IL2M — v. 1.0 9 juin 2025 — page 1 — #1

IL2M — v. 1.0 9 juin 2025 — page 2 — #2

Remerciements

Les auteurs et l’équipe de Prepamath Édition tiennent à remercier Jean-Côme Charpentier et Carlos Gomez pour l’aide précieuse qu’ils ont apportée à cet ouvrage.

Illustrations : Anna Michalak, Stéphane Pasquet
Coordination éditoriale : François Déliac
Conception couverture : Simon Geliot

Votre avis nous intéresse : contact@prepamath.fr

Retrouvez les Interros des Lycées et des informations scientifiques sur :

Facebook : facebook.com/interrosdeslycees
Instagram : @interrosdeslycees

© PREPAMATH Éditions 2024 © Éditions NATHAN 2024 - ISBN 9782095038618

IL2M — v. 1.0 9 juin 2025 — page 3 — #3

Avant-propos

Dernière année avant le choix des spécialités, la classe de seconde marque un tournant décisif dans le parcours scolaire de l’élève. C’est particulièrement le cas en mathématiques où le programme s’intensifie et s’élargit, jetant pour nombre d’entre eux les bases d’une future spécialisation scientifique. Cet ouvrage est conçu pour accompagner les élèves en proposant une structure claire et des exercices adaptés à chaque thème abordé. Complètement revue et corrigée, cette nouvelle édition comporte de nouveaux exercices très récents et variés, issus de différents lycées français. Certains chapitres ont de plus été réorganisés pour répondre au mieux aux attentes des élèves. La structure de chaque chapitre, comme dans tous les « Interros des lycées », est la suivante :

un rappel de cours, qui s’appuie sur la résolution pratique d’un exercice type, et qui donne de manière concise tout ce que l’on doit retenir du chapitre étudié;

des questionnaires à choix multiples (QCM) ou des vrai-faux (V/F) pour vous assurer d’avoir la maîtrise des concepts fondamentaux du chapitre;

des exercices corrigés de tous types, qui ont tous été réellement posés en lycée, classés par notion et par degré de difficulté.

Des compléments numériques (vidéos et sources de programmes informatiques) sont aussi présentes, et repérés par des pictogrammes et un QR Code. Vous pourrez ainsi accéder à des ressources numériques qui vous aideront de manière vivante à préciser certains points de cours, mieux comprendre la résolution d’exercices importants, ou récupérer les sources Python des programmes contenus dans ce livre. La liste complète des vidéos se trouve en annexe en fin d’ouvrage, et vous pouvez télécharger les programmes qu’il contient en visitant le lien suivant :

                https://www.prepamath.fr/IL2M.

N’hésitez pas à nous faire part de vos remarques ou suggestions en nous contactant

par mail à l’adresse contact@prepamath.fr.

Nous vous souhaitons une bonne et profitable lecture, pour un entraînement en maths réussi tout au long de l’année.

Les auteurs

IL2M — v. 1.0 9 juin 2025 — page 4 — #4 Table des matières

1^{Chap} Notions d’algorithmique  1

• Cours 1 • Interros 12 • Corrigés 18

2^{Chap} Nombres et calculs  25

• Cours 25 • Interros 37 • Corrigés 45

3^{Chap} Calcul littéral, équations et inéquations  61

• Cours 61 • Interros 73 • Corrigés 86

4^{Chap} Configurations du plan  121

• Cours 121 • Interros 133 • Corrigés 139

5^{Chap} Généralités sur les fonctions  157

• Cours 157 • Interros 166 • Corrigés 175

6^{Chap} Fonctions de référence  189

• Cours 189 • Interros 196 • Corrigés 205

7^{Chap} Vecteurs et coordonnées dans le plan  221

• Cours 221 • Interros 229 • Corrigés 238

IL2M — v. 1.0 9 juin 2025 — page 5 — #5
8^{Chap} Équations de droites. Systèmes linéaires  257

• Cours 257 • Interros 268 • Corrigés 276

9^{Chap} Informations chiffrées  297

• Cours 297 • Interros 305 • Corrigés 313

10^{Chap} Probabilités  323

• Cours 323 • Interros 326 • Corrigés 332

AnnexeListe des vidéos 341

IL2M — v. 1.0 9 juin 2025 — page 6 — #6 Méthodes de travail

Tous les conseils qui suivent sont ceux utilisés par un grand nombre de majors (sortis premiers) de Polytechnique ou de l’ÉNA, par des professionnels de l’organisation et sont également recommandés par de nombreux professeurs. Pour en savoir plus sur le sujet, nous vous conseillons le livre « Comment travailler plus efficacement », par F. Déliac, U. Hadrien, E. Matrullo et E. Maurette, aux Éditions Prepamath.

Faire des « feed-back »

Le « feed-back » est le conseil le plus important et le plus utilisé par ceux qui réussissent brillamment leurs études. Il consiste à contrôler systématiquement, sans s’aider de notes, ce que l’on vient d’apprendre (exercices et cours). Ce contrôle peut se faire mentalement, oralement ou par écrit.

Dans les transports, essayez de vous rappeler mentalement, et sans vous aider de vos notes, le cours et les exercices vus le matin en classe (feed-back mental).

Après avoir relu votre cours le soir, essayez de retrouver par écrit les principaux paragraphes et démonstrations sans regarder votre leçon (feed-back écrit).

Après avoir résolu un problème, prenez 5 minutes pour contrôler par écrit que vous vous rappelez clairement l’énoncé ainsi que la démarche de résolution (feed-back écrit).

Expliquez à des amis la leçon que vous venez d’apprendre ou l’exercice que vous venez de résoudre : c’est un excellent feed-back oral. Choisissez le type de « feed-back » qui vous convient le mieux et faites-en le plus régulièrement possible (après chaque cours et chaque série d’exercices). Pour être efficace, un « feed-back » doit se faire sans l’aide de vos notes. Ainsi, faire des fiches de résumés de cours à partir de vos cahiers ouverts ne constitue nullement un « feed-back ».

Miser sur la qualité

De nombreux témoignages démontrent que pour obtenir de bons résultats, il est préférable de faire un nombre limité d’exercices, mais plus approfondis, que d’en survoler une grande quantité de piètre qualité. Une tendance très répandue consiste à abattre une grande quantité d’exercices, à la chaîne, mais superficiellement, en espérant que le jour du contrôle, l’on aura déjà vu ce type de problème et que l’on saura s’en souvenir. Cette méthode est absolument inefficace car la seule manière de se souvenir d’un exercice de mathématiques ou de physique, c’est de l’avoir parfaitement compris et assimilé.

IL2M — v. 1.0 9 juin 2025 — page 7 — #7

Ainsi :

À la fin d’un problème, prenez 5 à 10 minutes pour essayer de trouver un moyen de le généraliser ou de le compliquer (c’est ce que font souvent les professeurs pour concevoir leurs contrôles écrits); trouvez ce que cela pourrait changer dans la solution.

Prenez également l’habitude, après chaque exercice, de faire un « feed-back » en faisant ressortir la démarche générale et en tissant des liens avec le cours. Bref, il ne faut pas vous contenter de résoudre l’exercice, mais il vous faut lui apporter de la valeur ajoutée et vous interroger sur son contenu.

Idem pour le cours. Ne vous contentez pas de le parcourir de manière passive. Il vous faut avoir la rigueur d’effacer toutes les zones d’ombre. Pour chaque théorème, il faut vous demander quels types d’exercices son utilisation permettra de résoudre.

Travailler par « couches successives »

Cette méthode, très utile pour les étudiants préparant des examens ou des révisions, peut également être utilisée dès le lycée. On observe que pour apprendre un gros volume de cours, rien n’est plus inefficace que de l’attaquer de front, de manière linéaire. La bonne manière consiste à d’abord survoler l’ensemble, en ne retenant que la structure, c’est-à-dire les grands titres, ainsi que les noms des paragraphes (première couche, étape devant durer 5 minutes). Dans l’étape suivante (deuxième couche, d’une durée de 10 minutes), on reprend son cours du début en retenant cette fois également les théorèmes et résultats importants. Après cette deuxième couche, on a déjà une idée claire de la structure de l’ensemble du cours. On peut alors aborder la dernière étape (troisième couche) : on reprend son cours au début pour, cette fois-ci, l’étudier en profondeur en apprenant le détail des démonstrations.

Il est à noter que cette méthode peut être également appliquée avec succès à des matières littéraires, ainsi qu’aux révisions du bac de français. Par exemple :

Pour la préparation d’un contrôle, on commencera par passer en revue rapidement l’ensemble du cours et des exercices du chapitre précédemment étudiés, avant de les réviser en détail. Ainsi aura-t-on développé une compréhension synthétique et claire.

De même, avant d’aborder un problème volumineux (tel qu’un contrôle écrit), il est préférable de survoler l’ensemble du problème avant de l’attaquer.

IL2M — v. 1.0 9 juin 2025 — page 8 — #8

Travailler sa rapidité

Pour acquérir de la rapidité, 3 voies sont possibles :

Prenez l’habitude, en travaillant chez vous, de vous concentrer sur une seule chose à la fois, c’est-à-dire ne pas attaquer un problème ou une dissertation, en rêvassant à ce que vous pourriez trouver à manger dans le réfrigérateur ou en écoutant de la musique.

Prenez l’habitude de travailler chez vous dans les mêmes conditions qu’en devoirs surveillés. Le minutage de chacun des exercices de ce livre est fait en ce sens. Cependant, cela ne devrait pas, une fois la résolution faite, vous empêcher d’y réfléchir plus calmement afin de vérifier la bonne assimilation du problème. Si les seuls moments où vous vous pressez sont les contrôles écrits, vous ne deviendrez jamais rapide.

Essayez de contenir tout votre travail à la maison dans une plage horaire serrée. Engagez-vous, par exemple, à travailler chez vous tous les jours entre 18 h et 20 h et efforcez-vous de ne jamais déborder (quelle que soit votre charge de travail). En effet, si l’on ne se donne pas de limite de temps pour accomplir un travail, l’on a naturellement tendance à le laisser traîner en longueur et à rêvasser. L’étroitesse de la plage horaire vous obligera à ne pas vous endormir et à devenir efficace.

IL2M — v. 1.0 9 juin 2025 — page 9 — #9

IL2M — v. 1.0 9 juin 2025 — page 10 — #10

IL2M — v. 1.0 9 juin 2025 — Chapitre 1 page 1 — #11 1^{Chapitre}

Notions d’algorithmique

Plan du chapitre

1. Qu’est-ce qu’un algorithme?

2. Les instructions composées

3. Comment écrire une fonction en Python?

1 Qu’est-ce qu’un algorithme?

On considère la séquence d’instructions :

   1> a = 3
    2> b = a/2
    3> a+b = 4.5
   4> b = b+1

Expliquer ce qui est effectué sur chaque ligne et préciser si chaque opération est autorisée.

Exercice type 1

Lycée Marie Curie, Sceaux

Voir corrigé page 3

1.1 Introduction

Au collège, vous avez vu que le logiciel Scratch permettait de construire votre propre programme et ce, rien qu’en déplaçant des blocs d’instructions (les instructions sont des ordres à exécuter par l’ordinateur). Ces blocs d’instructions constituent un moyen simple de visualiser ce que l’on appelle un algorithme.

Définition 1 : algorithme

Un algorithme est une suite finie d’instructions.

Dans un premier temps, on peut écrire l’algorithme dans un langage naturel.

IL2M — v. 1.0 9 juin 2025 — Chapitre 1 page 2 — #12 COURS_{2}

Exemple :

 Variable
    x est un nombre
 Début
    x ← 5
    Afficher x
    x ← 10
    Afficher x
 Fin

L’instruction x ← 5 est une affectation. La valeur 5 est stockée dans la variable x Au départ, le nombre « 5 » s’affiche (car c’est la première valeur de la variable x) et dans un second temps, c’est « 10 » qui s’affiche (car on a affecté à x une autre valeur après le premier affichage).

On traduit l’algorithme pour l’ordinateur sous forme de programme, à l’aide d’un langage de programmation, comme Python.

Exemple :

 x = 5 print(x) x = 10 print(x)

1.2 Type des variables

Dans le programme précédent, on remarque que Python n’a pas besoin qu’on lui précise que la variable x va contenir un nombre. Au moment de l’affectation x = 5, Python détermine lui-même que 5 est un entier et que x va contenir un entier. On dit alors que la variable x est du type entier. Le type d’une variable est important car il détermine (entre autres) quelle place la variable peut occuper en mémoire. En Python, on distingue les types suivants :

entier (en Python, int, de l’anglais integer) : -234.

booléen (du mathématicien et logicien anglais George Boole, 1815-1864). Ce type ne contient que deux valeurs : True (vrai) et False (faux)

flottant (en Python float) 45.156, -8.11. À noter : Python utilise le point décimal au lieu de la virgule. La position « flottante » de la virgule donne son nom à ce type.

chaînes de caractères (en Python, str pour string), 'mathématiques', "bonjour".

IL2M — v. 1.0 9 juin 2025 — Chapitre 1 page 3 — #13 NOTIONS D’ALGORITHMIQUE CHAP. 1_{3} CORRIGÉS INTERROS COURS

Le nom d’une variable obéit à certaines règles. Pour simplifier, disons qu’il consiste en une suite de lettres, y compris le caractère « _», suivie éventuellement d’une suite de chiffres. Noter que Python fait la différence entre majuscules et minuscules. Par exemple,

  ab1, ma_variable, Résultat, vAriAble sont des noms autorisés;

2, 51ab, x+y, 'hello' sont interdits ('hello' est une chaîne de caractères, 2 est un entier : ce sont des constantes).

1.3 L’affectation

En Python, le symbole d’affectation est le signe égal (« D »). Contrairement à ce qui se passe en mathématiques, le signe « = » n’est pas du tout symétrique. Le membre de gauche est toujours un nom de variable. Si cette variable n’existe pas encore, elle est créée. En revanche, le membre de droite peut contenir des variables mais elles doivent déjà contenir une valeur. La valeur du membre de droite est alors calculée puis stockée dans la variable située du côté gauche du « = ». Par exemple, dans l’instruction x=5, on calcule la valeur du membre de droite (donc 5), qui est stockée dans la variable x. Si maintenant on effectue x=10, la valeur 10 vient remplacer la valeur 5 dans la variable x.

   1> a = 3

La valeur 3 est évaluée et stockée dans la variable a, qui est donc de type entier.

    2> b = a/2

Le membre de droite est évalué. Comme a contient 3, le quotient n’est pas entier et sa valeur est 1.5, qui est stockée dans b. Cette variable est de type flottant. Si l’instruction avait été :

    2> b = a//2

on aurait alors une division entière, et c’est l’entier 1 qui serait stocké dans b.

…

Solution de l’exercice type 1

Lycée Marie Curie, Sceaux

IL2M — v. 1.0 9 juin 2025 — Chapitre 1 page 4 — #14 COURS_{4}

 3> a+b = 4.5

Le membre de droite n’est pas un nom de variable autorisé, cette instruction est donc fausse. Pourtant, l’instruction :

 3> print(a+b)

devrait bien donner 4.5 mais le signe ’=’ n’est pas un symbole de comparaison, mais d’affectation.

 4> b = b+1

b contient la valeur 1.5, donc le membre de droite a pour valeur 2.5. Cette valeur est stockée dans b et remplace la valeur précédente. La variable b reste du type flottant. Remarquons qu’on vient d’assister à l’addition de 1, qui est de type entier, avec 1.5, qui est de type flottant. Ceci peut paraître anodin, mais c’est une opération qui ne va pas de soi sur un ordinateur. En fait, Python convertit automatiquement l’entier 1 en le flottant 1.0 pour pouvoir faire l’addition. Certains langages de programmation ne font pas cette conversion automatiquement et produiraient un message d’erreur.

Solution de l’exercice type 1 (suite)

Lycée Marie Curie, Sceaux

Voir énoncé page 1

2 Les instructions composées

On considère la fonction f définie sur ℝ_{C} par f ▷x◁ D \frac{2x^{2} C x}{x^{2} C 2x C 1}.

Écrire un algorithme qui permet d’afficher f ▷0◁, f ▷1◁, f ▷2◁, ... , f ▷20◁.

Exercice type 2

Lycée Jules Ferry, Versailles

Voir corrigé page 10

2.1 Les séquences d’instruction

Une séquence d’instructions est tout simplement une suite d’instructions à exécuter les unes après les autres. En Python, les instructions de la séquence doivent être écrites les unes sous les autres, avec la même indentation (c’est-à-dire, le même retrait).

IL2M — v. 1.0 9 juin 2025 — Chapitre 1 page 5 — #15 NOTIONS D’ALGORITHMIQUE CHAP. 1_{5} CORRIGÉS INTERROS COURS

a=3 print(a)

Si on manque de place, ou pour la clarté du code, on peut écrire les instructions de la séquence sur une même ligne. Elles doivent alors être séparées par un pointvirgule :

a=3 ; print(a)

Chaque instruction de la séquence peut elle aussi être une séquence :

a=3 ; print(a)
b=2 ; print(b)

Une instruction simple est un cas particulier de séquence d’instructions.

2.2 Instruction conditionnelle : SI ... ALORS ...

L’instruction « SI ... ALORS ... » permet d’exécuter une ou plusieurs instructions si une condition est remplie. Sa structure générale est :

SI condition ALORS
   instruction(s) à exécuter si la condition est remplie
FIN SI

Le plus souvent, la condition est une égalité ou une inégalité portant sur une variable.

Exemple :

Variable x : nombre
Début
   x ← 0
   Si x>10 alors
      Afficher x
 Ajouter 20 à x
   Si x>10 alors
      Afficher x
   Fin Si
Fin

IL2M — v. 1.0 9 juin 2025 — Chapitre 1 page 6 — #16 COURS_{6}

Au début, x vaut 0. Comme la condition x>10 est fausse, il ne se passe rien et on passe à la ligne suivante. On ajoute alors 20 à x, qui vaut maintenant 20. L’instruction suivante teste si x>10, ce qui est vrai, donc la valeur de x est affichée, c’est-à-dire 20. Voici la version Python :

En Python

 x = 0 if x>10: print(x) x = x + 20 if x>10: print(x)

La séquence concernée par la condition doit être indentée (c’est-à-dire, qu’on doit faire un retrait). L’instruction x = x + 20 n’est pas indentée et doit donc être exécutée quelle que soit la valeur de la condition x>10.

Une variante de cette instruction est « SI ... ALORS ... SINON ... » :

 SI condition ALORS
    instruction(s) à exécuter si la condition est remplie
 SINON
    instruction(s) à exécuter si la condition n'est pas
    remplie
 FIN SI

Exemple :

 Variable x : nombre
 Début
    x ← 0
    Si x>10 alors
       Afficher x
    Sinon
       Afficher : "trop petit"
    Fin Si
 Fin

Ici, x contient la valeur 0. Comme la condition x>10 est fausse, c’est l’instruction qui suit "sinon" qui est exécutée et la chaîne de caractères : « trop petit » s’affiche à l’écran.

IL2M — v. 1.0 9 juin 2025 — Chapitre 1 page 7 — #17 NOTIONS D’ALGORITHMIQUE CHAP. 1_{7} CORRIGÉS INTERROS COURS

En Python

x = 0
if x > 10:
  print(x)
else:
  print("trop petit")

2.3 Les boucles POUR et TANT QUE

Une boucle permet d’exécuter plusieurs fois une ou plusieurs instructions.

2.3.1 -La boucle itérative POUR

On utilisera la boucle POUR quand on saura le nombre de fois qu’il faut exécuter un bloc d’instructions. Sa structure générale est de la forme :

POUR variable ALLANT DE valeur initiale À valeur finale
   instruction(s) à répéter
FIN POUR

Remarques

La variable, qui change de valeurs à chaque fois que la boucle s’exécute, est aussi appelée variable de boucle ou compteur, pour ne pas qu’il y ait d’ambiguïté avec les autres variables de l’algorithme.

« FIN POUR » indique la fin de la liste des instructions à répéter.

Exemple : soit f ▷x◁ D x^{2} − 3x. Pour calculer f ▷0◁, f ▷1◁, f ▷2◁, ... , f ▷20◁, on peut utiliser l’algorithme suivant.

Variables x,y : nombres
Début
   Pour x allant de 0 à 20
     y prend la valeur x**2-3*x
     Afficher y
   Fin Pour
Fin

On note que x**2 signifie que la valeur de x est mise au carré.

IL2M — v. 1.0 9 juin 2025 — Chapitre 1 page 8 — #18 COURS_{8}

En Python, on utilise le mot-clé range (intervalle, en anglais). Attention, par convention, la valeur finale est toujours exclue. Si on veut que x décrive les valeurs de 0 à 20 inclus, il faut donc demander que x prenne les valeurs de 0 à 21 (exclu) :

En Python

 for x in range(0,21):
   y=x**2-3*x
   print(y)

Remarque : il n’est pas obligatoire d’utiliser la variable de boucle à l’intérieur même de la boucle. Par exemple, si on veut afficher 100 fois la chaine « Bonjour! », on pourra utiliser l’algorithme suivant.

 Variable : i
 Début
    Pour i allant de 1 à 100
      Afficher "Bonjour !"
    Fin Pour
 Fin

En Python

 for i in range(1,101):
   print("Bonjour !")

2.3.2 -La boucle conditionnelle TANT QUE

On utilise une boucle TANT QUE lorsque la longueur de la boucle n’est pas connue (ou difficile à prévoir) au moment de l’écriture de l’algorithme. La forme générale de cette boucle s’écrit :

 TANT QUE condition FAIRE
    instruction(s)
 FIN TANT QUE

Remarque : « FIN TANT QUE » indique la fin de la liste des instructions à répéter.

On utilisera la boucle TANT QUE quand la condition dépendra du contenu de la boucle.

IL2M — v. 1.0 9 juin 2025 — Chapitre 1 page 9 — #19 NOTIONS D’ALGORITHMIQUE CHAP. 1_{9} CORRIGÉS INTERROS COURS

Exemple : on veut afficher le plus petit entier n pour lequel \frac{1}{n^{2} C n C 1} ⩾ 10^{−6} .

Pour cela, on utilise l’algorithme suivant.

 Variable : n
 Initialisation : n prend la valeur 0
 Début
    Tant que 1/(n*n+n+1) > 10^{-6}
      n prend la valeur n+1
    Fin Tant que
    Afficher n
 Fin

Avant d’entrer dans la boucle, n vaut 0, et donc :

\frac{1}{n^{2} C n C 1} D \frac{1}{0^{2} C 0 C 1} D 1,

qui est strictement supérieur à 10^{−6} . Donc on exécute l’instruction dans la boucle : n est augmenté de 1, donc vaut 1.

On teste à nouveau la condition :

\frac{1}{n^{2} C n C 1} D \frac{1}{1^{2} C 1 C 1} D \frac{1}{3},

qui est encore plus grand que 10^{−6} donc on exécute l’instruction à l’intérieur de la boucle.

Ainsi de suite jusqu’à ce que \frac{1}{n^{2} C n C 1} soit strictement plus petit que 10^{−6} .

Dans ce cas, on sort de la boucle et on affiche la dernière valeur de n, celle pour

laquelle \frac{1}{n^{2} C n C 1} ⩽ 10^{−6} pour la première fois.

 n = 0 # initialisation
 while 1 / (n**2 + n + 1) > 10**(-6):
     n = n+1 # incrémentation
 print(n)

Pour information, ce programme affiche le nombre 1 000. Les boucles non bornées sont délicates à manier. Dans l’algorithme ci-dessus, il ne faut pas oublier d’initialiser ou d’incrémenter la variable n. Il faut s’assurer également que la condition finira par devenir fausse, sous peine que la boucle ne s’arrête plus (c’est ce qu’on appelle un « plantage »). Il n’y a pas ces difficultés avec une boucle bornée, pour laquelle l’initialisation, l’incrémentation et l’arrêt sont en général assurés.

Il s’agit de répéter le calcul de f ▷x◁, x prenant les valeurs 0, 1, etc. jusqu’à 20. Une boucle POUR paraît tout indiquée.

Algorithme

   Variable : x
    Début
       x ← 0
       Pour x allant de 0 à 20
         y ← (2*x**2+x)/(x**2+2*x+1)
         Afficher y
       Fin Pour
    Fin

En Python

    for x in range(0,21):
      y = (2*x**2+x)/(x**2+2*x+1)
      print(y)

Solution de l’exercice type 2

Lycée Jules Ferry, Versailles

Voir énoncé page 4

3 Comment écrire une fonction en Python?

On considère la fonction f définie sur ℝ \ {−1} donnée par :

f ▷x◁ D \frac{2x^{2} − 1}{x C 1} .

Programmer la fonction f(x) en Python.

Exercice type 3

Lycée Marie Curie, Sceaux

Voir corrigé page 11

En mathématiques, une fonction f utilise un nombre x pour calculer une valeur f ▷x◁. Une fonction Python généralise ce principe. À partir d’un argument x (parfois plusieurs, parfois aucun!), elle exécute un certain nombre d’instructions et renvoie une valeur. Pour programmer une fonction, on utilise le mot-clé def. Le nom de la fonction doit vérifier les règles habituelles des noms de variables. Ne pas oublier qu’un ordinateur fait ce qu’on lui demande, certes très vite, mais qu’il ne prend pas d’initiative. Lui demander de calculer une valeur ne suffit pas : il faut demander que cette valeur soit communiquée, d’une manière ou d’une autre.

IL2M — v. 1.0 9 juin 2025 — Chapitre 1 page 11 — #21 NOTIONS D’ALGORITHMIQUE CHAP. 1_{11} CORRIGÉS INTERROS COURS

Prenons l’exemple de la fonction carré. Le programme :

 def f(x): x**2

ne contient pas de faute de langage. Cependant, il n’est pas satisfaisant parce que la fonction f calcule bien le carré de la variable x, mais le résultat du calcul est perdu. On peut penser à utiliser print :

 def f(x): print(x**2)

C’est déjà mieux, le résultat du calcul sera affiché à l’écran. Cependant, on ne peut pas utiliser f ▷x◁ dans un calcul comme on le fait en mathématiques. par exemple : 1+f(2) va déclencher une erreur. Le mieux est de demander à la fonction de renvoyer le résultat calculé à l’aide du mot-clé : return. Par exemple, la fonction « carré » s’écrit en Python :

 def f(x): return x**2

On peut ensuite utiliser la fonction dans un autre programme :

 print(f(2)) y = f(3)+1 print(y)

À la première ligne, on « appelle » f(2). Cette valeur est évaluée en remplaçant le x de la définition de f par 2. La fonction f renvoie alors la valeur 4, et c’est donc 4 qui est affiché. Dans l’instruction suivante, qui est une affectation, on évalue f(3), c’est-à-dire 9, et c’est donc 10 qui est stocké dans y, puis affiché. En fait, nous avons déjà rencontré des fonctions, comme print et même range. On notera que def ou return ne sont pas suivis de parenthèses car ce sont des mots-clés et non des fonctions.

La définition de la fonction commence par le mot-clé def. Il faut penser à bien indenter la séquence d’instructions et utiliser return pour renvoyer la valeur calculée.

    def f(x):
      y=(2*x**2-1)/(x+1)
      return y

Solution de l’exercice type 3

Lycée Marie Curie, Sceaux Voir énoncé page 10

IL2M — v. 1.0 9 juin 2025 — Chapitre 1 page 12 — #22 INTERROS_{12}
1_{QCM} Entiers de 1 à 9 Corrigé p. 18 3 min

On cherche à écrire un programme en Python qui affichera tous les nombres entiers de 1 à 9. Parmi ces propositions, écrites en Python, lesquelles vous paraissent correctes?

a if k>0 and k>0 : print(k)
b k=1 ; while k>0 : print(k)
c for k in range(1,10): print(k)
d for k in range(1,9): print(k)

2_{QCM} De Python à un algorithme Corrigé p. 18 5 min

Voici un programme en Python :

x = 5
for i in range(0,10):
x = x*2/(x-4)
print(x)

Parmi les algorithmes suivants, quel est celui qui représente ce programme?

a

x ← 5
Pour i allant de 1 à 10
   x ← x*2/(x-4)
Fin Pour
Afficher x

b

x ← 5
Pour i allant de 0 à 9
   x ← x*2/(x-4)
   Afficher x
Fin Pour

c

x ← 5
Pour i allant de 0 à 10
   x ← x*2/(x-4)
   Afficher x
Fin Pour

IL2M — v. 1.0 9 juin 2025 — Chapitre 1 page 13 — #23 NOTIONS D’ALGORITHMIQUE CHAP. 1_{13} CORRIGÉS INTERROS COURS
3Traduire un programme Python_{Lycée Hoche, Versailles} Corrigé ; p. 18 ; 5 min ; ⋆

Voici un programme Python :

   u=50
   d=10
   n=0
   while d>=0.01:
     u = 0.7*u+20
     d = 200/3 - u
     n = n + 1
   print(n)

En utilisant une boucle « Tant que », écrire en langage naturel un algorithme qui décrit exactement ce que fait ce programme.

