\chapter{Fonctions de référence}
\label{cours:fonctions-reference}

\section{Fonctions linéaires et affines}

\begin{exointro}{Lycée Pascal Paoli, Corte}
\begin{questions}
\item Donner les variations des fonctions définies sur $\R$ par :
\[\begin{cases}
f_1(x)=2x+3\\
f_2(x)=2x-3\\
f_3(x)=-2x+3
\end{cases}\]
\item Tracez leur courbe représentative.
\end{questions}
\vspace*{-1.5em}
\end{exointro}

\subsection{Comment varient les fonctions linéaires et affines ?}
\enlargethispage*{5em}

Une fonction affine s'écrit :
\[ \forall x \in \R,\qquad f(x)=ax+b\]
où $a$ et $b$ sont des réels fixés. Les variations de $f(x)$ et de $x$
sont proportionnelles, car~:$f(x_2)-f(x_1)=(ax_2+b)-(ax_1+b)=a(x_2-x_1)$, soit:
\[
a=\dfrac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}.
\]
$a$ est le coefficient de proportionnalité.
\begin{itemize}
\item On a : $b=f(0)$ (c'est \og l'ordonnée à l'origine\fg).
\item La « courbe » représentative de $f$ est une droite. 
\item L'équation de cette droite est : $y=ax+b$. 
\item La direction de cette droite est indiquée par
le réel $a$, appelé \emph{coefficient directeur}.
\end{itemize}

Le signe du coefficient directeur indique le sens de variation de $f$~:
\begin{itemize}
\item Si $a>0$, la fonction est strictement croissante.

\item Si $a=0$, la droite est parallèle à l'axe des abscisses, la fonction est constante.

\item Si $a<0$, la fonction est strictement décroissante.
\end{itemize}

\begin{Remarque}
une fonction \emph{linéaire} (de la forme $x\mapsto ax$, où $a$ est une constante) est un cas particulier de fonction affine ($b=0$).
\end{Remarque}


\begin{solintro}
\begin{questions}
\item 
Le coefficient directeur de $f_1$ est $+2$ donc $f_1$ est croissante.

Celui de $f_2$ est également $+2$ donc $f_2$ est croissante. Les coefficients
directeurs étant les mêmes, les droites sont parallèles.

Le coefficient directeur de $f_3$ est $-2$, donc $f_3$ est décroissante.
%\Break
\item \raisebox{-\totalheight}{%
\hspace*{2cm}
\includegraphics{190_04-01}}
\end{questions} 
\end{solintro}



\section{Les autres fonctions usuelles}

\begin{exointro}{Lycée Chaptal, Paris}
Le plan est rapporté à un repère orthonormé $(O,\vec{\imath},\vec{\jmath})$.

\begin{questions}
\item Développer l'expression $(x+3)^2-6$. 
\item En déduire que la courbe d'équation $y=x^2+6x+3$ est une
parabole, dont on déterminera le sommet $S$. 
\item \'Ecrire l'expression $2+\dfrac{3}{x-1}$ sous la forme
d'une fraction.
\item En déduire l'ensemble de définition et les variations de la 
fonction $f$~: $x\mapsto \dfrac{2x+1}{x-1}$.
\end{questions}

\end{exointro}

\subsection{La fonction « carré »}
\label{cours:fonction-carre}

C'est la fonction définie sur $\R$ par $x\mapsto x^2$. 

Son
tableau de variations est le suivant :

\Par

\[
\begin{array}{|C|lcccr|}\hline\tabulartitle
x & -\infty &  &  0 &  & +\infty \\ \hline
x^2 &  & \searrow & 0 & \nearrow &  \\ \hline
\end{array}
\]

\Par

Sa courbe représentative s'appelle une \emph{parabole}. Au minimum de la fonction, $0$, correspond sur la courbe le \emph{sommet}, placé à l'origine du repère.

\begin{center}
\includegraphics[scale=0.9]{191_04-02}
\end{center}

La fonction carré n'est croissante que sur $[0,+\infty[$ 
(également noté $\R_+$), on ne peut donc passer au carré
dans une inégalité que si les deux membres sont positifs. 

Par exemple, $3<5$ donc $9<25$. En revanche, $-2<1$ et pourtant
$4>1$~!

