff \dfrac{1}{\e^x}>x\\
& \iff x-\e^{-x}<0 \iff f(x)<0\\
& \iff x\in\intervFO{0}{\alpha}
\end{aligned}$

Ainsi, $g$ est croissante sur \intervFF{0}{\alpha}.

\item 
\begin{itemize}
\item $u_0=0$ et $u_1=g(u_0)=g(0)=\dfrac{1}{2}$ donc $0\leqslant u_0 \leqslant u_1 \leqslant \alpha$.\\
L'initialisation est faite.

\item Supposons que pour un entier $n$ donné, $0\leqslant u_n \leqslant u_{n+1} \leqslant \alpha$.

Comme $g$ est croissante sur \intervFF{0}{\alpha}, alors,
\[ g(0) \leqslant g(u_n) \leqslant g(u_{n+1}) \leqslant g(\alpha)\;,\]
soit :
\[ \dfrac{1}{2}\leqslant u_{n+1} \leqslant u_{n+2} \leqslant \alpha\]

car $g(\alpha)=\alpha$ d'après la question 4.

Comme $0<\dfrac{1}{2}$, on a bien :

\[0\leqslant u_{n+1} \leqslant u_{n+2} \leqslant \alpha.\]

L'hérédité est alors vérifiée ; par conséquent, pour tout entier naturel $n$, 
\[\boxed{0\leqslant u_{n} \leqslant u_{n+1} \leqslant \alpha.}\] 
\end{itemize}

\item De la question précédente, on déduit que \suite{u}{n}{} est croissante et majorée.

Or, \emph{toute suite croissante et majorée converge}.

Donc, \suite{u}{n}{} converge.

\item De l'égalité $u_{n+1}=g(u_n)$, on déduit :
\begin{align*}
\limite{n}{+\infty}{u_{n+1}} & =\limite{n}{+\infty}{g(u_n)}\\
\ell & = g\left(\limite{n}{+\infty}{u_n}\right)\qquad\text{car $g$ est continue}\\
\Aboxed{\ell & = g(\ell)}
\end{align*}

Ainsi, $\ell$ est solution de l'équation $g(x)=x$. Or, $\alpha$ est l'unique solution de cette équation.

Donc $\limite{x}{+\infty}{u_n}=\alpha$.

\item On a :

\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\node[inner sep = 0pt, outer sep = 0pt, fill = white] (tab) {
\begin{tabular}{|*2{Sc|}}
\hline\rowcolor{corrigenumbg!30}
$n$ & $u_n$\\
\hline
\hline
0 & 0\\
\hline
1 & $0,5$\\
\hline
2 & \numprint{0,5663110032}\\
\hline
3 & \numprint{0,567143165}\\
\hline
4 & \numprint{0,5671432904}\\
\hline
\end{tabular}};
\drawshadow{tab}{black}
\end{tikzpicture}
\end{center}

\bigskip

Ainsi, $u_4\approx\numprint{0,567143}$.
\end{enumerate}
\end{exocor}

%%%

\begin{exocor}{une fraction infinie}[2]
L'objectif de cet exercice est de calculer la valeur de la fraction infinie:
\[
\frac{2}{3-\frac{2}{3-\frac{2}{3-\frac{2}{3-\ddots}}}}
\]
Pour cela, on pose pour tout entier naturel $n$:
\[
\begin{cases}
u_0 = \dfrac{2}{3}\\
u_{n+1}=\dfrac{2}{3-u_n}
\end{cases}
\]

\begin{enumerate}
\item Montrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$, $0 < u_n < 1$.
\item Montrer que \suite{u}{n}{} est strictement croissante. En déduire que \suite{u}{n}{} converge.

On pose $\ell$ cette limite. Calculer $\ell$. Conclure.
\end{enumerate}

\tcblower

\begin{enumerate}
\item 
\begin{itemize}
\item \textbf{Initialisation:} $0 < u_0 < 1$ donc la propriété est vraie pour $n=0$.

\item \textbf{Hérédité:} supposons que pour un entier $k$ fixé, $0 < u_k < 1$.
\begin{align*}
0 < u_k < 1 & \Rightarrow -1 < -u_k < 0\\
& \Rightarrow 2 < 3-u_k < 3\\
& \Rightarrow \frac{1}{3} < \frac{1}{3-u_k} < \frac{1}{2}\\
& \Rightarrow \frac{2}{3} < \frac{2}{3-u_k} < 1\\
& \Rightarrow 0 < u_{k+1} < 1.
\end{align*}

Ainsi, la propriété est héréditaire.
\end{itemize}

D'après le principe de récurrence, pour tout entier naturel $n$, $0<u_n<1$.

\item $\begin{aligned}[t]
u_{n+1}-u_n & = \frac{2}{3-u_n}-u_n = \frac{2-u_n(3-u_n)}{3-u_n} = \frac{u_n^2-3u_n+2}{3-u_n} = \frac{(u_n-1)(u_n-2)}{3-u_n}.
\end{aligned}$

Or, pour tout entier naturel $n$, $0 < u_n < 1$ donc :
\begin{itemize}
\item $u_n-1 < 0$
\item $u_n-2 < 0$
\item $3-u_n > 0$
\end{itemize}
Par conséquent, $u_{n+1}-u_n>0$. Ainsi, \suite{u}{n}{} est strictement croissante.

\item \suite{u}{n}{} est bornée, donc majorée, et strictement croissante donc, d'après le théorème de convergence des suites monotones, elle converge.

On pose $\ell$ sa limite. Alors, 
\begin{align*}
\ell = \frac{2}{3-\ell} & \iff \ell(3-\ell)=2\\
& \iff \ell^2-3\ell+2=0\\
& \iff \ell=1\text{ ou }\ell=2.
\end{align*}

Or, $0<u_n<1$ donc $0<\ell<1$.

\medskip

Par conséquent, $\limite{n}{+\infty}{u_n}=1$.

On en déduit alors que:
\[
\frac{2}{3-\frac{2}{3-\frac{2}{3-\frac{2}{3-\ddots}}}}=1.
\]
\end{enumerate}
\end{exocor}

%%%

\newpage

\begin{exocor}{}[2]
\partie{A: étude d'une fonction exponentielle}

Soit la fonction $f$ définie pour tout réel $x$ par:
\[
f(x) = \e^x - \frac{1}{2} x^2 + 2x - 2.
\]
On note $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans un repère orthogonal.

\begin{enumerate}
\item Calculer $\limite{x}{-\infty}{f(x)}$ et $\limite{x}{+\infty}{f(x)}$.
\item Calculer la dérivée \( f'(x) \) de $f(x)$, puis sa dérivée seconde. 
\item \'Etudier les variations de $f$ sur \R.
\item \'Etudier la convexité de $f$ sur \R. Préciser l'abscisse des éventuels points d'inflexion de $\mathcal{C}$.
\item Montrer qu'il existe un unique réel \( \alpha \) dans l'intervalle \intervOO{0}{1} tel que \( f(\alpha) = 0 \).
\item Justifier que \( \e^\alpha = \dfrac{1}{2}\alpha^2-2\alpha+2 \).
\end{enumerate}

\bigskip

\partie{B: étude d'une suite}

Soit la suite \( (u_n) \) définie par \( u_0 = 1 \) et, pour tout entier naturel $n$,
\[
u_{n+1} = u_n - \dfrac{f(u_n)}{f^\prime(u_n)}.
\]
On admet que pour tout entier naturel $n$, $u_n > \alpha$, $\alpha$ étant l'unique solution à l'équation \mbox{$f(x)=0$.}

\begin{enumerate}
\item Justifier que $f(u_n) > 0$ pour tout entier naturel $n$.
\item En déduire que \((u_n)\) est strictement décroissante, puis que \((u_n)\) converge.
\item Montrer que $\limite{n}{+\infty}{(u_n)}=\alpha$.
\end{enumerate}

\tcblower

\bigskip

\partie{A: étude d'une fonction}

\begin{enumerate}
\item
\begin{itemize}
\item Calcul de $\limite{x}{-\infty}{f(x)}$.

\medskip

$\limite{x}{-\infty}{\left(\e^x\right)}=0$ et $\limite{x}{-\infty}{\left(-\frac{1}{2}x^2+2x-2 \right)}=-\infty$ donc, pas somme:
\[
\boxed{\limite{x}{-\infty}{f(x)} = -\infty}
\]

\item Calcul de $\limite{x}{-\infty}{f(x)}$.