4Un programme_{Lycée Turgot, Paris} Corrigé ; p. 19 ; 20 min ; ⋆

On considère le programme suivant :

1 def f(x):
2  y=(x+2)*(x-1)
3  y=4*y
4  y=y+8
5  y=y/(x+1)
6  return y

1 Quel est le type des variables x? y? f?

2 Pour quelle(s) valeur(s) de x l’algorithme va-t-il échouer?

3 Que fait la fonction f?

5Programmes de calculs_{Lycée Notre-Dame-de-Boulogne, Boulogne} Corrigé ; p. 19 ; 10 min ; ⋆

On considère les programmes de calculs page suivante :

1 Écrire deux fonctions Python A(x) et B(x) qui retournent respectivement les résultats du programme de calcul A et B pour un nombre x entré en argument.

2 Écrire un programme Python qui affiche les résultats des programmes A et B pour tous les entiers compris entre −5 et 5.

IL2M — v. 1.0 9 juin 2025 — Chapitre 1 page 14 — #24 INTERROS_{14}
Programme A  Programme B

Choisir un nombre x

Élever ce nombre au carré

Soustraire au résultat le double du nombre de départ

Ajouter 1 au résultat Choisir un nombre x

Lui soustraire 1

Élever au carré le résultat

6Pécule_{Lycée Rabelais, Meudon} Corrigé ; p. 20 ; 10 min ; ⋆ ; ⋆

Les parents de Johanna décident de lui constituer un petit pécule. Le jour de sa naissance, ils déposent 250 � sur un compte rapportant 2,75 % par an. À chaque anniversaire, ils ajoutent également 250 �.

1 Écrire un algorithme avec une boucle POUR... qui permet de calculer le

pécule de Johanna le jour de ses 18 ans. 2 Programmer cet algorithme en Python ou sur votre calculatrice.

7Lecture d’un algorithme_{Lycée Camille Jullian, Bordeaux} Corrigé ; p. 21 ; 10 min ; ⋆ ; ⋆

On considère l’algorithme suivant :

Variables : n, r, i, c (nombres entiers)
Début :
c ← 0
Lire la valeur de n
i ← 2
Tant que i**2 <= n faire:
  Si (n/i) est un entier alors
    c ← c+1
  i ← i+1
  Fin Si
Fin Pour
Si c=0 alors
  Afficher n " est un nombre premier"
Sinon
  Afficher n " n'est pas un nombre premier"
Fin Si
Fin

1 Exécuter à la main cet algorithme en prenant n D 20 puis n D 23 (présenter les résultats dans un tableau).

IL2M — v. 1.0 9 juin 2025 — Chapitre 1 page 15 — #25 NOTIONS D’ALGORITHMIQUE CHAP. 1_{15} CORRIGÉS INTERROS COURS

2 Expliquer le rôle de cet algorithme et la propriété qu’il semble utiliser.

8Laboratoire pharmaceutique_{Lycée Gustave Eiffel, Bordeaux} Corrigé ; p. 21 ; 10 min ; ⋆ ; ⋆

Un laboratoire produisant un sirop contre la fièvre à destination de nouveauxnés fournit le protocole médical suivant : pour une température corporelle dépassant 38,5°C, donner 2 cuillères de sirop. Pour une température corporelle comprise entre 37,5°C et 38,5°C, donner 1 cuillère de sirop. On considère le programme Python suivant :

 def sirop(T):
     N = 0
     if T>37.5:
         N = ...
     if T>=38.5:
         N = ...
     return N

1 À quoi sert cette fonction? Préciser à quoi correspondent les variables T

et N. 2 Compléter la fonction.

3 Le cas où le nouveau-né n’a pas de fièvre (température corporelle inférieure à 37,5°C) est-il prévu dans l’algorithme? On pourra justifier la réponse en testant l’algorithme avec le nombre 37 en entrée.

9Le site marchand_{Lycée Fénelon, Paris} Corrigé ; p. 22 ; 10 min ; ⋆ ; ⋆

Durant tout le week-end, un site marchand propose une promotion pour toute commande d’un montant minimum de 20 �. Si le montant de la commande est :

strictement inférieur à 100 �, une remise de 10 � est offerte.

entre 100 � compris et 200 � non compris, une remise de 25 � est offerte.

supérieur ou égal à 200 �, une remise de 20% est offerte.

1 Calculer le prix à payer pour une commande d’un montant de 130 �, de

80 � et de 300 �. 2 On a commencé l’écriture d’une fonction Python qui automatise le cal-

cul du prix à payer pour une commande de montant M ⩾ 20 :

IL2M — v. 1.0 9 juin 2025 — Chapitre 1 page 16 — #26 INTERROS_{16}

 def prix(M):
     if M < 20:
         return 0
     elif M < 100:

         ...

     elif M < 200:

         ...

     else:

         ...

Compléter le code pour qu’il fonctionne correctement.

10La conjecture de Syracuse_{Lycée Fernand Daguin, Mérignac} Corrigé ; p. 22 ; 20 min ; ⋆ ; ⋆ ; ⋆

On considère la fonction A, qui a tout entier naturel n associe :

A▷n◁ D \{ \begin{matrix}n/2 si n est pair \\ 3n C 1 si n est impair. \end{matrix}

1 Calculer A▷1◁, A▷4◁, A▷2◁.

2 Programmer cette fonction en Python.

3 On considère le programme de calcul suivant :

 1. Choisir un nombre entier n non nul.
 2. Affecter n ← A▷n◁
 3. Aller à l'étape 2.

Que se passe-t-il si n D 1, 2, ou 4? 4 La conjecture de Syracuse (nommée ainsi car le problème fut diffusé

pour la première fois à l’université de Syracuse, en Amérique, par le mathématicien Helmut Hasse) affirme que, quel que soit la valeur initiale de n, le programme arrive toujours à la suite de nombres 1, 4, 2, 1, 4, 2,... On dit que ce résultat est une conjecture car il semble vrai mais il n’a pas été démontré. Écrire un algorithme qui permet de vérifier cette conjecture pour n’importe quel nombre entré par l’utilisateur.

11Le nombre d’or_{Lycée Gustave Eiffel, Bordeaux} Corrigé ; p. 23 ; 20 min ; ⋆ ; ⋆ ; ⋆

IL2M — v. 1.0 9 juin 2025 — Chapitre 1 page 17 — #27 NOTIONS D’ALGORITHMIQUE CHAP. 1_{17} CORRIGÉS INTERROS COURS

Le nombre d’or est le nombre positif noté φ tel que :

φ^{2} D φ C 1.

1 Expliquer pourquoi φ D 1 C \frac{1}{φ}.

2 Montrer alors que φ D 1 C \frac{1}{1 C \frac{1}{φ}} .

3 En s’inspirant des questions précédentes, écrire un algorithme permettant de trouver une valeur approchée du nombre d’or (peu importe la précision).

Un programme — v. 1.0 9 juin 2025 — Chapitre 1 page 18 — #28

CORRIGÉS_{18}

1_{QCM} Entiers de 1 à 9 {Énoncé \atop p. 12}

a Cette instruction n’est pas une boucle. Dans le meilleur cas, seule une valeur de k s’affichera à l’écran.

b Il s’agit bien d’une boucle, mais la valeur de k n’est pas incrémentée. Elle gardera donc toujours la valeur 1, et cette valeur sera affichée à l’écran un nombre indéfini de fois, jusqu’à ce que l’utilisateur arrête le programme! On peut corriger le programme en ajoutant k = k + 1 dans la boucle pour incrémenter la variable k.

                                      k = 1
                                      while k < 10:
                                          print(k)
                                          k = k + 1

c C’est la solution élégante et efficace pour le problème posé.
d Attention, en Python la borne finale est toujours exclue, les entiers

de 1 à 8 seront affichés.

2_{QCM} De Python à un algorithme {Énoncé \atop p. 12}

Rappelons qu’en Python, la borne supérieure de l’intervalle est exclue, donc i prend les valeurs 0, 1, 2, ..., 9. L’algorithme a n’affiche qu’une valeur car « Afficher x » est en dehors de la boucle « Pour ». Il ne peut donc pas convenir car dans le programme Python, l’indentation montre que l’affichage de x est bien à l’intérieur de la boucle for; il faut donc que les valeurs successives de x s’affichent 10 fois. Or, l’algorithme c affiche 11 valeurs (car la boucle s’exécute pour i allant de 0 à 10 et il y a 11 valeurs : 0, 1, 2, 3, …, 9, 10). La bonne réponse est donc l’algorithme b qui affiche bien 10 valeurs (car i prend les valeurs 0, 1, 2, …, 8, 9) de x.

3Traduire un programme Python_{Lycée Hoche, Versailles} {Énoncé \atop p. 13}

Variables : u, d, n (nombres)
Début
u ← 50
d ← 10
n ← 0
Tant que d⩾0,01 faire:
u ← 0,7×u+20
d ← 200/3-u
n ← n+1
Fin Tant que
Afficher n
Fin

Programmes de calculs — v. 1.0 9 juin 2025 — Chapitre 1 page 19 — #29

NOTIONS D’ALGORITHMIQUE CHAP. 1_{19} CORRIGÉS INTERROS COURS

4Un programme_{Lycée Turgot, Paris} {Énoncé \atop p. 13}

1 x peut être entier (type « INT ») ou réel (type flottant, ou « FLOAT »). À cause de la division, la variable y est toujours interprétée comme un flottant par Python). Enfin, f est une fonction.

2 À la ligne 5, on effectue une division par x C 1.

La valeur x D −1 va donc causer une erreur de calcul (division par zéro).

3 Au début de l’évaluation de f(x), y D ▷x C 2◁▷x − 1◁ D x^{2} C x − 2 puis y D 4▷x^{2} C x − 2◁ D 4x^{2} C 4x − 8. Ensuite, y D ▷4x^{2} C 4x − 8◁ C 8 D 4x^{2} C 4x.

La valeur finale est y D \frac{▷4x^{2} C 4x◁}{x C 1}D \frac{4x▷x C 1◁}{x C 1}D 4x.

Conclusion : la fonction f ne fait que multiplier x par 4.

5Programmes de calculs_{Lycée Notre-Dame-de-Boulogne, Boulogne} {Énoncé \atop p. 13}

1 Il y a plusieurs manières d’aborder un tel exercice. L’une d’elles consiste à exprimer en fonction de x le résultat des deux programmes de calculs. Programme A

Expressions algébriques

Choisir un nombre x

Élever ce nombre au carré Soustraire le double de x Ajouter 1 au résultat

x ; x^{2} ; x^{2} − 2x ; x^{2} − 2x C 1

et Programme B

Expressions algébriques

Choisir un nombre x

Lui soustraire 1

Élever au carré le résultat

x ; x − 1 ; ▷x − 1◁^{2}

Les fonctions A(x) et B(x) peuvent donc s’écrire comme indiqué page suivante.

Lecture d’un algorithme — v. 1.0 9 juin 2025 — Chapitre 1 page 20 — #30

CORRIGÉS_{20}

def A(x):
    return x*x - 2*x + 1
def B(x):
    return (x - 1)**2

2 Une possibilité de programme est la suivante :

x = -5
while x <= 5:
    print( A(x) , B(x) )
    x = x + 1

Si nous préférons utiliser une boucle POUR, nous pouvons opter pour la solution suivante :

for x in range(-5,6):
    print( A(x) , B(x) )

6Pécule_{Lycée Rabelais, Meudon} {Énoncé \atop p. 14}

1 Chaque année, le pécule de Johanna est donc multiplié par 1,0275 puis on lui ajoute 250.

Algorithme

Variables: anniversaire, pecule (nombres)
Début
  pecule ← 250
  Pour anniversaire allant de 1 à 18
    pecule ← 250+1,0275×pecule
  Fin Pour
  Afficher pecule
Fin

2 La traduction en Python est quasi-immédiate :

pecule = 250
for anniversaire in range(1,19):
  pecule = 250 + 1.0275*pecule
print(pecule)

Ce programme affiche la valeur 6130.75365, Johanna disposera donc de 6 130,75 � à son 18^{ème} anniversaire.

Laboratoire pharmaceutique — v. 1.0 9 juin 2025 — Chapitre 1 page 21 — #31

NOTIONS D’ALGORITHMIQUE CHAP. 1_{21} CORRIGÉS INTERROS COURS

7Lecture d’un algorithme_{Lycée Camille Jullian, Bordeaux} {Énoncé \atop p. 14}

1 La variable i est initialisée à la valeur 2, puis est incrémentée tant qu’elle reste inférieure ou égale à \sqrt{n}. Pour n D 20, i varie de 2 à 4.

Valeurs de i   - 2 3 4
Valeurs de c  0 1 1 2

Explications : quand i D 2, on fait la division 20 ÷ 2 et on trouve un nombre entier (10). Donc c va augmenter de 1. Ensuite, pour i D 3, comme 20 ÷ 3 n’est pas un entier, c n’augmente pas. Enfin, pour i D 4, 20 ÷ 4 D 5 est un entier donc on ajoute 1 à c. L’algorithme affiche ici : « 20 n’est pas un nombre premier » car c D̸ 0. Pour n D 23, i varie également de 2 à 4.

Valeurs de i   - 2 3 4
Valeurs de c  0 0 0 0

En effet, parmi les nombres 2, 3 et 4, aucun n’est diviseur de 23 donc c n’augmente pas. L’algorithme affiche donc ici : « 23 est un nombre premier » car c D 0.

2 A priori, cet algorithme compte les diviseurs de n compris entre 2 et \sqrt{n}. Le résultat est stocké dans le compteur c. Si c est égal à 0, l’algorithme en déduit que n est un nombre premier. Cet algorithme semble s’appuyer sur une propriété qui pourrait s’écrire ainsi : Si a est un entier de U\sqrt{n},nT qui divise n, alors b D \frac{n}{a} est un entier

de U1,\sqrt{n}U qui divise n. Par conséquent, « Si un entier n n’admet aucun diviseur dans T2,\sqrt{n}U, alors il est premier. »

8Laboratoire pharmaceutique_{Lycée Gustave Eiffel, Bordeaux} {Énoncé \atop p. 15}

1 Cet algorithme permet d’afficher le nombre de cuillères de sirop N à

donner en fonction de la température T saisie. 2 La fonction complète est :

En Python

def sirop(T):
    N = 0
    if T>37.5: N = 1
    if T>=38.5: N = 2
    return N

La conjecture de Syracuse — v. 1.0 9 juin 2025 — Chapitre 1 page 22 — #32

CORRIGÉS_{22}

3 Comme l’énoncé nous le suggère, on peut tester le cas où l’on appelle la fonction avec 37 en argument. Les deux conditions T > 38.5 et T >D 37.5 ne sont pas satisfaites et les instructions N=2 et N=1 ne sont pas exécutées. La valeur de N reste donc à 0, valeur retournée par la fonction. Ceci est correct car si le nouveau-né n’a pas de fièvre, aucune cuillère de sirop ne doit être donnée. Ainsi, le cas où le nouveau-né n’a pas de fièvre est prévu par l’algorithme.

9Le site marchand_{Lycée Fénelon, Paris} {Énoncé \atop p. 15}

1 Pour 130 �, le prix à payer est :

130 − 25 D 105 � car 100 ⩽ 130 < 200.

Pour 80 �, le prix à payer est :

80 − 10 D 70 � car 80 < 100.

Pour 300 �, le prix à payer est :

( 1 − \frac{20}{100}) × 300 D 0,8 × 300 D 240 � car 300 ⩾ 200.

2

 def prix(M):
     if M < 20:
         return 0
     elif M < 100:
         return M - 10
     elif M < 200:
         return M - 25
     else:
         return 0.8 * M

Pour M ∈ T20,200T, on retire 25 à M. Si M ⩾ 200, on fait une remise de 20%, on doit donc payer 0,80 × M. Si aucune des deux conditions n’est vérifiée, on atteint la dernière ligne, et M est renvoyé (pas de remise).

10La conjecture de Syracuse_{Lycée Fernand Daguin, Mérignac} {Énoncé \atop p. 16}

1 n D 1 est impair, donc A▷1◁ D 3 × 1 C 1 D 4; n D 4 est pair, donc

A▷4◁ D \frac{4}{2} D 2; n D 2 est pair, donc A▷2◁ D 1.

Le nombre d’or — v. 1.0 9 juin 2025 — Chapitre 1 page 23 — #33 NOTIONS D’ALGORITHMIQUE CHAP. 1_{23} CORRIGÉS INTERROS COURS
2  En Python

 def A(n):
     if n%2==0: return n//2
     else: return 3*n+1

L’instruction n%2 calcule le reste de la division euclidienne par 2, qui vaut 0 si et seulement si n est pair. La division n//2 est la division entière. Il est important de ne pas utiliser n/2 qui donne un flottant (même si n est pair) et risque de poser des problèmes pour utiliser la valeur de A(n) par la suite.

3 D’après la première question, si n prend la valeur 1, elle prend ensuite la valeur 4, puis 2, puis de nouveau 1, etc. Si n D 2 ou 4, on atteint la valeur n D 1 en 1 ou 2 étapes. Le programme donne alors la suite 1, 4, 2, 1, 4, 2, etc.

4 À la vue de la réponse à la troisième question, nous arrêtons le programme dès que n atteint la valeur 1. Tant que cette valeur n’est pas atteinte, on remplace la valeur de n par celle de A▷n◁.

 n=120
 while A(n)!=1:
     print(A(n))
     n=A(n)

Par exemple, pour n D 120, on obtient : 60, 30, 15, 46, 23, 70, 35, 106, 53, 160, 80, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1...

11Le nombre d’or_{Lycée Gustave Eiffel, Bordeaux} {Énoncé \atop p. 16}

1 Si φ^{2} D φ C 1 alors il est facile de voir que φ D̸ 0 donc on peut diviser cette égalité par φ :

\frac{φ^{2}}{φ} D \frac{φ}{φ} C \frac{1}{φ} soit : φ D 1 C \frac{1}{φ}.

2 Dans l’égalité montrée à la question précédente, on remplace le φ du

membre de droite par ce à quoi il est égal, à savoir 1 C \frac{1}{φ} :

φ D 1 C \frac{1}{φ} D 1 C \frac{1}{1 C \frac{1}{φ}} .

IL2M — v. 1.0 9 juin 2025 — Chapitre 1 page 24 — #34 CORRIGÉS_{24}

3 Ce que nous avons fait à la question 2 peut être répété à l’infini :

φ D 1 C \frac{1}{1 C \frac{1}{φ}} D 1 C \frac{1}{1 C \frac{1}{1 C \frac{1}{φ}}} D 1 C \frac{1}{1 C \frac{1}{1 C \frac{1}{1 C \frac{1}{φ}}}} D ⋯

Ainsi, en généralisant, on pourrait considérer que :

φ D 1 C \frac{1}{1 C \frac{1}{1 C \frac{1}{1 C \frac{1}{1 C ⋯}}}}

Ce résultat se démontre, mais pas en classe de Seconde. Pour calculer une valeur approchée de φ, on peut essayer de partir d’une

variable f valant 1, puis faire une boucle dans laquelle f deviendra 1+\frac{1}{f}.

Variables
n est un nombre
f est un nombre
Initialisation
f prend la valeur 1
Début
Pour n allant de 1 à 100
  f prend la valeur 1+1/f
Fin Pour
Afficher f
Fin

Ici, nous avons souhaité répéter 100 fois l’instruction « f devient 1+\frac{1}{f} », mais on peut bien sûr changer cette valeur (100) et mettre 200, 300,...

En Python

f=1
for n in range(100):
  f = 1 + 1/f
print(f)

En exécutant ce programme, la valeur affichée est :

1,618034.

Nombres et calculs

Plan du chapitre

1. Ensembles de nombres

2. Calculer avec les entiers

3. Règles de calculs

4. Intervalles

1 Ensembles de nombres

1 Trouver le plus petit ensemble des nombres suivants.

−11; 2,4; \sqrt{7}; \sqrt{36}; −\frac{2}{3} ; \frac{21}{3}.

2 Compléter par ∈ ou ∉ :

\sqrt{2}…ℝ; \sqrt{64}…ℤ; \frac{3}{7} …ℕ; π …ℚ.

Exercice type 1

Lycée Edgar Quinet, Bourg-en-Bresse

Voir corrigé page 27

1.1 Inclusion des ensembles

On note ℕ l’ensemble des nombres entiers naturels :

ℕ D {0 I 1 I 2 I 3 I …}.

On note ℤ l’ensemble des nombres entiers relatifs :

ℤ D {… I −3 I −2 I −1 I 0 I 1 I 2 I 3 I …}.

On note 𝔻 l’ensemble des nombres décimaux, c’est-à-dire qui s’écrivent sous la forme \frac{a}{10^{n}}, où n ∈ ℕ (n appartient à l’ensemble ℕ) et a ∈ ℤ.

On note ℚ l’ensemble des nombres rationnels, c’est-à-dire qui s’écrivent sous

la forme \frac{p}{q}, où p ∈ ℤ et q ∈ ℕ^{∗} (ensemble des entiers naturels non nuls).

On note ℝ l’ensemble des nombres réels, c’est-à-dire de tous les nombres.

IL2M — v. 1.0 9 juin 2025 — Chapitre 2 page 26 — #36 COURS_{26}

À RETENIR

Si un ensemble est suivi d’une étoile en exposant, il a pour éléments tous les nombres de cet ensemble sauf 0. Par exemple, ℕ^{∗} D {1 I 2 I 3 I …}.

Définition 1 : inclusion de deux ensembles

Soient A et B deux ensembles.

On dit que A est inclus dans B, et on note A ⊂ B, si tous les éléments de A sont dans B.

Propriété 1 : inclusion des ensembles de nombres

ℕ est inclus dans ℤ, qui lui-même est inclus dans 𝔻, etc. jusqu’à ℝ. On écrira alors :

ℕ ⊂ ℤ ⊂ 𝔻 ⊂ ℚ ⊂ ℝ.

Si on souhaite enlever un ou plusieurs nombres à un ensemble, on le fera suivre de : \{…}.

Exemples

ℚ \ \{ \frac{1}{3}\} désigne l’ensemble de tous les rationnels sauf \frac{1}{3}.

ℝ \ ℚ est l’ensemble des nombres réels auquel on a enlevé tous les nombres rationnels; on appelle cet ensemble l’ensemble des irrationnels.

Il existe un ensemble sans élément, appelé l’ensemble vide, et on le note : ∅.

1.2 Plusieurs écritures pour un même nombre

Un nombre réel peut être représenté de plusieurs façons. Par exemple :

\frac{51}{5} D \frac{5,1}{0,5} D 10,2 D 1,02.10^{1}

ou encore :

\frac{4}{3} D 1,3\underline{3}…

Quelle que soit l’écriture adoptée, il s’agit toujours du même nombre. Par exemple,

\frac{51}{5} n’est pas uniquement rationnel; c’est aussi un nombre décimal.

\sqrt{9} n’est pas uniquement réel; c’est aussi un entier naturel car \sqrt{9} D 3. Ces caractéristiques (décimal, entier, etc.) sont celles du nombre lui-même et non de son écriture.

IL2M — v. 1.0 9 juin 2025 — Chapitre 2 page 27 — #37 NOMBRES ET CALCULS CHAP. 2_{27} CORRIGÉS INTERROS COURS

Plus petit ensemble Définition 2 : symbole d’appartenance

Si un nombre x appartient à un ensemble A, on écrira : x ∈ A. Si un nombre x n’appartient pas à un ensemble A, on écrira : x ∉ A.

On désignera par « plus petit ensemble » du nombre \frac{51}{5} l’ensemble 𝔻 car c’est a minima un décimal (il n’est pas entier). On écrira alors : \frac{51}{5} ∈ 𝔻. Ainsi, le plus petit ensemble de \sqrt{9} est ℕ. On écrira alors : \sqrt{9} ∈ ℕ.

Propriété 2

\frac{1}{3} n’est pas décimal.

Retrouvez la démonstration de cette propriété en vidéo.

Propriété 3

\sqrt{2} n’est pas rationnel.

Retrouvez en vidéo la démonstration de l’irrationalité de \sqrt{2}.

\begin{matrix}{1 −11 ∈ ℤ \atop 2,4 ∈ 𝔻} & {\frac{21}{3} D 7 ∈ ℕ \atop \sqrt{7} ∈ ℝ} & {\sqrt{36} D 6 ∈ ℕ \atop −\frac{2}{3} ∈ ℚ} \\ {2  \sqrt{2} ∈ ℝ \atop \sqrt{64} ∈ ℤ} & {\frac{3}{7} ∉ ℕ \atop π ∉ ℚ} \end{matrix}  Solution de l’exercice type 1 Lycée Edgar Quinet, Bourg-en-Bresse Voir énoncé page 25

IL2M — v. 1.0 9 juin 2025 — Chapitre 2 page 28 — #38 COURS_{28}

2 Calculer avec les entiers

1 Décomposer 60 en produit de facteurs premiers.

2 Un terrain rectangulaire de longueur a, de largeur b (exprimées en mètres), a une aire de 60 m^{2}. Sachant que a et b sont des entiers naturels et que l’écart a − b est le plus petit possible, déterminer a et b.

Exercice type 2

Voir corrigé page 32

2.1 Savoir utiliser les multiples et les diviseurs

Définitions 3

Soient a et b deux entiers relatifs. S’il existe un entier q tel que a D bq, alors on dit que :

a est un multiple de b

b est un diviseur de a (ou « b divise a »).

Par exemple, 21 est un multiple de 7 (car 21 D 7 × 3), 5 est un diviseur de 15 (car 15 D 5 × 3). Tous les entiers sont multiples de 1 (et de −1). 0 est le seul multiple de 0. Tout entier est multiple de lui-même (car n D n × 1). Inversement, 1 n’est multiple que de 1 (et −1), et 0 est multiple de tous les entiers (car 0 D n × 0).

Propriétés 4

L’opposé d’un multiple de b est multiple de b.

La somme (ou la différence) de deux multiples de b est un multiple de b.

En effet, cette somme s’écrit : bq C br D b▷q C r◁, avec q et r (et donc q C r) entiers.

Exemple : si 7 divise n C 21, alors 7 divise n. En effet, n D ▷n C 21◁ C ▷−21◁ et 21 est multiple de 7.

La fonction Python diviseur(k,n), écrite page suivante, vérifie si l’entier k est diviseur de l’entier naturel n. Le principe de l’algorithme est de faire défiler les multiples de k : 0, k, 2k, 3k, etc., tant que ces multiples sont inférieurs strictement à n. Lorsque la boucle s’arrête, le multiple de k qu’on a atteint vérifie : soit m D n, donc n est multiple de k, soit m > n, donc n est compris au sens strict entre deux multiples consécutifs, donc n n’est pas multiple de k.

IL2M — v. 1.0 9 juin 2025 — Chapitre 2 page 29 — #39 NOMBRES ET CALCULS CHAP. 2_{29} CORRIGÉS INTERROS COURS

def diviseur(k,n):
  m = 0
  while m < n:
      m = m + k
  if m==n:
      return True
  else:
      return False

Propriétés 5 : critères de divisibilité

L’entier n est divisible :

par 2 si son écriture se termine par 0, 2, 4, 6, ou 8 (chiffre des unités); par 3 si la somme de ses chiffres est divisible par 3; par 5 si son écriture se termine par 0 ou 5; par 6 si n est divisible par 2 et par 3; par 9 si la somme de ses chiffres est divisible par 9; par 10^{k} si son écriture se termine par k zéros, où k ∈ ℕ^{∗}.

Définition 4

Soient a ∈ ℤ, b ∈ ℕ^{∗}. La fraction \frac{a}{b} est irréductible si a et b n’ont pas de diviseur commun (autre que 1 ou −1).

