\thumb

%%% 2024

\begin{qcm}{Relation de Chasles}{5}
Parmi les propositions faites une seule est correcte. Laquelle?

\Par

Soient $A$, $B$ et $C$ trois points du plan.

\begin{questions}
\item 
\choix $\gvec{AB} + \gvec{AC} = \gvec{BC}$.

\choix $\gvec{AB} + \gvec{BC} = \gvec{AC}$.

\choix $\gvec{BC} + \gvec{BA} = \gvec{AC}$.

\item \resetchoix 
\choix $\gvec{AC} - \gvec{CB} = \gvec{AB}$.

\choix $\gvec{BA} - \gvec{BC} = \gvec{AC}$.

\choix $\gvec{BA} - \gvec{BC} = \gvec{CA}$. 

\item\resetchoix 
\choix $\gvec{AB} - \gvec{CB} + \gvec{CA} = \gvec{0}$.

\choix $\gvec{AB} + \gvec{CB} - \gvec{CA} = \gvec{0}$.

\choix $\gvec{AB} - \gvec{BC} - \gvec{CA} = \gvec{0}$.
\end{questions}
\end{qcm}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item Réponse \choix[b]: $\gvec{AB} + \gvec{BC} = \gvec{AC}$.

\item Réponse \choix[c]: $\gvec{BA} - \gvec{BC} = \gvec{BA} + \gvec{CB} = \gvec{CB}+\gvec{BA}=\gvec{CA}$.

\item Réponse \choix[a]:  $\gvec{AB} - \gvec{CB} + \gvec{CA} = \gvec{AB} + \gvec{BC} + \gvec{CA} = \gvec{AA} = \gvec{0}$.
\end{questions}
\end{corrige}

%%% 2017

\begin{qcm}{Test de connaissances générales}{10}
Parmi les propositions aux questions suivantes, une ou plusieurs sont correctes. Lesquelles ?
\begin{questions}
\item Quels que soient les points $A$, $B$ et $C$ :\resetchoix

\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XX@{}}
\choix $\gvec{AC}+\gvec{BC}=\gvec{AB}$ &
\choix $\gvec{AB}+\gvec{BC}=\gvec{AC}$ \\[10pt]
\choix $\gvec{AB}+\gvec{AC}=\gvec{BC}$ & 
\choix $\gvec{AB}-\gvec{BC}=3\gvec{AC}$
\end{tabularx}

\item Si $2\gvec{BC}$ a pour coordonnées $\dbinom{10}{4}$ alors :\resetchoix

\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XX@{}}
\choix $\gvec{BC}\dbinom{-5}{-2}$ &
\choix $\gvec{CB}\dbinom{-10}{-4}$ \\[14pt]
\choix $\gvec{CB}\dbinom{-5}{-2}$ & 
\choix $\gvec{BC}\dbinom{5}{2}$
\end{tabularx}

\item $ABCD$ est un parallélogramme. Alors :\resetchoix

\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XX@{}}
\choix $\gvec{AB}=\gvec{CD}$ &
\choix $\gvec{AB}+\gvec{AD}=\gvec{AC}$ \\[14pt]
\choix $\gvec{AB}-\gvec{AD}=\gvec{DB}$ & 
\choix $\gvec{AB}=\gvec{DC}$
\end{tabularx}
\end{questions}
\end{qcm}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item Réponse \choix[b] : $\gvec{AB}+\gvec{BC}=\gvec{AC}$. Les autres égalités sont fausses.

\item Réponses \choix[c] et \choix[d]. Pour les coordonnées de $\gvec{BC}$, il suffit de diviser par deux celles de $2\gvec{BC}$ et ensuite, pour les coordonnées de $\gvec{CB}$, on multiplie par $-1$.

\item Réponses \choix[b], \choix[c] et \choix[d]. En effet,
\[
\gvec{AB}+\gvec{AD}=\gvec{AC}
\]
(c'est une diagonale du parallélogramme). 

\Par

De plus, 
\[
\gvec{AB}-\gvec{AD}=\gvec{AB}+\gvec{DA}=\gvec{DB}
\]
d'après la relation de Chasles. 

\Par

Enfin, $\gvec{AB}=\gvec{DC}$ (c'est une caractéristique des parallélogrammes).
\end{questions}
\end{corrige}

%%%

\begin{vf}{Coordonnées des vecteurs}{5}
Dans le repère orthonormé $(O,I,J)$ , on donne $A(3~;2)$ et $B(5~;1)$. 

Parmi les affirmations suivantes, lesquelles sont exactes ?

\begin{tabular}{l}
\choix $\gvec{AB}$ a pour coordonnées $\dbinom{8}{3}$\\[10pt] 
\choix $\gvec{AB}$ a pour coordonnées $\dbinom{2}{-1}$\\[1mm]
\choix $AB=2^2+1^2=5$ \\[1mm]
\choix Le milieu de $[AB]$ a pour coordonnées $\left(4~;\dfrac{3}{2}\right)$.
\end{tabular}
\end{vf}


\begin{corrige}
\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}lX@{}}
\choix & \textit{Faux}. Il faut calculer la \emph{différence} des coordonnées (celles de $B$ moins celles de $A$). Les coordonnées de $\gvec{AB}$  sont : $\dbinom{2}{-1}$.\\[1mm] 
\choix & \textit{Vrai}. En effet, $\gvec{AB}\dbinom{5-3}{1-2}$, soit $\gvec{AB}\dbinom{2}{-1}$. \\[1mm]
\choix & \textit{Faux} : $AB=\sqrt{2^2+(-1)^2}=\sqrt{5}$.\\[1mm] 
\choix & \textit{Vrai}. Le milieu de $[AB]$ a pour coordonnées $\left(\dfrac{x_A+x_B}{2}~;\dfrac{y_A+y_B}{2}\right)$. 
\end{tabularx}
\end{corrige}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\sectionnn{Géométrie non analytique}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

% 2024

\begin{exo}{Construction d'un point}{Lycée Pasteur, Neuilly-sur-Seine}{1}{5}
Soit $ABC$ un triangle.

Construire le point $I$ tel que $\gvec{AI} = 2\gvec{BC} - 3\gvec{BA}$.
\end{exo}

\begin{corrige}
Pour construire facilement, le point $I$, il est préférable de simplifier l'égalité qui le définit.
\newpage
\begin{align*}
\gvec{AI} & = 2\gvec{BC} - 3\gvec{BA}\\
          & = 2\gvec{BC} + 3\gvec{AB}\\
          & = \gvec{AB} + 2\gvec{AB} + 2\gvec{BC}\\
          & = \gvec{AB} + 2\big( \gvec{AB} + \gvec{BC} \big)\\
          & = \gvec{AB} + 2\gvec{AC}.
\end{align*}

Ainsi, pour construire le point $I$, on part du point $A$, on se déplace jusqu'à $B$, puis on effectue deux fois de suite le même déplacement que pour passer du point $A$ au point $C$.

\begin{center}
\includegraphics{239_vecteurs_pasteur.eps}
\end{center}
\end{corrige}

%%%

\begin{exo}{Transformations}{Lycée Colbert, Paris}{1}{5}
$ABCD$ étant un parallélogramme de centre $O$, $I$ et $J$ milieux de $[OD]$ et $[OB]$, comparer $IC$ et $JA$.
\end{exo}

\begin{corrige}
\begin{center}
\includegraphics{239_06-09}
\end{center}
$J$ est le milieu de $[OB]$ donc $\gvec{OJ}=\dfrac{1}{2}\gvec{OB}$. 
On en déduit~:
\[\gvec{AJ}=\gvec{AO}+\gvec{OJ}=\gvec{AO}+\dfrac{1}{2}\gvec{OB}.\] 

De même, on montre $\gvec{IC}=\gvec{OC}+\dfrac{1}{2}\gvec{DO}$.