\medskip

Commençons par transformer l'expression de $f(x)$:
\begin{align*}
f(x) & = \e^x - \dfrac{1}{2}x^2+2x-2\\
& = \e^x\left(1 - \frac{x^2}{2\e^x} + \frac{2x}{\e^x} - \frac{2}{\e^x}\right)
\end{align*}

Or, par croissance comparée, $\limite{x}{+\infty}{\left(\dfrac{x^n}{\e^x}\right)}=0$ donc, par somme et produit :
\[
\boxed{\limite{x}{+\infty}{f(x)}=+\infty}
\]
\end{itemize}
\vspace*{1cm}
\item 
\begin{itemize}
\item La dérivée de $f$ est:
\[
f'(x)=\e^x-x+2.
\]

\item La dérivée seconde de $f$ est:
\[
f''(x)=\e^x-1.
\]
\end{itemize}

\item On a le tableau suivant:
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[color,colorL=corrigenumbg!10,colorC=corrigenumbg!10,colorV=corrigenumbg!10]{$x$/0.8, $f''(x)$/0.8 , $f'(x)$ / 1 , $f'(x)$/0.8 , $f(x)$/1}{$-\infty$ , 0 , $+\infty$}
\tkzTabLine{ , - , z , + }
\tkzTabVar{+/,-/2,+/}
\tkzTabLine{,,+,}
\tkzTabVar{-/$-\infty$,R,+/$+\infty$}
\end{tikzpicture}
\end{center}

\item 
\begin{itemize}
\item $f''(x) < 0$ sur $\intervOO{-\infty}{0}$ donc $f$ est concave sur cet intervalle.
\item $f''(x) > 0$ sur $\intervOO{0}{+\infty}$ donc $f$ est convexe sur cet intervalle.
\item $f''(x)=0$ en changeant de signe en $x=0$ donc $\mathcal{C}$ admet un unique point d'inflexion en $x=0$.
\end{itemize}

\item Sur \intervOO{0}{1},
\begin{itemize}
\item $f$ est continue et strictement croissante;
\item $f(0) = -1<0$ et  $f(1) = \e-\dfrac{1}{2}>0$, donc $f(0) < 0 < f(1)$.
\end{itemize}
Ainsi, d'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires (théorème de la bijection), il existe un unique réel $\alpha$ dans \intervOO{0}{1} tel que $f(\alpha)=0$.

\item Par définition, 
\begin{align*}
f(\alpha) = 0 & \iff \e^\alpha - \dfrac{1}{2}\alpha^2+2\alpha-2=0\\
& \iff  \e^\alpha = \dfrac{1}{2}\alpha^2-2\alpha+2.
\end{align*}
\end{enumerate}


\partie{B: étude d'une suite}

\begin{enumerate}
\item On admet que pour tout entier naturel $n$, $u_n>\alpha$; par conséquent, comme $f$ est strictement croissante sur \R, $f(u_n) > f(\alpha)$.

Or, $f(\alpha)=0$ donc $f(u_n) > 0$.

\item $\forall n\in\N,\ u_{n+1}-u_n = -\dfrac{f(u_n)}{f'(u_n)}$.

\medskip

Or, $f'(x)>0$ donc $f'(u_n)>0$. De plus, $f(u_n)>0$ d'après la question précédente.

\medskip

Ainsi, $u_{n+1}-u_n<0$, ce qui signifie que $(u_n)$ est décroissante.

\bigskip

De plus, $u_n>\alpha$ donc $(u_n)$ est minorée.

Or, toute suite décroissante et minorée converge.

Par conséquent, $(u_n)$ converge.

\item Posons $\limite{n}{+\infty}{(u_n)}=\ell$.

Alors, de l'égalité:
\[
u_{n+1} = u_n - \dfrac{f(u_n)}{f^\prime(u_n)},
\]
on déduit:
\[
\ell = \ell - \dfrac{f(\ell)}{f^\prime(\ell)}\quad\text{ (car $f$ et $f'$ sont continues)}
\]
soit:
\[
0= - \dfrac{f(\ell)}{f^\prime(\ell)}
\]
et donc:
\[
f'(\ell)=0.
\]
Ainsi, $\ell$ est une solution de l'équation $f(x)=0$.

Or, nous avons vu que cette équation admettait une unique solution : $\alpha$.

\medskip

Ainsi, $(u_n)$ converge vers $\alpha$.
\end{enumerate}

\end{exocor}


%%%

\begin{exocor}{méthode de Newton}[3]
%\label{methode-newton-1}
On considère la fonction $f$ définie sur $\R*_+$ par : $f(x)=\e^{-x}-\sqrt{x}$, dont la courbe représentative dans un repère orthonormé $\Rij$ est nommée $\mathcal{C}$.

\begin{enumerate}
\item Montrer que $f$ est strictement décroissante sur $\R*_+$.
\item Montrer que l'équation $f(x)=0$ admet une unique solution sur \intervOO{0}{1}. On la notera $\alpha$.
\item Montrer que l'équation réduite de la tangente $(T_0)$ à $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $x=1$ est :
\[ y=-\left(\frac{2+\e}{2\e}+1\right)x+\frac{4-\e}{2\e}.\]
\end{enumerate}
On considère la suite \suite{x}{n}{n\geqslant0} définie par $x_0=1$ et en considérant que pour tout entier naturel $n$, $x_{n+1}$ est l'abscisse du point d'intersection de la tangente $(T_n)$ à $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $x_n$ et de l'axe des abscisses.

Ainsi, $x_1$ est l'abscisse du point d'intersection de $(T_0)$ et de l'axe des abscisses.
\begin{enumerate}[start=4]
\item Montrer que $x_1=\dfrac{4-\e}{2+\e}$.
\item 
\begin{enumerate}
\item Montrer que sur $\R*_+$, $f'(x)\neq0$.
\item Montrer que pour tout entier naturel $n$ :
\[ x_{n+1}=x_n-\dfrac{f\left(x_n\right)}{f'\left(x_n\right)}.\]
\end{enumerate}


\item On considère le programme Python suivant :
\begin{python}
from math import exp,sqrt
x = 1
for i in range(4):
    x = x - (exp(-x) - sqrt(x)) / (-exp(-x)-1/(2*sqrt(x)))
    print(x)
\end{python}
\begin{enumerate}
\item Quelles sont les valeurs affichées par ce programme ?

\item \`A quoi correspondent-elles ?
\item \'Emettre une conjecture quant à la limite de la suite \suite{x}{n}{n\geqslant0}.
\end{enumerate}


\item On admet que, pour tout entier naturel $n$, $\mathcal{C}$ est toujours au-dessus de $(T_n)$.

Expliquer les raisons pour lesquelles, pour tout entier naturel $n\geqslant1$, $x_n\leqslant\alpha$.

\item Montrer que la suite \suite{x}{n}{n\geqslant0} est croissante.

En déduire qu'elle converge vers $\alpha$.
\end{enumerate}

\tcblower

\begin{enumerate}
\item $f$ est dérivable sur $\R*_+$ comme somme de deux fonctions dérivables sur cet ensemble.

On a : 
\[ f'(x)=-\e^{-x}-\frac{1}{2\sqrt{x}}.\]
Or, $\e^{-x}>0$ car une exponentielle est toujours strictement positive, donc $-\e^{-x}<0$ et $-\dfrac{1}{2\sqrt{x}}<0$, donc $f'(x)<0$ sur $\R*_+$.

\medskip

Ainsi, $f$ est strictement décroissante sur $\R*_+$.

\item $f$ est continue sur $\R*_+$. De plus, $f(0)=1$ et $f(1)=\e^{-1}-1<0$ donc d'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires (théorème de la bijection), l'équation $f(x)=0$ admet une unique solution sur \intervOO{0}{1}.