Exemple : \frac{15}{8} est irréductible, mais pas \frac{12}{8} car \frac{12}{8} D \frac{3}{2}.

2.2 PGCD et PPCM

Définitions 5

Soient a et b deux nombres entiers.

On appelle PGCD le plus grand entier qui divise a et b. On appelle PPCM le plus petit entier multiple de a et de b.

ANECDOTE « PPCM » est l’abréviation de « Plus Petit Commun Multiple » et « PGCD » est celle de « Plus Grand Commun Diviseur ». Elles viennent de l’ancien français.

IL2M — v. 1.0 9 juin 2025 — Chapitre 2 page 30 — #40 COURS_{30}

Définition 6 : division euclidienne

Soient a et b deux nombres entiers, avec a > b. La division euclidienne de a par b est l’égalité :

a D bq C r  ,  q ∈ ℕ^{∗}, 0 ⩽ r < b.

Exemple : la division euclidienne de 234 par 126 est :

234 D 1 × 126 C 108

avec q D 1 et r D 108.

MÉTHODE : algorithme d’Euclide On souhaite trouver le PGCD de 234 et 126 en utilisant des divisions euclidiennes. On commence par écrire :

234 D 1 × 126 C 108.

Ensuite, on effectue la division euclidienne de 126 par le reste trouvé, donc par 108 :

126 D 1 × 108 C 18.

On effectue ensuite la division euclidienne de 108 par 18 :

108 D 6 × 18 C 0.

On s’arrête lorsque le reste est égal à 0. Le PGCD de 234 et 126 est le dernier reste non nul trouvé, donc 18.

2.3 Pairs et impairs

Définition 7

Les multiples de 2 sont les entiers pairs. Les autres entiers sont impairs.

Par définition, les entiers pairs sont donc de la forme 2n, avec n ∈ ℤ. Les entiers impairs sont de la forme 2n C 1.

Propriétés 6

Le carré d’un entier pair est pair.

Le carré d’un entier impair est impair

Propriétés 7

Soit x un entier.

Si x^{2} est pair, alors x est pair.

Si x^{2} est impair, alors x est impair.

IL2M — v. 1.0 9 juin 2025 — Chapitre 2 page 31 — #41 NOMBRES ET CALCULS CHAP. 2_{31} CORRIGÉS INTERROS COURS

2.4 Nombres premiers

Définition 8

Un entier naturel est premier s’il admet exactement deux diviseurs positifs : 1 et lui-même.

Les 10 plus petits nombres premiers sont : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29. La fonction Python suivante permet de tester si un nombre n est premier ou pas.

 def premier(n):
     for k in range(2,n):
         if diviseur(k,n) == True:
             return False
     return True # si aucun diviseur n'a été trouvé

Un ordinateur est rapide, mais pour vérifier « à la main » si un entier n est premier, ou si cet entier est grand, il faut améliorer l’algorithme. On peut s’aider de la propriété suivante :

Propriété 8

Si un entier n n’est pas premier alors il admet au moins un diviseur premier inférieur ou égal à \sqrt{n}.

En prenant la contraposée de cette propriété, on peut vérifier si un nombre est premier.

Exemple : vérifions que 97 est premier. \sqrt{97} ≈ 9,8 donc si 97 n’est pas premier, il doit avoir au moins un diviseur parmi les nombres 2, 3, 5 et 7 (tous les nombres premiers inférieurs à 9,8). On vérifie aisément que ces nombres ne divisent pas 97, donc ce dernier est un nombre premier.

La fonction Python précédente peut alors devenir :

 from math import sqrt
 def premier(n):
     n = int( sqrt(n) ) # partie entière de la racine carrée
     for k in range(2,n+1):
         if diviseur(k,n) == True:
             return False
     return True # si aucun diviseur n'a été trouvé

1 On essaye les nombres premiers à partir du plus petit : 60 D 2 × 30,

puis 30 D 2 × 15. Ensuite, 15 D 3 × 5. Finalement, 60 D 2 × 2 × 3 × 5. 2 Pour décomposer 60 en produit de deux facteurs, à part 60 D 1 × 60, on

peut considérer que le premier facteur est premier et le second produit de trois diviseurs premiers, ou que les deux facteurs sont produits de deux diviseurs premiers. On obtient ainsi 60 D 1 × 60 D 2 × 30 D 3 × 20 D 5 × 12 D 4 × 15 D 6 × 10. On a trouvé toutes les décompositions possibles de 60 sous la forme ab. On veut a − b ⩾ 0 et a − b le plus petit possible, on a donc a D 10 et b D 6.

Solution de l’exercice type 2

Voir énoncé page 28

3 Règles de calculs

Calculer et écrire sans radicaux au dénominateur :

A D \frac{7}{\sqrt{2} C 1} C \frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{3} − 1}

Exercice type 3

Lycée Ampère, Lyon

Voir corrigé page 34

3.1 Règles de calculs avec les fractions

On rappelle ici les différentes techniques vues au collège :

Somme et différence. On réduit au même dénominateur. Dans le pire des cas, le produit des dénominateurs peut servir :

\frac{1}{2} − \frac{1}{3} D \frac{3}{6} − \frac{2}{6} D \frac{1}{6}.

Si les dénominateurs ont un diviseur commun intéressant, on peut trouver un dénominateur commun plus petit que le produit :

\frac{1}{4} − \frac{1}{6} D \frac{3}{12} − \frac{2}{12} D \frac{1}{12}.

Produit. Le numérateur du produit est le produit des numérateurs, le dénominateur du produit est le produit des dénominateurs :

\frac{a}{b} × \frac{c}{d} D \frac{ac}{bd}.

IL2M — v. 1.0 9 juin 2025 — Chapitre 2 page 33 — #43 NOMBRES ET CALCULS CHAP. 2_{33} CORRIGÉS INTERROS COURS

Notez qu’il peut être judicieux de décomposer les différents facteurs et simplifier avant de multiplier :

\frac{32}{35} × \frac{25}{8} D \frac{4 × 8}{5 × 7} × \frac{5 × 5}{8} D \frac{4 × 8 × 5 × 5}{5 × 7 × 8} D \frac{4 × 5}{7} D \frac{20}{7}

est préférable (si on calcule à la main) à :

\frac{32}{35} × \frac{25}{8} D \frac{800}{280} D … D \frac{20}{7}.

Bien sûr, si vous faites le même calcul à la machine, vous pouvez préférer la deuxième méthode, moins économique mais plus directe.

Quotient.

Diviser par une fraction, c’est multiplier par son inverse. Par exemple :

\frac{\frac{3}{16}}{\frac{5}{4}} D \frac{3}{16} × \frac{4}{5} D \frac{3 × 4}{4 × 4 × 5} D \frac{3}{20}.

Remarque : le mot fraction désigne seulement une écriture du type : \frac{a}{b}. Le

nombre ainsi représenté n’est pas nécessairement rationnel. Ainsi, \frac{\sqrt{2}}{3} est un nombre irrationnel, écrit sous la forme d’une fraction. Rassurez-vous : les règles de calculs que nous venons d’énoncer s’appliquent à toutes les fractions, qu’elles représentent ou non un nombre rationnel.

3.2 Règles de calcul avec les radicaux

Propriétés 9

Soient a et b deux réels positifs.

\sqrt{a}\sqrt{b} D \sqrt{ab}.

si a > 0 et b > 0, alors \sqrt{a} C \sqrt{b} > \sqrt{a C b} (car en élevant au carré : a C b C 2\sqrt{ab} > a C b).

▷\sqrt{a}◁^{2} D a.

\sqrt{a^{2}} D | a | . (Par exemple, si x D −2, \sqrt{x^{2}} D C2!

Le mot radical désigne une façon d’écrire certains nombres. Le nombre 2 est une racine carrée, (celle de 4), mais ce n’est un radical que si on l’écrit sous la forme : \sqrt{4}. Dans l’écriture des fractions, on évite de laisser des radicaux au dénominateur.

IL2M — v. 1.0 9 juin 2025 — Chapitre 2 page 34 — #44 COURS_{34}

Cas n° 1 : le dénominateur est un radical. On simplifie en le multipliant par lui-même. Par exemple :

\frac{1}{3\sqrt{2}} D \frac{1 × \sqrt{2}}{3▷\sqrt{2}◁^{2}} D \frac{\sqrt{2}}{6}.

Cas n°2 : le dénominateur est une somme contenant des radicaux. On utilise alors sa quantité conjuguée. La quantité conjuguée de a C b est l’expression a − b. On fait alors apparaître ▷a − b◁▷a C b◁ qui, une fois développé, est égal à a^{2} − b^{2}, ce qui permet de se débarrasser des radicaux. Par exemple :

\frac{2}{\sqrt{5} − \sqrt{3}} D \frac{2 × ▷\sqrt{5} C \sqrt{3}◁}{▷\sqrt{5} − \sqrt{3}◁▷\sqrt{5} C \sqrt{3}◁}

D \frac{2 × ▷\sqrt{5} C \sqrt{3}◁}{5 − 3}

D \frac{2 × ▷\sqrt{5} C \sqrt{3}◁}{2}

D \sqrt{5} C \sqrt{3}.

Voir le chapitre « Calcul littéral » pour plus d’informations sur les identités remarquables.

3.3 Règles de calcul avec les puissances

Propriétés 10

Soient a et b deux réels non nuls, et soient p, q et n trois entiers relatifs.

a^{−p} D \frac{1}{a^{p}} ;

a^{p} × a^{q} D a^{pCq} ;

a^{n} × b^{n} D ▷ab◁^{n} (avec le même exposant n).

a^{0} D 1 et a^{1} D a.

\begin{aligned}A & D \frac{7}{\sqrt{2} C 1} C \frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{3} − 1} D \frac{7▷\sqrt{2} − 1◁}{▷\sqrt{2} C 1◁▷\sqrt{2} − 1◁}C \frac{2\sqrt{3}▷\sqrt{3} C 1◁}{▷\sqrt{3} − 1◁▷\sqrt{3} C 1◁} \\ & D \frac{7▷\sqrt{2} − 1◁}{2 − 1} C \frac{2\sqrt{3} × ▷\sqrt{3} C 1◁}{3 − 1} \\ & D 7\sqrt{2} − 7 C \frac{6 C 2\sqrt{3}}{2} \\ & D 7\sqrt{2} − 7 C 3 C \sqrt{3} \\ & D 7\sqrt{2} − 4 C \sqrt{3}. \end{aligned}  Solution de l’exercice type 3 Lycée Ampère, Lyon Voir énoncé page 32

IL2M — v. 1.0 9 juin 2025 — Chapitre 2 page 35 — #45 NOMBRES ET CALCULS CHAP. 2_{35} CORRIGÉS INTERROS COURS

4 Intervalles

Exprimer par un intervalle : 1 x > 2 2 x ⩽ −3 3 −1 < x ⩽ 5 4 x > 2 et x < 6 5 x < 2 ou x ⩾ 4

Exercice type 4

Lycée Alain, Le Vésinet

Voir corrigé page 36

4.1 Notations et représentations

Définition 9

L’ensemble des nombres réels compris entre deux réels a et b est un intervalle. Si a et b sont dans l’intervalle, on note cet intervalle TaI bU. Si a et b ne sont pas dans l’intervalle, on note cet intervalle UaI bT. Si a est compris dans l’intervalle, mais pas b, on note cet intervalle TaI bT. Si b est compris dans l’intervalle, mais pas a, on note cet intervalle UaI bU.

On représentera les intervalles sur l’axe des réels comme dans les exemples cidessous.

Exemples L’intervalle T−3I 5U peut se représenter ainsi :

x ∈ T−3I 5U ⟺ −3 ⩽ x ⩽ 5.

L’intervalle T−3I 5T peut se représenter ainsi :

x ∈ T−3I 5T ⟺ −3 ⩽ x < 5.

IL2M — v. 1.0 9 juin 2025 — Chapitre 2 page 36 — #46 COURS_{36}

Exemples

L’intervalle U − 3I 5U peut se représenter ainsi :

x ∈U − 3I 5U ⟺ −3 < x ⩽ 5.

L’intervalle U − 3I 5T peut se représenter ainsi :

x ∈U − 3I 5T ⟺ −3 < x < 5.

4.2 Union et intersection de deux intervalles

Définitions 10

Soient I et J deux intervalles.

L’union (ou la réunion) de I et J est l’ensemble des nombres qui sont dans I ou dans J. On note l’union : I ∪ J.

L’intersection de I et I est l’ensemble des nombres qui sont dans I et dans J. On note l’intersection : I ∩ J.

Exemple : on considère les intervalles I DU − 3I 5T et J DU − 1I 6T.

I ∪ J DU − 3I 6T : les deux intervalles se chevauchent donc on peut aller de la plus petite valeur jusqu’à la plus grande.

I ∩ J DU − 1I 5T : on regarde où les deux intervalles se chevauchent.

Remarque : si les deux intervalles ne se chevauchent pas, leur intersection est vide (I ∩ J D ∅) et leur union ne peut pas s’écrire plus simplement que I ∪ J.

{1 U2I C∞T \atop 2 U − ∞I −3U}  {3 U − 1I 5U \atop 4 U2I 6T}  5 U − ∞I 2T∪T4I C∞T  Solution de l’exercice type 4 Lycée Alain, Le Vésinet Voir énoncé page 35

IL2M — v. 1.0 9 juin 2025 — Chapitre 2 page 37 — #47 NOMBRES ET CALCULS CHAP. 2_{37} CORRIGÉS INTERROS COURS
1_{QCM} Décimaux Corrigé p. 45 1 min

Quels sont les décimaux?

\begin{matrix}a 1,27 & b −\frac{17}{3} \\ c \sqrt{64} & d \sqrt{8} − \sqrt{2} \end{matrix}

2_{QCM} Rationnels Corrigé p. 45 1 min

Quels sont les rationnels?

\begin{matrix}a −15 & b \sqrt{5} \\ c \begin{matrix}√ & \overline{27} \\ √ & \overline{3} \end{matrix} & d 2,34 \end{matrix}

3_{V/F} Radicaux Corrigé p. 45 2 min

Les affirmations suivantes sont-elles vraies ou fausses?

a \sqrt{2} − 1 est l’opposé de \sqrt{2} C 1 b \sqrt{2} − 1 est l’inverse de \sqrt{2} C 1
c \sqrt{8} C \sqrt{2} D 3\sqrt{2}  d \sqrt{8} C \sqrt{2} D \sqrt{10}

e \sqrt{−4} D −2

4_{V/F} Fractions Corrigé p. 45 3 min

Les égalités suivantes sont-elles vraies ou fausses?

\begin{matrix}a \frac{3}{5} D \frac{9}{25} & b \frac{3}{2} C \frac{3}{2} D \frac{3}{4} \\ c \frac{3}{5} × \frac{20}{9} D \frac{4}{3} & d \frac{1}{4} C \frac{1}{6} D \frac{2}{3} \end{matrix}

5_{V/F} Intervalles Corrigé p. 46 5 min

Les affirmations suivantes sont-elles vraies ou fausses? a Si 0 ⩽ x ⩽ 3, alors x ∈U0I 3T. b Si x > 4, alors x ∈ T4I C∞T. c Si x ∈U − ∞I 2U ∩ T0I 4U alors x ⩾ 0 et x ⩽ 2. d Si x ∈U − ∞I 4U ∩ T0I 2U alors x ⩽ 4 et x > 2. e Si x ∈ T0I 1U ∪ T2I 3U alors x ∈ T0I 1U et x ∈ T2I 3U.

IL2M — v. 1.0 9 juin 2025 — Chapitre 2 page 38 — #48 INTERROS_{38}
6_{QCM} Nombres premiers Corrigé p. 46 5 min

On considère deux entiers premiers p et q, strictement supérieurs à 2. Parmi les entiers suivants, quels sont ceux qui pourraient être premiers?

\begin{matrix}a p C q & b p C q C 1 \\ c p C q C 2 & d pq \end{matrix}

7_{V/F} Test de connaissances Corrigé p. 46 5 min

Pour chaque proposition, dire si elle est vraie ou fausse. Justifier la réponse. 1 Il existe des nombres décimaux non entiers a et b tels que a C b soit un

entier relatif.

2 Rachel affirme : « π D \frac{1 980 127}{630294} ».

Pour cela, elle montre son écran de calculatrice :

π

����������� �������÷������

�����������

3 Le produit d’un nombre décimal par 100 est un entier.

4 Le quotient de deux nombres rationnels non nuls est un rationnel.

Ensembles de nombres

8Plus petit ensemble_{Lycée Jacques Prévert, Taverny} Corrigé ; p. 47 ; 10 min ; ⋆

Pour chaque nombre, donner le plus petit ensemble, parmi ℕ, 𝔻, ℚ, ℝ auxquels ils appartiennent :

5 × 10^{−4} , \frac{3,6 × \sqrt{4}}{3} , \frac{64}{3} , \sqrt{\frac{25}{16}} , \sqrt{\frac{49}{9}}.

9Les différents ensembles_{Lycée Montchapet, Dijon} Corrigé ; p. 47 ; 10 min ; ⋆

On considère les nombres suivants :

{4,567 \atop 10^{−3}}  {−10^{3} \atop 6 545}  \begin{matrix}4 × 10^{−3} \\ √ & \overline{π} \end{matrix}

IL2M — v. 1.0 9 juin 2025 — Chapitre 2 page 39 — #49 NOMBRES ET CALCULS CHAP. 2_{39} CORRIGÉS INTERROS COURS

−\frac{3}{100} ; \frac{1}{3}  \begin{matrix}−\frac{22}{9} \\ √ & \overline{3} \\ √ & \overline{144} \\ 0 \end{matrix}  \frac{2}{π} ; −\frac{23}{6} ; \sqrt{\sqrt{81}}

1 Quels sont ceux qui sont décimaux? 2 Quels sont ceux qui sont rationnels mais non décimaux? 3 Quels sont ceux qui ne sont pas rationnels?

10Ensembles inclus_{Lycée Victor Louis, Talence} Corrigé ; p. 48 ; 15 min ; ⋆

On donne les nombres :

a D 3,507 ; b D 5 998 ; c D \sqrt{121} ; d D 3,14 ; e D \frac{21}{6} ; f D π ; g D 4 × 10^{−3}  h D \frac{1}{3} ; i D 5^{−2} ; j D \frac{1}{3} − \frac{3}{5} C \frac{8}{5} × \frac{17}{12} ; k D −\frac{22}{7} ; l D \sqrt{2} ; m D (3^{2})^{3} × \frac{1}{9} × 5^{−4}

Quels sont les nombres décimaux? Quels sont les nombres rationnels non décimaux? Quels sont les nombres non rationnels?

11Appartenance, inclusion_{Lycée Gérard de Nerval, Soissons} Corrigé ; p. 48 ; 15 min ; ⋆

Compléter par ∈, ∉, ⊂, ⊄.

1 \frac{−15}{3} … ℤ ; 2 \sqrt{9} … ℕ ; 3 ℤ … ℚ  4 π … ℚ ; 5 ℕ … ℚ^{∗} ; 6 10^{−3} … ℝ_{C}

IL2M — v. 1.0 9 juin 2025 — Chapitre 2 page 40 — #50 INTERROS_{40}

Calculs sur les fractions et puissances

12Décompositions_{Lycée Henri IV, Paris} Corrigé ; p. 49 ; 5 min ; ⋆

Écrire sous la forme 2^{n} × 3^{p} × 5^{q} avec n ∈ ℤ, p ∈ ℤ, q ∈ ℤ :

1 A D \frac{5^{3} × 8^{3} × 9^{2}}{15^{2} × 12^{4}}  ^{2} B D \frac{12^{3} × 15^{−3}}{5^{−2} × 2^{3}}
13Simplification_{Lycée Hoche, Versailles} Corrigé ; p. 49 ; 5 min ; ⋆

Simplifier l’écriture de A D \frac{▷0,2◁^{3} × 10^{4}}{2^{3} × 81} ÷ \frac{−8^{3} × 15}{▷−12◁^{5}} .

14Calculs et simplifications_{Lycée Louis le Grand, Paris} Corrigé ; p. 49 ; 10 min ; ⋆

Calculer :

1 A D \frac{−1^{5}▷2^{3}◁▷−7◁^{4}}{21^{2}▷−6◁^{3}}

2 B D \frac{3 − \frac{1}{4}}{2 C \frac{1}{4}} × \frac{\frac{4}{15} − \frac{1}{10}}{\frac{2}{3} − \frac{1}{6}} ÷ \frac{1 C \frac{2}{5}}{2 − \frac{1}{5}}

15Calculs et simplifications_{Lycée Blaise Pascal, Orsay} Corrigé ; p. 50 ; 20 min ; ⋆ ; ⋆

1 Calculer A D \frac{\frac{1}{2} − \frac{1}{3} C \frac{2}{5} C \frac{1}{6}}{\frac{1}{2} C \frac{1}{3} − \frac{2}{5} − \frac{5}{6}} .

2 Simplifier B D \frac{▷5^{2} × 10^{−5} ◁^{3}}{▷5 × 10^{−3} ◁^{5}} × ( \frac{10^{2}}{5}) ^{2}.

3 Écrire plus simplement :

(a) C D 2^{23} × ▷0,5◁^{24}

(b) D D ( \frac{2}{3}) ^{108} × ▷1,5◁^{107}

IL2M — v. 1.0 9 juin 2025 — Chapitre 2 page 41 — #51 NOMBRES ET CALCULS CHAP. 2_{41} CORRIGÉS INTERROS COURS

4 Donner l’écriture scientifique des nombres :

a D 0,000 073 654
b D 9 325 000
c D 0,023 × 10^{−5}
d D 19,402 × 10^{2}

16Produit de puissances_{Lycée Hoche, Versailles} Corrigé ; p. 51 ; 5 min ; ⋆ ; ⋆

Écrire sous la forme d’un produit de puissances de a, b et c ▷D̸ 0◁ :

B D ( \frac{a^{3}}{c}) ^{2} ÷ \frac{T▷a^{7}◁^{5}b^{−2} ▷c^{−3} ◁^{−2} U^{−1}}{Tab^{2}▷c^{−2} ◁^{−3} U^{2}}

17Calculs d’une somme avec fractions_{Lycée Louis le Grand, Paris} Corrigé ; p. 51 ; 15 min ; ⋆ ; ⋆

Écrire sous la forme d’une fraction :

A D \frac{1}{n▷n C 1◁▷n C 2◁}− \frac{1}{▷n C 1◁▷n C 2◁▷n C 3◁} .

En déduire :

B D \frac{1}{10 × 11 × 12 × 13} C \frac{1}{11 × 12 × 13 × 14} C ⋯ C \frac{1}{19 × 20 × 21 × 22} .

Calculs avec les entiers (arithmétique)

18PGCD_{Lycée Parc de Vilgenis, Massy} Corrigé ; p. 53 ; 10 min ; ⋆

1 Décomposer en produit de facteurs premiers les nombres 1 040 et 640.

2 En déduire le PGCD de 1 040 et 640.

3 Un jardinier désire planter une haie autour d’une parcelle rectangulaire de longueur 10,4 mètres et de largeur 6,4 mètres. Il place un plant à chaque sommet du rectangle. La distance entre deux plants doit toujours être la même et doit être égale à un nombre entier de centimètres.

(a) Quelle est la distance maximale qui peut séparer deux plants successifs?

(b) Calculer le nombre de plants nécessaires pour entourer la parcelle rectangulaire.

IL2M — v. 1.0 9 juin 2025 — Chapitre 2 page 42 — #52 INTERROS_{42}
19Somme et multiples_{Lycée Jacques Amyot, Auxerre} Corrigé ; p. 53 ; 10 min ; ⋆ ; ⋆

1 Démontrer que la somme de trois entiers consécutifs est un multiple de 3.

2 Démontrer que la somme de trois multiples consécutifs de 3 est un mul-

tiple de 9. 3 La somme de quatre entiers consécutifs est-elle un multiple de 4?

20Implication sur la divisibilité_{Lycée Loquidy, Nantes} Corrigé ; p. 54 ; 10 min ; ⋆ ; ⋆

Soit a ∈ ℕ et n ∈ ℕ. Montrer que si a divise n C 4 et 2n − 3 alors a est un diviseur de 11.

21Ensemble d’entiers et divisibilité_{Lycée Louis Vincent, Metz} Corrigé ; p. 54 ; 10 min ; ⋆ ; ⋆

Déterminer tous les entiers relatifs n tels que n − 4 divise 3n C 24.

22Parité_{Lycée Pierre Caraminot, Egletons} Corrigé ; p. 55 ; 10 min ; ⋆ ; ⋆

Montrer que le produit de deux entiers naturels consécutifs est toujours pair.

23Nombres premiers_{Lycée Gustave Eiffel, Bordeaux} Corrigé ; p. 55 ; 15 min ; ⋆ ; ⋆ ; ⋆

On considère un entier n non nul et des nombres premiers p_{1}, p_{2}, ..., p_{n}, deux à deux distincts, et a D p_{1} × p_{2} × p_{n} C 1.

1 L’entier a est-il multiple d’un des p_{k}?

2 Euclide a utilisé cette propriété pour démontrer que l’ensemble des nombres premiers est infini. Expliquez son argument.

Radicaux

24Avec racines carrées_{Lycée Fernand Daguin, Mérignac} Corrigé ; p. 56 ; 5 min ; ⋆

Montrer que (1 − \sqrt{3})^{2} C (1 C \sqrt{3})^{2} est un entier naturel.

IL2M — v. 1.0 9 juin 2025 — Chapitre 2 page 43 — #53 NOMBRES ET CALCULS CHAP. 2_{43} CORRIGÉS INTERROS COURS
25Ensembles inclus_{Lycée Victor Louis, Talence} Corrigé ; p. 56 ; 5 min ; ⋆

Soit n D \frac{1}{\sqrt{3} C 1} C \frac{9 − 5\sqrt{3}}{10} .

Quel est le plus petit ensemble auquel appartient n?

26Simplification_{Lycée Henri IV, Paris} Corrigé ; p. 57 ; 5 min ; ⋆

Simplifier afin que le résultat contienne au plus un radical \sqrt{b}, où b ∈ ℕ, et b est le plus petit possible.

1 C D \sqrt{27} − 2\sqrt{75} C 3\sqrt{12}

2 D D \sqrt{\frac{6,3}{2,8}} × \sqrt{\frac{18}{0,72}}

27Simplification_{Lycée Charlemagne, Paris} Corrigé ; p. 57 ; 10 min ; ⋆

Écrire A et B sous la forme a C \sqrt{b}, où a et b sont rationnels.

1 A D \frac{3}{\sqrt{5} C 2}

2 B D \frac{2\sqrt{5} C 3}{\sqrt{5} − 1}

28Calcul avec fractions et radicaux_{Lycée Louis-le-Grand, Paris} Corrigé ; p. 58 ; 5 min ; ⋆

Calculer :

A D \frac{\sqrt{2} − 1}{\sqrt{2} C 1} C 8\sqrt{2}.

29Avec une identité remarquable_{Lycée André Malraux, Biarritz} Corrigé ; p. 58 ; 10 min ; ⋆ ; ⋆

1 Écrire ▷3 − \sqrt{11}◁^{2} sous la forme a C b\sqrt{11}, où a et b sont des nombres

entiers relatifs. 2 Quel est le signe de 3 − \sqrt{11}?

3 En déduire une autre écriture de \sqrt{20 − 6\sqrt{11}} .

IL2M — v. 1.0 9 juin 2025 — Chapitre 2 page 44 — #54 INTERROS_{44}
30Radicaux_{Lycée Hoche, Versailles} Corrigé ; p. 59 ; 15 min ; ⋆ ; ⋆

1 Simplifier :

I D \sqrt{50} − 3\sqrt{2} C \frac{\sqrt{18}}{4} − \frac{\sqrt{2}}{2}

J D 7\sqrt{\frac{3}{7}} × \sqrt{\frac{30}{49}}

K D \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{3} − \sqrt{2}} C \frac{3}{\sqrt{3} C \sqrt{2}}

L D ( \sqrt{3 − 2\sqrt{2}} C \sqrt{3 C 2\sqrt{2}})^{2} 2 Calculer ▷2 − \sqrt{13}◁^{2} et en déduire une écriture plus simple de

Y D \sqrt{17 − 4\sqrt{13}}

Intervalles

31Union et intersection_{Lycée Fernand Daguin, Mérignac} Corrigé ; p. 60 ; 2 min ; ⋆

Déterminer l’union et l’intersection des intervalles I D U5I 9U et J D T−8I 6U.