Or, $O$ est le milieu de $[AC]$ et $[BD]$, donc $\gvec{DO}=\gvec{OB}$
et $\gvec{AO}=\gvec{OC}$. On en déduit $\gvec{AJ}=\gvec{IC}$, et donc $AJ=IC$.
\newpage
\end{corrige}

%%% 2017

\begin{exo}{Que de vecteurs !}{Lycée Fénelon, Paris}{1}{5}
\begin{minipage}{0.4\linewidth}
On considère la figure\\ ci-contre.

\Par

Compléter les égalités\\ suivantes :


\Par

$\gvec{NP}+\gvec{DE}=\ldots\gvec{AB}$

\Par

$\gvec{HB}+\gvec{EJ}=\gvec{H\ldots}$

\Par

$\gvec{NK}-\gvec{EF}+\gvec{CH}=\ldots$

\Par

$\gvec{JB}-\gvec{KM}+\gvec{BC}=\gvec{L\ldots}$
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}{0.5\linewidth}
\includegraphics{230_06-18}
\end{minipage}

\end{exo}

\begin{corrige}
\begin{multicols}{2}
$\gvec{NP}+\gvec{DE}=3\gvec{AB}$

$\gvec{HB}+\gvec{EJ}=\gvec{HE}$

$\gvec{NK}-\gvec{EF}+\gvec{CH}=\gvec{0}$

$\gvec{JB}-\gvec{KM}+\gvec{BC}=\gvec{LC}$
\end{multicols}
\end{corrige}

%%% 

\begin{exo}{Somme de vecteurs}{Lycée Maurice Genevoix, Montrouge}{1}{10}
On considère la figure  suivante.
\begin{center}
\includegraphics{231_06-11}
\end{center}
\begin{questions}
\item Quelles sont les coordonnées de $\vec{u}$, $\vec{v}$, $\vec{w}$~?
\item Placer le point $A$ tel que $\gvec{OA}=\vec{u}+\vec{v}+\vec{w}$. \\
Quelles sont les coordonnées de $A$~?
\end{questions}
\end{exo}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item De l'origine à l'extrémité de $\vec{u}$, on effectue un déplacement de 
1 unité vers la gauche (donc $-1$ en abscisse) et un déplacement 
de 1 unité vers le haut (donc $+1$ en ordonnée). On en
déduit les coordonnées $\vec{u}\begin{pmatrix} -1 \\ 1\end{pmatrix}$. 
De même, $\vec{v}\begin{pmatrix} 2 \\ 1\end{pmatrix}$
et $\vec{w}\begin{pmatrix} 2 \\ -1\end{pmatrix}$.
\item On en déduit les coordonnées de 
$\vec{u}+\vec{v}+\vec{w}$~: $\begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix}$, 
et les coordonnées de $A(3~;1)$. 
\end{questions}
\end{corrige}

%%% 2014

\begin{exo}{Calcul vectoriel}{Lycée Eugène Delacroix, Maisons-Alfort}{1}{15}
Sur la figure suivante, les points sont équidistants.
\begin{center}
\includegraphics{231_06-10}
\end{center}
Compléter les égalités par des nombres réels~: 

\begin{questions}
\begin{multicols}{2}
\item $\gvec{BD}=\ldots\gvec{AB}$
\item $\gvec{CD}=\ldots\gvec{BF}$
\item $\gvec{FC}=\ldots\gvec{DE}$
\item $\gvec{EC}=\ldots\gvec{AG}$
\item $\gvec{AB}+2\gvec{CE}-\gvec{AC}=\ldots \gvec{AB}$
\item $\dfrac{1}{2}\gvec{BF}-\dfrac{1}{4}\gvec{AE}+\gvec{FG}=\ldots\gvec{BD}$
\end{multicols}
\end{questions}
\end{exo}

\begin{corrige}
Comme les points sont équidistants, on peut exprimer
chaque vecteur en fonction, par exemple, de $\gvec{AB}$, 
ce qui permet de les comparer facilement. 

\begin{questions}
\item $\gvec{BD}=2\gvec{AB}$ (car $\gvec{BD}=\gvec{AC}$).
\item $\gvec{CD}= \dfrac{1}{4}\gvec{BF}$ car $\gvec{CD}=\gvec{AB}$ et $
\gvec{BF}=\gvec{AE}=4\gvec{AB}$. 
\item $\gvec{FC}= - 3 \gvec{DE}$ car $\gvec{FC}=-\gvec{CF}=-3\gvec{AB}$ et $\gvec{DE}=\gvec{AB}$.
\item $\gvec{EC}= -\dfrac{1}{3}\gvec{AG}$ car $\gvec{EC}=-2\gvec{AB}$ et 
$\gvec{AG}=6\gvec{AB}$.
\item $\gvec{AB}+2\gvec{CE}-\gvec{AC}= 3 \gvec{AB}$ car $\gvec{CE}=2\gvec{AB}$
et $\gvec{AC}=2\gvec{AB}$.
\item $\dfrac{1}{2}\gvec{BF}-\dfrac{1}{4}\gvec{AE}+\gvec{FG}=\gvec{BD}$ car :
\[
\gvec{BF}=4\gvec{AB}, \]
\[ \gvec{AE}=4\gvec{AB}, \]
\[\gvec{FG}=\gvec{AB} \]
et \[\gvec{BD}=2\gvec{AB}.\] 
\end{questions}
\end{corrige}


%%% 2017

\begin{exo}{Relation de Chasles}{Lycée Fénelon, Paris}{1}{15}
$ABCD$ est un parallélogramme. Les points $E$ et $H$ sont tels que :
\[
\gvec{AE}=\dfrac{3}{2}\gvec{AD}\qquad\text{et}\qquad\gvec{CH}=\dfrac{2}{3}\gvec{CD}.
\]
\begin{questions}
\item Recopier et compléter :
\[
\gvec{BE}=\ldots + \gvec{AE}\qquad\text{et}\qquad\gvec{BH}=\ldots + \gvec{CH}.
\]
\item Exprimer $\gvec{BE}$ et $\gvec{BH}$  en fonction de $\gvec{AB}$ et $\gvec{AD}$.
\item Démontrer que $\gvec{BE}$ et $\gvec{BH}$ sont colinéaires. Conclure.
\end{questions}
\end{exo}

\begin{corrige}
\begin{center}
\includegraphics{241_06-12}
\end{center}
\begin{questions}
\item $\gvec{BE}=\gvec{BA} + \gvec{AE}\qquad\text{et}\qquad\gvec{BH}=\gvec{BC} + \gvec{CH}$.

\item 
\begin{itemize}
\item $\begin{aligned}[t]
\gvec{BE} & = \gvec{BA}+\gvec{AE}\\
& = -\gvec{AB}+\dfrac{3}{2}\gvec{AD}.
\end{aligned}$
\enlargethispage*{2em}
\item $\begin{aligned}[t]
\gvec{BH} & = \gvec{BC}+\gvec{CH}\\
& = \gvec{BC}+\dfrac{2}{3}\gvec{CD}\\
& = \gvec{AD} - \dfrac{2}{3}\gvec{AB}.
\end{aligned}$

(car $ABCD$ est un parallélogramme)
\end{itemize}

\item Nous avons exprimé $\gvec{BE}$ et $\gvec{BH}$ en fonction des mêmes vecteurs ; de plus, on voit le coefficient $-\dfrac{2}{3}$ devant $\gvec{AB}$ dans l'expression de $\gvec{BH}$, ce qui nous pousse à calculer $\dfrac{2}{3}\gvec{BE}$ :
\[
\dfrac{2}{3}\gvec{BE}=-\dfrac{2}{3}\gvec{AB}+\dfrac{2}{3}\times\dfrac{3}{2}\gvec{AD}=\gvec{BH}.
\]
Ainsi, $\gvec{BE}$ et $\gvec{BH}$ sont colinéaires. Ils ont un point en commun donc les points $B$, $H$ et $E$ sont alignés.
\end{questions}
\end{corrige}

% 2024

\begin{exo}{Alignement de points}{Lycée Pasteur, Neuilly-sur-Seine}{2}{10}
Soit $ABCD$ un parallélogramme de centre $O$.

Soit $G$ le centre de gravité du triangle $ACD$.