\item La formule qui donne l'équation réduite de la tangente en un point d'abscisse $a$ est :
\[ y=f'(a)(x-a)+f(a)\]
ce qui donne ici :
\begin{align*}
y & = \left(-\e^{-1}-\frac{1}{2}\right)(x-1)+\e^{-1}-1\\
& = \left(-\frac{1}{\e}-\frac{1}{2}\right)(x-1)+\frac{1}{\e}-\frac{\e}{\e}\\
& = -\left(\frac{2+\e}{2\e}\right)(x-1)+\frac{1-\e}{\e}\\
& = -\left(\frac{2+\e}{2\e}\right)x+\frac{2+\e}{2\e}+\frac{2-2\e}{2\e}\\
\Aboxed{y & = -\left(\frac{2+\e}{2\e}\right)x+\frac{4-\e}{2\e}}
\end{align*}

\item L'abscisse du point d'intersection de $(T_0)$ et de l'axe des abscisse se trouve en résolvant l'équation :
\begin{align*}
& -\left(\frac{2+\e}{2\e}\right)x_1+\frac{4-\e}{2\e}=0\\
\Leftrightarrow\ & -\left(\frac{2+\e}{2\e}\right)x_1=-\frac{4-\e}{2\e}\\
\Leftrightarrow\ &  x_1 = \frac{4-\e}{\cancel{2\e}}\times\frac{\cancel{2\e}}{2+\e}\\
\Leftrightarrow\ & \boxed{x_1 = \frac{4-\e}{2+\e}}
\end{align*}

\item
\begin{enumerate}
\item Sur $\R*_+$, $-\e^{-x}<0$ et $-\dfrac{1}{2\sqrt{x}}<0$ donc $f'(x)<0$ soit, en particulier, $f'(x)\neq0$.
\item Par définition, on a :
\[
(T_n)\; :\; y=f'(x_n)(x-x_n)+f(x_n)
\]
et en remplaçant $x$ par $x_{n+1}$, par définition toujours, on doit obtenir 0 :
\[
f'(x_n)(x_{n+1}-x_n)+f(x_n)=0
\]
d'où :
\begin{align*}
& f'(x_n)(x_{n+1}-x_n)=-f(x_n)\\
\Leftrightarrow\ & x_{n+1}-x_n = -\dfrac{f(x_n)}{f'(x_n)}\text{ (car $f'(x_n)\neq0$)}\\
\Leftrightarrow\ & \boxed{x_{n+1}=x_n-\dfrac{f(x_n)}{f'(x_n)}}
\end{align*}
\end{enumerate}

\item
\begin{enumerate}
\item Les valeurs affichées par le programme sont:
\begin{console}
0.27164934570251265
0.41160233281162323
0.4261836392185189
0.4263027432505926
\end{console}


\item Ces valeurs correspondent à celles de $x_1$, $x_2$, $x_3$ et $x_4$.

\item Dans la mesure où les différentes valeurs de $x$ calculées dans la boucle du programme correspondent aux termes successifs de la suite \suite{x}{n}{n\geqslant0}, on peut conjecturer que $\limite{n}{+\infty}{x_n}\approx0,426303$.
\end{enumerate}

\item $\mathcal{C}$ est au-dessus de $(T_0)$ donc $x_1<\alpha$.

Dans un cas général, le point d'intersection de la tangente à une courbe $\mathcal{C}_f$ (toujours située au-dessus de ses tangentes) et de l'axe des abscisses sera toujours avant la solution de l'équation $f(x)=0$.

Donc, $x_n\leqslant\alpha$ pour tout entier naturel $n$.

\item Par définition, $x_{n+1}-x_n=-\dfrac{f(x_n)}{f'(x_n)}$.

Or, $f(x)\geqslant0$ sur \intervOF{0}{\alpha} (d'après les variations de $f$) et $f'(x)<0$ sur ce même intervalle. Par conséquent, $x_{n+1}-x_n\geqslant0$, soit \suite{x}{n}{n\geqslant0} croissante sur \intervOF{0}{\alpha}.

\medskip

Or, la suite est majorée par $\alpha$, donc elle converge. Notons $\ell$ sa limite. Alors, la relation :
\[ x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}\]
devient (car $f$ et $f'$ sont continues sur \intervOF{0}{\alpha}) :
\[ \ell = \ell - \dfrac{f(\ell)}{f'(\ell)}\]
soit :
\[ f(\ell)=0.\]
Or, l'unique solution de l'équation $f(x)=0$ sur \intervOF{0}{\alpha} est $\alpha$.

Donc la limite de \suite{x}{n}{n\geqslant0} est $\alpha$.
\end{enumerate}
\vspace*{1cm}
\end{exocor}


\bigskip

\subsectionnn{Convexité}

%%%

\begin{exocor}{lectures graphiques}[1]
Pour chacune des courbes suivantes, étudier la convexité de la fonction correspondante sur l'intervalle o\`u la courbe est tracée.

Préciser, s'il y a lieu, la position des points d'inflexion.
\begin{enumerate}
\begin{multicols}{3}
\item \begin{tikzpicture}[>=stealth',baseline=4.5cm]
\draw[gray,dashed] (-1,-2) grid (2,5);
\draw[->] (-1,0) -- (2,0);
\draw[->] (0,-2) -- (0,5);
\draw[very thick,courbe] plot[domain=-1:2,samples=100] (\x,{\x*\x-3*\x+1});
\end{tikzpicture}
\columnbreak
\item \begin{tikzpicture}[>=stealth',baseline=1.5cm]
\draw[gray,dashed] (0,-1) grid (2,2);
\draw[->] (0,0) -- (2,0);
\draw[->] (0,-1) -- (0,2);
\draw[very thick,courbe] plot[domain=0.01:2,samples=100] (\x,{\x*ln(\x)});
\end{tikzpicture}
\columnbreak
\item \begin{tikzpicture}[>=stealth',baseline=5.5cm,yscale=0.1]
\draw[gray,dashed] (-1,-30) grid[ystep=10] (2,60);
\draw[->] (-1,0) -- (2,0);
\draw[->] (0,-30) -- (0,60);
\draw[very thick,courbe] plot[domain=-1:2,samples=100] (\x,{25*(\x-1)*(\x-2)*exp(\x)});
\end{tikzpicture}
\end{multicols}

\begin{multicols}{2}
\item \begin{tikzpicture}[>=stealth',baseline=5.5cm]
\draw[gray,dashed] (-3,-2) grid (2,6);
\clip (-3,-2) rectangle (2,6);
\draw[->] (-3,0) -- (2,0);
\draw[->] (0,-2) -- (0,6);
\draw[very thick,courbe] plot[domain=-3:2,samples=100] (\x,{(\x+2)*ln(\x*\x+1)});
\end{tikzpicture}
\columnbreak
\item \begin{tikzpicture}[>=stealth',baseline=4.5cm,yscale=0.333]
\draw[gray,dashed] (-5,-15) grid[ystep=3] (2.5,15);
\clip (-5,-15) rectangle (2.5,15);
\draw[->] (-5,0) -- (2.5,0);
\draw[->] (0,-15) -- (0,15);
\draw[very thick,courbe] plot[domain=-5:2.5,samples=100] (\x,{(\x*\x-4)*exp(0.5*\x+1)*ln(\x*\x+1)});
\end{tikzpicture}

\end{multicols}
\end{enumerate}

\tcblower

\begin{enumerate}
\item Quel que soit le point de la courbe, la tangente en ce point est toujours \textit{sous} la courbe; on dit ici que la courbe est toujours au-dessus de ses tangentes. 

Ainsi, la fonction est toujours \textit{convexe} sur l'intervalle o\`u est tracée la courbe.

\item Ici, la courbe est toujours au-dessus de ses tangentes, donc la fonction est \textit{convexe} sur l'intervalle o\`u est trac\'ee la courbe.

\item Au début de l'intervalle, la courbe est sous ses tangentes jusqu'à un point $I$ au-delà duquel la courbe est sous ses tangentes.