32Union et intersection_{Lycée Cité internationale, Paris} Corrigé ; p. 60 ; 10 min ; ⋆ ; ⋆

Pour chacun des intervalles I et J suivants, décrire I ∩J et I ∪J de la manière la plus simple possible. 1 I D ]−3 I 7] et J D [−1 I C∞[ 2 I D ]−∞ I 4[ et J D [4 I 10] 3 I D [−10 I 2] et J D [−3 I 7] 4 I D ]−∞ I 3] et J D [−6 I C∞[ 5 I D ]−4 I 2[ et J D ]2 I 5]

Intervalles — v. 1.0 9 juin 2025 — Chapitre 2 page 45 — #55 NOMBRES ET CALCULS CHAP. 2_{45} CORRIGÉS INTERROS COURS
1_{QCM} Décimaux {Énoncé \atop p. 37}

a 1,27 D \frac{127}{100} est décimal.

b 3 ne divise ni 10, ni 17, donc −\frac{17}{3} est rationnel, mais il n’est pas décimal. c \sqrt{64} D 8 est entier, donc décimal. d \sqrt{8} − \sqrt{2} D 2\sqrt{2} − \sqrt{2} D \sqrt{2} n’est pas rationnel, donc pas décimal.

2_{QCM} Rationnels {Énoncé \atop p. 37}

a −15 est entier, donc rationnel. b \sqrt{5} est irrationnel.

c \begin{matrix}√ & \overline{27} \\ √ & \overline{3} \end{matrix} D \sqrt{9} D 3 est entier, donc rationnel.

d 2,34 est décimal, donc rationnel.

3_{V/F} Radicaux {Énoncé \atop p. 37}

a Faux. L’opposé de \sqrt{2} C 1 est −▷\sqrt{2} C 1◁, soit −\sqrt{2} − 1. b Vrai car ▷\sqrt{2} − 1◁ × ▷\sqrt{2} C 1◁ D \sqrt{2}^{2} − 1^{2} D 2 − 1 D 1. c Vrai car \sqrt{8} D \sqrt{4 × 2} D \sqrt{4} × \sqrt{2} D 2\sqrt{2}. d Faux car \sqrt{8} C \sqrt{2} D 3\sqrt{2}, donc ▷\sqrt{8} C \sqrt{2}◁^{2} D 9 × 2 D 18, et non 10. e Faux car la racine carrée de −4 n’est pas définie (ne pas confondre avec −\sqrt{4} D −2).

4_{V/F} Fractions {Énoncé \atop p. 37}

a Faux mais ( \frac{3}{5}) ^{2} D \frac{9}{25}.

b Faux : \frac{3}{2} C \frac{3}{2} D 3.

c Vrai : \frac{3}{5} × \frac{20}{9} D \frac{3 × 4 × 5}{5 × 3 × 3} D \frac{4}{3}.

d Faux car \frac{1}{4} C \frac{1}{6} D \frac{3}{12} C \frac{2}{12} D \frac{5}{12} D̸ \frac{2}{3}.

Plus petit ensemble — v. 1.0 9 juin 2025 — Chapitre 2 page 46 — #56

CORRIGÉS_{46}

5_{V/F} Intervalles {Énoncé \atop p. 37}

a Faux. L’intervalle est : T0I 3U (inégalités larges).

b Faux. Si x > 4, alors x ∈U4I C∞T. c Vrai. x doit appartenir aux deux intervalles. On a donc, d’une part : x ⩽ 2 et x ⩽ 4, donc x ⩽ 2, et de l’autre : x ⩾ 0. d Faux. On doit avoir x ∈ T0I 2U donc 0 ⩽ x ⩽ 2. e Faux. Les deux conditions sont d’ailleurs incompatibles. Il faudrait dire : « Si x ∈ T0I 1U ∪ T2I 3U alors x ∈ T0I 1U ou x ∈ T2I 3U. »

6_{QCM} Nombres premiers {Énoncé \atop p. 38}

Il faut observer que comme p et q sont des entiers premiers, différents de 2, ils sont nécessairement impairs. a Non car p C q est pair et p C q D̸ 2.

b Oui. p C q C 1 n’est pas toujours premier, mais peut l’être. Par exemple 3 C 7 C 1 D 11 est premier (mais 3 C 11 C 1 D 15 ne l’est pas). c Non, pour la même raison qu’à la réponse 1.

d Non car pq admet quatre diviseurs distincts : pq, p, q et 1.

7_{V/F} Test de connaissances {Énoncé \atop p. 38}

1 Vrai. Par exemple, si a D −3,8 et b D −1,2 (nombres non entiers) alors

a C b D −5 (entier relatif). 2 Faux. Si la calculatrice affiche un nombre avec les mêmes décimales,

c’est que sa capacité d’affichage n’est pas suffisante pour afficher les décimales qui ne coïncident pas. En effet, en utilisant par exemple la console Python, on voit :

    > > > from math import pi
    > > > print(pi)
    3.141592653589793
    > > > print(1980127/630294)
    3.141592653587056

Les résultats diffèrent. 3 Faux. En effet, si a D 0,0001 (nombre décimal) alors 100 × a D 0,01

(qui n’est pas un entier).

4 Faux. En effet, si a D \frac{1}{3} et b D a alors \frac{a}{b} D 1, qui est plus qu’un nombre rationnel... c’est un entier naturel!

Ensembles inclus — v. 1.0 9 juin 2025 — Chapitre 2 page 47 — #57 NOMBRES ET CALCULS CHAP. 2_{47} CORRIGÉS INTERROS COURS
8Plus petit ensemble_{Lycée Jacques Prévert, Taverny} {Énoncé \atop p. 38}

1 5 × 10^{−4} D 0,000 5 est un nombre décimal. 2 \frac{3,6 × \sqrt{4}}{3} D 1,2 × 2 D 2,4 est un nombre décimal. 3 \frac{64}{3} est rationnel (mais non décimal). 4 \sqrt{\frac{25}{16}} D \frac{5}{4} D 1,25 est décimal. 5 \sqrt{\frac{49}{9}} D \frac{7}{3} est rationnel, non décimal.

9Les différents ensembles_{Lycée Montchapet, Dijon} {Énoncé \atop p. 38}

1 Rappel : un nombre est décimal s’il s’écrit sous la forme :

\frac{n}{10^{k}} , n ∈ ℤ, k ∈ ℤ.

En particulier, les nombres entiers sont des décimaux, puisqu’ils s’écrivent :

n D \frac{n}{10^{0}}.

Parmi ceux proposés, sont décimaux :

4,567 car 4,567 D \frac{4 567}{1 000} ;

10^{−3} car 10^{−3} D \frac{1}{1 000} ;

−10^{3} D −1 000 est entier, donc décimal; 6 545 est entier, donc décimal;

4 × 10^{−3} car 4 × 10^{−3} D \frac{4}{1 000} ;

−\frac{3}{100} ;

\sqrt{144} D 12 est entier, donc décimal; 0 est entier, donc décimal; \sqrt{\sqrt{81}} D \sqrt{9} D 3 est entier, donc décimal.

2 Sont rationnels mais non décimaux : \frac{1}{3}, −\frac{22}{9}, −\frac{23}{6}. 3 Sont irrationnels : \sqrt{π}, \sqrt{3}, \frac{2}{π}.

Décompositions — v. 1.0 9 juin 2025 — Chapitre 2 page 48 — #58

CORRIGÉS_{48}

10Ensembles inclus_{Lycée Victor Louis, Talence} {Énoncé \atop p. 39}

a est décimal. b est entier, donc décimal. c D \sqrt{121} D 11 est entier, donc décimal. d D 3,14 est décimal. e D \frac{21}{6} D \frac{7}{2} D 3,5 est décimal. f D π est irrationnel. g D \frac{4}{1 000} D 0,004 est décimal. h D \frac{1}{3} est rationnel mais non décimal. i D 5^{−2} D \frac{1}{25} D 0,04 est décimal.

j D \frac{1}{3} − \frac{3}{5} C \frac{8}{5} × \frac{17}{12} D \frac{5}{15} − \frac{9}{15} C \frac{34}{15} D \frac{30}{15} D 2, qui est entier.

k D \frac{−22}{7} est rationnel, non décimal. l D \sqrt{2} est irrationnel.

m D (3^{2})^{3} × \frac{1}{9} × 5^{−4} D \frac{9^{2}}{5^{4}} D 0,1296 est décimal.

11Appartenance, inclusion_{Lycée Gérard de Nerval, Soissons} {Énoncé \atop p. 39}

1 \frac{−15}{3} ∈ ℤ. En effet, \frac{−15}{3} D −5.

2 \sqrt{9} ∈ ℕ car \sqrt{9} D 3. 3 ℤ ⊂ ℚ. En effet, tous les entiers sont en particulier rationnels, car ils

peuvent s’écrire sous la forme d’une fraction d’entiers; par exemple,

5 D \frac{5}{1}.

4 π ∉ ℚ, car π n’est pas rationnel. C’est pour cela que le développement décimal de π, non seulement est infini, mais de plus ne se « répète » jamais. « Pire », on ne peut même pas écrire π comme la racine d’un nombre rationnel (on dit que π est « transcendant »).

5 ℕ ⊄ ℚ^{∗} car 0 ∈ ℕ mais 0 ∉ ℚ^{∗}. 6 10^{−3} ∈ ℝ_{C}, car 10^{−3} est positif.

Calculs et simplifications — v. 1.0 9 juin 2025 — Chapitre 2 page 49 — #59

NOMBRES ET CALCULS CHAP. 2_{49} CORRIGÉS INTERROS COURS

12Décompositions_{Lycée Henri IV, Paris} {Énoncé \atop p. 40}

1 \begin{aligned}A & D \frac{5^{3} × 8^{3} × 9^{2}}{15^{2} × 12^{4}} \\ & D \frac{5^{3} × 2^{9} × 3^{4}}{3^{2} × 5^{2} × 3^{4} × 2^{8}} \\ & D \frac{5 × 2}{3^{2}} \\ & D 5 × 3^{−2} × 2. \end{aligned}  2 \begin{aligned}B & D \frac{12^{3} × 15^{−3}}{5^{−2} × 2^{3}} \\ & D \frac{12^{3} × 5^{2}}{15^{3} × 2^{3}} \\ & D \frac{2^{6} × 3^{3} × 5^{2}}{5^{3} × 3^{3} × 2^{3}} \\ & D \frac{2^{3}}{5} \\ & D 2^{3} × 5^{−1} . \end{aligned}
13Simplification_{Lycée Hoche, Versailles} {Énoncé \atop p. 40}

On applique les règles de calculs avec les fractions :

A D \frac{▷0,2◁^{3} × 10^{4}}{2^{3} × 81} ÷ \frac{−8^{3} × 15}{▷−12◁^{5}}

D ( \frac{2}{10}) ^{3} × \frac{5^{4} × 2^{4}}{2^{3} × 3^{4}} × \frac{−12^{5}}{−8^{3} × 15}

D \frac{2^{3} × 5^{4} × 2^{4} × 3^{5} × 2^{10}}{2^{3} × 5^{3} × 2^{3} × 3^{4} × 2^{9} × 3 × 5}

D 2^{2} (après simplifications) D 4.

14Calculs et simplifications_{Lycée Louis le Grand, Paris} {Énoncé \atop p. 40}

1 On obtient :

A D \frac{2^{3} × 7^{4}}{3^{2} × 7^{2} × 2^{3} × 3^{3}}

D \frac{7^{2}}{3^{5}}.

Il n’est pas nécessaire d’aller plus loin, mais on peut aussi écrire :

A D \frac{49}{243}.

Calculs et simplifications — v. 1.0 9 juin 2025 — Chapitre 2 page 50 — #60

CORRIGÉS_{50}

2 Il faut réduire petit à petit au même dénominateur :

B D \frac{3 − \frac{1}{4}}{2 C \frac{1}{4}} × \frac{\frac{4}{15} − \frac{1}{10}}{\frac{2}{3} − \frac{1}{6}} ÷ \frac{1 C \frac{2}{5}}{2 − \frac{1}{5}}

D \frac{\frac{12}{4} − \frac{1}{4}}{\frac{8}{4} C \frac{1}{4}} × \frac{\frac{8}{30} − \frac{3}{30}}{\frac{4}{6} − \frac{1}{6}} ÷ \frac{\frac{5}{5} C \frac{2}{5}}{\frac{10}{5} − \frac{1}{5}}

D \frac{\frac{11}{4}}{\frac{9}{4}} × \frac{\frac{5}{30}}{\frac{3}{6}} ÷ \frac{\frac{7}{5}}{\frac{9}{5}}

D \frac{11}{9} × \frac{\frac{1}{6}}{\frac{3}{6}} ÷ \frac{7}{9} D \frac{11}{9} × \frac{1}{3} × \frac{9}{7}

D \frac{11 × 9}{9 × 3 × 7}

D \frac{11}{21}.

15Calculs et simplifications_{Lycée Blaise Pascal, Orsay} {Énoncé \atop p. 40}

\begin{matrix}A & D \frac{\frac{1}{2} − \frac{1}{3} C \frac{2}{5} C \frac{1}{6}}{\frac{1}{2} C \frac{1}{3} − \frac{2}{5} − \frac{5}{6}} \\ A & D \frac{\frac{15}{30} − \frac{10}{30} C \frac{12}{30} C \frac{5}{30}}{\frac{15}{30} C \frac{10}{30} − \frac{12}{30} − \frac{25}{30}} \\ A & D \frac{\frac{22}{30}}{\frac{−12}{30}} \\ A & D −\frac{22}{12} \\ A & D −\frac{11}{6}. \end{matrix}  \begin{matrix}B & D \frac{▷5^{2} × 10^{−5} ◁^{3}}{▷5 × 10^{−3} ◁^{5}} × ( \frac{10^{2}}{5}) ^{2} \\ B & D \frac{5^{6} × 10^{−15}}{5^{5} × 10^{−15}} × \frac{10^{4}}{5^{2}} \\ B & D 5 × \frac{▷5 × 2◁^{4}}{5^{2}} \\ B & D \frac{5 × 5^{4} × 2^{4}}{5^{2}} \\ B & D 5^{3} × 2^{4}. \end{matrix}

C D 2^{23} × ( \frac{1}{2}) ^{24} D \frac{2^{23}}{2^{24}} D \frac{1}{2}.

Calculs d’une somme avec fractions — v. 1.0 9 juin 2025 — Chapitre 2 page 51 — #61 NOMBRES ET CALCULS CHAP. 2_{51} CORRIGÉS INTERROS COURS

D D ( \frac{2}{3}) ^{108} × ( \frac{3}{2}) ^{107} D ( \frac{2}{3}) ^{108} ÷ ( \frac{2}{3}) ^{107} D \frac{2}{3}.

a D 0,000 073 654 D 7,365 4 × 10^{−5} . b D 9 325 000 D 9,325 × 10^{6}. c D 0,023 × 10^{−5} D 2,3 × 10^{−2} × 10^{−5} D 2,3.10^{−7} . d D 19,402 × 10^{2} D 1,940 2 × 10^{3}.

16Produit de puissances_{Lycée Hoche, Versailles} {Énoncé \atop p. 41}

On simplifie les puissances, puis les fractions :

B D ( \frac{a^{3}}{c}) ^{2} ÷ \frac{T▷a^{7}◁^{5}b^{−2} ▷c^{−3} ◁^{−2} U^{−1}}{Tab^{2}▷c^{−2} ◁^{−3} U^{2}}

D \frac{a^{6}}{c^{2}} ÷ \frac{▷a^{35}b^{−2} c^{6}◁^{−1}}{▷ab^{2}c^{6}◁^{2}}

D \frac{a^{6}}{c^{2}} ÷ \frac{a^{−35} b^{2}c^{−6}}{a^{2}b^{4}c^{12}}

D \frac{a^{6}}{c^{2}} × \frac{a^{2}b^{4}c^{12}}{a^{−35} b^{2}c^{−6}}

D a^{43}b^{2}c^{16}.

17Calculs d’une somme avec fractions_{Lycée Louis le Grand, Paris} {Énoncé \atop p. 41}

1 Il faut réduire les deux fractions au même dénominateur :

A D \frac{1}{n▷n C 1◁▷n C 2◁}− \frac{1}{▷n C 1◁▷n C 2◁▷n C 3◁}

D \frac{n C 3}{n▷n C 1◁▷n C 2◁▷n C 3◁}− \frac{n}{n▷n C 1◁▷n C 2◁▷n C 3◁}

D \frac{n C 3 − n}{n▷n C 1◁▷n C 2◁▷n C 3◁}

D \frac{3}{n▷n C 1◁▷n C 2◁▷n C 3◁} .

2 Du résultat précédent, il vient :

\frac{1}{n▷n C 1◁▷n C 2◁▷n C 3◁}D \frac{1}{3} ( \frac{1}{n▷n C 1◁▷n C 2◁}− \frac{1}{▷n C 1◁▷n C 2◁▷n C 3◁} ) .

Calculs d’une somme avec fractions — v. 1.0 9 juin 2025 — Chapitre 2 page 52 — #62 CORRIGÉS_{52}

Si on applique cette formule à n D 10, on obtient :

\frac{1}{10 × 11 × 12 × 13} D \frac{1}{3} ( \frac{1}{10 × 11 × 12} − \frac{1}{11 × 12 × 13} ) .

En l’appliquant à n D 11 :

\frac{1}{11 × 12 × 13 × 14} D \frac{1}{3} ( \frac{1}{11 × 12 × 13} − \frac{1}{12 × 13 × 14} ) .

Si on additionne ces deux formules membre à membre, on voit que les termes

\frac{1}{11 × 12 × 13}

vont s’annuler. Appliquons de nouveau la formule à n D 12 :

\frac{1}{12 × 13 × 14 × 15} D \frac{1}{3} ( \frac{1}{12 × 13 × 14} − \frac{1}{13 × 14 × 15} ) .

Nous constatons que si nous ajoutons cette expression aux deux autres, le terme \frac{1}{12 × 13 × 14} disparaît. Finalement, si nous répétons l’opération jusqu’à n D 19 et que nous simplifions, il ne restera que le tout premier terme \frac{1}{10 × 11 × 12} ainsi

que le tout dernier, qui est le \frac{1}{▷n C 1◁▷n C 2◁▷n C 3◁}avec n D 19.

Il vient (attention aux signes et au facteur \frac{1}{3} !) :

B D \frac{1}{3} ( \frac{1}{10 × 11 × 12} − \frac{1}{20 × 21 × 22} )

D \frac{1}{3} ( \frac{1}{5 × 2 × 11 × 4 × 3} − \frac{1}{5 × 4 × 3 × 7 × 2 × 11} )

D \frac{1}{3} \frac{7 − 1}{20 × 21 × 22}

D \frac{1}{3} \frac{6}{20 × 21 × 22}

D \frac{2}{20 × 21 × 22}

D \frac{1}{10 × 21 × 22}

D \frac{1}{4 620}.

Somme et multiples — v. 1.0 9 juin 2025 — Chapitre 2 page 53 — #63

NOMBRES ET CALCULS CHAP. 2_{53} CORRIGÉS INTERROS COURS

18PGCD_{Lycée Parc de Vilgenis, Massy} {Énoncé \atop p. 41}

1 Les décompositions en produit de facteurs premiers de 1 040 et 640 sont :

1 040 D 2^{4} × 5 × 13.

640 D 2^{7} × 5.

2 Les diviseurs premiers communs à 1 040 et 640 sont 2 et 5.

La plus grande puissance qui intervient dans les deux décompositions en produit de facteurs premiers sont 2^{4} et 5^{1}. Ainsi, le PGCD de 1 040 et 640 est 2^{4} × 5 D 80.

3 La parcelle rectangulaire a pour dimensions, en centimètres, 1 040 et 640.

(a) La distance (nombre entier) entre deux plants est nécessairement un diviseur des deux dimensions, et doit être la plus grande possible; c’est donc le PGCD de 1 040 et 640. La distance maximale entre deux plants est donc égale à 80 cm.

(b) 1 040 ÷ 80 D 13 et 640 ÷ 80 D 8.

Ainsi, sur la longueur, il doit y avoir 13 intervalles entre deux plants et sur la largeur, 8 intervalles. N’oublions pas qu’il y a un plant à chaque sommet du rectangle. Par conséquent,

sur les longueurs, il y a 14 plants;

sur les largeurs, il y a 9 plants auxquels on enlève le premier et le dernier (qui sont déjà comptés pour les longueurs), soit 7 plants.

Il y a donc en tout : 2 × 14 C 2 × 7 D 42 plants.

19Somme et multiples_{Lycée Jacques Amyot, Auxerre} {Énoncé \atop p. 42}

1 Soit n ∈ ℤ. Les nombres n−1, n et nC1 sont consécutifs (ils se suivent). Leur somme est :

S D ▷n − 1◁ C n C ▷n C 1◁ D 3n.

S est bien un multiple de 3. 2 Soit n ∈ ℤ. ▷n − 1◁, n et ▷n C 1◁ sont trois entiers consécutifs, donc

3▷n − 1◁, 3n et 3▷n C 1◁ sont trois multiples de 3 consécutifs. Leur somme est :

S D 3▷n − 1◁ C 3n C 3▷n C 1◁ D 3n − 3 C 3n C 3n C 3 D 9n.

S est bien un multiple de 9.

Parité — v. 1.0 9 juin 2025 — Chapitre 2 page 54 — #64 CORRIGÉS_{54}

3 ∀ n ∈ ℤ, n − 1, n, n C 1 et n C 2 sont quatre entiers consécutifs. Leur somme est S D 4n C 2 D 2▷2n C 1◁. On ne peut pas factoriser encore par 2, donc elle n’est pas un multiple de 4 (juste un multiple de 2).

20Implication sur la divisibilité_{Lycée Loquidy, Nantes} {Énoncé \atop p. 42}

Si a divise n C 4 alors a divise aussi k▷n C 4◁, où k ∈ ℤ. Si a divise 2n − 3 alors a divise aussi k′▷2n − 3◁, où k′∈ ℤ. Ainsi, a divise la somme, donc a divise k▷n C 4◁ C k′▷2n − 3◁, soit, après développement, ▷k C 2k′◁n C 4k − 3k′. On cherche alors à savoir s’il existe des valeurs de k et k′telles que, pour tout entier n,

▷k C 2k′◁n C 4k − 3k′D 11.

Il faut donc que k C 2k′D 0, soit k D −2k′. Il faut aussi que 4k − 3k′D 11, soit 4▷−2k′◁ − 3k′D 11, d’où −11k′D 11. On en déduit alors que k′D −1 et donc que k D 2. Il existe donc bien deux entiers k et k′tels que k▷n C 4◁ C k′▷2n − 3◁ D 11. Or, a divise k▷n C 4◁ C k′▷2n − 3◁, donc a divise 11.

21Ensemble d’entiers et divisibilité_{Lycée Louis Vincent, Metz} {Énoncé \atop p. 42}

Partons du fait que ▷n − 4◁ divise A D ▷3n C 24◁. On sait de plus que ▷n − 4◁ divise aussi B D 3▷n − 4◁ D 3n − 12 (on a multiplié par 3 car le coefficient de n dans A est 3). Ainsi, ▷n − 4◁ divise A − B D 36. Les diviseurs de 36 sont :

−1I −2I −3I −4I −6I −9I −12I −18I −36I 1I 2I 3I 4I 6I 9I 12I 18I 36. En ajoutant 4 à ces valeurs, on trouve l’ensemble des valeurs de n possibles : D▷36◁ D {3I 2I 1I 0I −2I −5I −8I −14I −32I 5I 6I 7I 8I 10I 13I 16I 22I 40}. On vient de montrer que : « ▷n − 4◁ divise ▷3n C 24◁ donc n ∈ D▷36◁. » De plus, si n ∈ D▷36◁, on peut calculer ▷n−4◁ et ▷3nC24◁ et voir que ▷n−4◁ divise bien ▷3n C 24◁. La réciproque est donc vraie.

Ainsi, D▷36◁ est bien l’ensemble de toutes les valeurs de n telles que ▷n − 4◁ divise bien ▷3n C 24◁.

Avec racines carrées — v. 1.0 9 juin 2025 — Chapitre 2 page 55 — #65 NOMBRES ET CALCULS CHAP. 2_{55} CORRIGÉS INTERROS COURS
22Parité_{Lycée Pierre Caraminot, Egletons} {Énoncé \atop p. 42}

« Consécutifs » signifie que les deux entiers s’écrivent, par exemple, n et nC1. On a n▷n C 1◁ D n^{2} C n.

On procède par disjonction de cas sur n (on regarde tous les cas possibles) :

Si n est pair, n▷n C 1◁ est multiple de n donc de 2.

Si n est impair, ▷n C 1◁ est pair. n▷n C 1◁ est multiple de ▷n C 1◁ donc de 2.

Dans tous les cas, n▷n C 1◁ est bien un multiple de 2.

23Nombres premiers_{Lycée Gustave Eiffel, Bordeaux} {Énoncé \atop p. 42}

1 Soit k un entier compris entre 1 et n. p_{k} divise le produit p_{1} × ⋯× p_{n}, donc si p_{k} divisait a, alors p_{k} serait diviseur de a − p_{1} × ⋯× p_{n} D 1. Or 1 n’a pas de diviseur premier, à part lui-même... Conclusion : aucun des p_{k} n’est diviseur de a.

2 Euclide raisonne par l’absurde, c’est-à-dire qu’il suppose que son résultat est faux, en espérant aboutir à une contradiction. Il suppose que l’ensemble des nombres premiers est fini, et qu’on peut énumérer tous les nombres premiers : p_{1}, p_{2}, ..., p_{n}. D’après la première question, a n’admet aucun diviseur premier. Or on voit que a ⩾ 2, donc a admet nécessairement un diviseur premier. Nous avons une contradiction. L’ensemble des nombres premiers est donc infini.

POUR ALLER PLUS LOIN

Pourquoi un entier a ⩾ 2 admet-il toujours au moins un diviseur premier?

La démonstration est difficile. Nous empruntons une méthode appelée par Fermat : la descente infinie (tout un programme!)

Supposons, par l’absurde, que a n’ait pas de diviseur premier. Alors a n’est pas premier (car a divise lui-même) donc on peut décomposer a D bc avec 2 ⩽ b < a, 2 ⩽ c < a. Mais alors, ni b ni c ne peuvent avoir de diviseur premier (car il diviserait a).

On a donc la propriété suivante : Si a ⩾ 2 n’a pas de diviseur premier, on peut trouver un entier a > b ⩾ 2 qui n’a pas de diviseur premier. Or, si on applique la propriété à b, on trouve ainsi une infinité d’entiers naturels, chacun strictement plus petit que le précédent, ce qui n’est pas possible car il n’y a que a entiers naturels strictement inférieurs à a.

Simplification — v. 1.0 9 juin 2025 — Chapitre 2 page 56 — #66

CORRIGÉS_{56}

24Avec racines carrées_{Lycée Fernand Daguin, Mérignac} {Énoncé \atop p. 42}

Pour montrer que (1 − \sqrt{3})^{2} C (1 C \sqrt{3})^{2} est un entier naturel, nous allons développer les deux carrés à l’aide des identités remarquables :

▷a C b◁^{2} D a^{2} C 2ab C b^{2} (voir chapitre suivant)

▷a − b◁^{2} D a^{2} − 2ab C b^{2} (voir chapitre suivant) Développons :

(1 − \sqrt{3})^{2} D 1^{2} − 2 × 1 × \sqrt{3} C (\sqrt{3})^{2}
D 1 − 2\sqrt{3} C 3
D 4 − 2\sqrt{3}.
(1 C \sqrt{3})^{2} D 1^{2} C 2 × 1 × \sqrt{3} C (\sqrt{3})^{2}
D 1 C 2\sqrt{3} C 3
D 4 C 2\sqrt{3}.

Ainsi,

(1 − \sqrt{3})^{2} C (1 C \sqrt{3})^{2} D 4 − 2\sqrt{3} C 4 C 2\sqrt{3} D 8.

(1 − \sqrt{3})^{2} C (1 C \sqrt{3})^{2} est donc bien en entier naturel.