Soit $E$ le point tel que $\gvec{BE} = 2\gvec{BC}$.

Soit $A'$ le milieu de $[CD]$.

\begin{questions}
\item Faire une figure.
\item Exprimer $\gvec{AE}$ en fonction de $\gvec{AB}$ et $\gvec{BC}$.
\item Exprimer $\gvec{AG}$ en fonction de $\gvec{AB}$ et $\gvec{BC}$.
\item Montrer que les points $A$, $G$ et $E$ sont alignés.
\end{questions}
\end{exo}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item \textit{Rappel:} le centre de gravité d'un triangle est le point d'intersection de ses médianes. La figure est alors celle représentée page suivante.


\item $\begin{aligned}[t]
\gvec{BE} = 2\gvec{BC} & \iff \gvec{BA} + \gvec{AE} = 2\gvec{BC}\\
                       & \iff \gvec{AE} = \gvec{AB} + 2\gvec{BC}.
\end{aligned}$

\begin{multicols}{2}
\item $\begin{aligned}[t]
\gvec{AG} & = \frac{2}{3}\gvec{AA'}\\
          & = \frac{2}{3}\big( \gvec{AB} + \gvec{BC} + \gvec{CA'} \big)\\
          & = \frac{2}{3}\left( \gvec{AB} + \gvec{BC} + \frac{1}{2}\gvec{BA} \right)\\
          & = \frac{2}{3}\left( \frac{1}{2}\gvec{AB} + \gvec{BC} \right)\\
          & = \frac{1}{3}\gvec{AB} + \frac{2}{3}\gvec{BC}.
\end{aligned}$

\item D'après les question précédentes, $\gvec{AG} = \frac{1}{3}\gvec{AE}$. Par conséquent, les vecteurs $\gvec{AG}$ et $\gvec{AE}$ sont colinéaires.

Ils ont de plus un point commun: $A$. Les points $A$, $G$ et $E$ sont donc alignés.

\columnbreak

\begin{center}
\includegraphics{242_vectcolinear_pasteur}
\end{center}
\end{multicols}
\end{questions}


\end{corrige}



%%% 2017

\begin{exo}{Alignement de points}{Lycée Fénelon, Paris}{2}{10}
$ABC$ est un triangle quelconque. Soit $D$ le point défini par :
\[
\gvec{AD}=3\gvec{AB}-2\gvec{AC}.
\]
Montrer que $\gvec{BD}=-2\gvec{BC}$ et conclure sur l'alignement de trois points.
\end{exo}

\begin{corrige}
\begin{methode}
Pour démontrer que les points $B$, $C$ et $D$ sont alignés, il suffit de démontrer que deux vecteurs quelconques formés par ces trois points sont colinéaires.
\end{methode}
\begin{align*}
\gvec{BD} & =\gvec{BA}+\gvec{AD}\\
& = -\gvec{AB}+3\gvec{AB}-2\gvec{AC}\\
& = 2\gvec{AB}-2\gvec{AC}\\
& = 2\big(\gvec{AB}-\gvec{AC}\big)\\
& = 2\big(\gvec{AB}+\gvec{CA}\big)\\
& = 2\gvec{CB}.
\end{align*}
Ainsi, $\gvec{BD}$ et $\gvec{CB}$ sont colinéaires; or, ils ont un point en commun donc les points $B$, $C$ et $D$ sont alignés.
\end{corrige}

%%% 2017

\begin{exo}{Alignement de points}{Lycée Jacques Decour, Paris}{2}{15}
Soit $ABCD$ un parallélogramme. Soient $E$ et $F$ deux points définis par les égalités suivantes :
\[
\gvec{EB}=\dfrac{1}{2}\gvec{BA}\qquad\text{et}\qquad\gvec{AF}=3\gvec{AD}.
\]
\begin{questions}
\item Faire une figure.
\item Montrer que $C$, $E$ et $F$ sont alignés.
\end{questions}
\end{exo}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item La figure est la suivante  :
\begin{center}
\includegraphics{243_06-13}
\end{center}

\item Exprimons en fonction de $\gvec{AB}$ et $\gvec{AD}$ les vecteurs $\gvec{EC}$ et $\gvec{EF}$ par exemple.
\begin{multicols}{2}
$\begin{aligned}[t]
\gvec{EC} & = \gvec{EB} + \gvec{BC}\\
& = \dfrac{1}{2}\gvec{BA} + \gvec{BC}\\
& = -\dfrac{1}{2}\gvec{AB} + \gvec{AD}.
\end{aligned}$

$\begin{aligned}[t]
\gvec{EF} & = \gvec{EA} + \gvec{AF}\\
& = \dfrac{3}{2}\gvec{BA} + 3\gvec{AD}\\
& = -\dfrac{3}{2}\gvec{AB} + 3\gvec{AD}.
\end{aligned}$
\end{multicols}
On constate alors que $3\gvec{EC}=\gvec{EF}$, donc $\gvec{EC}$ et $\gvec{EF}$ sont colinéaires, ce qui prouve que $E$, $C$ et $F$ sont alignés.
\end{questions}
\end{corrige}

%%% 2017

\begin{exo}{Parallélisme}{Lycée Jacques Decour, Paris}{3}{15}
$ABC$ est un triangle non aplati.

Les points $I$ et $O$ sont tels que :
\[
\gvec{AI}=\dfrac{1}{2}\gvec{AC}\qquad\text{et}\qquad\gvec{OP}=\gvec{OA}-2\gvec{OB}+\gvec{OC}.
\]
Montrer que les droites $(OP)$ et $(IB)$ sont parallèles.
\end{exo}

\begin{corrige}
Même si cela n'est pas demandé, nous pouvons appuyer notre raisonnement sur une figure (que nous vous proposons page suivante).

\Par
 
Pour démontrer que les droites $(OP)$ et $(IB)$ sont parallèles, nous allons montrer que $\gvec{IB}$ et $\gvec{OP}$ sont colinéaires. 

Plaçons-nous dans le repère $\big(A;\gvec{AB},\gvec{AC}\big)$.

\begin{multicols}{2}
\begin{itemize}
\item $\begin{aligned}[t]
\gvec{IB} & = \gvec{IA} + \gvec{AB}\\
& = -\dfrac{1}{2}\gvec{AC} + \gvec{AB}.
\end{aligned}$

\item $\begin{aligned}[t]
\gvec{OP} & = \gvec{OA}-2\gvec{OB}+\gvec{OC}\\
& = \gvec{OA}-\gvec{OB}-\gvec{OB}+\gvec{OC}\\
& = \gvec{OA}+\gvec{BO}+\gvec{BO}+\gvec{OC}\\
& = \gvec{BA}+\gvec{BC}\\
& = -\gvec{AB}+\gvec{BA}+\gvec{AC}\\
& = -2\gvec{AB}+\gvec{AC}.
\end{aligned}$
\end{itemize}
\end{multicols}

Ainsi, $-2\gvec{IB}=\gvec{AC}-2\gvec{AB}=\gvec{OP}$, donc $\gvec{OP}$ et $\gvec{IB}$ sont colinéaires, ce qui signifie que $(OP)$ et $(IB)$ sont parallèles.

\begin{Remarque}
on peut aussi écrire :
\begin{align*}
\gvec{OP} & = \gvec{OA} + 2\gvec{BO}+\gvec{OC}\\
& = \gvec{OI}+\gvec{IA}+2\gvec{BI}+2\gvec{IO}+\gvec{OI}+\gvec{IC}\\
& = \gvec{IA}+\gvec{IC}+2\gvec{BI}\\
& = 2\gvec{BI}
\end{align*}
pour démontrer que $\gvec{OP}$ et $\gvec{BI}$ sont colinéaires.
\end{Remarque}
 
\begin{center}
\includegraphics{244_06-15}
\end{center}
\end{corrige}


%%% 2017

\begin{exo}{Exercice de recherche}{Lycée Gustave Eiffel, Bordeaux}{3}{15}
On considère un parallélogramme $ABCD$. On définit alors les points $M$ et $N$ par :
\[
\gvec{AM}=x\gvec{AC}\qquad\text{et}\qquad \gvec{DN}=-x^2\gvec{AB}+2x\gvec{AD}\;,\]
où $x$ est un nombre réel.