Si on note $f(x)=x^2$, on constate que $f(-x)=f(x)$ pour tout 
$x\in\R$ : on dit que la fonction est \emph{paire} (comme l'exposant 2 dans $x^2$). On peut le voir graphiquement car l'égalité $f(-x)=f(x)$ signifie
que deux points de la courbe qui ont des abscisses opposées ont 
toujours la même ordonnée~: la courbe est donc symétrique par
rapport à l'axe $(Oy)$. 


Toutes les courbes dont l'équation peut s'écrire, 
dans un certain repère, sous la forme ${y=ax^2}$ $(a\neq0)$, sont des paraboles, dont le sommet est l'origine du repère. Le signe de $a$ donne l'orientation (branches vers le haut ou vers le bas) de la parabole.
\enlargethispage*{4em} 

Voici par exemple la courbe représentative de $x\mapsto 3x^2$ :

\begin{center}
\includegraphics{191_04-03}
\end{center}

et celle de la fonction $x\mapsto -2x^2$ :

\begin{center}
\includegraphics{192_04-04}%[width=50mm]
\end{center}



\subsection{La fonction \og cube \fg}
La fonction $f$ : $x\mapsto x^3$ est strictement croissante sur $\R$. 
En effet, si $a$ et $b$ sont deux réels tels que $a<b$, 
alors $a^3<b^3$. On a donc le droit de \og passer au cube \fg 
une inégalité de réels, même si les deux membres ne sont pas
positifs. Voici la courbe représentative de cette fonction~:

\begin{center}
\includegraphics{192_FctCube}
\end{center}

Si on note $f(x)=x^3$, on constate que $f(-x)=-f(x)$ pour tout 
$x\in\R$ : on dit que la fonction est \emph{impaire} (comme l'exposant 3 dans $x^3$). 

L'égalité $f(-x)=-f(x)$ signifie
que deux points de la courbe qui ont des abscisses opposées ont 
des ordonnées opposées~: la courbe est donc symétrique par rapport
à $O$.  

\subsection{La fonction \og racine carrée \fg}

\enlargethispage*{4em}
\begin{minipage}{\dimexpr\linewidth-55mm}
La fonction $x\mapsto \displaystyle\sqrt{x}$ n'est définie
que sur $\R_+=[0,+\infty[$. Elle est croissante, et sa courbe
est représentée ci-contre.
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}{50mm}
\includegraphics{192_FctRacineCarree}
\end{minipage}

Se demander si elle est paire ou impaire n'a pas de sens, car
elle n'est définie que sur $\R_+$. 

Si on regarde la figure ci-dessous dans un miroir et qu'on la tourne
un peu, la courbe de $y=\sqrt{x}$ devient la branche droite
de la parabole. 


\begin{center}
\includegraphics{193_FctRotation}
\end{center}

Ceci montre que les courbes d'équation $y=\sqrt{x}$ et $y=x^2$ (pour 
$x\geq0$) sont symétriques par rapport à la droite d'équation $y=x$. 

\begin{center}
\includegraphics{193_Comparaison}
\end{center}

On a cette propriété parce que les fonctions racine et carré (sur 
$[0,+\infty[$) sont réciproques l'une de l'autre~: si $x\geq 0$, alors 
$\sqrt{x^2}=x$ et $(\sqrt{x})^2=x$. 

\enlargethispage*{3em}

\begin{attention}
Si $x<0$, alors $(\sqrt{x})^2$ n'existe pas et $\sqrt{x^2}= -x$
(par exemple $(-2)^2=4$ et $\sqrt{4}=2$ et non $-2$). 

En testant les deux cas $x\geq 0$ et $x\leq0$, on montre
la formule~:
\[\sqrt{x^2} = |x|.\]


\end{attention}




\subsection{La fonction « inverse »}

C'est la fonction $f$~: $\displaystyle x\mapsto\dfrac{1}{x}$. 
Elle est définie sur $\R^*$. Cet ensemble est un sous-ensemble
de $\R$, mais ce n'est pas un intervalle. Il est formé 
de la \emph{réunion} de deux intervalles~: $]-\infty,0[$
et $]0,+\infty[$. 