25Ensembles inclus_{Lycée Victor Louis, Talence} {Énoncé \atop p. 43}

Transformons l’écriture de n :

n D \frac{1}{\sqrt{3} C 1} C \frac{9 − 5\sqrt{3}}{10}

D \frac{10 C ▷9 − 5\sqrt{3}◁▷\sqrt{3} C 1◁}{10▷\sqrt{3} C 1◁} (en réduisant au même dénominateur)

D \frac{10 C 9\sqrt{3} C 9 − 15 − 5\sqrt{3}}{10▷\sqrt{3} C 1◁}

D \frac{4 C 4\sqrt{3}}{10▷\sqrt{3} C 1◁}

D \frac{4▷1 C \sqrt{3}◁}{10▷\sqrt{3} C 1◁}

D \frac{2}{5} D 0,4.

Donc n est décimal.

Simplification — v. 1.0 9 juin 2025 — Chapitre 2 page 57 — #67

NOMBRES ET CALCULS CHAP. 2_{57} CORRIGÉS INTERROS COURS

26Simplification_{Lycée Henri IV, Paris} {Énoncé \atop p. 43}
1 \begin{aligned}C & D \sqrt{27} − 2\sqrt{75} C 3\sqrt{12} \\ & D 3\sqrt{3} − 2 × 5\sqrt{3} C 3 × 2\sqrt{3} \\ & D ▷3 − 10 C 6◁\sqrt{3} \\ & D −\sqrt{3}. \end{aligned}

2 \begin{aligned}D & D \sqrt{\frac{6,3}{2,8}} × \sqrt{\frac{18}{0,72}} \\ & D \sqrt{\frac{63}{28}} × \sqrt{\frac{18 × 100}{72}} \\ & D \sqrt{\frac{9}{4}} × \sqrt{\frac{100}{4}} \\ & D \sqrt{\frac{9}{4}} × \sqrt{25} \\ & D \frac{3}{2} × 5 \\ & D \frac{15}{2}. \end{aligned}

27Simplification_{Lycée Charlemagne, Paris} {Énoncé \atop p. 43}

1 On utilise la quantité conjuguée \sqrt{5} − 2 pour simplifier le dénominateur :

A D \frac{3}{\sqrt{5} C 2}

D \frac{3▷\sqrt{5} − 2◁}{▷\sqrt{5} C 2◁▷\sqrt{5} − 2◁}

D \frac{3▷\sqrt{5} − 2◁}{5 − 4}

D 3\sqrt{5} − 6

D \sqrt{45} − 6.

2 De même que précédemment :

B D \frac{2\sqrt{5} C 3}{\sqrt{5} − 1}

D \frac{▷2\sqrt{5} C 3◁▷\sqrt{5} C 1◁}{▷\sqrt{5} − 1◁▷\sqrt{5} C 1◁}

D \frac{10 C 2\sqrt{5} C 3\sqrt{5} C 3}{5 − 1}

D \frac{13 C 5\sqrt{5}}{4}

D \frac{13}{4} C \sqrt{\frac{125}{16}}.

Radicaux — v. 1.0 9 juin 2025 — Chapitre 2 page 58 — #68 CORRIGÉS_{58}
28Calcul avec fractions et radicaux_{Lycée Louis-le-Grand, Paris} {Énoncé \atop p. 43}

Il faut commencer par se « débarrasser » du radical au dénominateur.

A D \frac{\sqrt{2} − 1}{\sqrt{2} C 1} C 8\sqrt{2}

D \frac{▷\sqrt{2} − 1◁▷\sqrt{2} − 1◁}{▷\sqrt{2} C 1◁▷\sqrt{2} − 1◁}C 8\sqrt{2}

D \frac{2 − 2\sqrt{2} C 1}{2 − 1} C 8\sqrt{2}

D 3 − 2\sqrt{2} C 8\sqrt{2}

D 3 C 6\sqrt{2}.

N’essayez pas d’aller plus loin, et surtout ne donnez pas de résultat approximatif calculé à la machine!

29Avec une identité remarquable_{Lycée André Malraux, Biarritz} {Énoncé \atop p. 43}

1 Cette question peut être traitée sans faire appel aux identités remarquables (chapitre suivant), mais nous allons les utiliser pour plus d’efficacité. En effet, il s’agit ici d’un produit remarquable de la forme :

▷a − b◁^{2} D a^{2} − 2ab C b^{2}.

Ainsi,

▷3 − \sqrt{11}◁^{2} D 9 − 6\sqrt{11} C 11 D 20 − 6\sqrt{11}.

2 3^{2} D 9 et ▷\sqrt{11}◁^{2} D 11, donc :

3 < \sqrt{11}.

On en déduit :

3 − \sqrt{11} < 0.

3 Comme :

▷3 − \sqrt{11}◁^{2} D 20 − 6\sqrt{11},

on sait que :

\sqrt{20 − 6\sqrt{11}} D ▷3 − \sqrt{11}◁

ou

\sqrt{20 − 6\sqrt{11}} D −▷3 − \sqrt{11}◁.

Comme 3 − \sqrt{11} < 0, la racine carrée de ▷20 − 6\sqrt{11}◁ (qui doit être positive) est donc : −▷3 − \sqrt{11}◁ D \sqrt{11} − 3.

Radicaux — v. 1.0 9 juin 2025 — Chapitre 2 page 59 — #69 NOMBRES ET CALCULS CHAP. 2_{59} CORRIGÉS INTERROS COURS
30Radicaux_{Lycée Hoche, Versailles} {Énoncé \atop p. 44}
1  \begin{aligned}I & D \sqrt{50} − 3\sqrt{2} C \frac{\sqrt{18}}{4} − \frac{\sqrt{2}}{2} \\ & D \sqrt{25 × 2} − 3\sqrt{2} C \frac{\sqrt{9 × 2}}{4} − \frac{\sqrt{2}}{2} \\ & D 5\sqrt{2} − 3\sqrt{2} C \frac{3\sqrt{2}}{4} − \frac{\sqrt{2}}{2} \\ & D ▷5 − 3 C \frac{3}{4} − \frac{1}{2}◁\sqrt{2} \\ & D \frac{9}{4}\sqrt{2}. \end{aligned}

J D 7\sqrt{\frac{3}{7}} × \sqrt{\frac{30}{49}}

D 7\sqrt{\frac{3}{7}} × \frac{\sqrt{3 × 10}}{7}

D \frac{\sqrt{3} × \sqrt{3} × \sqrt{10}}{\sqrt{7}}

D \frac{3\sqrt{10}}{\sqrt{7}} D \frac{3\sqrt{70}}{7}.

K D \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{3} − \sqrt{2}} C \frac{3}{\sqrt{3} C \sqrt{2}}

D \frac{\sqrt{6} × ▷\sqrt{3} C \sqrt{2}◁ C 3 × ▷\sqrt{3} − \sqrt{2}◁}{▷\sqrt{3} C \sqrt{2}◁ × ▷\sqrt{3} − \sqrt{2}◁}

D \frac{\sqrt{6 × 3} C \sqrt{6 × 2} C 3\sqrt{3} − 3\sqrt{2}}{3 − 2}

D \sqrt{2 × 3 × 3} C \sqrt{3 × 2 × 2} C 3\sqrt{3} − 3\sqrt{2} D 3\sqrt{2} C 2\sqrt{3} C 3\sqrt{3} − 3\sqrt{2} D 5\sqrt{3}.

L D ( \sqrt{3 − 2\sqrt{2}} C \sqrt{3 C 2\sqrt{2}}) ^{2}

D ( \sqrt{3 − 2\sqrt{2}} ) ^{2} C 2 × ( \sqrt{3 − 2\sqrt{2}} ) × ( \sqrt{3 C 2\sqrt{2}}) C ( \sqrt{3 C 2\sqrt{2}}) ^{2}

D 3 − 2\sqrt{2} C 2 × \sqrt{▷3 − 2\sqrt{2}◁.▷3 C 2\sqrt{2}◁}C 3 C 2\sqrt{2} D 3 − 2\sqrt{2} C 2 × \sqrt{9 − 8} C 3 C 2\sqrt{2} D 3 − 2\sqrt{2} C 2 C 3 C 2\sqrt{2} D 8.

IL2M — v. 1.0 9 juin 2025 — Chapitre 2 page 60 — #70 CORRIGÉS_{60}

2 On veut calculer Y D \sqrt{17 − 4\sqrt{13}} .

(2 − \sqrt{13})^{2} D 4 − 4\sqrt{13} C (\sqrt{13})^{2} D 4 − 4\sqrt{13} C 13 D 17 − 4\sqrt{13}.

� ATTENTION

Il serait tentant de répondre que la racine de 17 − 4\sqrt{13} est 2 − \sqrt{13}. Mais attention! 13 est supérieur à 4, donc \sqrt{13} est supérieur à 2. 2 − \sqrt{13} est donc négatif!

Il faut répondre : Y D \sqrt{13} − 2.

31Union et intersection_{Lycée Fernand Daguin, Mérignac} {Énoncé \atop p. 44}

Afin de trouver l’union et l’intersection des intervalles I D U5I 9U et J D T−8I 6U, nous pouvons les représenter graphiquement sur la droite des réels :

Les deux intervalles se chevauchent; par conséquent, leur union est un intervalle qui débute à la plus petite valeur et finit à la plus grande :

I ∪ J D T−8I 9U

et leur intersection est l’intervalle formé par leurs parties communes (où ils se chevauchent) :

I ∩ J D U5I 6U.

32Union et intersection_{Lycée Cité internationale, Paris} {Énoncé \atop p. 44}

1 I D ]−3 I 7] et J D [−1 I C∞[

Donc I ∩ J D [−1 I 7] et I ∪ J D ]−3 I C∞[ . 2 I D ]−∞ I 4[ et J D [4 I 10]

Donc I ∩ J D ∅ et I ∪ J D ]−∞ I 10] . 3 I D [−10 I 2] et J D [−3 I 7]

Donc I ∩ J D [−3 I 2] et I ∪ J D [−10 I 7] . 4 I D ]−∞ I 3] et J D [−6 I C∞[

Donc I ∩ J D [−6 I 3] et I ∪ J D ℝ. 5 I D ]−4 I 2[ et J D ]2 I 5]

Donc I ∩ J D ∅ et I ∪ J D ]−4 I 2[ ∪]2 I 5].

Calcul littéral, équations et inéquations

Plan du chapitre

1. Développement et factorisation

2. Résoudre une équation

3. Résoudre une inéquation

4. Équations et inéquations avec valeur absolue

1 Développement et factorisation

Développer et factoriser : A D 18x^{2} − 24x C 8 − ▷x C 1◁▷6x − 4◁ − 3x C 2.

Exercice type 1

Lycée Alain Fournier, Bourges

Voir corrigé page 64

1.1 Développement

Développer, c’est transformer un produit en une somme (ou une différence). Dans les énoncés ci-dessous, le membre de gauche contient une expression factorisée, et le membre de droite l’expression équivalente développée.

Propriété 1 : distributivité

Pour tous nombres a, b, c et d, on a : a▷b C c◁ D ab C ac ▷a C b◁▷c C d◁ D ac C ad C bc C bd.

IL2M — v. 1.0 9 juin 2025 — Chapitre 3 page 62 — #72 COURS_{62}

Propriété 2 : identités remarquables

Pour tous nombres a et b, on a :

\begin{matrix}▷a C b◁^{2} D & a^{2} C 2ab C b^{2} \\ ▷a − b◁^{2} D & a^{2} − 2ab C b^{2} \\ ▷a C b◁▷a − b◁ D & a^{2} − b^{2} \end{matrix}

Exemple :

B D ▷x − 2◁^{2} − ▷x − 3◁▷2x C 5◁
D x^{2} − 4x C 4 − ▷2x^{2} C 5x − 6x − 15◁
D x^{2} − 4x C 4 − 2x^{2} − 5x C 6x C 15.

Après avoir développé, on effectue toutes les additions possibles : on réduit l’expression :

B D −x^{2} − 3x C 19.

En général, les énoncés portent la mention « développer et réduire », mais il est conseillé dans tous les cas de réduire. On peut effectuer des réductions partielles au cours du calcul, dans la mesure où l’on respecte les règles de priorité.

Exemple :

B D x^{2} − 4x C 4 − ▷2x^{2} C 5x − 6x − 15◁
D x^{2} − 4x C 4 − ▷2x^{2} − x − 15◁
D x^{2} − 4x C 4 − 2x^{2} C x C 15
D −x^{2} − 3x C 19.

1.2 Factorisation

Factoriser, c’est effectuer le procédé inverse de développer : on transforme une somme en un produit.

1.2.1 -Avec un facteur commun

Dans un premier temps, on essaie de repérer un facteur commun.

Exemple : dans l’expression ▷x C 2◁▷x − 5◁ − 4▷x C 2), ▷x C 2◁ est un facteur commun à ▷x − 5◁ et à ▷−4◁. On choisit :

k D ▷x C 2◁, a D ▷x − 5◁, b D −4

pour appliquer la propriété :

ka C kb D k▷a C b◁.

IL2M — v. 1.0 9 juin 2025 — Chapitre 3 page 63 — #73 CALCUL LITTÉRAL, ÉQUATIONS ET INÉQUATIONS CHAP. 3_{63} CORRIGÉS INTERROS COURS

Cela donne :

▷x C 2◁▷x − 5◁ − 4▷x C 2◁ D ▷x C 2◁[▷x − 5◁ − 4].

L’expression du membre de droite est factorisée. En général, même quand ce n’est pas demandé, on préfère développer et réduire le second facteur. On obtient :

▷x C 2◁▷x − 5◁ − 4▷x C 2◁ D ▷x C 2◁▷x − 9◁.

Il arrive parfois qu’un facteur commun soit « caché » parce qu’il est multiplié par une constante, comme dans l’exemple suivant.

Exemple : soit l’expression ▷x C 2◁▷x − 5◁ − 4x − 8. On a le facteur commun ▷x C 2◁ qui n’est pas apparent. En effet :

−4x − 8 D −4▷x C 2◁.

Et on retrouve l’expression de l’exemple précédent.

1.2.2 -Avec une identité remarquable

Si aucun facteur commun n’est visible, on peut essayer d’utiliser une identité remarquable.

a^{2} C 2ab C b^{2} D ▷a C b◁^{2}

a^{2} − 2ab C b^{2} D ▷a − b◁^{2}

a^{2} − b^{2} D ▷a − b◁▷a C b◁

Remarquez que dans ces égalités, le membre de gauche est une somme, et le membre de droite un produit (ne perdez pas de vue qu’un carré est un produit). Ce sont donc, écrites sous cette forme, des factorisations.

Exemple : factorisons l’expression B D x^{2} − 16 C ▷x − 3◁▷x − 4◁. Il n’y a pas de facteur commun évident. En revanche, la première partie de l’expression fait intervenir l’identité remarquable

x^{2} − 16 D ▷x C 4◁▷x − 4◁.

On peut donc terminer la factorisation :

B D ▷x C 4◁▷x − 4◁ C ▷x − 3◁▷x − 4◁
D ▷x − 4◁[▷x C 4◁ C ▷x − 3◁]
D ▷x − 4◁▷x C 4 C x − 3◁
D ▷x − 4◁▷2x C 1◁.

1.2.3 -Développer pour factoriser

Si aucune des méthodes précédentes n’aboutit, on peut éventuellement développer l’expression, dans l’espoir de faire apparaître quelque chose d’intéressant.

IL2M — v. 1.0 9 juin 2025 — Chapitre 3 page 64 — #74 COURS_{64}

Exemple : C D 2x^{2} − 6x C 29 C 2▷x C 2◁▷x − 5◁. Il n’y a pas de facteur commun évident, et 2x^{2} − 6x C 29 n’est pas le développement d’un produit remarquable. On développe :

C D 2x^{2} − 6x C 29 C 2▷x^{2} − 5x C 2x − 10◁

D 2x^{2} − 6x C 29 C 2x^{2} − 10x C 4x − 20

D 4x^{2} − 12x C 9

D ▷2x◁^{2} − 2 × 2x × 3 C 3^{2}

D ▷2x − 3◁^{2}.

Remarque : ce genre de situations est extrêmement rare.

Développons A :

A D 18x^{2} − 24x C 8 − ▷x C 1◁▷6x − 4◁ − 3x C 2

D 18x^{2} − 24x C 8 − ▷6x^{2} − 4x C 6x − 4◁ − 3x C 2

D 18x^{2} − 6x^{2} − 24x C 4x − 6x − 3x C 8 C 4 C 2

D 12x^{2} − 29x C 14.

Factorisons A :

A D 18x^{2} − 24x C 8 − ▷x C 1◁▷6x − 4◁ − 3x C 2

D 2▷9x^{2} − 12x C 4◁ − 2▷x C 1◁▷3x − 2◁ − ▷3x − 2◁

D 2▷3x − 2◁^{2} − 2▷x C 1◁▷3x − 2◁ − ▷3x − 2◁ D ▷3x − 2◁T2▷3x − 2◁ − 2▷x C 1◁ − 1U D ▷3x − 2◁▷6x − 4 − 2x − 2 − 1◁ D ▷3x − 2◁▷4x − 7◁.

Solution de l’exercice type 1

Lycée Alain Fournier, Bourges

Voir énoncé page 61

2 Résoudre une équation

Résoudre l’équation :

A D 18x^{2} − 24x C 8 − ▷x C 1◁▷6x − 4◁ − 3x C 2 D 0.

Exercice type 2

Lycée Alain Fournier, Bourges Voir corrigé page 66

IL2M — v. 1.0 9 juin 2025 — Chapitre 3 page 65 — #75 CALCUL LITTÉRAL, ÉQUATIONS ET INÉQUATIONS CHAP. 3_{65} CORRIGÉS INTERROS COURS

2.1 Qu’est-ce qu’une équation?

Définition 1

On appelle équation à une inconnue toute égalité entre deux expressions littérales où l’on cherche la valeur d’une lettre. Cette lettre est appelée inconnue de l’équation.

Résoudre une équation, c’est trouver toutes les valeurs de l’inconnue pour que l’égalité soit vraie.

Exemple : l’égalité 3x C 7 D 8x − 3 est une équation d’inconnue x si on cherche la valeur de x pour laquelle l’égalité est vraie.

2.2 Comment résoudre une équation?

2.2.1 -Équations du premier degré

Soit une équation de la forme A D B, où A et B sont deux expressions développées, d’inconnue x.

C’est une équation du premier degré si x est uniquement élevé à l’exposant 1.

Exemple : l’équation 3x C 7 D 8x − 3 est du premier degré.

On résout ce type d’équations en faisant en sorte qu’il n’y ait que des x d’un côté et que des nombres de l’autre, comme vous l’avez vu au collège.

Exemple : \begin{aligned}3x C 7 D 8x − 3 & ⟺ 3x C 7−8x −7 D 8x − 3−8x −7 \\ & ⟺ −5x D −10 \\ & ⟺ x D \frac{−10}{−5} D 2. \end{aligned}

2.2.2 -Équations de degré strictement supérieur à 1

Soit une équation de la forme A D B, où A et B sont deux expressions développées, d’inconnue x.

Si x est élevé à un exposant strictement supérieur à 1, pour résoudre l’équation, on se ramène à une équation produit nul et on tente de factoriser l’expression littérale. Ainsi, on peut appliquer le théorème du produit nul :

Théorème 1 : du produit nul

Un produit de facteurs est nul si l’un des facteurs est nul.

IL2M — v. 1.0 9 juin 2025 — Chapitre 3 page 66 — #76 COURS_{66}

Exemple : on souhaite résoudre l’équation ▷3x C 1◁▷2x C 1◁ D ▷3x C 1◁▷8x − 7◁.

▷3x C 1◁▷2x C 1◁ D ▷3x C 1◁▷8x − 7◁

⟺ ▷3x C 1◁▷2x C 1◁ − ▷3x C 1◁▷8x − 7◁ D 0
⟺ ▷3x C 1◁[▷2x C 1◁ − ▷8x − 7◁] D 0
⟺ ▷3x C 1◁▷−6x C 8◁ D 0
⟺ 3x C 1 D 0 ou − 6x C 8 D 0
⟺ x D −\frac{1}{3} ou x D \frac{−8}{−6} D \frac{4}{3}.

Nous avons vu dans l’exercice précédent de ce cours que :

A D ▷3x − 2◁▷4x − 7◁.

On utilise alors le théorème du produit nul pour résoudre l’équation :

A D 0 ⟺ ▷3x − 2◁▷4x − 7◁ D 0

⟺ 3x − 2 D 0 ou 4x − 7 D 0 ⟺ 3x D 2 ou 4x D 7

⟺ x D \frac{2}{3} ou x D \frac{7}{4}.

L’ensemble solution de l’équation A D 0 est donc :

S D \{ \frac{2}{3} I \frac{7}{4}\} .

Solution de l’exercice type 2

Lycée Alain Fournier, Bourges

Voir énoncé page 64

3 Résoudre une inéquation

Résoudre l’inéquation :

18x^{2} − 24x C 8 − ▷x C 1◁▷6x − 4◁ − 3x C 2 ⩽ 0.

Exercice type 3

Lycée Alain Fournier, Bourges

Voir corrigé page 70

3.1 Opérations permises sur les inégalités

Dans ce paragraphe, a, b, c, d et k représentent des nombres réels.

On peut ajouter un même réel à une inégalité. a ⩽ b ⟺ a C k ⩽ b C k.

IL2M — v. 1.0 9 juin 2025 — Chapitre 3 page 67 — #77 CALCUL LITTÉRAL, ÉQUATIONS ET INÉQUATIONS CHAP. 3_{67} CORRIGÉS INTERROS COURS

On peut ajouter deux inégalités de même sens membre à membre.

\{ \begin{matrix}a ⩽ b \\ c ⩽ d \end{matrix} D⇒ a C c ⩽ b C d

� ATTENTION

La réciproque n’est pas toujours vraie, d’où le symbole d’implication « ⇒ ». Ce n’est pas parce que a C c ⩽ b C d que l’on a nécessairement a ⩽ b et c ⩽ d.

On peut multiplier les deux membres de l’inégalité par un réel. Mais il faut faire attention au signe du réel par lequel on multiplie :

\{ \begin{matrix}k > 0 \\ a ⩽ b \end{matrix} ⟺ k × a ⩽ k × b et \{ \begin{matrix}k < 0 \\ a ⩽ b \end{matrix} ⟺ k × a ⩾ k × b.

Si ce réel est positif, on garde le sens de l’inégalité; s’il est négatif, on change le sens de l’inégalité.

On peut élever les deux membres de l’inégalité au carré ou prendre leur racine carrée si les deux membres sont positifs.

\{ \begin{matrix}a > 0, b > 0 \\ a ⩽ b \end{matrix} D⇒ a^{2} ⩽ b^{2}.

On peut inverser les deux membres en changeant le sens de l’inégalité si les deux membres sont de même signe.

\{ \begin{matrix}a et b de même signe et non nuls \\ a ⩽ b \end{matrix} ⟺ \frac{1}{a} ⩾ \frac{1}{b}, a et b de même signe.

Exemples

Si x C 7 ⩾ 5, on peut ajouter −7 aux deux membres et obtenir x ⩾ −2.

Si 7x ⩽ −3, on peut diviser par 7 les deux membres pour obtenir x ⩽ −\frac{3}{7}. Le sens ne change pas car 7 est positif.

Si x > 5, on peut écrire x^{2} > 25 et \sqrt{x} > \sqrt{5}. Attention : si −2 < x < 5, on ne peut pas écrire ▷−2◁^{2} < x^{2} < 5^{2} car cela serait faux pour x D 0 ou x D 1 par exemple. Dans ce cas, le meilleur encadrement possible est : 0 ⩽ x^{2} < 5^{2} (voir chapitre 16 page 191, « La fonction carré »).

Si 0 < x ⩽ 5, alors \frac{1}{x} ⩾ \frac{1}{5}.

IL2M — v. 1.0 9 juin 2025 — Chapitre 3 page 68 — #78 COURS_{68}

� ATTENTION

Si x ⩾ 5, on ne peut pas en déduire que \frac{1}{x} ⩽ \frac{1}{5}, mais que : 0 < \frac{1}{x} ⩽ \frac{1}{5}, car l’inverse d’un nombre positif est forcément positif.

De même, si x < −2, alors : 0 > \frac{1}{x} > −\frac{1}{2}, et non \frac{1}{x} > −\frac{1}{2}.

3.2 Tableaux de signes

Pour résoudre une inéquation produit, on détermine le signe de chaque facteur que l’on résume dans un tableau de signes. La règle des signes permet de conclure.

Exemple : résoudre l’inéquation ▷x − 2◁▷6 − 2x◁▷x C 4◁ ⩾ 0.

\begin{aligned}x − 2 ⩾ 0 & ⟺ & x ⩾ 2 \\ 6 − 2x ⩾ 0 & ⟺ & x ⩽ 3 \\ x C 4 ⩾ 0 & ⟺ & x ⩾ −4 \end{aligned}

On en déduit le tableau de signes :

x  −∞  −4  2  3  C∞
x − 2  −  − 0 C  C
6 − 2x  C  C  C 0 −
x C 4  − 0 C  C  C
Produit  C 0 − 0 C 0 −

D’où S D ] −∞ I −4 ] ∪ T 2 I 3 U

La méthode est la même pour une inéquation quotient mais il faut être vigilant avec les valeurs interdites qui sont les nombres qui annulent le dénominateur.

Exemple : résoudre l’inéquation x ⩾ \frac{9}{x}.

Valeur interdite : x D 0. Résolution :

x ⩾ \frac{9}{x} ⟺ \frac{x^{2}}{x} − \frac{9}{x} ⩾ 0

⟺ \frac{▷x − 3◁▷x C 3◁}{x}⩾ 0

On en déduit le tableau de signes page ci-contre.

IL2M — v. 1.0 9 juin 2025 — Chapitre 3 page 69 — #79 CALCUL LITTÉRAL, ÉQUATIONS ET INÉQUATIONS CHAP. 3_{69} CORRIGÉS INTERROS COURS
x  −∞  −3  0  3  C∞
x − 3  −  −  − 0 C
x C 3  − 0 C  C  C
x  −  − 0 C  C
Quotient  − 0 C  − 0 C

D’où S D [ −3 I 0 [ ∪ T 3 I C∞ T Attention à exclure de l’ensemble des solutions les valeurs interdites.

3.3 Utiliser le signe de la différence

Pour comparer deux nombres x et y, on peut étudier le signe de leur différence x − y :

\{ \begin{matrix}Si x − y > 0, alors x > y \\ Si x − y < 0, alors x < y \end{matrix}

Exemple : on veut résoudre l’inéquation : \frac{1}{x} < 2. Il faut pour cela :

1 Écrire la différence : \frac{1}{x} − 2;

2 Réduire au même dénominateur : \frac{1 − 2x}{x} ;

3 Utiliser un tableau de signes :

\begin{matrix}x & −∞ & & 0 & & \frac{1}{2} & & C∞ \\ x & & − & 0 & C & & C \\ 1 − 2x & & C & & C & 0 & − \\ \frac{1 − 2x}{x} & & − & & C & 0 & − \end{matrix}

Il suffit de lire dans le tableau où sont situés les réels tels que \frac{1 − 2x}{x} < 0 :

S D ]−∞,0[ ∪ ] \frac{1}{2}, C ∞[

3.4 Résolution graphique d’une inéquation

Pour résoudre graphiquement une inéquation du type f ▷x◁ ⩽ g▷x◁, on trace la courbe des deux fonctions (soit « à la main », soit à l’aide de la calculatrice). Il suffit de lire sur l’axe des abscisses les valeurs de x pour lesquelles la courbe de f est en dessous de celle de g. Habituellement, l’ensemble de ces valeurs est un intervalle ou une réunion d’intervalles de ℝ.

IL2M — v. 1.0 9 juin 2025 — Chapitre 3 page 70 — #80 COURS_{70}

Par exemple, la figure ci-dessous montre que : Si 0 < x < 1, alors x^{3} < x^{2} < x. Si x > 1, alors x < x^{2} < x^{3}.