\Par

Existe-t-il au moins une valeur de $x$ pour laquelle $M$ et $N$ sont confondus ?
\end{exo}

\begin{corrige}
\enlargethispage*{\baselineskip}
%Rapportons la figure au repère $\big(A;\gvec{AB},\gvec{AD}\big)$.

\begin{multicols}{2}
\begin{itemize}
\item $\begin{aligned}[t]
\gvec{AM} & =x\gvec{AC}\\
& =x\big(\gvec{AB}+\gvec{AD}\big)\\
& =x\gvec{AB} + x\gvec{AD}.
\end{aligned}$

\columnbreak

\item $\begin{aligned}[t]
\gvec{AN} & = \gvec{AD} + \gvec{DN}\\
& = \gvec{AD} - x^2\gvec{AB} + 2x\gvec{AD}\\
& = -x^2\gvec{AB} + (1+2x)\gvec{AD}.
\end{aligned}$
\end{itemize}
\end{multicols}

$M$ et $N$ sont confondus si et seulement si $\gvec{AM}=\gvec{AN}$.
\begin{align*}
\gvec{AM}=\gvec{AN} & \iff x\gvec{AB} + x\gvec{AD} = -x^2\gvec{AB} + (1+2x)\gvec{AD}\\
& \iff \begin{cases}
x = -x^2\\
x = 1+2x
\end{cases}\\
& \iff
\begin{cases}
-x^2-x=0\\
x=-1
\end{cases}
\end{align*}
$x=-1$ est solution de la première équation car \mbox{$-(-1)^2-(-1)=-1+1=0$}.

Il existe donc bien une valeur de $x$ pour laquelle les deux points sont confondus.
\end{corrige}



%\begin{exo}{Coordonnées d'un vecteur}{Lycée Hector Berlioz, Vincennes}{3}{20}
%\begin{questions}
%\item {\'E}crire un algorithme qui prend en entrée les coordonnées de $A(x_A~;y_A)$ et $B(x_B~;y_B)$ dans un repère orthonormé et qui fournit les coordonnées du vecteur $\gvec{AB}$ et la longueur $AB$. 
%\item \'Ecrire le programme Python correspondant à cet algorithme.
%\end{questions} 
%\end{exo}
%
%
%\begin{corrige}
%\begin{questions}
%\item On se rappelle que les coordonnées du vecteur $\gvec{AB}$ sont\linebreak $(x_B-x_A~;y_B-y_A)$ et que la longueur $AB$ est donnée par la formule~:
%\[AB=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}.\]
%On écrit donc~:
%\Par
%\begin{algorithme}{}
%\begin{alltt}
%Variables xA,xB,yA,yB,X,Y,L : nombres 
%Début
%  Lire xA,yA,xB,yB
%  X prend la valeur xB-xA
%  Y prend la valeur yB-yA
%  L prend la valeur RacineCarrée(X^2+Y^2)
%  Afficher(Coordonnées du vecteur \(\gvec{AB}\), (X,Y))
%  Afficher("Longueur AB", L)
%Fin
%\end{alltt}
%\end{algorithme}
%
%\Par
%
%\item Un programme Python peut être le suivant:
%
%\begin{listing}{En Python}{05-01.py}\end{listing}
%
%
%\end{questions} 
%\end{corrige}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\sectionnn{Géométrie analytique}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%%% 2017

\begin{exo}{Avec une symétrie}{Lycée Fernand Daguin, Mérignac}{1}{10}
On considère la figure suivante, où $ABCD$ est un carré et $FDCE$ un quadrilatère.

\begin{center}
\includegraphics{233_06-16}
\end{center}

\begin{questions}
\item Donner, dans le repère $(D,I,J)$, les coordonnées des points de la figure.
\item Calculer les coordonnées du point $K$ milieu de $[AE]$.
\item Donner les coordonnées du point symétrique de $B$ par rapport à $K$.
\end{questions}
\end{exo}

\begin{corrige}
\enlargethispage*{3em}
\begin{center}
\includegraphics{245_06-17}
\end{center}
\begin{questions}
\item Attention : l'unité en abscisses (1 carreau) n'est pas la même qu'en ordonnées (2 carreaux).

On a alors : $A(2~;4)$, $B(10~;3)$, $C(8~;-1)$, $D(0~;0)$, $E(8~;-4)$ et $F(-4~;-4)$.

\item $K\left(\dfrac{x_A+x_E}{2}~;\dfrac{y_A+y_E}{2}\right)$ soit $K(5~;0)$.
\item Notons $B'(x~;y)$ le symétrique de $B$ par rapport à $K$. Alors, $K$ est le milieu de $[BB']$ et donc :
\[
\begin{cases}
5 =\dfrac{10+x}{2}\\
0=\dfrac{3+y}{2}
\end{cases}
\iff
\begin{cases}
10=10+x\\
0=3+y
\end{cases}
\iff
\begin{cases}
x=0\\
y=-3
\end{cases}
\]
Ainsi, $B'(0~;-3)$.
\end{questions}
\end{corrige}


%%% 

\begin{exo}{Calculs de longueurs}{Lycée Claude Debussy, Saint-Germain-en-Laye}{1}{15}
Le triangle $ABC$ est équilatéral de côté $2$ et $BD=CE$.\

On note $O$ le pied de la hauteur issue de $A$ dans $ABC$ et on choisit un repère $(O,C,J)$ de sorte que $A$ ait une ordonnée positive.

\begin{center}
\includegraphics{234_06-03}
\end{center}

\begin{questions}
\item Quelle est la distance $OA$~?
\item Déterminer les coordonnées des vecteurs $\gvec{AB}$, $\gvec{AC}$ et $\gvec{BC}$ dans le repère orthonormé $(O,C,J)$.
\item On suppose $\gvec{BD}=k\gvec{AB}$ et $\gvec{CE}=k\gvec{BC}$.  
Montrer que $AE=CD$.
\end{questions}
\end{exo}

\begin{corrige}
Notons sur la figure les longueurs égales~:
\begin{center}
\includegraphics{246_06-04}
\end{center}

\begin{questions}
\item Plaçons le point $O$. Le triangle $OAC$ est rectangle en $O$. On sait que $AC=2$ et $OC=1$ (car
dans un triangle équilatéral, le pied de la hauteur est le milieu de la base). On 
applique le théorème de Pythagore dans le triangle $OAC$, il vient~:
\[AC^2=AO^2+OC^2\;,\]
donc $OA^2=AC^2-OC^2=4-1=3$ et $OA=\sqrt{3}$.

\item Dans ce repère, on calcule les coordonnées des vecteurs $\gvec{AB}\dbinom{-1}{-\sqrt{3}}$,\linebreak
$\gvec{BC}\dbinom{2}{0}$ et $\gvec{AC}\dbinom{1}{-\sqrt{3}}$.


\item On constate $\gvec{CD}=\gvec{CB}+\gvec{BD}$ (relation de Chasles). On en déduit~:
\[\gvec{CD}=\gvec{CB}+k\gvec{AB}=k\gvec{AB}-\gvec{BC}.\]

De même, $\gvec{AE}=\gvec{AC}+\gvec{CE}=\gvec{AC}+k\gvec{BC}$.