On peut alors dire que $I$ est un point d'inflexion et que l'on a :
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[>=stealth',yscale=0.09]
\fill[corrigenumbg!10] (-1,-30) rectangle (0.7,60);
\fill[red!10] (0.7,-30) rectangle (2,60);
\draw[gray,dashed] (-1,-30) grid[ystep=10] (2,60);
\draw[->] (-1,0) -- (2,0);
\draw[->] (0,-30) -- (0,60);
\draw[very thick,courbe] plot[domain=-1:2,samples=100] (\x,{25*(\x-1)*(\x-2)*exp(\x)});
\fill[red] (0.7,{25*(0.7-1)*(0.7-2)*exp(0.7)}) circle[x radius=2pt,y radius=20pt] node[above right] {$I$};
\node at (0,-20) {concave};
\node at (1.3,50) {convexe};
\end{tikzpicture}
\end{center}

\begin{multicols}{2}
\item \begin{tikzpicture}[>=stealth',baseline=5.5cm]
\fill[corrigenumbg!10] (-3,-2) rectangle (-0.5,6);
\fill[red!10] (-0.5,-2) rectangle (2,6);
\draw[gray,dashed] (-3,-2) grid (2,6);
\clip (-3,-2) rectangle (2,6);
\draw[->] (-3,0) -- (2,0);
\draw[->] (0,-2) -- (0,6);
\draw[very thick,courbe] plot[domain=-3:2,samples=100] (\x,{(\x+2)*ln(\x*\x+1)});
\fill[red] (-0.5,{(-0.5+2)*ln(0.25+1)}) circle (2pt) node[above right] {$I$};
\node at (-1.7,-1.5) {concave};
\node at (1,5.5) {convexe};
\end{tikzpicture}
\columnbreak
\item \begin{tikzpicture}[>=stealth',baseline=4.5cm,yscale=0.333]
\fill[corrigenumbg!10] (-5,-15) rectangle (-2.8,15);
\fill[red!10] (-2.8,-15) rectangle (-0.5,15);
\fill[corrigenumbg!10] (-.5,-15) rectangle (.8,15);
\fill[red!10] (.8,-15) rectangle (2.5,15);
\draw[gray,dashed] (-5,-15) grid[ystep=3] (2.5,15);
\clip (-5,-15) rectangle (2.5,15);
\draw[->] (-5,0) -- (2.5,0);
\draw[->] (0,-15) -- (0,15);
\draw[very thick,courbe] plot[domain=-5:2.5,samples=100] (\x,{(\x*\x-4)*exp(0.5*\x+1)*ln(\x*\x+1)});
\fill[red] (-2.8,{(2.8*2.8-4)*exp(-0.5*2.8+1)*ln(2.8*2.8+1)}) circle[x radius=2pt,y radius=6pt] node[above right] {$I$};
\fill[red] (-0.5,{(0.5*0.5-4)*exp(-0.5*0.5+1)*ln(0.5*0.5+1)}) circle[x radius=2pt,y radius=6pt] node[below right] {$J$};
\fill[red] (0.8,{(0.8*0.8-4)*exp(0.5*0.8+1)*ln(0.8*0.8+1)}) circle[x radius=2pt,y radius=6pt] node[above right] {$K$};
%
\node at (-4,-13.5) {concave};
\node at (0.2,-13.5) {concave};
\node at (-2,13.5) {convexe};
\node at (1.6,13.5) {convexe};
\end{tikzpicture}
\end{multicols}
\end{enumerate}

\vspace*{2cm}
\end{exocor}

%%%

\begin{exocor}{point d'inflexion}[2]
On considère une fonction $f$ dont la courbe repr\'esentative est la suivante :

\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\node[inner sep = 1em, outer sep = 0pt, fill = white] (img) {
\begin{tikzpicture}[yscale=0.15]
\draw[gray,dashed] (0,-25) grid[xstep=1,ystep=5] (10,5);
\draw[->,>=stealth',thick] (0,-25) -- (0,5);
\draw[->,>=stealth',thick] (0,0) -- (10,0);
\foreach\x in {1,2,3,4,5,6,7,8,9}
{
	\draw[thick] (\x,0.6) -- (\x,-0.6) node[below] {\x};
}
\foreach\y in {-25,-20,-15,-10,-5,5}
{
	\draw[thick] (0.1,\y) -- (-0.1,\y) node[left] {$\y$};
}
\draw[very thick,courbe] plot[domain=0.01:10,samples=100] (\x,{\x*\x*ln(\x)-3*\x*\x+5*\x-1});
\end{tikzpicture}};
\drawshadow{img}{black}
\end{tikzpicture}
\end{center}

Placer approximativement son point d'inflexion et préciser les intervalles où $f$ est concave et convexe.

\tcblower

\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\node[inner sep = 0pt, outer sep = 0pt, fill = white] (img) {
\begin{tikzpicture}[yscale=0.15]
\draw[gray,dashed] (0,-25) grid[xstep=1,ystep=5] (10,5);
\draw[->,>=stealth',thick] (0,-25) -- (0,5);
\draw[->,>=stealth',thick] (0,0) -- (10,0);
\foreach\x in {1,2,3,4,5,6,7,8,9}
{
	\draw[thick] (\x,0.6) -- (\x,-0.6) node[below] {\x};
}
\foreach\y in {-25,-20,-15,-10,-5,5}
{
	\draw[thick] (0.1,\y) -- (-0.1,\y) node[left] {$\y$};
}
\draw[very thick,courbe] plot[domain=0.01:10,samples=100] (\x,{\x*\x*ln(\x)-3*\x*\x+5*\x-1});
\draw[<-,red,dotted,>=latex] ({exp(1.5)},0) node[above] {$\alpha$} -- ({exp(1.5)},{exp(1.5)*exp(1.5)*1.5-3*exp(3)+5*exp(1.5)-1});
\fill[red] ({exp(1.5)},{exp(1.5)*exp(1.5)*1.5-3*exp(3)+5*exp(1.5)-1}) circle[x radius=2pt, y radius=12pt] node[below] {$I$};
\end{tikzpicture}};
\drawshadow{img}{black}
\end{tikzpicture}
\end{center}

Sur \intervOF{-\infty}{\alpha}, $f$ est concave car la courbe est en dessous de ses tangentes.

Sur \intervFO{\alpha}{+\infty}, $f$ est convexe car la courbe est au-dessus de ses tangentes.
\end{exocor}

%%%

\begin{exocor}{étude d'une convexité}[1]
D\'eterminer la convexité de la fonction $f$ définie par $f(x)=x\e^{-x}$ sur \R.

\tcblower

\og D\'eterminer la convexit\'e d'une fonction \fg{} signifie regarder sur quels intervalles cette fonction est concave, et sur quels autres intervalles elle est convexe.


Quand il s'agit de regarder la convexit\'e d'une fonction en ayant son expression, nous devons calculer sa d\'eriv\'ee et \'etudier le signe de cette derni\`ere.

$f$ est de la forme $uv$ donc $f'=u'v+v'u$ avec :
\[
\begin{array}{l@{\hspace*{3cm}}l}
u(x)=x & u'(x)=1\\
v'(x)=\e^{-x} & v'(x)=-\e^{-x}
\end{array}
\]
d'o\`u :
\begin{align*}
f'(x) & = 1 \times  \e^{-x} + x \times \big(-\e^{-x}\big)\\
& = 1{\color{red}\e^{-x}} - x{\color{red}\e^{-x}}\\
& = (1-x)\e^{-x}.
\end{align*}

$f'$ est aussi de la forme $uv$ avec :
\[
\begin{array}{l@{\hspace*{3cm}}l}
u(x)=1-x & u'(x)=-1\\
v(x)=\e^{-x} & v'(x)=-\e^{-x}
\end{array}
\]
d'o\`u :
\begin{align*}
f''(x) & = -1 \times \e^{-x} + (1-x) \times \big(-\e^{-x}\big)\\
& = -1{\color{red}\e^{-x}}-(1-x){\color{red}\e^{-x}}\\
& = \big[-1-(1-x)\big]\e^{-x}\\
& = (-1-1+x)\e^{-x}\\
& = (x-2)\e^{-x}.
\end{align*}
Or, pour tout r\'eel $x$,
\[
\e^{-x}>0
\]
donc $f''(x)$ est du signe de $x-2$, d'o\`u le tableau de la page suivante.
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\node[inner sep = 0pt, outer sep = 0pt] (tab) {
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=2,color,colorV=corrigenumbg!10,colorL=corrigenumbg!10,colorC=corrigenumbg!10]
{$x$ / 0.5 , $f''(x)$ / 0.7 , $f$ / 0.7}
{ $-\infty$ , $2$ , $+\infty$ }
\tkzTabLine{ , - , z , + , }
\tkzTabLine{ , \text{concave} , {\color{red}\text{P.I.}} , \text{convexe} , }
\end{tikzpicture}};
\drawshadow{tab}{black}
\draw[<-,>=stealth',red] ($(tab.310)+(0,-0.1)$) to[bend left=20] ($(tab.290)+(-1,-0.75)$) node[left,text width=7cm,inner sep=0,outer sep=0] {Il y a ici un point d'inflexion car $f''(x)$ s'annule en changeant de signe.};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\end{exocor}