Nous avons vu dans le premier exercice type de ce cours que :

18x^{2} − 24x C 8 − ▷x C 1◁▷6x − 4◁ − 3x C 2 D ▷3x − 2◁▷4x − 7◁. De plus,

\begin{aligned}3x − 2 ⩾ 0 & ⟺ x ⩾ \frac{2}{3} \\ 4x − 7 ⩾ 0 & ⟺ x ⩾ \frac{7}{4} \end{aligned}

On peut alors construire le tableau de signes suivant :

x  −∞  \frac{2}{3}  \frac{7}{4}  C∞
3x − 2  − 0 C  C
4x − 7  −  − 0 C
▷3x − 2◁▷4x − 7◁  C 0 − 0 C

On peut alors conclure que l’ensemble solution de l’inéquation 18x^{2}−24x C 8 − ▷x C 1◁▷6x − 4◁ − 3x C 2 ⩽ 0 est :

S D [ \frac{2}{3}I \frac{7}{4}] .

Solution de l’exercice type 3

Lycée Alain Fournier, Bourges Voir énoncé page 66

IL2M — v. 1.0 9 juin 2025 — Chapitre 3 page 71 — #81 CALCUL LITTÉRAL, ÉQUATIONS ET INÉQUATIONS CHAP. 3_{71} CORRIGÉS INTERROS COURS

4 Équations et inéquations avec valeur absolue

Traduire avec des valeurs absolues les affirmations suivantes (complétez les pointillés). 1 La distance de x à 0,5 est inférieure ou égale à 2 ⟺ | x … | …

2 x ∈ T−9I 1U ⟺ | x … | …

3 | x C 8 | > π

Exercice type 4

Lycée Loquidy, Nantes

Voir corrigé page 72

4.1 Définition d’une valeur absolue d’un nombre

Définition 2

Soit x un nombre réel. On définit la valeur absolue du nombre x comme étant la distance qui le sépare du nombre 0 sur l’axe des réels, et on la note | x | . Autrement dit,

\{ \begin{matrix}| x | D x si x ⩾ 0 \\ | x | D −x si x < 0 \end{matrix}

Exemples

{| 5 | D 5 \atop | − 3 | D 3}

Définition 3 : distance entre deux nombres

Pour tous nombres réels a et b, on définit la distance entre a et b par le nombre :

d▷aI b◁ D | b − a | D | a − b | .

Exemple : la distance entre −3 et 5 est d▷−3I 5◁ D 8.

4.2 Équations du type | x − a | D r

Propriété 3

Soit r un réel positif ou nul, et soit a un réel quelconque.

| x − a | D r ⟺ x D a − r ou x D a C r.

IL2M — v. 1.0 9 juin 2025 — Chapitre 3 page 72 — #82 COURS_{72}

En effet, | x − a | représente la distance entre x et a. Si cette distance est égale à r, alors x D a − r ou x D a C r

4.3 Inéquations

Propriété 4

Soit r un réel positif ou nul, et soit a un réel quelconque.

| x − a | ⩽ r ⟺ x ∈ Ta − rI a C rU.

| x − a | ⩾ r ⟺ x ∈U − ∞I a − rU ∪ Ta C rI C∞T.

Remarque : l’orientation des crochets des intervalles dépend de l’inégalité (large ou stricte).

1 La distance de x à 0,5 est inférieure ou égale à 2 ⟺ | x −0,5 | ⩽ 2.

2 x ∈ T−9I 1U ⟺ | x C 4 | ⩽ 5.

Pour compléter ici, nous avons avant tout trouvé le milieu de l’inter-

valle T−9I 1U en effectuant le calcul : \frac{−9 C 1}{2} D −4, puis nous avons calculé la distance entre −4 et 1 (par exemple) en effectuant l’opération : 1 − ▷−4◁ D 5.

3 \begin{aligned}| x C 8 | > π & ⟺ | x − ▷−8◁ | > π \\ & ⟺ x ∈U − ∞I −8 − πT∪U − 8 C πI C∞T. \end{aligned}

Solution de l’exercice type 4

Lycée Loquidy, Nantes Voir énoncé page 71

IL2M — v. 1.0 9 juin 2025 — Chapitre 3 page 73 — #83 CALCUL LITTÉRAL, ÉQUATIONS ET INÉQUATIONS CHAP. 3_{73} CORRIGÉS INTERROS COURS
1_{V/F} Étude graphique Corrigé p. 86 4 min

On a représenté ci-dessous la fonction f et la fonction affine

g V x ↦ \frac{1}{2}x C 1.

Les affirmations suivantes sont-elles vraies ou fausses? a L’ensemble des solutions de f ▷x◁ D g▷x◁ est T−2 I 2U. b L’ensemble des solutions de f ▷x◁ D g▷x◁ est {−2 I 2}. c L’ensemble des solutions de f ▷x◁ < g▷x◁ est U − 2 I 2T. d L’ensemble des solutions de f ▷x◁ ⩾ g▷x◁ est T−2 I 2U.

2_{V/F} Factorisation Corrigé p. 86 5 min

Les affirmations suivantes sont-elles vraies ou fausses? a x peut être mis en facteur dans 3x^{2} C 2x C 5. b Pour tout réel x, ▷x C 2◁^{2} D x^{2} C 2x C 4. c Pour tout réel x, ▷x − 2◁^{2} D x^{2} − 4x C 4. d Pour tout réel x, ▷2x − 3◁▷2x C 3◁ D 2x^{2} − 9.

3_{QCM} Équations : ensemble des solutions Corrigé p. 86 5 min

Dans quels cas l’ensemble des solutions est-il correct?

\begin{matrix}a 3x − 7 D 0 & S D \{ \frac{7}{3}\} \\ b 3x − 7 D 0 & S D \{2,33\} \\ c ▷x − 5◁▷2x C 1◁ D 0 & S D \{−5 I −\frac{1}{2}\} \\ d x^{2} − 8 D 0 & S D \{2\sqrt{2} I −2\sqrt{2}\} \end{matrix}

IL2M — v. 1.0 9 juin 2025 — Chapitre 3 page 74 — #84 INTERROS_{74}
4_{V/F} Transformer des inégalités Corrigé p. 86 5 min

Les affirmations suivantes sont-elles vraies ou fausses?

a Si x < 0 et x D̸ 0, alors \frac{1}{x} > 1  b Si x ⩾ 2, alors \frac{1}{x} ⩽ \frac{1}{2}
c Si x < −2, alors \frac{1}{x} < −\frac{1}{2}  d Si x ⩾ 3, alors −2x ⩽ −6

5_{QCM} Inéquations Corrigé p. 87 6 min

Dans quels cas les inéquations proposées ont-elles les mêmes solutions dans ℝ?

a x▷x − 3◁ < x▷2x C 1◁ et ▷x − 3◁ < ▷2x C 1◁
b 3 − x < 5  et x > 2
c x < 2  et \frac{1}{x} > \frac{1}{2}
d ▷x^{2} C 2◁▷x − 1◁ > 0 et 2▷x − 1◁ > 0
e ▷x − 3◁^{2} ⩾ ▷2x C 1◁^{2} et x − 3 ⩾ 2x C 1
f \frac{x}{x − 2} ⩽ \frac{2x C 1}{x C 3}  et x▷x C 3◁ ⩽ ▷x − 2◁▷2x C 1◁

Développements

6Calcul littéral_{Lycée Jacques Amyot, Auxerre} Corrigé ; p. 87 ; 5 min ; ⋆

Montrer que la somme du produit de trois entiers consécutifs n−1, n et nC1 et de l’entier n est le cube d’un entier.

7Développements_{Lycée Jacques Amyot, Auxerre} Corrigé ; p. 87 ; 10 min ; ⋆

Développer les expressions suivantes :

1 A▷x◁ D 2x▷x − 2◁▷x C 2◁

2 B▷x◁ D ▷1 C 3x◁^{2} − 2▷x C 1◁▷x − 5◁

3 C▷x◁ D (3x − \sqrt{3}) ^{2}

4 D▷x◁ D ( x C \frac{1}{x}) ^{2} (x D̸ 0)

IL2M — v. 1.0 9 juin 2025 — Chapitre 3 page 75 — #85 CALCUL LITTÉRAL, ÉQUATIONS ET INÉQUATIONS CHAP. 3_{75} CORRIGÉS INTERROS COURS
8Arithmétique et calcul littéral_{Lycée Parc de Vilgenis, Massy} Corrigé ; p. 88 ; 10 min ; ⋆

Soit n un entier naturel. 1 Développer ▷n C 1◁^{2} − n^{2}.

2 En déduire que tout entier impair est la différence de deux carrés d’en-

tiers consécutifs. 3 Écrire 17 et 2 019 comme différence de deux carrés d’entiers consécu-

tifs.

Factorisations

9Factorisations_{Lycée Jacques Amyot, Auxerre} Corrigé ; p. 88 ; 10 min ; ⋆

Factoriser au maximum : 1 A▷x◁ D ▷2x − 3◁^{2} − ▷4x C 1◁▷2x − 3◁

2 B▷x◁ D ▷x C 1◁^{2} − ▷2x C 3◁^{2}

3 C▷x◁ D ▷x − 1◁▷2 C x◁ C ▷x C 5◁▷1 − x◁

4 D▷x◁ D x^{3} C x^{2} C x C 1

5 E▷x◁ D xy–x–y C 1

6 F ▷x◁ D ▷5x C 3◁^{2} − 11

7 G▷x◁ D ▷x − 1◁^{2} − 2▷x^{2} − 1◁

10Développement ou factorisation?_{Lycée Camille Jullian, Bordeaux} Corrigé ; p. 89 ; 10 min ; ⋆

On considère l’algorithme suivant :

 Variables x, y : nombres
 Début :
   Lire x
   Affecter à y la valeur x - 2
   Affecter à y la valeur y^{2}
   Affecter à y la valeur y - 4
   Afficher y
 Fin

1 Lucien prétend que cet algorithme retourne la valeur de ▷x − 2◁^{2} − 4. A-t-il raison?

IL2M — v. 1.0 9 juin 2025 — Chapitre 3 page 76 — #86 INTERROS_{76}

2 Expliquer pourquoi l’algorithme suivant affiche le même résultat que le premier quand on saisit la même valeur de x :

    Variables x : nombre
    Début :
      Lire x
      Affecter à x la valeur x*(x - 4)
      Afficher x
    Fin

11Diverses factorisations_{Lycée Chateaubriand, Rennes} Corrigé ; p. 89 ; 25 min ; ⋆ ; ⋆

Factoriser chacune des expressions suivantes.

1 f ▷x◁ D 3▷x − 2◁▷x^{2} C 1◁ − ▷6x^{2} − 5◁▷x − 2◁.

2 f ▷a◁ D 16a^{4} − 9.

3 f ▷x◁ D x^{2} − 2x C 1 − 7▷x − 1◁ C ▷x C 2◁▷1 − x◁.

4 f ▷x◁ D ▷6x − 3◁^{2} − ▷2x − 1◁.

Équations

12Équations_{Lycée Paul Lapie, Courbevoie} Corrigé ; p. 90 ; 20 min ; ⋆

Soit f la fonction qui à tout nombre réel x fait correspondre f ▷x◁ tel que f ▷x◁ D ▷x − 3◁^{2}. On donne sa courbe représentative cicontre.

1 Lire sur le graphique les solutions des équations :

(a) ▷x − 3◁^{2} D 4.

(b) ▷x − 3◁^{2} D 2.

(c) ▷x − 3◁^{2} D −1. 2 Résoudre les mêmes équations

en détaillant les calculs, nommer S l’ensemble des solutions.

IL2M — v. 1.0 9 juin 2025 — Chapitre 3 page 77 — #87 CALCUL LITTÉRAL, ÉQUATIONS ET INÉQUATIONS CHAP. 3_{77} CORRIGÉS INTERROS COURS
13Équations_{Lycée Foch, Rodez} Corrigé ; p. 91 ; 15 min ; ⋆ ; ⋆

Soit l’expression f ▷x◁ D 15x^{2} C 11x − 12. 1 Vérifier que f ▷x◁ D ▷3x C 4◁▷5x − 3◁. 2 En choisissant la plus appropriée des deux formes de f ▷x◁, résoudre

chacune des équations suivantes où x est l’inconnue réelle :

(a) f ▷x◁ D 0.

(b) f ▷x◁ D 15x^{2}.

(c) f ▷x◁ D −12.

(d) f ▷x◁ D 5x − 3.

(e) f ▷x◁ D 14x^{2} C 11x C 4.

14Équations_{Lycée Blaise Pascal, Orsay} Corrigé ; p. 93 ; 15 min ; ⋆ ; ⋆

Résoudre dans ℝ :

1 \frac{5x C 3}{4} − \frac{x − 9}{3} D \frac{x}{2} C 5.

2 ▷4x^{2} − 3x − 18◁^{2} − ▷4x^{2} C 3x◁^{2} D 0.

3 \frac{x − 4}{x − 5} C \frac{x − 6}{x − 4} D 2 − \frac{2}{x − 4} .

15Bien choisir son taxi_{Lycée Victor Duruy, Paris} Corrigé ; p. 94 ; 20 min ; ⋆ ; ⋆

Retrouvez le corrigé de cet exercice en vidéo.

Deux chauffeurs de taxi pratiquent des tarifs différents : Tarif A : 5 � de prise en charge et 0,40 � par kilomètre parcouru. Tarif B : pas de frais de prise en charge mais 0,60 � du kilomètre.

1 (a) Un client veut parcourir 8 km. Quel taxi doit-il prendre pour payer

le moins cher?

(b) Même question pour un client désirant parcourir 30 km. 2 Exprimer A▷x◁, prix payé au taxi A et B▷x◁, prix payé au taxi B, en

fonction du nombre x de kilomètres parcourus. 3 (a) Dans un repère orthonormal, représenter graphiquement les fonc-

tions :

x ↦ A▷x◁ et x ↦ B▷x◁ pour 0 ⩽ x ⩽ 40. On note D_{A} et D_{B} leurs représentations respectives.

IL2M — v. 1.0 9 juin 2025 — Chapitre 3 page 78 — #88 INTERROS_{78}

(b) Déterminer les coordonnées de leur point d’intersection, et inter-

préter par une phrase. 4 En utilisant le graphique, répondre aux questions suivantes :

(a) Pour quelles longueurs de trajets vaut-il mieux prendre le taxi A?

(b) Un client a 12 � en poche. Quel taxi doit-il prendre pour aller le plus loin possible? Quelle distance pourra-t-il ainsi parcourir?

16Équations_{Lycée Lambert, Mulhouse} Corrigé ; p. 95 ; 30 min ; ⋆ ; ⋆

Résoudre algébriquement :

1 7▷2x C 4◁ − 5▷4x − 3◁ D \frac{2}{5} − \frac{3x − 5}{2} .

2 ▷3x − 2◁▷2x − 5◁ C 2▷x − 5◁▷7 − 3x◁ D 0. 3 ▷5x C 3◁▷4x − 2◁ D 2▷x − 9◁.

4 ( 3x − \frac{1}{2}) ^{2} D 9▷4x − 1◁^{2}.

5 ▷2 − x◁▷5x C 3◁ C ▷x − 2◁▷3 − x◁ − ▷2 − x◁ D 0.

17Équations_{Lycée Pasteur, Neuilly-sur-Seine} Corrigé ; p. 97 ; 15 min ; ⋆ ; ⋆ ; ⋆

Résoudre les équations suivantes : 1 ▷x − 1◁▷2x − 3◁^{2} D 4▷x − 1◁ 2 x^{2} C 4 D 0

3 \frac{3x^{2} C 4x − 4}{x^{2} − 4} D 1

4 \frac{3}{x C 1} − \frac{2}{x − 2} D \frac{−6}{▷x C 1◁▷x − 2◁}

Inéquations

18Avec une identité remarquable_{Lycée Carnot, Dijon} Corrigé ; p. 99 ; 10 min ; ⋆

Résoudre l’inéquation :

▷2x C 5◁^{2} ⩽ ▷3x C 2◁^{2}.

IL2M — v. 1.0 9 juin 2025 — Chapitre 3 page 79 — #89 CALCUL LITTÉRAL, ÉQUATIONS ET INÉQUATIONS CHAP. 3_{79} CORRIGÉS INTERROS COURS
19Avec les identités remarquables_{Lycée Saint-Jean, Limoges} Corrigé ; p. 99 ; 15 min ; ⋆

Résoudre les inéquations suivantes dans ℝ : 1 ▷2x C 1◁^{2} − x^{2} ⩾ 0 2 ▷3x C 2◁^{2} − 2▷3x C 2◁▷x C 1◁ C ▷x C 1◁^{2} ⩽ 0

20Avec un facteur commun_{Lycée Descartes, Antony} Corrigé ; p. 100 ; 15 min ; ⋆

Résoudre dans ℝ les inéquations suivantes :

{1 x^{3} − x^{2} ⩾ 4x − 4 \atop 2 \frac{x C 2}{x^{2} − 1} < 0}  3 x^{2} ⩾ 16x

21Facteur commun, identité remarquable_{Lycée Montesquieu, Le Mans} Corrigé ; p. 101 ; 15 min ; ⋆

Résoudre dans ℝ les inéquations suivantes :

{1 ▷x C 6◁▷x − 3◁ − 2x C 6 ⩾ 0 \atop 2 \frac{x C 3}{1 − x} ⩾ 2} {3 25x^{2} C 4 ⩾ 0 \atop 4 25x^{2} − 4 ⩾ 0}

22Résolution algébrique et graphique_{Lycée Auguste Renoir, Cagnes-sur-Mer} Corrigé ; p. 102 ; 15 min ; ⋆

Le plan est muni d’un repère orthonormal ▷OI I,J ◁. Soit f une fonction définie sur ℝ par :

f ▷x◁ D −x^{2} C 2x C 3.

dont la courbe représentative est donnée ci-contre. 1 Vérifier que :

f ▷x◁ D 4 − ▷x − 1◁^{2}

puis factoriser f ▷x◁. 2 En déduire la résolution de l’in-

équation f ▷x◁ > 0.

3 Résoudre graphiquement f ▷x◁ > 0

et vérifier le résultat précédent.

IL2M — v. 1.0 9 juin 2025 — Chapitre 3 page 80 — #90 INTERROS_{80}
23Résolution algébrique et graphique_{Lycée Colbert, Paris} Corrigé ; p. 103 ; 20 min ; ⋆

La courbe ▷C◁ ci-dessous est la représentation graphique de la fonction f, définie pour tout x D̸ −1 par f ▷x◁ D \frac{−3}{x C 1}.

1 Déterminer par le calcul l’ensemble des solutions de :

\frac{−3}{x C 1} ⩾ 3.

Indiquer comment le graphique permet de retrouver ces résultats. 2 En utilisant le graphique, donner l’ensemble des réels x vérifiant :

−1 < \frac{−3}{x C 1} < 1.

3 Sur le même dessin, représenter la droite d’équation y D 1 − x. En déduire graphiquement l’ensemble des solutions de \frac{−3}{x C 1} ⩾ 1 − x. Retrouver ce résultat par le calcul.

24Avec une fonction de référence_{Lycée Camille Claudel, Troyes} Corrigé ; p. 105 ; 30 min ; ⋆ ; ⋆

1 (a) Soit f la fonction définie sur U0 I 1U par :

f ▷x◁ D \frac{1}{x}.

IL2M — v. 1.0 9 juin 2025 — Chapitre 3 page 81 — #91 CALCUL LITTÉRAL, ÉQUATIONS ET INÉQUATIONS CHAP. 3_{81} CORRIGÉS INTERROS COURS

Compléter le tableau de valeurs suivant (donner les résultats à 0,01 près).

x 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1

f ▷x◁

(b) Tracer C_{f} , la courbe représentative de f, sur le graphique suivant.

(c) Soit g la fonction définie sur T0 I 1U par :

g▷x◁ D −\frac{8}{\sqrt{2}}x C 4 C \sqrt{2}.

Comment qualifie-t-on cette fonction?

Quel est son sens de variation?

(d) Compléter le tableau de valeurs suivant.

x 0 0,25 0,5
g▷x◁

Tracer la courbe représentative de g dans le même repère que C_{f} .

(e) Résoudre graphiquement l’inéquation g▷x◁ > f ▷x◁ sur U0 I 1U. 2 (a) Montrer que g▷x◁ > f ▷x◁ équivaut sur U0 I 1U à l’inéquation :

\frac{8x^{2} − 2x▷2\sqrt{2} C 1◁ C \sqrt{2}}{x\sqrt{2}} < 0.

(b) Développer l’expression P ▷x◁ D −8 ( x − \frac{1}{4}) ( \frac{\sqrt{2}}{2} − x) .

(c) En déduire les valeurs exactes des solutions de g▷x◁ > f ▷x◁.

IL2M — v. 1.0 9 juin 2025 — Chapitre 3 page 82 — #92 INTERROS_{82}
25Inéquations diverses_{Lycée Stanislas, Paris} Corrigé ; p. 107 ; 15 min ; ⋆ ; ⋆

Résoudre dans ℝ : 1 x^{2} C 5x C 9 < ▷x − 1◁x C 12.

2 2 < \frac{x − 3}{x − 5} < 3.

26Inéquations diverses_{Lycée Évariste Galois, Sartrouville} Corrigé ; p. 109 ; 20 min ; ⋆ ; ⋆

Résoudre les inéquations suivantes :

1 \frac{3x C 1}{4} > \frac{5x C 1}{6}.

2 ▷x − 4◁^{2} ⩽ −1. 3 2▷x − 1◁ − 3▷x C 1◁ > 4▷x − 2◁. 4 x▷−2x − 3◁^{4} ⩾ 0.

5 \frac{x − 1}{4} − 5 ⩽ \frac{2x − 3}{2} C \frac{3}{4}.

27Lectures graphiques de signes_{Lycée Jean Zay, Orléans} Corrigé ; p. 110 ; 10 min ; ⋆ ; ⋆

À partir du graphique suivant, déterminer les tableaux de signes de f et g, et résoudre l’inéquation : \frac{f ▷x◁}{g▷x◁} ⩾ 0.

28Inéquations diverses_{Lycée Jean-Baptiste Say, Paris} Corrigé ; p. 110 ; 30 min ; ⋆ ; ⋆

Résoudre les inéquations : 1 ▷3x C 1◁▷2 − 4x◁ ⩽ 0 dans ℝ.

IL2M — v. 1.0 9 juin 2025 — Chapitre 3 page 83 — #93 CALCUL LITTÉRAL, ÉQUATIONS ET INÉQUATIONS CHAP. 3_{83} CORRIGÉS INTERROS COURS

2 ( \frac{1}{2}x − 7) ^{2} < ▷3x C 1◁^{2} dans ℝ.

3 \frac{−2▷x − 1◁}{▷7 − x◁} ⩾ 0 dans ℝ − \{7\}.

4 \frac{x^{2}}{1 − 2x} < −1 dans ℝ − \{ \frac{1}{2}\}.

5 \frac{x}{x▷5 − x◁^{2}} ⩽ \frac{3x^{2}}{x▷5 − x◁^{2}} dans ℝ − \{0 I 5\}.

29Encadrement_{Lycée Hélène Boucher, Paris} Corrigé ; p. 113 ; 15 min ; ⋆ ; ⋆ ; ⋆

1 Montrer que pour tout x D̸ −1,

\frac{1}{1 C x} D 1 − x C \frac{x^{2}}{1 C x} .

2 Montrer que pour tout x ⩾ −\frac{1}{2},

0 ⩽ \frac{1}{1 C x} ⩽ 2.

3 En déduire que, pour x ⩾ −\frac{1}{2},

0 ⩽ \frac{x^{2}}{1 C x} ⩽ 2x^{2} ,

puis que :

1 − x ⩽ \frac{1}{1 C x} ⩽ 1 − x C 2x^{2}.

30Inéquations_{Lycée Lacordaire, Marseille} Corrigé ; p. 114 ; 15 min ; ⋆ ; ⋆ ; ⋆

On donne l’expression A▷x◁ D x^{3} C 3x^{2} − 4. 1 Factoriser A▷x◁ en commençant par écrire que :

A▷x◁ D x^{3} − x^{2} C 4x^{2} − 4.

2 En déduire la résolution dans ℝ de l’inéquation :

\frac{▷x − 1◁^{2} − 2x C 2}{x^{3} C 3x^{2} − 4} ⩾ 0.

IL2M — v. 1.0 9 juin 2025 — Chapitre 3 page 84 — #94 INTERROS_{84}

Un peu de tout...

31Un calcul astucieux_{Lycée Hoche, Versailles} Corrigé ; p. 115 ; 15 min ; ⋆

1 Développer ▷3x C \sqrt{2}◁^{3}. 2 Calculer astucieusement X D 875 683^{2} − ▷875 684 × 875 682◁. 3 Factoriser le mieux possible :

E D ▷2x − 3◁^{2} C ▷3 − 2x◁▷x − 1◁ − 6 C 4x I
F D ▷a C 2◁^{2} − 4▷5a − 3◁^{2} I
G D a^{4} − 1.

32Trouver la bonne expression_{Lycée Pasteur, Neuilly-sur-Seine} Corrigé ; p. 115 ; 15 min ; ⋆ ; ⋆

On donne pour tout x de ℝ : f ▷x◁ D ▷2x − 3◁^{2} C ▷x − 1◁▷3 − 2x◁. 1 Pour tout x de ℝ, développer et réduire f ▷x◁. 2 Pour tout x de ℝ, factoriser f ▷x◁. 3 En choisissant la bonne expression de f ▷x◁, résoudre les équations sui-

vantes :

(a) f ▷x◁ D 6.

(b) f ▷x◁ D 0. 4 Calculer f (2 C \sqrt{2}).

33Inéquations_{Lycée Murat, Issoire} Corrigé ; p. 116 ; 20 min ; ⋆ ; ⋆

On considère la fonction f définie sur ℝ par :

f ▷x◁ D (x C \sqrt{3})^{2} − 5.

1 Développer f ▷x◁. 2 Factoriser f ▷x◁. 3 Donner les valeurs exactes de f ▷\sqrt{2}◁, f ▷0◁, f ▷\sqrt{5} − \sqrt{3}◁, f ▷−\sqrt{3}◁. 4 Résoudre algébriquement l’équation f ▷x◁ D 0. 5 Résoudre algébriquement l’inéquation f ▷x◁ ⩾ 0. 6 Résoudre algébriquement l’inéquation f ▷x◁ ⩽ −5. 7 Résoudre algébriquement l’inéquation f ▷x◁ ⩽ −6.

IL2M — v. 1.0 9 juin 2025 — Chapitre 3 page 85 — #95 CALCUL LITTÉRAL, ÉQUATIONS ET INÉQUATIONS CHAP. 3_{85} CORRIGÉS INTERROS COURS

Valeur absolue

34Traduction en valeurs absolues_{Lycée Loquidy, Nantes} Corrigé ; p. 117 ; 5 min ; ⋆

Traduire avec des valeurs absolues les affirmations suivantes. 1 La distance de x à −3 est strictement supérieure à 7 ⟺ | x … | … 2 x ∈ T−8I −4U ⟺ | x … | … 3 x ∈U − ∞I −7U ∪ T5I C∞T ⟺ | x … | … 4 Soit E l’ensemble des valeurs approchées de \sqrt{8} à 10^{−1} près.

Traduire l’appartenance d’un réel x à E par une inégalité avec une valeur absolue.

35Équations et inéquations_{Lycée Loquidy, Nantes} Corrigé ; p. 118 ; 10 min ; ⋆

Résoudre dans ℝ les équations suivantes :

{1 | x − 2 | D 7 \atop 2 | − x − π | D 3π}  {3 | x − π | < 0,001 \atop 4 | x C π | ⩾ 1}

36Points et distance_{Lycée Notre-Dame, Boulogne} Corrigé ; p. 119 ; 10 min ; ⋆

Sur une droite graduée, on place les points A et B d’abscisses respectives −3 et 1. M est le point dont l’abscisse x est telle que | x C 3 | D | x − 1 | . 1 Interpréter en termes de distance l’égalité : | x C 3 | D | x − 1 | . 2 En déduire l’abscisse x du point M.