On en déduit les coordonnées de $\gvec{CD}\dbinom{-k-2}{-k\sqrt{3}}$ et donc~:
\[CD^2=(-k-2)^2+3k^2=4k^2+4k+4.\]
Les coordonnées de $\gvec{AE}\dbinom{1+2k}{-\sqrt{3}}$ donnent~:
\[AE^2=(1+2k)^2+3=4k^2+4k+4.\]
On constate~: $AE=CD$.  
\end{questions} 
\newpage
\end{corrige}


%%% 2017


\begin{exo}{Nature d'un triangle et cercle}{Lycée Jacques Decour, Paris}{1}{15}
Dans un repère $(O,I,J)$ orthonormé du plan, on considère les points $A(-1~;0)$, $B(3~;-2)$ et $C(1~;4)$.
\begin{questions}
\item Quelle est la nature du triangle ABC ? Justifier votre réponse.
\item Déterminer par le calcul les coordonnées du centre $K$ du cercle circonscrit $\cal C$ au triangle $ABC$, puis son rayon $r$.
\item Le point $D(3~;4)$ appartient-il à $\cal C$ ? Justifier votre réponse. 
\end{questions}
\end{exo}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item \begin{methode}
Quand on nous demande la nature d'un triangle, il faut penser à : \og rectangle \fg, \og isocèle \fg{} et \og équilatéral. \fg{} Connaître \emph{la mesure des trois côtés}, ou leurs carrés, est donc suffisant.
\end{methode}

\begin{itemize}
\item $\begin{aligned}[t]
AB^2 & = \big(3-(-1)\big)^2 + (-2-0)^2\\
& = 4^2 + (-2)^2\\
& = 20.
\end{aligned}$

\item $\begin{aligned}[t]
AC^2 & = \big(1-(-1)\big)^2 + (4-0)^2\\
& = 2^2 + 4^2\\
& = 20.
\end{aligned}$

\item $\begin{aligned}[t]
BC^2 & = (1-3)^2 + \big(4-(-2)\big)^2\\
& = (-2)^2 + 6^2\\
& = 40.
\end{aligned}$
\end{itemize}

On constate donc que :
\begin{itemize}
\item $AB^2=AC^2$, donc $AB=AC$ ;
\item $BC^2=AB^2+AC^2$.
\end{itemize}
Ainsi, $ABC$ est un triangle rectangle isocèle en $A$.

\item Nous savons que le centre du cercle circonscrit à un triangle rectangle est le milieu de son hypoténuse. Ainsi, $K$ est le milieu de $[BC]$; donc :
\[
x_K=\dfrac{x_B+x_C}{2}=\dfrac{3+1}{2}=2\quad\text{et}\quad y_K=\dfrac{y_B+y_C}{2}=\dfrac{-2+4}{2}=1.
\]
Donc $K(2~;1)$.

\Par

Le rayon de $\cal C$ est la moitié de $BC$ donc :
\[
r=\dfrac{BC}{2}=\dfrac{\sqrt{40}}{2}.
\]
\begin{Remarque}
on peut aller plus loin dans la simplification de cette dernière fraction en remarquant que $40=2^2\times10$ et donc que :
\[
\sqrt{40}=\sqrt{4\times10}=\sqrt4\times\sqrt{10}=2\sqrt{10}.
\]
Ainsi, $r=\sqrt{10}$.
\end{Remarque}

\enlargethispage*{2em}

\item Afin de voir si $D$ appartient à $\cal C$, nous pouvons calculer par exemple $DK$ et vérifier si le résultat est égal à $r$, ou bien (ce qui est plus simple), vérifier que $DK^2=r^2=10$.
\[
DK^2=(2-3)^2+(1-4)^2=(-1)^2+(-3)^2=10.
\]
$D$ appartient donc à $\cal C$.
\end{questions}
\end{corrige}

%%% 

\begin{exo}{Avec un cercle}{Lycée Champollion, Grenoble}{1}{20}
Soient $A(2~;1)$, $B(5~;3)$, $C(7~;0)$ et $E\left(\dfrac{9}{2}~;\dfrac{1}{2}\right)$ dans un repère orthonormé.
\begin{questions}
\item Montrer que $ABC$ est un triangle rectangle isocèle.
\item Soit ${\cal C}$ le cercle 
de centre $E$ et de rayon $\dfrac{\sqrt{26}}{2}$.
\begin{questions}
\item Vérifier que $A$, $B$ et $C$ sont des points de ${\cal C}$ et que $E$
est le milieu de $[AC]$.
\item Construire ${\cal C}$.
\end{questions}

\item Quelle est la mesure de l'angle $\widehat{ACB}$ ?
\end{questions}
\end{exo}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item Nous allons calculer les longueurs des trois côtés de $ABC$.
Utilisons la formule de calcul de la distance :
\begin{align*}
AB&=\sqrt{(5-2)^2+(3-1)^2}=\sqrt{3^2+2^2}=\sqrt{9+4}=\sqrt{13}.\\
AC&=\sqrt{(7-2)^2+(0-1)^2}=\sqrt{5^2+1}=\sqrt{25+1}=\sqrt{26}.\\
BC&=\sqrt{(7-5)^2+(0-3)^2}=\sqrt{2^2+3^2}=\sqrt{4+9}=\sqrt{13}.
\end{align*}
Il devient clair que $ABC$ est isocèle en $B$. De plus, on a :
\[AB^2+BC^2=13+13=26=AC^2.\]
D'après la réciproque du théorème de Pythagore, $ABC$ est rectangle en $B$.

\item \begin{questions}
\item 
En s'y prenant par le bon bout, on évite quelques calculs. En effet, 
il n'est pas difficile de constater que $E$ est bien le milieu de $[AC]$
car $\dfrac{9}{2}=\dfrac{2+7}{2}$ et $\dfrac{1}{2}=\dfrac{1+0}{2}$.

Or, le milieu de l'hypoténuse d'un triangle rectangle est
aussi le centre de son cercle circonscrit, donc
$EA=EB=EC$.
Puisque $AC=\sqrt{26}$, on a :
\[AE=EC=\frac{\sqrt{26}}{2}.\]

Finalement, $A$, $B$ et $C$ sont des points de ${\cal C}$.

\item $\mathcal{C}$ n'est autre que le cercle 
de centre $E$ passant par $A$ :
\begin{center}
\includegraphics{248_06-06}
\end{center}
\end{questions}

\item Comme $ABC$ est isocèle et rectangle en $B$, on a nécessaire\-ment\\
$\widehat{ACB}=45^\circ$.
\end{questions} 
\end{corrige}


%%% 

\begin{exo}{Alignement de points}{Lycée Buffon, Paris}{1}{20}
On se place dans un repère orthonormé et on donne~:
$A(-5~;6)$, $B(-1~;1)$, $C(7~;-8)$ et $D(9~;9)$.
\begin{questions}
\item Calculer les coordonnées des vecteurs $\gvec{AB}$, $\gvec{BC}$ et $\gvec{BD}$.
\item Les points $A$, $B$ et $C$ sont-ils alignés~? (justifier)
\item Le triangle $ABD$ est-il rectangle en $B$~? (justifier)
\end{questions}
\end{exo}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item On applique les formules :
\[\gvec{AB}\begin{pmatrix} -1+5\\ 1-6\end{pmatrix}\text{ donc }
 \gvec{AB}\begin{pmatrix}4\\-5\end{pmatrix}.\]
De même :
\[\gvec{BC}\begin{pmatrix}8\\-9\end{pmatrix}\text{ et }
\gvec{BD}\begin{pmatrix}10\\8 \end{pmatrix}.\]
\item Si $A$, $B$ et $C$ étaient alignés, alors $\gvec{AB}$ et $\gvec{BC}$ seraient colinéaires
(ils dirigeraient la droite passant par $A$, $B$ et $C$). 
Or, les coordonnées de $\gvec{AB}$ et $\gvec{BC}$ ne sont pas proportionnelles, donc
$\gvec{AB}$ et $\gvec{BC}$ ne sont pas colinéaires, et donc $A$, $B$ et $C$ ne sont pas alignés.
\item On calcule les carrés des côtés :
\begin{align*}
AB^2=4^2+5^2=16+25=41.\\
BD^2=10^2+8^2=100+64=164.\\
AD^2=14^2+3^2=196+9=205.
\end{align*}
On constate $AD^2=AB^2+BD^2$. D'après la réciproque du théorème de Pythagore,
le triangle $ABD$ est rectangle en $B$. 
\end{questions} 
\end{corrige}