%%%

\begin{exocor}{propagation d'une rumeur}[2]
Lors de la propagation d'une rumeur, le nombre d'individus propageant cette rumeur $x$ jours apr\`es son commencement est donn\'e, en unit\'e, par la fonction :
\[
f(x)=100+x^4\e^{-0,1x} \qquad \text{pour } x \in\intervFF{0}{50}.
\]
\begin{enumerate}
\item D\'eterminer le nombre d'individus propageant cette rumeur initialement.
\item 
\begin{enumerate}
\item Prouver que $f'(x)=x^3(4-0,1x)\e^{-0,1x}$.
\item Dresser le tableau de variations de la fonction $f$ sur \intervFF{0}{50}
\end{enumerate}

\item Dans cette question, on admet que la d\'eriv\'ee seconde de $f$ est :
\[
f''(x)=x^2\e^{-0,1x}\big(0,01x^2-0,8x+12\big).
\]
\'Etudier la convexit\'e de la fonction $f$ sur \intervFF{0}{50}.
\item En d\'eduire :
\begin{enumerate}
\item le nombre de jours qu'il faut attendre avant que le nombre d'individus propageant cette rumeur diminue (arrondi \`a l'unit\'e);
\item le nombre maximum d'individus propageant cette rumeur (arrondi \`a l'unit\'e);
\item le nombre de jours qu'il faut attendre avant que la croissance du nombre d'individus propageant cette rumeur diminue.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\tcblower

\begin{enumerate}
\item Le nombre d'individus propageant cette rumeur initialement correspond \`a $f(0)$.

\medskip

$f(0)=100+0^4 \times \e^{-0,1 \times 0} = 100$.

\medskip

Il y a donc initialement 100 personnes qui propagent initialement cette rumeur.

\item
\begin{enumerate}
\item La d\'eriv\'ee de $f(x)$ est la d\'eriv\'ee de $x^4\e^{-0,1x}$ car la d\'eriv\'ee de 100 vaut 0.

$x^4\e^{-0,1x}$ est de la forme $uv$ avec :
\[
\begin{array}{l@{\qquad\qquad}l}
u(x)=x^4 & u'(x)=4x^3\\
v(x)=\e^{-0,1x} & v'(x)=-0,1\e^{-0,1}x
\end{array}
\]
donc :
\begin{align*}
f'(x) & = (u'v+uv')(x)\\
& = 4x^3\e^{-0,1x} + x^4\big(-0,1\e^{-0,1x}\big)\\
& = 4\textcolor{red}{x^3\e^{-0,1x}} - 0,1x \times \textcolor{red}{x^3\e^{-0,1x}}\\
& = (4-0,1x)\times x^3\e^{-0,1x}\\
\Aboxed{f'(x) & = x^3(4-0,1x)\e^{-0,1x}}
\end{align*}

\item $f'(x)$ est du signe de $4-0,1x$ car une exponentielle est toujours strictement positive et $x^3\geqslant0$ pour $x\geqslant0$.

De plus,
\begin{align*}
4-0,1x \geqslant0 & \iff 4 \geqslant 0,1x\\
& \iff \dfrac{4}{0,1} \geqslant x\\
& \iff 40 \geqslant x
\end{align*}
d'o\`u le tableau suivant :
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\node[inner sep = 0pt, outer sep = 0pt] (tab) {
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=2,color,colorV=corrigenumbg!10,colorL=corrigenumbg!10,colorC=corrigenumbg!10]
{$x$ / 0.5 , $f'(x)$ / 0.5 , $f$ / 1 }
{ $0$ , $40$ , $50$ }
\tkzTabLine{z , + , z , - , }
\tkzTabVar{-/{\tiny100} , +/ , -/{\tiny\numprint{42212}}}
\end{tikzpicture}};
\drawshadow{tab}{black}
\end{tikzpicture}
\end{center}
\end{enumerate}

\item\label{tes-conv-06-corr-q3} $f$ est convexe si $f''(x)\geqslant0$.

On voit que $f''(x)$ est du signe de $0,01x^2-0,8x+12$, donc le discriminant est :
\[
\Delta = (-0,8)^2-4\times0,01\times12=0,16
\]
donc les deux racines sont :
\[
x_1=\dfrac{0,8-\sqrt{0,16}}{0,02}=20\qquad\text{et}\qquad x_2=\dfrac{0,8+\sqrt{0,16}}{0,02}=60>50.
\]
\newpage
Ainsi,
\begin{itemize}
\item $f''(x)\leqslant0$, donc $f$ est concave, sur \intervFF{20}{50};
\item $f''(x)\geqslant0$, donc $f$ est convexe, sur \intervFF{0}{20}.
\end{itemize}

\item
\begin{enumerate}
\item $f$ est croissante jusqu'\`a $x=40$, donc il faut attendre 40 jours avant que la rumeur diminue.
\item Le nombre maximum d'individus propageant cette rumeur est $f(40)\approx\numprint{46988}$.
\item La notion de \og diminution de croissance \fg{} est assez difficile \`a comprendre pour des \'el\`eves de Terminale ES; il faut juste retenir que \textit{la croissante diminue (ou augmente) quand il y a un changement de convexit\'e}.

Ainsi, cela correspond \`a la pr\'esence d'un point d'inflexion. Ici, c'est au bout de 20 jours que cela se produit (d'apr\`es la question \textcolor{white}{\ref{tes-conv-06-corr-q3})}.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{exocor}


%%%

\begin{exocor}{point d'inflexion}[2]
La courbe représentative de la fonction $f$ telle que $f''(x)=(x-1)^2\e^x$ admet-elle un point d'inflexion ?

\tcblower

Une courbe admet un point d'inflexion uniquement lorsque la d\'eriv\'ee seconde s'annule \textit{en changeant de signe}. Or, pour tout réel $x$, 
\begin{itemize}
\item $(x-1)^2\geqslant0$, en s'annulant pour $x=1$,
\item $\e^x>0$.
\end{itemize}
La condition $f''(x)=0$ est bien satisfaite en $x=1$, mais $f''(x)$ ne change pas de signe en cette valeur.

\medskip

Ainsi, la courbe repr\'esentative de $f$ n'admet pas de point d'inflexion.
\end{exocor}


\bigskip

\sectionnn{Objectif bac}

%%%

\begin{exocor}{Centres étrangers, juin 2024, sujet 2}[1]
On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $\intervOO{-\infty}{1}$ par 
\[
f(x) = \dfrac{\e^x}{x - 1}.
\]
On admet que la fonction $f$ est dérivable sur l'intervalle $\intervOO{-\infty}{1}$.

On appelle $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans un repère.

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la limite de la fonction $f$ en 1.
		\item En déduire une interprétation graphique.
	\end{enumerate}
\item Déterminer la limite de la fonction $f$ en $-\infty$.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que pour tout réel $x$ de l'intervalle $\intervOO{-\infty}{1}$, on a:
		\[f'(x) = \dfrac{(x - 2)\e^x}{(x - 1)^2}.\]
		
		\item Dresser, en justifiant, le tableau de variations de la fonction $f$ sur l'intervalle $\intervOO{-\infty}{1}$.