La fonction est décroissante sur 
ces deux intervalles. Si on inverse les membres
d'une inégalité entre nombres de mêmes signes, on obtient une inégalité
de sens contraire. 

Attention ! La fonction inverse 
n'est pas décroissante \emph{sur  $\R^*$} car,
par exemple, $f(-1)<f(+1)$. 

Son tableau de variations est le suivant :

\renewcommand{\arraystretch}{1.3}
\[\begin{array}{|C|lcccr|}
\hline\tabulartitle
x & -\infty &  & 0 & & +\infty \\ \hline
\dfrac{1}{x} & & \searrow & \dvline & \searrow &\\[2mm] \hline
\end{array}\]
\renewcommand{\arraystretch}{1}

La courbe représentative est une \emph{hyperbole}.
Elle est formée de deux branches disjointes.

Notons $f(x)=\dfrac{1}{x}$. On constate que, pour tout $x\in\R^*$, 
$f(-x)=-f(x)$. La fonction est donc impaire et la courbe 
admet l'origine du repère comme centre de symétrie.

\begin{center}
\includegraphics{194_04-05}
\end{center}

La courbe se rapproche des deux axes du repère, mais 
sans les toucher ; on dit que les axes sont les \emph{asymptotes} de l'hyperbole.

Toutes les courbes dont l'équation s'écrit sous la forme $y=\dfrac{a}{x}$ s'appellent des hyperboles, et l'origine du repère est leur \emph{centre}. 

\newpage

\begin{minipage}{0.5\linewidth}
\begin{center}
$a<0$

\includegraphics[width=50mm]{195_04-06} 
\end{center}
\end{minipage}
\begin{minipage}{0.5\linewidth}
\begin{center}
$a>0$

\includegraphics[width=50mm]{195_04-07} 
\end{center}
\end{minipage}

\enlargethispage*{4em}

\begin{solintro}
\begin{questions}
\item On développe~: $(x+3)^2-6=x^2+6x+9-6=x^2+6x+3$.

\item L'équation $y=x^2+6x+3$ s'écrit donc aussi : 
$y=(x+3)^2-6$, soit~: $y+6=(x+3)^2$. 

On pose $Y=y+6$ et $X=x+3$, on obtient l'équation $Y=X^2$, 
ce qui montre que la courbe est une parabole. Son sommet $S$
est l'origine du nouveau repère. Il est donc donné par $X=0$
et $Y=0$, c'est-à-dire $x=-3$ et $y=-6$. 
En conclusion, $S$ a pour coordonnées $(-3;-6)$.

\item On réduit au même dénominateur : 
\[2+\dfrac{3}{x-1}=\dfrac{2(x-1)+3}{x-1}=\dfrac{2x-2+3}{x-1}
=\dfrac{2x+1}{x-1}.\]

\item L'expression  $\dfrac{2x+1}{x-1}$ n'est définie que si
le dénominateur est différent de $0$, donc pour $x\neq 1$. 

L'ensemble de définition de $f$ est donc $\R\setminus\{1\}$, 
qu'on peut aussi noter $]-\infty,+1[ \cup ]+1,+\infty[$. 

Pour les variations, 
considérons deux éléments $a$ et $b$ de $]+1,+\infty[$ 
tels que $a<b$. On a donc $a-1<b-1$ et comme ces deux nombres sont 
strictement positifs~: $\dfrac{1}{a-1}>\dfrac{1}{b-1}$. On
applique aux deux membres la fonction $x\mapsto 3 x + 2$, 
qui est une fonction affine strictement croissante sur $\R$, et on en
déduit que $\dfrac{3}{a-1}+2 > \dfrac{3}{b-1}+2$, c'est-à-dire
\linebreak$f(a)>f(b)$. On en déduit que $f$ est strictement décroissante sur 
$]1,+\infty[$. 

Si $a$ et $b$ sont éléments de $]-\infty,+1[$, on a de même
\mbox{$a-1<b-1$}, et comme ces deux nombres sont strictement négatifs,
on a encore $\dfrac{1}{a-1}>\dfrac{1}{b-1}$, puis $f(a)>f(b)$. 
La fonction $f$ est donc strictement décroissante sur $]-\infty, 1[$. 
\end{questions}
\vspace*{-1.5em}
\end{solintro}