%%% 2017

%\begin{exo}{Avec un algorithme}{Lycée Alain, Le Vésinet}{2}{10}
%On lance une fléchette sur une cible électronique qui détecte les coordonnées $(x~;y)$ du point d'impact $F$ de la fléchette dans le repère orthonormal $(O,I,J)$ d'unité 0,5 cm. On s'intéresse à l'algorithme suivant :
%
%\begin{algorithme}{}
%Lire x et y
%d $\leftarrow$ $\sqrt{\rm x^2+y^2}$
%Si d $<$ 10 alors
%  Afficher : \og Trop fort, tu es dans la cible ! \fg{} 
%Sinon
%  Si d = 10 alors
%    Afficher : \og Oups, c'était limite ! \fg{} 
%  Sinon
%    Afficher : \og Désolé, mais c'est raté ! \fg{} 
%  Fin du Si
%Fin du Si
%\end{algorithme}
%
%\begin{questions}
%\item Qu'affiche l'algorithme dans les cas suivants :
%\begin{questions}
%\item $x=4$ et $y=3$.
%\item $x=10$ et $y=0$.
%\item $x=9$ et $y=6$.
%\end{questions}
%\item La variable $d$ désigne la distance entre deux points. Lesquels ?
%\item De quelle forme est la cible et quelles sont ses dimensions (en cm) ? Justifier.
%\end{questions}
%\end{exo}
%
%\begin{corrige}
%\begin{questions}
%\item 
%\begin{questions}
%\item Si $x=4$ et $y=3$, alors $d=\sqrt{4^2+3^2}=5<10$ donc l'algorithme affiche : \og Trop fort, tu es dans la cible ! \fg.
%\item Si $x=10$ et $y=0$, alors $d=\sqrt{10^2+0^0}=10$ donc l'algorithme affiche : \og Oups, c'était limite ! \fg.
%\item Si $x=9$ et $y=6$, alors $d=\sqrt{9^2+6^2}=\sqrt{81+36}=\sqrt{117}$, ce qui est plus grand que 10 donc l'algorithme affiche : \og Désolé, mais c'est raté ! \fg.
%\end{questions}
%
%\item On peut écrire $d=\sqrt{(x-0)^2+(y-0)^2}$ donc $d$ est la distance entre le point de coordonnées $(x~;y)$ et celui de coordonnées $(0~;0)$. Ainsi, $d$ représente la distance $OF$.
%
%\item La cible ne peut être que ronde car on est à l'intérieur de la cible quand $d<10$ et sur le bord lorsque $d=10$; or, les points à 10 unités du centre forment un cercle. De plus, son centre est  $O$ (origine du repère) et son rayon est 10 unités, c'est-à-dire $10 \times 0,5$ cm, soit 5 cm.
%\end{questions}
%\end{corrige}
%
%%%% 

\begin{exo}{Parallélogramme et triangle}{Lycée Montesquieu, Le Mans}{2}{10}
Le plan est muni d'un repère orthonormé $(O,I,J)$. On considère les points $A(-1~;-1)$,
$B(1~;3)$ et $C(4~;-1)$. 
\begin{questions}
\item Déterminer les coordonnées du point $D$ de manière à ce que $ABCD$ soit un parallélogramme.
\item Déterminer les coordonnées du centre de $ABCD$.
\item Quelle est la nature du triangle $ABC$~? Justifier.
\end{questions}
\end{exo}

\begin{corrige}
\begin{center}
\includegraphics{249_06-08}
\end{center}
\begin{questions}
\item Calculons les coordonnées du vecteur  $\gvec{BA}$ : $\gvec{BA}\begin{pmatrix}-2 \\ -4\end{pmatrix}.$

Comme $\gvec{CD}=\gvec{BA}$ et $C(4~;-1)$, les coordonnées de $D$ sont 
$4-2$ et $-1-4$, donc $D(2~;-5)$.
\item Le centre du parallélogramme est le milieu des diagonales. En considérant
la diagonale $[AC]$, le centre a pour coordonnées :
\[\left(\frac{-1+4}{2}~;\frac{-1-1}{2}\right)\text{ donc }\left(\frac{3}{2}~;-1\right).\]
\item Calculons les longueurs des côtés de $ABC$ :
\begin{align*}
AB^2&=2^2+4^2=20,\\
BC^2&=3^2+4^2=25,\\
AC^2&=5^2+0=25.
\end{align*}
$BC=AC$ donc $ABC$ est isocèle en $C$. Il n'est pas rectangle.
\end{questions}
\end{corrige}



% 2024 

\begin{exo}{Récapitulatif}{Lycée Fernand Daguin, Mérignac}{2}{15}
Le plan est rapporté au repère orthonormé (O,I,J).

On considère les points $A(1;5)$, $B(-2;-1)$, $C(7;-1)$ et $H(1;2)$.
\begin{questions}
\item Calculer les coordonnées du point $D$ tel que $ABCD$ soit un parallélogramme.
\item Soit $E(4;-7)$. Montrer que $ABEC$ est un parallélogramme.
\item Montrer que le triangle $HCE$ est rectangle en $C$.
%\item Montrer que $(HC)$ est la médiatrice du segment $[ED]$.
\end{questions}
\end{exo}

\begin{corrige}
Avant tout, même si ce n'est pas demandé, faisons une figure complète:
\begin{center}
\includegraphics{250_recap_daguin}
\end{center}

\begin{questions}
\item On souhaite que $ABCD$ soit un parallélogramme. 

Dans ce cas, $\gvec{BA}=\gvec{CD}$.
\[
\gvec{BA}\dbinom{x_A-x_B}{y_A-y_B}\qquad\text{soit}\qquad \gvec{BA}\dbinom{1-(-2)}{5-(-1)}\quad\text{donc}\qquad\gvec{BA}\dbinom{3}{6}.
\]
\begin{align*}
\gvec{BA}=\gvec{CD} & \iff \dbinom{3}{6} = \dbinom{x_D-7}{y_D-(-1)}\\
                    & \iff \begin{cases}
                    3 = x_D-7\\
                    6 = y_D+1
                    \end{cases}\\
                    & \iff \begin{cases}
                    x_D = 3 + 7 = 10\\
                    y_D = 6 - 1 = 5
                    \end{cases}
\end{align*}
% ERREUR Ainsi, $D(5;10)$.
Ainsi, $D(10;5)$.

\newpage

\item $E(4;-7)$ donc $\gvec{EC}\dbinom{7-4}{-1-(-7)}$, soit $\gvec{EC}\dbinom{3}{6}$.

Ainsi, $\gvec{EC} = \gvec{BA}$; $ABEC$ est donc un parallélogramme.

\item \begin{methode}
Pour  déterminer la nature d'un triangle en géométrie analytique, il est très souvent recommandé de calculer le carré de la longueur des côtés.
\end{methode}

Calculons donc:
\begin{itemize}
\item $HC^2 = (x_C-x_H)^2 + (y_C-y_H)^2 = (7-1)^2 + (-1-2)^2 = 36+9 = 45$.
\item $CE^2 = (4-7)^2 + (-7-(-1))^2 = 9+36=45$.
\item $HE^2 = (4-1)^2 + (-7-2)^2 = 9 + 81 = 90$.
\end{itemize}

On peut alors remarquer que:
\begin{itemize}
\item $HC^2 = CE^2$, donc $HC = CE$, ce qui signifie que $HCE$ est isocèle en $C$;
\item $HE^2 = HC^2 + CE^2$, ce qui signifie que $HCE$ est rectangle en $C$ (d'après la réciproque du théorème de Pythagore).
\end{itemize}

% ERREUR %Ainsi, $HCE$ est rectangle isocèle en $E$.
Ainsi, $HCE$ est rectangle isocèle en $C$.

\end{questions}
\end{corrige}

%%% 2017

\begin{exo}{Alignement de points}{Lycée Fénelon, Paris}{2}{20}
Soit $ABCD$ un carré. Les triangles $DCE$ et $BCF$ sont équilatéraux de hauteurs $HE$ et $KF$.