37Diverses questions_{Lycée Notre-Dame, Boulogne} Corrigé ; p. 119 ; 10 min ; ⋆

1 Écrire le nombre | 3π − 12 | sans valeurs absolues. 2 Sur une droite graduée, M et N sont les points d’abscisses respectives

−4 et −2,5. Quelle est la distance MN? 3 Complétez le tableau suivant comme pour la ligne exemple :

Intervalle Encadrement Centre Rayon

Valeur absolue

x ∈ T−4I 0U −4 ⩽ x ⩽ 0 −2 2 | x C 2 | ⩽ 2

0 < x < 10

x ∈ [−\frac{1}{2}I \frac{3}{4}]

| x C 0,52 | < 10^{−2}

Transformer des inégalités — v. 1.0 9 juin 2025 — Chapitre 3 page 86 — #96

CORRIGÉS_{86}

1_{V/F} Étude graphique {Énoncé \atop p. 73}

a Faux. Les deux courbes se coupent en deux points exactement, d’abscisses −2 et 2. T−2 I 2U est un intervalle, qui contient tous les réels entre −2 et 2.

b Vrai. En effet, {−2I 2} représente bien l’ensemble constitué des deux nombres −2 et 2

c Faux. Au contraire, sur cet intervalle, la courbe de g est strictement au-dessous de celle de f, on aura donc f ▷x◁ > g▷x◁.

d Vrai. L’inégalité est large, il faut donc inclure −2 et C2.

2_{V/F} Factorisation {Énoncé \atop p. 73}
a Faux, à cause du 5.
b Faux. Attention au double produit : ▷x C 2◁^{2} D x^{2} C 4x C 4.
c Vrai. ▷x − 2◁^{2} D x^{2} − 2 × x × 2 C 2^{2} D x^{2} − 4x C 4.
d Faux. On a ▷2x◁^{2} D 4x^{2}, donc ▷2x − 3◁▷2x C 3◁ D 4x^{2} − 9.

3_{QCM} Équations : ensemble des solutions {Énoncé \atop p. 73}
a Oui. 3x − 7 D 0 ⟺ 3x D 7 ⟺ x D \frac{7}{3}.

b Non. On doit donner la solution exacte. 2,33 est une approximation de la solution à 0,01 près.

c Non. Les solutions sont donc 5 et −\frac{1}{2}.
d Oui. Les solutions sont \sqrt{8} et −\sqrt{8}.

On remarque : \sqrt{8} D \sqrt{4 × 2} D \sqrt{4} × \sqrt{2} D 2\sqrt{2}.

4_{V/F} Transformer des inégalités {Énoncé \atop p. 74}
a Faux. Si x < 0, alors \frac{1}{x} < 0.

L’affirmation est vraie uniquement si x ∈ U0I 1T.

b Faux. Si x ⩾ 2 alors 0 < \frac{1}{x} ⩽ \frac{1}{2}.
c Faux. Si x < −2 alors −\frac{1}{2} < \frac{1}{x} < 0.
d Vrai. La multiplication par un nombre négatif change le sens de

l’inégalité.

Arithmétique et calcul littéral — v. 1.0 9 juin 2025 — Chapitre 3 page 87 — #97

CALCUL LITTÉRAL, ÉQUATIONS ET INÉQUATIONS CHAP. 3_{87} CORRIGÉS INTERROS COURS

5_{QCM} Inéquations {Énoncé \atop p. 74}
a Faux. Si x est négatif, il faut changer le sens de l’inégalité.

b Faux. En ajoutant x − 5 aux deux membres, on obtient x > −2 et non x > 2.

c Faux. Par exemple, −3 < 2 mais \frac{1}{−3} < \frac{1}{2}. Les inégalités changent de

sens en passant à l’inverse si les deux membres ont le même signe! d Vrai. Quelles que soient les valeurs de x, ▷x^{2} C 2◁ > 0 et 2 > 0, donc les deux inéquations ont les mêmes solutions que x − 1 > 0.

e Faux. En prenant la racine carrée des deux membres (positifs) d’une inégalité, on obtient une inégalité équivalente et de même sens. Cependant, la racine carrée de ▷x − 3◁^{2} doit être positive. Il s’agit donc de | x −3 | , et non de x −3 en général. Par exemple, pour x D 0, on a bien ▷x − 3◁^{2} ⩾ ▷2x C 1◁^{2} (car 9 ⩾ 1) mais x − 3 D −3 et 2x C 1 D 1, donc x − 3 < 2x C 1.

f Faux. On ne connaît pas les signes de x − 2 et de x C 3. On constate par exemple que 0 est solution de la première inéquation mais pas de la seconde.

6Calcul littéral_{Lycée Jacques Amyot, Auxerre} {Énoncé \atop p. 74}

Le produit de trois entiers consécutifs n−1, n et nC1 s’écrit : ▷n−1◁n▷nC1◁.

La somme du produit de trois entiers consécutifs n−1, n et nC1 et de l’entier n est donc :

▷n − 1◁n▷n C 1◁ C n D ▷n^{2} − n◁▷n C 1◁ C n D n^{3} C n^{2} − n^{2} − n C n D n^{3}.

Cette somme est donc bien le cube d’un entier.

7Développements_{Lycée Jacques Amyot, Auxerre} {Énoncé \atop p. 74}

1 2x▷x − 2◁▷x C 2◁ D 2x▷x^{2} − 4◁ D 2x^{3} − 8x.

2 \begin{aligned}▷1 C 3x◁^{2} − 2▷x C 1◁▷x − 5◁ & D 1 C 6x C 9x^{2} − 2▷x^{2} − 5x C x − 5◁ \\ & D 1 C 6x C 9x^{2} − 2x^{2} C 8x C 10 \\ & D 7x^{2} C 14x C 11. \end{aligned}

3 (3x − \sqrt{3}) ^{2} D 9x^{2} − 6x\sqrt{3} C 3.

4 ( x C \frac{1}{x}) ^{2} D x^{2} C 2 × x × \frac{1}{x} C \frac{1}{x^{2}} D x^{2} C 2 C \frac{1}{x^{2}}.

Factorisations — v. 1.0 9 juin 2025 — Chapitre 3 page 88 — #98 CORRIGÉS_{88}
8Arithmétique et calcul littéral_{Lycée Parc de Vilgenis, Massy} {Énoncé \atop p. 75}
1 \begin{aligned}▷n C 1◁^{2} − n^{2} & D n^{2} C 2n C 1 − n^{2} \\ & D 2n C 1. \end{aligned}

2 Tout nombre impair peut s’écrire sous la forme 2nC1, où n est un entier naturel. Ainsi, de la question précédente, nous pouvons déduire que tout nombre impair peut s’écrire sous la forme ▷nC1◁^{2}−n^{2}, et donc que tout nombre impair peut être considéré comme la différence de deux carrés d’entiers consécutifs (n et n C 1).

3 17 D 16 C 1 D 2 × 8 C 1 D 2n C 1 avec n D 8. Ainsi,

17 D ▷n C 1◁^{2} − n^{2} D ▷8 C 1◁^{2} − 8^{2} D 9^{2} − 8^{2}.

2 019 D 2 018 C 1 D 2 × 1 009 C 1 D 2n C 1 avec n D 1 009. Ainsi,

2 019 D ▷1 009 C 1◁^{2} − 1 009^{2} D 1 010^{2} − 1 009^{2}.

9Factorisations_{Lycée Jacques Amyot, Auxerre} {Énoncé \atop p. 75}
1 \begin{matrix}A▷x◁ & D ▷2x − 3◁^{2} − ▷4x C 1◁▷2x − 3◁ \\ D ▷2x − 3◁▷2x − 3 − ▷4x C 1◁◁ \\ D ▷2x − 3◁▷−2x − 4◁ \\ D −2▷2x − 3◁▷x C 2◁. \end{matrix}

2 \begin{matrix}B▷x◁ & D ▷x C 1◁^{2} − ▷2x C 3◁^{2} \\ D ▷▷x C 1◁ − ▷2x C 3◁◁▷▷x C 1◁ C ▷2x C 3◁◁ \\ D ▷−x − 2◁▷3x C 4◁. \end{matrix}

3 \begin{matrix}C▷x◁ & D ▷x − 1◁▷2 C x◁ C ▷x C 5◁▷1 − x◁ \\ D ▷x − 1◁▷2 C x◁ − ▷x C 5◁▷x − 1◁ \\ D ▷x − 1◁▷2 C x − x − 5◁ \\ D −3▷x − 1◁. \end{matrix}

4 \begin{aligned}D▷x◁ & D x^{3} C x^{2} C x C 1 \\ & D x^{2}▷x C 1◁ C x C 1 \\ & D ▷x C 1◁▷x^{2} C 1◁. \end{aligned}

5 E▷x◁ D xy–x–y C 1 D x▷y − 1◁ − ▷y − 1◁ D ▷y − 1◁▷x − 1◁.

6 \begin{matrix}F ▷x◁ & D ▷5x C 3◁^{2} − 11 \\ D ▷5x C 3◁^{2} − \sqrt{11}^{2} \\ D ▷5x C 3 − \sqrt{11}◁▷5x C 3 C \sqrt{11}◁. \end{matrix}

Diverses factorisations — v. 1.0 9 juin 2025 — Chapitre 3 page 89 — #99 CALCUL LITTÉRAL, ÉQUATIONS ET INÉQUATIONS CHAP. 3_{89} CORRIGÉS INTERROS COURS
7 \begin{aligned}G▷x◁ & D ▷x − 1◁^{2} − 2▷x^{2} − 1◁ \\ & D ▷x − 1◁^{2} − 2▷x − 1◁▷x C 1◁ \\ & D ▷x − 1◁▷x − 1 − 2▷x C 1◁◁ \\ & D ▷x − 1◁▷−x − 3◁. \end{aligned}

10Développement ou factorisation?_{Lycée Camille Jullian, Bordeaux} {Énoncé \atop p. 75}

1 Regardons étape par étape ce que fait l’algorithme :

Étape  Instruction             Valeur de y

1

         Affecter à y la valeur x - 2

y D x − 2

2

          Affecter à y la valeur y^{2}

y D ▷x − 2◁^{2}

3

         Affecter à y la valeur y - 4

y D ▷x − 2◁^{2} − 4

La valeur de y affichée par l’algorithme est donc bien ▷x − 2◁^{2} − 4. 2 Si on factorise l’expression de y en fonction de x, on obtient :

▷x − 2◁^{2} − 4 D ▷x − 2◁^{2} − 2^{2}  qui est de la forme a^{2} − b^{2}
D [▷x − 2◁ C 2][▷x − 2◁ − 2]
car a^{2} − b^{2} D ▷a C b◁▷a − b◁
D x▷x − 4◁.

Ainsi, après avoir saisi la valeur de x, pour afficher le même résultat que l’algorithme initial, il suffit de calculer x▷x − 4◁. Dans l’algorithme proposé ici, il n’a pas été jugé nécessaire de faire intervenir deux variables (x et y) car le fait d’affecter à x la valeur x▷x − 4◁ suffit.

11Diverses factorisations_{Lycée Chateaubriand, Rennes} {Énoncé \atop p. 76}
1 \begin{aligned}f ▷x◁ & D 3▷x − 2◁▷x^{2} C 1◁ − ▷6x^{2} − 5◁▷x − 2◁ \\ & D ▷x − 2◁T3▷x^{2} C 1◁ − ▷6x^{2} − 5◁U \\ & D ▷x − 2◁T3x^{2} C 3 − 6x^{2} C 5U \\ & D ▷x − 2◁T−3x^{2} C 8U \\ & D ▷x − 2◁▷\sqrt{8} − x\sqrt{3}◁▷\sqrt{8} C x\sqrt{3}◁. \end{aligned}

2 16a^{4} − 9 D ▷4a^{2} − 3◁▷4a^{2} C 3◁ D ▷2a − \sqrt{3}◁▷2a C \sqrt{3}◁▷4a^{2} C 3◁.

Équations — v. 1.0 9 juin 2025 — Chapitre 3 page 90 — #100 CORRIGÉS_{90}

3 On utilise l’identité remarquable : x^{2} − 2x C 1 D ▷x − 1◁^{2}. Il vient :

f ▷x◁ D x^{2} − 2x C 1 − 7▷x − 1◁ C ▷x C 2◁▷1 − x◁
D ▷x − 1◁^{2} − 7▷x − 1◁ C ▷x C 2◁▷1 − x◁
D ▷x − 1◁T▷x − 1◁ − 7 − ▷x C 2◁U
D ▷x − 1◁Tx − 1 − 7 − x − 2U
D −10▷x − 1◁.

Remarque : bizarrement, on obtient le même résultat en développant : f ▷x◁ D x^{2}−2xC1−7xC7CxC2−x^{2}−2x D −10xC10 D −10▷x−1◁. Mais c’est exceptionnel! Ça marche seulement parce que les coefficients des x^{2} se compensent. Le simple développement échoue, par exemple, si on modifie un peu la formule, par exemple :

x^{2} − 2x C 1 − 7▷x − 1◁ C ▷3x C 2◁▷1 − x◁ D −2x^{2} − 8x C 10. Alors que la factorisation par ▷x − 1◁ donne :

x^{2} − 2x C 1 − 7▷x − 1◁ − ▷3x C 2◁▷x − 1◁ D −2▷x − 1◁▷5 C x◁.

4 Pour ne pas tomber dans le piège, il faut se souvenir de ▷ab◁^{2} D a^{2}b^{2}. Comme 6x − 3 D 3▷2x − 1◁, on aura ▷6x − 3◁^{2} D 9▷2x − 1◁^{2} (et non pas 3▷2x − 1◁^{2}!). Les calculs donnent :

f ▷x◁ D ▷6x − 3◁^{2} − ▷2x − 1◁
D 9▷2x − 1◁^{2} − ▷2x − 1◁
D ▷2x − 1◁T9▷2x − 1◁ − 1U
D ▷2x − 1◁▷18x − 9 − 1◁
D ▷2x − 1◁▷18x − 10◁
D 2▷2x − 1◁▷9x − 5◁.

12Équations_{Lycée Paul Lapie, Courbevoie} {Énoncé \atop p. 76}

1 On détermine sur la figure les points d’ordonnées 4, 2 ou −1 (voir figure à la fin de la correction).

(a) Il y a deux points d’ordonnée 4, d’abscisses : 1 et 5.

(b) Il y a deux points d’ordonnée 2. L’un a une abscisse comprise entre 1 et 2, l’autre a une abscisse comprise entre 4 et 5.

(c) Aucun point de la courbe n’a une ordonnée négative.

Équations — v. 1.0 9 juin 2025 — Chapitre 3 page 91 — #101 CALCUL LITTÉRAL, ÉQUATIONS ET INÉQUATIONS CHAP. 3_{91} CORRIGÉS INTERROS COURS
2 (a) \begin{aligned}▷x − 3◁^{2} D 4 & ⟺ ▷x − 3◁^{2} − 4 D 0 \\ & ⟺ ▷x − 3◁^{2} − 2^{2} D 0 \\ & ⟺ ▷x − 3 − 2◁▷x − 3 C 2◁ D 0 \\ & ⟺ ▷x − 5◁▷x − 1◁ D 0 \end{aligned}

On a donc deux solutions :

S D {1 I 5}.

(b) De la même façon :

▷x − 3◁^{2} D 2 ⟺ ▷x − 3◁^{2} − 2 D 0
⟺ ▷x − 3◁^{2} − \sqrt{2}^{2} D 0
⟺ ▷x − 3 − \sqrt{2}◁▷x − 3 C \sqrt{2}◁ D 0

D’où :

S D \{3 − \sqrt{2} I 3 C \sqrt{2}\}.

(c) Un carré étant toujours positif ou nul, l’équation :

▷x − 3◁^{2} D −1

n’a pas de solution et S D ∅.

13Équations_{Lycée Foch, Rodez} {Énoncé \atop p. 77}

1 Il suffit de développer l’expression :

▷3x C 4◁▷5x − 3◁ D 15x^{2} − 9x C 20x − 12 D 15x^{2} C 11x − 12 D f ▷x◁.

2 (a) f ▷x◁ D 0 ⟺ ▷3x C 4◁▷5x − 3◁ D 0.

Équations — v. 1.0 9 juin 2025 — Chapitre 3 page 92 — #102 CORRIGÉS_{92}

Un produit de facteurs est nul si et seulement si l’un des facteurs est nul, donc 3x C4 D 0 ou 5x −3 D 0. On obtient les deux solutions :

S D \{ \frac{−4}{3} ,\frac{3}{5}\} .

(b) f ▷x◁ D 15x^{2} ⟺ 15x^{2}C11x −12 D 15x^{2} ⟺ 11x −12 D 0. D’où une seule solution :

S D \{ \frac{12}{11}\} .

(c) \begin{aligned}f ▷x◁ D −12 & ⟺ 15x^{2} C 11x − 12 D −12 \\ & ⟺ 15x^{2} C 11x D 0 \\ & ⟺ x▷15x C 11◁ D 0. \end{aligned}

Un produit est nul si et seulement si l’un des facteurs est nul, d’où x D 0 ou 15x C 11 D 0. Il vient :

S D \{0 I \frac{−11}{15} \} .

(d) On reconnaît la présence de 5x−3 des deux côtés du symbole « D », il suffit donc de factoriser par 5x − 3 :

f ▷x◁ D 5x − 3 ⟺ ▷3x C 4◁▷5x − 3◁ D 5x − 3
⟺ ▷3x C 4◁▷5x − 3◁ − ▷5x − 3◁ D 0
⟺ ▷5x − 3◁T▷3x C 4◁ − 1U D 0
⟺ ▷5x − 3◁▷3x C 3◁ D 0
⟺ 3▷5x − 3◁▷x C 1◁ D 0.

Là encore, on utilise le résultat sur les produits nuls, ce qui donne 5x − 3 D 0 ou x C 1 D 0. Il vient :

S D \{−1 I \frac{3}{5}\} .

(e) f ▷x◁ D 14x^{2} C 11x C 4 ⟺ 15x^{2} C 11x − 12 D 14x^{2} C 11x C 4

⟺ x^{2} − 16 D 0
⟺ x^{2} − 4^{2} D 0
⟺ ▷x − 4◁▷x C 4◁ D 0 (produit remarquable)

L’ensemble des solutions est donc :

S D {−4 I C4}.

Équations — v. 1.0 9 juin 2025 — Chapitre 3 page 93 — #103 CALCUL LITTÉRAL, ÉQUATIONS ET INÉQUATIONS CHAP. 3_{93} CORRIGÉS INTERROS COURS
14Équations_{Lycée Blaise Pascal, Orsay} {Énoncé \atop p. 77}
1 \begin{matrix}\frac{5x C 3}{4} − \frac{x − 9}{3} & D \frac{x}{2} C 5 \\ ⟺ \frac{15x C 9}{12} − \frac{4x − 36}{12} & D \frac{6x}{12} C \frac{60}{12} \\ 15x C 9 − 4x C 36 & D 6x C 60 \\ 5x & D 15 \\ x & D 3 \end{matrix}

L’ensemble des solutions est : S D {3}.

2 ▷4x^{2} − 3x − 18◁^{2} − ▷4x^{2} C 3x◁^{2} D 0 ; (▷4x^{2} − 3x − 18◁ C ▷4x^{2} C 3x◁)(▷4x^{2} − 3x − 18◁ − ▷4x^{2} C 3x◁) D 0 ; ▷4x^{2} − 3x − 18 C 4x^{2} C 3x◁▷4x^{2} − 3x − 18 − 4x^{2} − 3x◁ D 0 ; ▷8x^{2} − 18◁▷−6x − 18◁ D 0 ; 2▷4x^{2} − 9◁▷−6◁▷x C 3◁D 0 ; \begin{matrix}▷−12◁▷2x − 3◁▷2x C 3◁▷x C 3◁ \\ D 0 \end{matrix}

Un produit de facteurs est nul quand l’un des facteurs est nul. On obtient l’ensemble de solutions :

S D \{−3 I −\frac{3}{2} I \frac{3}{2}\} .

3 Il faut déjà remarquer que les valeurs 4 et 5, qui annulent les dénominateurs, ne sont pas autorisées... Donc, pour x D̸ 5 et x D̸ 4 :

\frac{x − 4}{x − 5} C \frac{x − 6}{x − 4} D 2 − \frac{2}{x − 4}
⟺ \frac{x − 4}{x − 5} D −\frac{x − 6}{x − 4} C 2 − \frac{2}{x − 4}

D −\frac{x − 6}{x − 4} C \frac{2x − 8}{x − 4} − \frac{2}{x − 4}

D \frac{−x C 6 C 2x − 8 − 2}{x − 4}

D \frac{x − 4}{x − 4}

D 1

⟺ x − 4 D x − 5
⟺ −4 D −5

Ceci n’est visiblement pas vrai, il n’y a pas de solution : S D ∅.

Bien choisir son taxi — v. 1.0 9 juin 2025 — Chapitre 3 page 94 — #104 CORRIGÉS_{94}
15Bien choisir son taxi_{Lycée Victor Duruy, Paris} {Énoncé \atop p. 77}

1 (a) Avec le tarif A, 8 km coûtent :

5 C 8 × 0,40 D 5 C 3,20 D 8,20 � .

Avec le tarif B, le même trajet revient à : 8 × 0,60 D 4,80 �. Il vaut donc mieux utiliser le taxi B.

(b) Pour 30 km, le tarif A coûte :

5 C 30 × 0,40 D 5 C 12 D 17 � ,

alors que le tarif B revient à : 30 × 0,60 D 18 �. Il vaut donc mieux prendre le taxi A.

2 Dans le cas général, pour x kilomètres, le tarif A revient à :

A▷x◁ D 5 C 0,40x

et le tarif B :

B▷x◁ D 0,60x.

3 (a) Il s’agit de deux fonctions affines (la seconde est même linéaire), donc D_{A} et D_{B} sont deux droites. D’après nos calculs, D_{A} passe par le point de coordonnées ▷30 I 17◁ et, par exemple ▷0 I 5◁ ; D_{B} passe par le point de coordonnées ▷30 I 18◁ et ▷0 I 0◁. On obtient la représentation :

Équations — v. 1.0 9 juin 2025 — Chapitre 3 page 95 — #105 CALCUL LITTÉRAL, ÉQUATIONS ET INÉQUATIONS CHAP. 3_{95} CORRIGÉS INTERROS COURS

(b) Les coordonnées de l’intersection sont données par le système :

\{ \begin{matrix}y D 5 C 0,40.x \\ y D 0,60.x \end{matrix} ⟺ \{ \begin{matrix}0,60x D 5 C 0,40.x \\ y D 0,60x \end{matrix}

⟺ \{ \begin{matrix}0,20x D 5 \\ y D 0,60.x \end{matrix}

⟺ \{ \begin{matrix}x D \frac{5}{0,20} D 25 \\ y D 0,60 × 25 D 15 \end{matrix}

Pour 25 km, les deux tarifs sont équivalents (on paiera 15 � dans les deux cas).

4 (a) À droite du point d’intersection (c’est-à-dire pour des trajets de plus de 25 km), la droite D_{A} est en-dessous de la droite D_{B}, le taxi A est donc moins cher.

(b) On utilise la droite horizontale, d’équation y D 12 pour lire sur le graphique, pour chaque tarif, les distances correspondant à 12 �. La droite horizontale coupe D_{A} à gauche du point où elle coupe D_{B}. On parcourt donc plus de kilomètres avec le tarif B. D’après le graphique, le tarif B permet de parcourir 20 kilomètres. C’est moins de 25 : on est bien dans le domaine où le tarif B est moins cher (plus de kilomètres pour le même prix).

16Équations_{Lycée Lambert, Mulhouse} {Énoncé \atop p. 78}

1 Si vous ne voyez pas de facteur commun, c’est normal, regardez mieux : il n’y a pas de x^{2}, il s’agit d’une simple équation du premier degré. Il suffit donc d’effectuer le développement suivant :

7▷2x C 4◁ − 5▷4x − 3◁ D \frac{2}{5} − \frac{3x − 5}{2}

⟺ 14x C 28 − 20x C 15 D \frac{4}{10} − \frac{15x − 25}{10}

⟺ −6x C 43 D \frac{29 − 15x}{10}

⟺ −60x C 430 D 29 − 15x

⟺ −45x D −401

⟺ x D \frac{401}{45}.

D’où l’ensemble des solutions :

S D \{ \frac{401}{45}\} .

Équations — v. 1.0 9 juin 2025 — Chapitre 3 page 96 — #106 CORRIGÉS_{96}

2 Là non plus, pas de facteur commun évident, et pas de produit remarquable. Il faut se résoudre à développer :

▷3x − 2◁▷2x − 5◁ C 2▷x − 5◁▷7 − 3x◁ D 0

⟺ 6x^{2} − 15x − 4x C 10 C ▷2x − 10◁▷7 − 3x◁ D 0

⟺ 6x^{2} − 19x C 10 C 14x − 6x^{2} − 70 C 30x D 0
⟺ 25x − 60 D 0.

On comprend mieux pourquoi il fallait développer. L’équation est en fait du premier degré (un peu camouflé, il est vrai). L’unique solution est :

\frac{60}{25} D \frac{12}{5}.

D’où :

S D \{ \frac{12}{5}\} .

3 Décidément, pas de chance, toujours pas de facteur commun à l’horizon. Développons, pour voir :

▷5x C 3◁▷4x − 2◁ D 2▷x − 9◁ ⟺ 20x^{2} − 10x C 12x − 6 D 2x − 18
⟺ 20x^{2} C 12 D 0.

Comme un carré est toujours positif, l’expression 20x^{2} C 12 ne vaut jamais zéro, il n’y a donc pas de solution :

S D ∅.

Sur le graphique ci-dessous, nous voyons les courbes représentatives des fonctions x ↦ ▷5x C3◁▷4x −2◁ (parabole) et x ↦ 2▷x −9◁ (droite). On constate en effet que ces deux courbes n’ont pas de point d’intersection.

4 On rassemble tous les termes du même côté du symbole « D » :

9▷4x − 1◁^{2} − ▷3x − \frac{1}{2}◁^{2} D 0.

Équations — v. 1.0 9 juin 2025 — Chapitre 3 page 97 — #107 CALCUL LITTÉRAL, ÉQUATIONS ET INÉQUATIONS CHAP. 3_{97} CORRIGÉS INTERROS COURS

Il faut reconnaître que 9▷4x − 1◁^{2} est un carré. Comme 9 D 3^{2}, on a :

9▷4x − 1◁^{2} D T3▷4x − 1◁U^{2} D ▷12x − 3◁^{2}.

L’équation se ramène donc à :

▷12x − 3◁^{2} − ( 3x − \frac{1}{2}) ^{2} D 0.

Il s’agit de la différence de deux carrés, que l’on factorise :

( 12x − 3 C 3x − \frac{1}{2}) ( 12x − 3 − 3x C \frac{1}{2}) D 0 ,

ou encore :

( 15x − \frac{7}{2}) ( 9x − \frac{5}{2}) D 0.

Ce produit est nul si et seulement si 15x − \frac{7}{2} D 0 ou 9x − \frac{5}{2} D 0. La première équation donne la solution \frac{7}{30}, la seconde \frac{5}{18}. D’où les solutions :

S D \{ \frac{7}{30} I \frac{5}{18}\} .

5 Enfin une équation avec un beau facteur commun ▷2 − x◁!

▷2 − x◁▷5x C 3◁ C ▷x − 2◁▷3 − x◁ − ▷2 − x◁ D 0

⟺ ▷2 − x◁T▷5x C 3◁ − ▷3 − x◁ − 1U D 0
⟺ ▷2 − x◁▷5x C 3 − 3 C x − 1◁ D 0
⟺ ▷2 − x◁▷6x − 1◁ D 0.

On s’est une nouvelle fois ramené au cas d’un produit nul, les deux solutions sont 2 et \frac{1}{6} :

S D \{ \frac{1}{6} I 2\} .

17Équations_{Lycée Pasteur, Neuilly-sur-Seine} {Énoncé \atop p. 78}

1 ▷x − 1◁▷2x − 3◁^{2} D 4▷x − 1◁ ⟺ ▷x − 1◁▷2x − 3◁^{2} − 4▷x − 1◁ D 0

⟺ ▷x − 1◁[▷2x − 3◁^{2} − 4] D 0 ⟺ ▷x − 1◁[▷2x − 3◁^{2} − 2^{2}] D 0 ⟺ ▷x − 1◁[▷2x − 3◁ − 2][▷2x − 3◁ C 2] D 0 ⟺ ▷x − 1◁▷2x − 5◁▷2x − 1◁ D 0 ⟺ x − 1 D 0 ou 2x − 5 D 0 ou 2x − 1 D 0

⟺ x D 1 ou x D \frac{5}{2} ou x D \frac{1}{2}.

Équations — v. 1.0 9 juin 2025 — Chapitre 3 page 98 — #108 CORRIGÉS_{98}

L’ensemble solution de l’équation ▷x −1◁▷2x −3◁^{2} D 4▷x −1◁ est donc :

S D \{ \frac{1}{2}I 1I \frac{5}{2}\} .