	\end{enumerate}
\item On admet que pour tout réel $x$ de l'intervalle $\intervOO{-\infty}{1}$, on a:
\[f''(x) = \dfrac{\left(x^2 -4x + 5\right)\e^x}{(x - 1)^3}.\]

	\begin{enumerate}
		\item Étudier la convexité de la fonction $f$ sur l'intervalle $]-\infty~;~1[$.
		\item Déterminer l'équation réduite de la tangente $T$ à la courbe $\mathcal{C}$ au point d'abscisse 0.
		\item En déduire que, pour tout réel $x$ de l'intervalle $\intervOO{-\infty}{1}$, on a :
\[\e^x \geqslant  (-2x - 1)(x-1).\]
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Justifier que l'équation $f(x) = -2$ admet une unique solution $\alpha$ sur l'intervalle $\intervOO{-\infty}{1}$.
		\item À l'aide de la calculatrice, déterminer un encadrement de $\alpha$ d'amplitude $10^{-2}$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\tcblower

\begin{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
\item \raisebox{-3mm}{$\left.
\begin{array}{l}
\lim\limits_{x \to 1} \left( \e^{x} \right) = \e^1 = \e >0\\
\lim\limits_{x \to 1} (x - 1) = 0^-\text{ car }x<1\iff x-1<0.
\end{array}
\right\}\Rightarrow\text{(par quotient des limites) }\boxed{\lim\limits_{x \to 1} f(x) = -\infty}$.}

\item On en déduit que la courbe $ \mathcal{C} $ admet une asymptote verticale, d'équation $x = 1$.
\end{enumerate}

\item \raisebox{-3mm}{$\left.
\begin{array}{l}
\lim\limits_{x \to -\infty} \left( \e^{x} \right) = 0\\
\lim\limits_{x \to -\infty} (x - 1) = -\infty.
\end{array}
\right\}\Rightarrow\text{(par quotient des limites) }\boxed{\lim\limits_{x \to -\infty} f(x) = 0}$.}

\medskip

On en déduit que $ \mathcal{C} $ admet également une asymptote, d'équation $y = 0$, au voisinage de $ -\infty$.

\item 
\begin{enumerate}
\item $f$ est dérivable sur \intervOO{-\infty}{1}, en tant que quotient de fonctions définies et dérivables sur cet intervalle, avec la fonction au dénominateur ne s'annulant pas sur l'intervalle.
\begin{align*}
\forall x \in \intervOO{-\infty}{1}, \quad f'(x) 
& = \dfrac{\e^x \times (x - 1) - \e^x \times 1}{(x-1)^2 }\\
&= \dfrac{\e^x \times (x - 1 - 1)}{(x-1)^2}\\
\Aboxed{f'(x) &= \dfrac{(x - 2)\e^x}{(x - 1)^2}}
\end{align*}

\item $\forall x\in \intervOO{-\infty}{1}$, $\e^x>0$ et $(x-1)^2>0$ donc $f'(x)$ est du signe de $(x-2)$.
\[
x - 2 \geqslant 0 \iff x \geqslant 2,
\]
d'où le tableau suivant:
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\node[inner sep = 0pt, outer sep = 0pt] (tab) {
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[color,colorL=exercicenumbg!10,colorC=exercicenumbg!10,colorV=exercicenumbg!10,lgt=3]{$x$/0.5,$f'(x)$/0.5,$f$/1}{$-\infty$,$1$}
\tkzTabLine{,-,d}
\tkzTabVar{+/0,-D+/$-\infty$/}
\end{tikzpicture}};
\drawshadow{tab}{black}
\end{tikzpicture}
\end{center}
\end{enumerate}

\item 
\begin{enumerate}
\item Pour étudier la convexité de la fonction $f$ sur l'intervalle \intervOO{-\infty}{1}, on va étudier le signe de $f''(x)$.

$\forall x \in \intervOO{-\infty}{1},\quad (x - 1) < 0 \iff (x - 1)^3 < 0$.

De plus, $\e^{x} > 0$. On en déduit que le signe de $f''(x)$ est l'opposé du signe du trinôme : $x^2 - 4x + 5$, de discriminant:
\[
\Delta = (-4)^2 - 4 \times 1 \times 5 = -4< 0,
\]
donc n'admettant pas de racine, ce qui signifie qu'il est strictement positif (car le coefficient dominant est positif) pour tout réel $x$.


Ainsi, $f''(x)>0$, et donc $f$ est concave sur \intervOO{-\infty}{1}.

\item Pour déterminer l'équation de $T$, il nous faut connaître $f'(0)$ et $f(0)$ :

\begin{itemize}
\item $f'(0) = \dfrac{(0 - 2)\e^{0}}{(0 - 1)^2} = \dfrac{-2}{1} = -2$;
\item $f(0) = \dfrac{\e^0}{0 - 1} = \dfrac{1}{-1} = -1$.
\end{itemize}

La formule classique donne une équation pour $T$ :
\[
y = f'(0)(x - 0) + f(0) \iff y = - 2x - 1.
\]
L'équation réduite de $T$ est donc : $y = - 2x - 1$.

\item $f$ est concave sur \intervOO{-\infty}{1} donc la courbe $\mathcal{C}$ est \textit{sous} ses tangentes, notamment sous la tangente $T$.

On en déduit donc:
\begin{align*}
x \in \intervOO{-\infty}{1} &\implies f(x) \leqslant -2x -1\\
		&\implies \dfrac{\e^x}{x - 1}\leqslant - 2x - 1\\
		&\implies \e^x \geqslant (x -1)(-2x-1) \qquad \text{car sur }]-\infty ~;~ 1[,\quad x - 1 <0\\
		&\implies \e^x \geqslant (-2x - 1)(x - 1).
\end{align*}
\end{enumerate}

\item
\begin{enumerate}
\item La fonction $f$ est, sur $]-\infty~;~1[$  :
\begin{itemize}
\item continue (car dérivable);
\item strictement décroissante (d'après la question 3. b.);
\item $\lim\limits_{x\to -\infty} f(x) = 0$, $\lim\limits_{x\to1} f(x) = -\infty$ et $2\in\intervOO{-\infty}{0}$.
\end{itemize}
Ainsi, d'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires (théorème de la bijection), l'équation $f(x) = -2$ admet une unique solution $\alpha$ sur l'intervalle  $]-\infty~;~1[$.

\item $f(0) = -1$ d'après la question 4.b. On sait donc que la solution sera à chercher dans l'intervalle \intervOO{0}{1}.

À l'aide de la calculatrice, on trouve:
\begin{itemize}
\item $f(0,31) \approx -1,98 > -2$;
\item $f(0,32) \approx-2,03 < -2$.
\end{itemize}
Un encadrement de $\alpha$ d'amplitude $10^{-2}$ est $0,31 < \alpha < 0,32$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\end{exocor}

%%%

\begin{exocor}{D'après Polynésie, septembre 2025, jour 1}[1]
\begin{rem}
Cet exercice nécessite l'utilisation de la fonction logarithme népérien à partir de la question 5.
\end{rem}
On étudie l'évolution de la population d'une espèce animale au sein d'une réserve naturelle.

Les effectifs de cette population ont été recensés à différentes années. Les données collectées sont présentées dans le tableau suivant :
\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|>{\columncolor{exercicenumbg!20}}l|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline
Année              & 2000 & 2005 & 2010 & 2015 \\ \hline
Nombre d'individus & 50   & 64   & 80   & 100  \\	\hline
\end{tabularx}
\end{center}
Pour anticiper l'évolution de cette population, la direction de la réserve a choisi de modéliser le nombre d'individus en fonction du temps.

Pour cela, elle utilise une fonction, définie sur l'intervalle $[0;+\infty[$, dont la variable $x$ représente le temps écoulé, en année, à partir de l'année 2000.

Dans son modèle, l'image de 0 par cette fonction vaut 50, ce qui correspond au nombre d'individus en l'an 2000.

La direction de la réserve fait l'hypothèse que la fonction cherchée est:
\[
f(x)=\dfrac{800}{1+15 \e^{-0,05 x}}.
\]

On note $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé. 


À l'aide d'un logiciel de calcul formel, on a obtenu les résultats suivants.

\textit{Pour toute la suite de l'exercice, on pourra utiliser ces résultats sans les démontrer, sauf pour la question 5.}

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|>{\columncolor{exercicenumbg!20}}Sl|>{\ttfamily}Sl|S{X}|} 
\hline\rowcolor{exercicenumbg!20}
  & Instruction & Résultat \\	
\hline
1 & $f(x):=\dfrac{800}{1+15 \e^{-0,05 x}}$	& $f(x)=\dfrac{800}{1+15 \e^{-0,05 x}}$  \\	
\hline
2 & $f'(x):=$ Dérivée $(f(x))$ & $f'(x)=\dfrac{600 \e^{-0,05 x}}{\left(1+15 \e^{-0,05 x}\right)^{2}}$ \\ 
\hline
3 & $f''(x):=$ Dérivée ( $f'(x)$ ) & $f''(x)=\dfrac{30 \e^{-0,05 x}}{\left(1+15 \e^{-0,05 x}\right)^{3}}\left(15 \e^{-0,05 x}-1\right)$ \\ 
\hline
4 & Résoudre ( $15 \e^{-0,05 x}-1 \geqslant 0$ )  & $x \leqslant 20 \ln (15)$  \\		
\hline
\end{tabularx}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Démontrer que la fonction $f$ vérifie $f(0)=50$ et que pour tout $x \in \R$ :
\[
f'(x)=0,05 f(x)(1-0,00125 f(x)).
\]

\item Avec ce nouveau modèle $f$, estimer l'effectif de cette population en 2050. Arrondir le résultat à l'unité.