On considère le repère $(A;\gvec{AB},\gvec{AD})$.
\begin{center}
\includegraphics{236_06-14}
\end{center}
\begin{questions}
\item \mbox{Donner, sans justification, les coordonnées des points $A$, $B$, $C$, $D$, $H$ et $K$.}
\item Calculer les hauteurs $HE$ et $KF$.
\item En déduire les coordonnées des points $E$ et $F$.
\item Montrer que $E$, $F$ et $A$ sont alignés.
\end{questions}
\end{exo}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item $A(0~;0)$, $B(1~;0)$, $C(1~;1)$, $D(0~;1)$, $H\left(\dfrac{1}{2}~;1\right)$ et $K\left(1~;\dfrac{1}{2}\right)$.

\item Dans le triangle équilatéral $DCE$, $(EH)$ est une hauteur donc le triangle $EHC$ est rectangle en $H$.

Ainsi, d'après le théorème de Pythagore,\vspace*{-1.5em}
\begin{multicols}{2}
\begin{align*}
EC^2 & = HC^2+HE^2\\
1^2 & = \left(\dfrac{1}{2}\right)^2+HE^2\\
    & \quad\text{car }EC=DC=1\\
1 & = \dfrac{1}{4}+HE^2
\end{align*}

\columnbreak

\begin{align*}
\text{donc }EH^2 & = 1-\dfrac{1}{4}\\
EH &= \sqrt{\dfrac{3}{4}}\\
EH & = \dfrac{\sqrt3}{2}.
\end{align*}
\end{multicols}
Les triangles $BCF$ et $DCE$ étant identiques, $KF=HE=\dfrac{\sqrt3}{2}$.

\item On déduit de la question précédente que :
\[
F\left(1-\dfrac{\sqrt3}{2}~;\dfrac{1}{2}\right)\qquad\text{et}\qquad E\left(\dfrac{1}{2}~;1+\dfrac{\sqrt3}{2}\right).
\]

\item $\gvec{AF}\dbinom{1-\frac{\sqrt3}{2}}{\frac{1}{2}}$ et $\gvec{AE}\dbinom{\frac{1}{2}}{1+\dfrac{\sqrt3}{2}}$.

Or,
\[
\underbrace{\left(1-\dfrac{\sqrt3}{2}\right)\left(1+\dfrac{\sqrt3}{2}\right)}_{\text{identité remarquable : $(a-b)(a+b)$}}-\dfrac{1}{2}\times\dfrac{1}{2}=1-\dfrac{3}{4}-\dfrac{1}{4}=0
\]
donc les vecteurs $\gvec{AF}$ et $\gvec{AE}$ sont colinéaires, ce qui signifie que les points $A$, $F$ et $E$ sont alignés.
\end{questions}
\end{corrige}


%%% 2017

\begin{exo}{En s'aidant des vecteurs}{Lycée Fénelon, Paris}{2}{20}
Le plan est muni d'un repère orthonormé $(O,I,J)$. On considère les points $A(3~;5)$, $B(-6~;2)$ et $C(-4~;-4)$.
\begin{questions}
\item Calculer les coordonnées du point $D$ tel que $ABCD$ soit un parallélogramme.
\item \begin{questions}
\item Calculer $AC$ et $BD$.
\item Quelle est la nature du quadrilatère $ABCD$ ?
\end{questions}
\item \begin{questions}
\item Calculer les coordonnées du point $M$ milieu de $[AB]$.
\item Les droites $(BC)$ et $(OM)$ sont-elles parallèles ?
\end{questions}
\item Soit $N$ un point sur l'axe des abscisses. Déterminer l'abscisse de $N$ pour que les droites $(AO)$ et $(MN)$ soient parallèles.
\end{questions}
\end{exo}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item Notons $D(x~;y)$. $ABCD$ est un parallélogramme si et seulement si :
\begin{align*}
\gvec{AB}=\gvec{DC} & \iff \dbinom{-6-3}{2-5}=\dbinom{-4-x}{-4-y}\\
& \iff \begin{cases}
-9=-4-x\\
-3=-4-y
\end{cases}\\
& \iff \begin{cases}
x=-4+9=5\\
y=-4+3=-1
\end{cases}
\end{align*}
Ainsi, $D(5~;-1)$.

\item 
\begin{questions}
\item \begin{multicols}{2}
$\begin{aligned}[t]
AC^2 & = (-4-3)^2 + (-4-5)^2~;\\
& = 49+81\\
AC & = \sqrt{130}.
\end{aligned}$

$\begin{aligned}[t]
~~BD^2 & = (5+6)^2 + (-1-2)^2\\
& = 121+9\\
~~BD & = \sqrt{130}.
\end{aligned}$
\end{multicols}

\item On constate alors que les diagonales du parallélogramme $ABCD$ ont la même longueur, donc $ABCD$ est un rectangle.

De plus, d'après les calculs précédents, $AB=\sqrt{81+9}=\sqrt{90}$, qui est différent de $AD$, côté du carré, donc ce n'est pas un carré.
\end{questions}

\item
\begin{questions}
\item $x_M=\dfrac{x_A+x_B}{2}=-\dfrac{3}{2}$ et $y_M=\dfrac{y_A+y_B}{2}=\dfrac{7}{2}$.

Donc $M\left(-\dfrac{3}{2}~;\dfrac{7}{2}\right)$.

\item $\gvec{BC}\dbinom{2}{-6}$ et $\gvec{OM}\dbinom{-\frac{3}{2}}{\frac{7}{2}}$. Regardons s'ils sont colinéaires :
\[
2\times\dfrac{7}{2}-(-6)\times\left(-\dfrac{3}{2}\right)=7-9=-2\neq0.
\]
Donc $\gvec{BC}$ et $\gvec{OM}$ ne sont pas colinéaires, ce qui montre que les droites $(BC)$ et $(OM)$ ne sont pas parallèles.
\end{questions}

\item Notons $N(x~;0)$ (car $N$ est sur l'axe des abscisses, donc son ordonnée est nulle). $(AO)$ et $(MN)$ sont parallèles si et seulement si :
\begin{align*}
\gvec{OA}\dbinom{3}{5}\text{ et }\gvec{MN}\dbinom{x+\frac{3}{2}}{0-\frac{7}{2}}\text{ colinéaires} & \iff 3\left(0-\dfrac{7}{2}\right)-5\left(x+\dfrac{3}{2}\right)=0\\
& \iff -\dfrac{21}{2}-5x-\dfrac{15}{2}=0\\
& \iff -\dfrac{36}{2}-5x=0\\
& \iff x = -\dfrac{18}{5}.
\end{align*}
\end{questions}
\end{corrige}

%%% 

\begin{exo}{Triangles et droites parallèles}{Lycée Saint-Aspais, Fontainebleau}{2}{30}
Dans un plan muni d'un repère orthonormé $(O,I,J)$, on considère les points~:
$A(3~;3)$, $B(5~;2)$, $C(1~;-1)$, $E(11~;2)$, $F(7~;4)$. 

\begin{questions}
\item Faire une figure.
\item Montrer que les droites $(AB)$ et $(EF)$ sont parallèles.
\item Montrer que le triangle $ABC$ est rectangle.
\item Soit $G(7~;-6)$
\begin{questions}
\item Calculer $FG$, $EF$ et $EG$. 
\item Montrer que les triangles $ABC$ et $EFG$ ont leurs côtés proportionnels.
\end{questions}
\end{questions}
\end{exo}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item \mbox{}\\[-18pt]
\begin{center}
\includegraphics{253_06-05}
\end{center}

\item Méthode~1~: On calcule les coordonnées des vecteurs $\gvec{AB}\begin{pmatrix}2\\-1\end{pmatrix}$
et\linebreak $\gvec{EF}\begin{pmatrix}-4\\2\end{pmatrix}$. 

Ces coordonnées sont proportionnelles donc
les deux vecteurs sont\linebreak$\emph{colinéaires}$~: les droites $(AB)$ et $(EF)$ sont donc parallèles.

\Par

Méthode~2~: On calcule le coefficient directeur des droites $(AB)$ et $(EF)$. Pour $(AB)$, on a~:
\[\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}=\frac{2-3}{5-3}=\frac{-1}{2}.\]
On obtient le même coefficient directeur pour la droite $(EF)$, donc $(AB)~//~(EF)$. 

\item 
On calcule les longueurs $AB$, $AC$ et $BC$, par la formule habituelle~:
\[AB=\sqrt{(x_B-x_A)^2(y_B-y_A)^2}=\sqrt{4+1}=\sqrt{5}.\]
De même, $AC=2\sqrt{5}$ et $BC=5$.

On applique alors la réciproque du théorème de Pythagore~: \[AB^2+AC^2=5+20=25=BC^2\] 
donc le triangle $ABC$ est rectangle en $A$. 

\item 
\begin{questions}
\item On obtient~: $FG=10$, $EF=2\sqrt{5}$ et $EG=4\sqrt{5}$. 
\item On constate~:
\[\frac{AB}{EF}=\frac{\sqrt{5}}{2\sqrt{5}}=\frac{1}{2}\;,\quad \frac{AC}{EG}=\frac{2\sqrt{5}}{4\sqrt{5}}=\frac{1}{2}\;,\quad \frac{BC}{FG}=\frac{5}{10}=\frac{1}{2}.\]

\Par

Les côtés des triangles $ABC$ et $EFG$ sont donc proportionnels. 
\end{questions}
\end{questions} 
\end{corrige}



%%% 

\begin{exo}{Un peu de recherche}{Lycée Victor Louis, Talence}{2}{30}
Dans un repère orthonormé, on considère les points $M(-1~;1)$, $N(1~;-5)$ et $P(-4~;0)$.
\begin{questions}
\item 
Démontrer que le triangle $MNP$ est rectangle.
\item Les points $R$, $S$, $T$ et $U$ ont pour coordonnées $R(7~;-3)$, $S(5~;3)$,
$T(-2~;4)$ et $U(-5~;3)$. Démontrer que $MNRS$ est un parallélogramme.
\item Soit $L$ le milieu de $[ST]$. Déterminer les coordonnées du point $V$, symétrique
de $M$ par rapport à $L$. 
\item Le point $H$ a pour coordonnées $(-3~;-1)$. Démontrer que les points $M$, $V$, $H$ d'une part
et $N$, $P$ et $H$ d'autre part, sont alignés. Que peut-on en conclure~?
\item Démontrer que $(MV)$ est perpendiculaire à $(NP)$.
\item Démontrer l'égalité~: $MH^2=HN\times HP$.
\end{questions}
\end{exo}

\begin{corrige}
Dans cet exercice, on utilise à plusieurs reprises la formule permettant de 
calculer la distance entre deux points $A$ et $B$ dans un repère orthonormé :
\[AB^2=(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2.\]
On commence par une figure, où l'on place les points au fur et à mesure (voir page ci-contre).
\begin{questions}
\item Nous allons appliquer la réciproque du théorème de Pythagore. On calcule
les carrés des côtés :
\begin{align*}
MN^2&=(1-(-1))^2+(-5-1)^2=2^2+6^2=4+36=40.\\
MP^2&=(-4-(-1))^2+(-1)^2=3^2+1^2=9+1=10.\\
PN^2&=(1-(-4))^2+(0-(-5))^2=5^2+5^2=25+25=50.
\end{align*}
On constate : $MN^2+MP^2=PN^2$ donc le triangle $MNP$ est rectangle en $M$.

\begin{center}
\includegraphics{255_06-07}
\end{center}

\item Pour montrer que $MNRS$ est un parallélogramme, on a deux méthodes
possibles utilisant les coordonnées :
\begin{itemize}
\item \emph{Avec les vecteurs.} On calcule les coordonnées de : 
\[\gvec{MN}\,\begin{pmatrix}2\\-6\end{pmatrix}\qquad\text{et}\qquad \gvec{SR}\,\begin{pmatrix}2\\-6\end{pmatrix}.\]
On constate $\gvec{MN}=\gvec{SR}$ donc $MNRS$ est un parallélogramme.
\item \emph{Avec les milieux.} Le milieu de $[MR]$ a pour coordonnées : \linebreak
$\left(\dfrac{-1+7}{2}~;\dfrac{1-3}{2}\right)$, donc
$(3~;-1)$. Le milieu de $[SN]$ a les mêmes coordonnées.
$[MR]$ et $[SN]$ ont même milieu, on en déduit que $MNRS$ est un parallélogramme.
\end{itemize}

\item Là encore, deux méthodes possibles :
\begin{itemize}
\item \emph{Avec les vecteurs.} $L$ est le milieu de $[ST]$ et de $[MV]$ donc $MTVS$ est un parallélogramme,
et $\gvec{MS}=\gvec{TV}$. On calcule :
\[\gvec{MS}\,\begin{pmatrix}6\\2\end{pmatrix}.\]
Notons $V(x,y)$. Les coordonnées de $\gvec{TV}$ sont :
\[\gvec{TV}\,\begin{pmatrix}x+2\\ y-4\end{pmatrix}.\]
Il n'y a plus qu'à résoudre le système :
\[\begin{cases} x+2=6\\y-4=2\end{cases}\]
D'où $x=4$ et $y=6$. Il vient : $V(4,6)$.

\item \emph{Avec les milieux.} On calcule les coordonnées de $L$, milieu de $[ST]$ :
\[L\,\left(\dfrac{5-2}{2}~;\dfrac{3+4}{2}\right).\]
donc $\displaystyle L\left(\frac{3}{2}~;\frac{7}{2}\right)$.

Notons $V(x,y)$ ~; $L$ étant le milieu de $[MV]$, ses coordonnées s'écrivent également :
\[L\,\left(\dfrac{x-1}{2}~;\dfrac{y+1}{2}\right).\]
On identifie, on obtient le système :
\[\begin{cases} \dfrac{x-1}{2}=\dfrac{3}{2}\\
\mbox{~} \\
\dfrac{y+1}{2}=\dfrac{7}{2} \end{cases}\]
On obtient $x=4$ et $y=6$, et donc $V(4~;6)$.
\end{itemize}

\item 
On calcule les coordonnées des vecteurs $\gvec{MV}\begin{pmatrix}5\\5\end{pmatrix}$
et $\gvec{MH}\begin{pmatrix}-2\\-2\end{pmatrix}$. 
On constate que $\gvec{MV}$ et $\gvec{MH}$ sont colinéaires (coordonnées proportionnelles),
donc $M$, $V$ et $H$ sont alignés.

De même :
\[\gvec{NP}\,\begin{pmatrix}-5\\5\end{pmatrix}\text{ et }\gvec{NH}\,\begin{pmatrix}-4\\4\end{pmatrix}.\]
$\gvec{NP}$ et $\gvec{NH}$ sont colinéaires, donc $N$, $P$ et $H$ sont alignés.

On en conclut que les droites $(MV)$ et $(NP)$ se coupent en $H$. 

\item Montrer que $(MV)$ est perpendiculaire à $(NP)$ revient à montrer que $MHP$ est un
triangle rectangle. On calcule comme à la première question : 
\begin{align*}
MH^2&=8,\\
PH^2&=2,\\
MP^2&=10.
\end{align*}
$MP^2=MH^2+PH^2$. D'après la réciproque du théorème de Pythagore, $MPH$ est un triangle rectangle en $H$. 
Donc $(MV)$ est perpendiculaire à $(NP)$.

\item On calcule encore $HN^2=32$. L'égalité demandée ne concerne que des nombres positifs,
on obtient une égalité équivalente en élevant au carré. Montrons donc que :
\[MH^4=HN^2\times HP^2.\]
On a $HN^2=32$, $HP^2=2$ et $MH^2=8$ donc $MH^4=64$. On a bien $64=32\times 2$, donc
l'égalité $MH^4=HN^2\times HP^2$ est vraie, et donc :
\[MH^2=HN\times HP.\]
\end{questions}
\end{corrige}


\thumb
\AfficheCorrige