\item Calculer la limite de $f$ en $+\infty$. Que peut-on en déduire quant à la courbe $C$ ? Interpréter cette limite dans le cadre de ce problème concret.

\item Justifier que la fonction $f$ est croissante sur $[0 ~;~+\infty[$.

\item Démontrer le résultat obtenu en ligne 4 du logiciel.

\item On admet que la vitesse de croissance de la population de cette espèce, exprimée en nombre d'individus par an, est modélisée par la fonction $f'$.
\begin{enumerate}
\item Étudier la convexité de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0 ~;~ +\infty[$ et déterminer les coordonnées des éventuels points d'inflexion de la courbe $C$.

\item La direction de la réserve affirme :

\og Au vu de ce modèle, la vitesse de croissance de la population de cette espèce va augmenter pendant un peu plus de cinquante ans, puis va diminuer \fg{}. La direction a-t-elle raison? Justifier.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\tcblower

\begin{enumerate}
\item On a d'une part:
\[
f(0)=\dfrac{800}{1+15 \e^{0}} = \dfrac{800}{16}=50,
\]	
D'autre part:
\begin{itemize}
\item $0,05f(x)= \dfrac{0,05\times 800}{1+15\e^{-0,05x}} = \dfrac{40}{1+15\e^{-0,05x}}$\\[1mm]

\item $\numprint{0,00125} f(x) = \dfrac{\numprint{0,00125}\times 800}{1+15\e^{-0,05x}}= \dfrac{1}{1+15\e^{-0,05x}}$\\[1mm]

\item $1- \numprint{0,00125} f(x) = 1- \dfrac{1}{1+15\e^{-0,05x}}= \dfrac{1+15\e^{-0,05x}-1}{1+15 \e^{-0,05x}} = \dfrac{15 \e^{-0,05x}}{1+15 \e^{-0,05x}}$ \\[1mm]

\item 
$\aligned[t]
0,05f(x) \left (1- \numprint{0,00125} f(x)  \right ) 
& = \dfrac{40}{1+15\e^{-0,05x}} \times \dfrac{15 \e^{-0,05x}}{1+15 \e^{-0,05x}} 
= \dfrac{40\times 15 \e^{-0,05x}}{\left (1+15 \e^{-0,05x}\right )^2} \\
& = \dfrac{600 \e^{-0,05x}}{\left (1+15 \e^{-0,05x}\right )^2}
= f'(x) \text{ (d'après le logiciel de calcul formel)}.
\endaligned$
\end{itemize}


\item Avec ce nouveau modèle $f$,  l'effectif de cette population en 2050 peut être estimé à $f(50)$ soit environ 358.


\item \raisebox{-3mm}{$\left.\begin{array}{l}
\limite{x}{+\infty}{(-0,05x)}= -\infty\\
\limite{X}{-\infty}{\left(\e^{X}\right)}=0
\end{array}\right\} \Rightarrow \limite{x}{+\infty}{\left(\e^{-0,05x}\right)} = 0$.}

\medskip

On en déduit  que:
\[
\limite{x}{+\infty}{\big(1+15\e^{-0,05x}\big)} = 1
\]
et que
\[
\limite{x}{+\infty}{\left( \dfrac{800}{1+15\e^{-0,05x}} \right)} = 800.
\]
Donc $\limite{x}{+\infty}{f(x)}=800$, ce qui prouve que la courbe $\mathcal{C}$ admet la droite d'équation $y=800$ comme asymptote horizontale en $+\infty$.
		
\item Sur $[0 ~;~+\infty[$,  $f'(x)=\dfrac{600 \e^{-0,05 x}}{\left(1+15 \e^{-0,05 x}\right)^{2}}$.

Or, pour tout réel $X$, on sait que $\e^{X}>0$, donc $\e^{-0,05x}>0$ pour tout $x$.

$\left (1+15\e^{-0,05x}\right )^2>0$ donc $f'(x)>0$.

On en conclut que la fonction $f$ est croissante sur $[0 ~;~+\infty[$.

\item On résout l'inéquation $15 \e^{-0,05 x}-1 \geqslant 0$.
\begin{align*}
15 \e^{-0,05 x}-1 \geqslant 0 & \iff 15 \e^{-0,05 x} \geqslant 1\\
 & \iff  \e^{-0,05 x} \geqslant \dfrac{1}{15}\\
 & \iff  -0,05 x \geqslant \ln\left (\dfrac{1}{15}\right )\\
 & \iff  x \leqslant \dfrac{ \ln\left (\frac{1}{15}\right )}{-0,05}\\
 & \iff  x \leqslant \dfrac{ -\ln\left (15 \right )}{-0,05}\\
 & \iff  x \leqslant 20\,\ln\left (15 \right ).
\end{align*}

\item On admet que la vitesse de croissance de la population de cette espèce, exprimée en nombre d'individus par an, est modélisée par la fonction $f'$.

\begin{enumerate}
\item Pour étudier la convexité de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0 ~;~ +\infty[$, on détermine le signe de la dérivée seconde $f''(x)$.

D'après le tableau: $f''(x)=\dfrac{30 \e^{-0,05 x}}{\left(1+15 \e^{-0,05 x}\right)^{3}}\left(15 \e^{-0,05 x}-1\right)$.

D'après ce qui a été vu précédemment, $f''(x)$ est du signe de $\left(15 \e^{-0,05 x}-1\right)$.
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\node[inner sep = 0pt, outer sep = 0pt] (tab) {
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[color,colorL=exercicenumbg!10,colorC=exercicenumbg!10,colorV=exercicenumbg!10,lgt=3]{$x$/0.5,$f''(x)$/0.5}{$0$,$20\ln(15)$,$+\infty$}
\tkzTabLine{,+,z,-,}
\end{tikzpicture}};
\drawshadow{tab}{black}
\end{tikzpicture}
\end{center}
Ainsi,
\begin{itemize}
\item $f$ est \textit{convexe} sur \intervOO{0}{20\ln(15)};
\item $f$ est \textit{concave} sur \intervOO{20\ln(15)}{+\infty};
\item En $x=20\,\ln(15)$, $f''(x)$ s'annule et change de signe, donc la courbe $\mathcal{C}$ admet un point d'inflexion.
\end{itemize}
Si $x=20\,\ln(15)$, $15\e^{-0,05x}-1=0$ donc $15\e^{-0,05\times 20\ln(15)}=1$

$f\left (20\ln(15)\right )
= \dfrac{800}{1+ 15\e^{-0,05\times 20\ln(15)}}
= \dfrac{800}{1+1} = 400$.

Donc le point de coordonnées $\coord{20\ln(15)}{400}$ est le seul point d'inflexion de la courbe $\mathcal{C}$.
 
\item La direction de la réserve affirme :

\og Au vu de ce modèle, la vitesse de croissance de la population de cette espèce va augmenter pendant un peu plus de cinquante ans, puis va diminuer \fg{}. 
			
\medskip

On établit le tableau de variations de la fonction $f'$ qui modélise  la vitesse de croissance de la population de cette espèce, exprimée en nombre d'individus par an.
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\node[inner sep = 0pt, outer sep = 0pt] (tab) {
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[color,colorL=exercicenumbg!10,colorC=exercicenumbg!10,colorV=exercicenumbg!10,lgt=3]{$x$/0.5,$f''(x)$/0.5,$f'$/1}{$0$,$20\ln(15)$,$+\infty$}
\tkzTabLine{,+,z,-,}
\tkzTabVar{-/,+/,-/}
\end{tikzpicture}};
\drawshadow{tab}{black}
\end{tikzpicture}
\end{center}
Or $20\,\ln(15) \approx 54,2$ donc la direction a raison.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{exocor}





%%%

\begin{exocor}{variations, convexité et fonction auxiliaire}[2]

\partie{A: étude du signe d'une fonction auxiliaire}

On considère la fonction $u$ définie sur $\R$ par:
\[
g(x)=3x^3+9x^2-2x+2.
\]

\begin{enumerate}
\item Calculer les limites de $g(x)$ en $-\infty$ et en $+\infty$.

\item Déterminer la dérivée $g'(x)$.

En déduire les variations de $g$ sur \R.

Dresser un tableau de variations complets de $g$ sur \R.

\item En déduire que l'équation $g(x)=0$ admet une unique solution $\alpha$ sur \R.

Donner une valeur approchée de $\alpha$ au dixième.
\end{enumerate}

\bigskip

\partie{B: étude d'une fonction}

On définie la fonction $f$ sur \intervFO{0}{+\infty} par:
\[
f(x)=(3x-2)\e^{\sqrt{x}}.
\]

\begin{enumerate}
\item Montrer que $f'(x)=\dfrac{(3x+6\sqrt{x}-2)\e^{\sqrt{x}}}{2\sqrt{x}}$.

\item 
\begin{enumerate}
\item \'Etudier le signe du polynôme $3X^2+6X-2$ sur \intervFO{0}{+\infty}.
\item En déduire les variations de $f$ sur \intervFO{0}{+\infty}.
\end{enumerate}

\item On admet que la dérivée seconde de $f$ est:
\[
f''(x)=\dfrac{(3x\sqrt{x}+9x-2\sqrt{x}+2)\e^{\sqrt{x}}}{4x^2}.
\]
À l'aide de la partie A, étudier la convexité de la fonction $f$ sur \intervFO{0}{+\infty}.
\end{enumerate}

\tcblower

\medskip

\partie{A: étude du signe d'une fonction auxiliaire}

\begin{enumerate}
\item $g(x)=x^3\left(3+\dfrac{9}{x}-\dfrac{2}{x^2}+\dfrac{2}{x^3}\right)$.

De plus, $\limite{x}{-\infty}{\left(\dfrac{1}{x^n}\right)}=0$ pour tout entier naturel $n$ non nul, donc:
\[
\limite{x}{-\infty}{g(x)}=\limite{x}{-\infty}{(3x^3)}=-\infty.
\]
De même,
\[
\limite{x}{+\infty}{g(x)}=\limite{x}{+\infty}{(3x^3)}=+\infty.
\]

\item $g'(x)=9x^2+18x-2$. Son discriminant est:
\[
\Delta = b^2-4ac = 18^2-4\times9\times(-2)=396.
\]
Donc $g'(x)$ admet deux racines:
\[
x_1 = \dfrac{-b-\sqrt\Delta}{2a}=\dfrac{-18-6\sqrt{11}}{18}=\dfrac{-3-\sqrt{11}}{3}
\qquad\text{et}\qquad x_2 = \dfrac{-3+\sqrt{11}}{3}.
\]
On en déduit le tableau suivant:

\medskip

\begin{minipage}{\dimexpr\linewidth-32mm}
\begin{tikzpicture}
\node[inner sep = 0pt, outer sep = 0pt] (tab) {
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[color,colorL=exercicenumbg!10,colorC=exercicenumbg!10,colorV=exercicenumbg!10]{$x$/0.5,$g'(x)$/0.5,$g(x)$/1.5}{$-\infty$,$x_1$,$x_2$,$+\infty$}
\tkzTabLine{,+,z,-,z,+,}
\tkzTabVar{-/$-\infty$,+/$g(x_1)$,-/$u(x_2)$,+/$+\infty$}
\end{tikzpicture}};
\drawshadow{tab}{black}
\end{tikzpicture}
\end{minipage}
\begin{minipage}{31mm}
\begin{itemize}
\item \small $g(x_1)\approx 18,1$
\item \small $g(x_2)\approx 1,9$
\end{itemize}
\end{minipage}

\item 
\begin{itemize}
\item Sur \intervOO{-\infty}{x_1}, $g$ est continue et strictement croissante. De plus, $0\in g(\intervOO{-\infty}{x_1})$.

Donc, d'après le corollaire d u théorème des valeurs intermédiaires, l'équation $g(x)=0$ admet une unique solution sur \intervOO{-\infty}{x_1}.

\item Sur \intervOO{x_1}{+\infty}, le minimum de $g$ est strictement positif. Donc sur cet intervalle, l'équation $g(x)=0$ n'a pas de solution.
\end{itemize}

Ainsi, il existe bien un unique réel $\alpha$ tel que $g(\alpha)=0$.

Une valeur approchée est $\alpha\approx-3,3$.
\end{enumerate}

\bigskip

\partie{B: étude des variations d'une fonction}

\begin{enumerate}
\item $f = u \times v$ avec:
\[
\begin{array}{l@{\qquad\qquad}l}
u(x)=3x-2 & v(x)=\e^{\sqrt{x}}\\
u'(x)=3 & v'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}\e^{\sqrt{x}}
\end{array}
\]
Ainsi,
\begin{align*}
f'(x) & = (u'v+v'u)(x)\\
      & = 3\e^{\sqrt{x}} + \dfrac{3x-2}{2\sqrt{x}}\e^{\sqrt{x}}\\
      & = \left(3 + \dfrac{3x-2}{2\sqrt{x}}\right)\e^{\sqrt{x}}\\
\Aboxed{ f'(x) & = \dfrac{6\sqrt{x}+3x-2}{2\sqrt{x}}\e^{\sqrt{x}}}
\end{align*}

\item
\begin{enumerate}
\item Le discriminant du polynôme $3X^2+6X-2$ est:
\[
\Delta = 6^2-4\times3\times(-2)=36+24=60.
\]
Il admet donc deux racines:
\[
X_1=\dfrac{-6-\sqrt{60}}{6}=\dfrac{-3-\sqrt{15}}{3}<0
\]
et
\[
X_2=\dfrac{-3+\sqrt{15}}{3}>0.
\]
D'où le tableau de signes suivant:
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\node[inner sep = 0pt, outer sep = 0pt] (tab) {
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[color,colorL=exercicenumbg!10,colorC=exercicenumbg!10,colorV=exercicenumbg!10,lgt=3]{$X$/0.5,$3X^2+6X-2$/0.5}{$0$,$X_2$,$+\infty$}
\tkzTabLine{,-,z,+,}
\end{tikzpicture}};
\drawshadow{tab}{black}
\end{tikzpicture}
\end{center}

\item Remarquons que, en posant $X=\sqrt{x}$, on a:
\[
f'(X)=\dfrac{3X^2+6X-2}{2X}\e^X\quad,\qquad X > 0.
\]
Ainsi, $f'(x)$ est du signe de $3X^2+6X-2$.

De plus, $X=\dfrac{\sqrt{15}-3}{3} \iff x = \left(\dfrac{\sqrt{15}-3}{3}\right)^2=\dfrac{8-2\sqrt{15}}{3}$.

\newpage

On en déduit alors le tableau suivant:
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\node[inner sep = 0pt, outer sep = 0pt] (tab) {
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[color,colorL=exercicenumbg!10,colorC=exercicenumbg!10,colorV=exercicenumbg!10]{$x$/0.75,$f'(x)$/0.5,$f(x)$/1.5}{0,$\frac{8-2\sqrt{15}}{3}$,$+\infty$}
\tkzTabLine{,-,z,+,}
\tkzTabVar{+/,-/,+/}
\end{tikzpicture}};
\drawshadow{tab}{black}
\end{tikzpicture}
\end{center}
\end{enumerate}

\item $f''(x)$ est du signe de $3x\sqrt{x}+9x-2\sqrt{x}+2 = 3X^3+9X^2-2X+2$, en posant $X=\sqrt{x}$.

D'après la partie A, pour $X \geqslant 0$, $3X^3+9X^2-2X+2 > 0$, donc $f''(x) > 0$ sur \intervFO{0}{+\infty}.

Par conséquent, $f$ est convexe sur \intervFO{0}{+\infty}.
\end{enumerate}
\end{exocor}












\corriges