2 x^{2} C 4 D 0 ⟺ x^{2} D −4. Or, un carré est toujours positif ou nul. Par conséquent, il n’y a pas de solution à l’équation x^{2} C 4 D 0. Son ensemble solution est alors :

S D ∅.

3 Avant de résoudre l’équation \frac{3x^{2} C 4x − 4}{x^{2} − 4} D 1, il faut en déterminer

l’ensemble de définition (car il y a une fraction). La fraction est définie pour tout réel x tel que x^{2} − 4 D̸ 0, soit pour x D̸ −2 et x D̸ 2. L’ensemble de définition de l’équation est alors : ℝ \ {−2I 2}.

Résolvons maintenant l’équation :

\frac{3x^{2} C 4x − 4}{x^{2} − 4} D 1 ⟺ 3x^{2} C 4x − 4 D x^{2} − 4
⟺ 2x^{2} C 4x D 0
⟺ 2x▷x C 2◁ D 0
⟺ x D 0 ou x D −2.

Il y a donc potentiellement deux solutions : 0 et −2. Or, −2 n’est pas dans l’ensemble de définition de l’équation. La seule solution est alors 0.

S D {0}.

4 L’ensemble de définition de l’équation \frac{3}{x C 1}−\frac{2}{x − 2} D \frac{−6}{▷x C 1◁▷x − 2◁}

est l’ensemble des réels x tels que les fractions sont définies, c’est-à-dire tels que x C 1 D̸ 0 et x − 2 D̸ 0, soit x D̸ −1 et x D̸ 2. L’ensemble de définition est donc ℝ \ {−1I 2}.

Résolvons l’équation :

\frac{3}{x C 1} − \frac{2}{x − 2} D \frac{−6}{▷x C 1◁▷x − 2◁} ⟺ \frac{3▷x − 2◁ − 2▷x C 1◁}{▷x C 1◁▷x − 2◁} D \frac{−6}{▷x C 1◁▷x − 2◁}

⟺ \frac{3x − 6 − 2x − 2}{▷x C 1◁▷x − 2◁} D \frac{−6}{▷x C 1◁▷x − 2◁}

⟺ \frac{x − 8}{▷x C 1◁▷x − 2◁}D \frac{−6}{▷x C 1◁▷x − 2◁}

⟺ x − 8 D −6 ⟺ x D 2.

Or, 2 n’appartient pas à l’ensemble solution de l’équation.

Avec les identités remarquables — v. 1.0 9 juin 2025 — Chapitre 3 page 99 — #109

CALCUL LITTÉRAL, ÉQUATIONS ET INÉQUATIONS CHAP. 3_{99} CORRIGÉS INTERROS COURS

Par conséquent, l’ensemble solution de l’équation est :

S D ∅.

18Avec une identité remarquable_{Lycée Carnot, Dijon} {Énoncé \atop p. 78}

Pour résoudre cette inéquation, on passe tout dans le même membre et on factorise :

▷2x C 5◁^{2} − ▷3x C 2◁^{2}⩽ 0
(▷2x C 5◁ C ▷3x C 2◁)(▷2x C 5◁ − ▷3x C 2◁)⩽ 0
▷5x C 7◁▷−x C 3◁⩽ 0.

Dressons un tableau de signes :

x  −∞  −\frac{7}{5}  3  C∞
5x C 7  − 0 C  C
−x C 3  C  C 0 −
▷5x C 7◁▷−x C 3◁  − 0 C 0 −

On en déduit : S D ]−∞ I −\frac{7}{5}] ∪ [3 I C∞[ .

19Avec les identités remarquables_{Lycée Saint-Jean, Limoges} {Énoncé \atop p. 79}
1 \begin{matrix}▷2x C 1◁^{2} − x^{2} & ⩾ 0 \\ ⟺ (▷2x C 1◁ C x)(▷2x C 1◁ − x) & ⩾ 0 \\ ⟺ ▷3x C 1◁▷x C 1◁ & ⩾ 0. \end{matrix}

Utilisez éventuellement un tableau de signes pour trouver :

S DU − ∞ I −1U ∪ T−\frac{1}{3} I C∞T.

2 Attention! Il s’agit en fait du développement du produit remarquable :

[▷3x C 2◁ − ▷x C 1◁]^{2}.

C’est un carré, il n’est donc négatif (au sens large) que lorsqu’il vaut

zéro. D’où : ▷3x C 2◁ − ▷x C 1◁ D 0 ⟺ 2x C 1 D 0 ⟺ x D −\frac{1}{2}.

Conclusion : S D \{−\frac{1}{2}\} .

Facteur commun, identité remarquable — v. 1.0_{9 juin 2025 — Chapitre 3 page 100 — #110} CORRIGÉS_{100}
20Avec un facteur commun_{Lycée Descartes, Antony} {Énoncé \atop p. 79}

1 Les deux membres étant constitués de sommes et de produits, pas de problème de définition : le domaine est ℝ. Il y a un x^{3}, il faut être prudent. Étant donnée la façon dont sont disposés les deux membres de l’inéquation, il faut penser à factoriser chacun d’entre eux :

x^{2}▷x − 1◁ ⩾ 4▷x − 1◁.

On passe tout dans le même membre, et on obtient :

\begin{matrix}x^{2}▷x − 1◁ − 4▷x − 1◁ & ⩾ 0 \\ ▷x − 1◁▷x^{2} − 4◁ & ⩾ 0 \\ ▷x − 1◁▷x − 2◁▷x C 2◁ & ⩾ 0. \end{matrix}

On dresse un tableau de signes :

x  −∞  −2  1  2  C∞
x − 1  −  − 0 C  C
x − 2  −  −  − 0 C
x C 2  − 0 C  C  C
produit  − 0 C 0 − 0 C

On en déduit :

S D T−2 I 1U ∪ T2 I C∞T.

2 Il faut ôter de l’ensemble de définition les valeurs qui annulent le dénominateur. Factorisons celui-ci : x^{2} − 1 D ▷x − 1◁▷x C 1◁. L’inéquation est donc définie sur ℝ \ {−1 I 1}. Il ne reste qu’à étudier le signe de

\frac{x C 2}{▷x − 1◁▷x C 1◁}:

\begin{matrix}x & −∞ & & −2 & & −1 & & 1 & & C∞ \\ x − 1 & & − & & − & & − & 0 & C \\ x C 1 & & − & & − & 0 & C & & C \\ x C 2 & & − & 0 & C & & C & & C \\ \frac{x C 2}{▷x − 1◁▷x C 1◁} & & − & 0 & C & & − & & C \end{matrix}

On en déduit : S DU − ∞ I −2T∪U − 1 I 1T. 3 On passe 16x à gauche et on factorise :

x^{2} − 16x ⩾ 0 ⟺ x▷x − 16◁ ⩾ 0

En s’aidant au besoin d’un tableau de signes, on obtient :

S DU − ∞ I 0U ∪ T16 I C∞T.

Facteur commun, identité remarquable — v. 1.0_{9 juin 2025 — Chapitre 3 page 101 — #111} CALCUL LITTÉRAL, ÉQUATIONS ET INÉQUATIONS CHAP. 3_{101} CORRIGÉS INTERROS COURS
21Facteur commun, identité remarquable_{Lycée Montesquieu, Le Mans} {Énoncé \atop p. 79}

1 On commence par factoriser l’expression :

▷x C 6◁▷x − 3◁ − 2x C 6 ⩾ 0 ⟺ ▷x C 6◁▷x − 3◁ − 2▷x − 3◁ ⩾ 0
⟺ ▷x − 3◁T▷x C 6◁ − 2U ⩾ 0
⟺ ▷x − 3◁▷x C 4◁ ⩾ 0.

On utilise un tableau de signes :

x  −∞  −4  3  C∞
x C 4  − 0 C  C
x − 3  −  − 0 C
▷x − 3◁▷x C 4◁  C 0 − 0 C

On conclut :

S DU − ∞ I −4U ∪ T3 I C∞T.

2 On remarque qu’il faudra exclure la valeur 1 (à cause du dénominateur). Surtout pas de produits en croix, il faut réduire au même dénominateur puis rassembler l’expression dans le même membre.

\frac{x C 3}{1 − x} ⩾ 2 ⟺ \frac{x C 3}{1 − x} ⩾ \frac{2▷1 − x◁}{▷1 − x◁}

⟺ \frac{x C 3}{1 − x} − \frac{2▷1 − x◁}{▷1 − x◁} ⩾ 0

⟺ \frac{▷x C 3◁ − 2▷1 − x◁}{1 − x} ⩾ 0

⟺ \frac{x C 3 − 2 C 2x}{1 − x} ⩾ 0

⟺ \frac{3x C 1}{1 − x} ⩾ 0.

Les valeurs importantes sont \frac{−1}{3} et 1, on utilise un tableau de signes :

\begin{matrix}x & −∞ & & −\frac{1}{3} & & 1 & & C∞ \\ 3x C 1 & & − & 0 & C & & C \\ 1 − x & & C & & C & 0 & − \\ \frac{3x C 1}{1 − x} & & − & 0 & C & & − \end{matrix}

On obtient :

S D [ \frac{−1}{3} I 1[ .

Résolution algébrique et graphique — v. 1.0 9 juin 2025 — Chapitre 3 page 102 — #112

CORRIGÉS_{102}

3 Ici, pas de calcul à faire : quel que soit le réel x, son carré x^{2} est positif,

donc 25x^{2} C 4 ⩾ 0. L’ensemble des solutions est donc ℝ. 4 On reconnaît un produit remarquable :

25x^{2} − 4 D ▷5x − 2◁▷5x C 2◁.

Cette expression s’annule en \frac{2}{5} et \frac{−2}{5} , d’où le tableau de signes :

x  −∞  −\frac{2}{5}  \frac{2}{5}  C∞
5x − 2  −  − 0 C
5x C 2  − 0 C  C
25x^{2} − 4  C 0 − 0 C

D’où :

S D ]−∞ I −\frac{2}{5}] ∪ [ \frac{2}{5} I C∞[ .

22Résolution algébrique et graphique_{Lycée Auguste Renoir, Cagnes-sur-Mer} {Énoncé \atop p. 79}

1 Il suffit de développer :

4 − ▷x − 1◁^{2} D 4 − ▷x^{2} − 2x C 1◁ D 4 − x^{2} C 2x − 1 D −x^{2} C 2x C 3.

On reconnaît dans f ▷x◁ D 4 − ▷x − 1◁^{2} la différence de deux carrés, ce qui permet de factoriser :

f ▷x◁ D 2 − ▷x − 1◁◁▷2 C ▷x − 1◁
D ▷3 − x◁▷1 C x◁.

2 On peut dresser un tableau de signes :

x  −∞  −1  3  C∞
x C 1  − 0 C  C
3 − x  C  C 0 −
▷3 − x◁▷x C 1◁  − 0 C 0 −

On conclut :

S DU − 1 I 3T.

3 Pour résoudre graphiquement l’inéquation, on fait apparaître sur la figure les points d’ordonnée strictement positive (voir figure page suivante). Leurs abscisses sont les solutions de l’inéquation.

Résolution algébrique et graphique — v. 1.0 9 juin 2025 — Chapitre 3 page 103 — #113

CALCUL LITTÉRAL, ÉQUATIONS ET INÉQUATIONS CHAP. 3_{103} CORRIGÉS INTERROS COURS

On retrouve bien l’intervalle U − 1 I 3T.

23Résolution algébrique et graphique_{Lycée Colbert, Paris} {Énoncé \atop p. 80}

1 On réduit au même dénominateur :

\frac{−3}{1 C x} ⩾ 3 ⟺ \frac{−3}{1 C x} ⩾ \frac{3▷1 C x◁}{1 C x}

⟺ \frac{−3 − 3▷1 C x◁}{1 C x} ⩾ 0

⟺ \frac{−3▷1 C 1 C x◁}{1 C x} ⩾ 0

⟺ \frac{−3▷2 C x◁}{1 C x} ⩾ 0.

On dresse un tableau de signes :

\begin{matrix}x & −∞ & & −2 & & −1 & & C∞ \\ 2 C x & & − & 0 & C & & C \\ −3▷2 C x◁ & & C & 0 & − & & − \\ x C 1 & & − & & − & 0 & C \\ \frac{−3▷2 C x◁}{x C 1} & & − & 0 & C & & − \end{matrix}

Résolution algébrique et graphique — v. 1.0 9 juin 2025 — Chapitre 3 page 104 — #114

CORRIGÉS_{104}

D’après le tableau, l’ensemble des solutions est donc :

S D T−2 I −1T.

On retrouve graphiquement ce résultat en plaçant sur la figure la droite d’équation y D 3. Les solutions sont les abscisses des points de ▷C◁ qui sont situés au-dessus de cette droite (voir figure à la fin du corrigé). Il s’agit effectivement des points d’abscisses comprises entre −2 et −1 (on exclut −1 car f n’est pas définie en −1).

2 Sur la figure, on représente les droites horizontales y D 1 et y D −1. On cherche les abscisses des points de ▷C◁ qui sont dans la bande délimitée par ces deux droites. On lit l’ensemble des solutions sur la figure :

S D ]−∞ I −4[ ∪]2 I C∞[ .

3 On cherche les abscisses des points de la courbe qui sont au-dessus de la droite d’équation y D 1 − x. On lit sur le dessin l’ensemble des solutions :

S D T−2 I −1T∪T2 I C∞T

Retrouvons ce résultat par le calcul :

\frac{−3}{x C 1} ⩾ 1 − x ⟺ \frac{−3}{x C 1} − ▷1 − x◁ ⩾ 0

⟺ \frac{−3 − ▷x C 1◁▷1 − x◁}{x C 1} ⩾ 0

⟺ \frac{x^{2} − 4}{x C 1} ⩾ 0

⟺ \frac{▷x − 2◁▷x C 2◁}{x C 1}⩾ 0.

Avec une fonction de référence — v. 1.0 9 juin 2025 — Chapitre 3 page 105 — #115 CALCUL LITTÉRAL, ÉQUATIONS ET INÉQUATIONS CHAP. 3_{105} CORRIGÉS INTERROS COURS

En faisant le tableau de signes de \frac{▷x − 2◁▷x C 2◁}{x C 1}on retrouve le résultat

obtenu précédemment par lecture graphique.

24Avec une fonction de référence_{Lycée Camille Claudel, Troyes} {Énoncé \atop p. 80}
1 (a)

\begin{matrix}x & 0,1 & 0,2 & 0,3 & 0,4 & 0,5 & 0,6 & 0,7 & 0,8 & 0,9 & 1 \\ f ▷x◁ & 10 & 5 & 3,33 & 2,5 & 2 & 1,67 & 1,43 & 1,25 & 1,11 & 1 \end{matrix}

(b)

(c) Ne vous laissez pas éblouir par tous ces radicaux (les racines carrées). g est une simple fonction... affine, de la forme g▷x◁ D ax Cb.

Ici a D −\frac{8}{\sqrt{2}} et b D 4 C \sqrt{2}. Comme le coefficient directeur a

est strictement négatif, la fonction g est strictement décroissante. Sa courbe représentative C_{g} est une droite (c’est pour cela que l’on vous demande de calculer seulement trois images; en fait, deux suffiraient).

(d)

\begin{matrix}x & 0 & 0,25 & 0,5 \\ g▷x◁ & 4 C \sqrt{2} ≈ 5,41 & 4 & 4 − \sqrt{2} ≈ 2,59 \end{matrix}

(e) Les courbes C_{f} et C_{g} se coupent en deux points. Le premier a visiblement pour ordonnée 4. Son abscisse se trouve dans le tableau de valeurs de g : elle vaut 0,25 (on peut se contenter de lire cette abscisse sur le graphique).

Avec une fonction de référence — v. 1.0 9 juin 2025 — Chapitre 3 page 106 — #116 CORRIGÉS_{106}

Le deuxième point d’intersection a pour abscisse 0,7 (l’ordonnée n’a pas d’importance). Si vous avez fait un dessin très précis, vous pouvez vous rendre compte que l’abscisse de ce point d’intersection est très légèrement plus grande que 0,7. Mais ne trichez pas (le calcul exact est fait à la fin de l’exercice)! La lecture graphique donne 0,25 et 0,7 comme abscisses pour les points d’intersection. La courbe C_{f} passe en-dessous de la droite C_{g} entre ces deux points. On obtient pour ensemble des solutions de g▷x◁ > f ▷x◁ :

S DU0,25 I 0,7T.

2 (a) On calcule :

g▷x◁ > f ▷x◁ ⟺ −\frac{8}{\sqrt{2}}x C 4 C \sqrt{2} > \frac{1}{x}

⟺ \frac{−8x C 4\sqrt{2} C 2}{\sqrt{2}} − \frac{1}{x} > 0

⟺ \frac{−8x^{2} C 4x\sqrt{2} C 2x}{x\sqrt{2}} − \frac{\sqrt{2}}{x\sqrt{2}} > 0

⟺ \frac{−8x^{2} C 4x\sqrt{2} C 2x − \sqrt{2}}{x\sqrt{2}} > 0

⟺ \frac{−8x^{2} C 2x▷2\sqrt{2} C 1◁ − \sqrt{2}}{x\sqrt{2}} > 0

⟺ \frac{8x^{2} − 2x▷2\sqrt{2} C 1◁ C \sqrt{2}}{x\sqrt{2}} < 0.

(b) On développe :

P ▷x◁D −8▷x − \frac{1}{4}◁▷\frac{\sqrt{2}}{2} − x◁

D ▷−8x C 2◁▷\frac{\sqrt{2}}{2} − x◁

D 8x^{2} − 8x \frac{\sqrt{2}}{2} C \sqrt{2} − 2x

D 8x^{2} − 4x\sqrt{2} − 2x C \sqrt{2}.

On reconnaît dans :

P ▷x◁ D 8x^{2} − 2x▷2\sqrt{2} C 1◁ C \sqrt{2}

le numérateur de :

\frac{8x^{2} − 2x▷2\sqrt{2} C 1◁ C \sqrt{2}}{x\sqrt{2}} .

Inéquations diverses — v. 1.0 9 juin 2025 — Chapitre 3 page 107 — #117

CALCUL LITTÉRAL, ÉQUATIONS ET INÉQUATIONS CHAP. 3_{107} CORRIGÉS INTERROS COURS

(c) L’inéquation g▷x◁ > f ▷x◁ devient donc :

\frac{−8 ( x − \frac{1}{4}) ( \frac{\sqrt{2}}{2} − x)}{x\sqrt{2}} < 0.

Ne perdons pas de vue que cette inéquation est à résoudre sur U0 I 1U. On a donc x\sqrt{2} > 0, et on peut simplifier l’inéquation en :

−8 ( x − \frac{1}{4}) ( \frac{\sqrt{2}}{2} − x) < 0.

L’expression s’annule pour x D \frac{1}{4} et x D \frac{\sqrt{2}}{2}. Il s’agit des abscisses des points d’intersection de C_{f} et C_{g} :

\frac{1}{4} D 0,25 et \frac{\sqrt{2}}{2} ≈ 0,71.

On dresse un tableau de signes :

x  0  \frac{1}{4}  \frac{\sqrt{2}}{2}  1
−8 ( x − \frac{1}{4})  C 0 −  −
\frac{\sqrt{2}}{2} − x  C  C 0 −
P ▷x◁  C 0 − 0 C

D’après le tableau :

S D ] \frac{1}{4} I \frac{\sqrt{2}}{2}[ .

25Inéquations diverses_{Lycée Stanislas, Paris} {Énoncé \atop p. 82}
1 \begin{aligned}x^{2} C 5x C 9 & < ▷x − 1◁x C 12 \\ x^{2} C 5x C 9 & < x^{2} − x C 12 \\ 5x C x & < 12 − 9 \\ 6x & < 3 \\ x & < \frac{1}{2}. \end{aligned}

L’ensemble des solutions est donc : S D ]−∞ I \frac{1}{2}[ .

Inéquations diverses — v. 1.0 9 juin 2025 — Chapitre 3 page 108 — #118

CORRIGÉS_{108}

2 Il faut d’abord résoudre chaque partie de l’inéquation indépendamment, après avoir remarqué que la valeur 5 n’est pas autorisée.

2 < \frac{x − 3}{x − 5} ⟺ \frac{2x − 10}{x − 5} < \frac{x − 3}{x − 5}

⟺ \frac{2x − 10}{x − 5} − \frac{x − 3}{x − 5} < 0

⟺ \frac{2x − 10 − x C 3}{x − 5} < 0

⟺ \frac{x − 7}{x − 5} < 0.

On construit un tableau de signes :

\begin{matrix}x & −∞ & & 5 & & 7 & & C∞ \\ x − 7 & & − & & − & 0 & C \\ x − 5 & & − & 0 & C & & C \\ \frac{x − 7}{x − 5} & & C & & − & 0 & C \end{matrix}

La première inégalité n’est donc vérifiée que si : 5 < x < 7.

\frac{x − 3}{x − 5} < 3 ⟺ \frac{x − 3}{x − 5} < \frac{3x − 15}{x − 5}

⟺ 0 < \frac{3x − 15}{x − 5} − \frac{x − 3}{x − 5}

⟺ 0 < \frac{3x − 15 − x C 3}{x − 5}

⟺ 0 < \frac{2x − 12}{x − 5}

⟺ 0 < \frac{x − 6}{x − 5} .

Là encore, on a le tableau de signes suivant :

\begin{matrix}x & −∞ & & 5 & & 6 & & C∞ \\ x − 6 & & − & & − & 0 & C \\ x − 5 & & − & 0 & C & & C \\ \frac{x − 6}{x − 5} & & C & & − & 0 & C \end{matrix}

La deuxième inégalité n’est vérifiée que si : x < 5 ou x > 6.

Lectures graphiques de signes — v. 1.0 9 juin 2025 — Chapitre 3 page 109 — #119

CALCUL LITTÉRAL, ÉQUATIONS ET INÉQUATIONS CHAP. 3_{109} CORRIGÉS INTERROS COURS

Les deux inégalités ne sont donc vérifiées en même temps que si x > 6 et x < 7, donc l’ensemble des solutions est :

S DU6 I 7T.

26Inéquations diverses_{Lycée Évariste Galois, Sartrouville} {Énoncé \atop p. 82}

1 \begin{aligned}\frac{3x C 1}{4} > \frac{5x C 1}{6} & ⟺ \frac{3x C 1}{4} × 12 > \frac{5x C 1}{6} × 12 \\ & ⟺ 9x C 3 > 10x C 2 \\ & ⟺ 1 > x. \end{aligned}

D’où S D ]−∞ I 1[ . 2 Un carré, positif, ne peut jamais être plus petit que −1, il n’y a donc pas

de solution. S D ∅. 3 On développe :

2x − 2 − 3x − 3 > 4x − 8
⟺ 2x − 3x − 4x > 2 C 3 − 8

⟺ −5x > −3

⟺ x < \frac{3}{5}.

D’où S D ]−∞ I \frac{3}{5}[ .

4 ▷−2x−3◁^{4} est toujours positif. S’il n’est pas nul, il faut que x soit positif pour que le produit x▷−2x − 3◁^{4} soit supérieur à 0. Si ▷−2x − 3◁^{4} D 0,

c’est que −2x − 3 D 0, et donc x D −\frac{3}{2}. On obtient :

S D \{−\frac{3}{2}\} ∪ [0 I C∞[ .

5 On réduit toutes les fractions au dénominateur 4 :

\begin{matrix}\frac{x − 1}{4} − \frac{20}{4} & ⩽ \frac{4x − 6}{4} C \frac{3}{4} \\ ⟺ x − 1 − 20 & ⩽ 4x − 6 C 3 \\ ⟺ −21 C 6 − 3 & ⩽ 4x − x \\ ⟺ −18 & ⩽ 3x \\ ⟺ −6 & ⩽ x. \end{matrix}

D’où : S D T−6 I C∞T.

Inéquations diverses — v. 1.0 9 juin 2025 — Chapitre 3 page 110 — #120

CORRIGÉS_{110}

27Lectures graphiques de signes_{Lycée Jean Zay, Orléans} {Énoncé \atop p. 82}

D’après le graphique, f ▷x◁ s’annule si x D −1 et si x D 4. On dresse le tableau de signes :

x −∞ −1 4 C∞
f ▷x◁  − 0 C 0 −

De la même façon, on dresse le tableau de signes de g :

x −∞ −2 1 4 C∞
g▷x◁  − 0 C 0 − 0 C

Le quotient \frac{f ▷x◁}{g▷x◁} n’est défini que si g▷x◁ D̸ 0. En combinant les deux tableaux de signes précédents, on en déduit celui du quotient :

x −∞  −2  −1  1  4  C∞
f ▷x◁  −  − 0 C  C 0 −
g▷x◁  − 0 C  C 0 − 0 C
\frac{f ▷x◁}{g▷x◁}  C  − 0 C  −  −

On lit directement dans le tableau de signes que l’ensemble des solutions de

l’inéquation \frac{f ▷x◁}{g▷x◁} ⩾ 0 est S DU − ∞ I −2T∪T−1 I 1T.

28Inéquations diverses_{Lycée Jean-Baptiste Say, Paris} {Énoncé \atop p. 82}

1 L’expression ▷3x C 1◁▷2 − 4x◁ est un produit, qui s’annule si 3x C 1 D 0 ou si 2 − 4x D 0, donc pour x D −\frac{1}{3} ou x D \frac{1}{2}. On dresse un tableau de signes :

x  −∞  −\frac{1}{3}  \frac{1}{2}  C∞
3x C 1  − 0 C  C
2 − 4x  C  C 0 −
▷3x C 1◁▷2 − 4x◁  − 0 C 0 −

D’après le tableau de signes, ▷3x C 1◁▷2 − 4x◁ ⩽ 0 pour x ⩽ −\frac{1}{3} et x ⩾ \frac{1}{2}, d’où l’ensemble des solutions :

S D ]−∞ I −\frac{1}{3}] ∪ [ \frac{1}{2}, C ∞[ .

Inéquations diverses — v. 1.0 9 juin 2025 — Chapitre 3 page 111 — #121

CALCUL LITTÉRAL, ÉQUATIONS ET INÉQUATIONS CHAP. 3_{111} CORRIGÉS INTERROS COURS

2 On utilise la méthode habituelle : on rassemble tous les termes dans le même membre, et on résout :

0 < ▷3x C 1◁^{2} − ( \frac{1}{2}x − 7) ^{2} .

Le membre de droite est la différence de deux carrés, on factorise :

0 < [▷3x C 1◁ C ( \frac{1}{2}x − 7) ][▷3x C 1◁ − ( \frac{1}{2}x − 7) ] .

On obtient :

0 < ( \frac{7}{2}x − 6) ( \frac{5}{2}x C 8) .

Le produit s’annule si \frac{7}{2}x − 6 D 0 ou si \frac{5}{2}x C 8 D 0, donc pour x D \frac{12}{7}

ou x D −\frac{16}{5}. On dresse un tableau de signes :

x  −∞  −\frac{16}{5}  \frac{12}{7}  C∞
\frac{7}{2}x − 6  −  − 0 C
\frac{5}{2}x C 8  −  0 C  C
( \frac{7}{2}x − 6) ( \frac{5}{2}x C 8)  C 0 − 0 C

D’après le tableau de signes, ( \frac{7}{2}x − 6) ( \frac{5}{2}x C 8) > 0 pour x < −\frac{16}{5}

ou x > \frac{12}{7}, d’où l’ensemble des solutions : S D ]−∞ I −\frac{16}{5}[ ∪ ] \frac{12}{7} I C∞[ .

3 Du point de vue du signe, un quotient se comporte comme un produit. Il faut en plus tenir compte de l’ensemble de définition. Le numérateur s’annule en 1, le dénominateur en 7, dressons un tableau de signes :

\begin{matrix}x & −∞ & & 1 & & 7 & & C∞ \\ −2▷x − 1◁ & & C & 0 & − & & − \\ 7 − x & & C & & C & 0 & − \\ \frac{−2▷x − 1◁}{▷7 − x◁} & & C & 0 & − & & C \end{matrix}

(Attention à la présence du −2 pour le signe du numérateur!) On conclut :

S DU − ∞ I 1U∪U7 I C∞T.

Inéquations diverses — v. 1.0 9 juin 2025 — Chapitre 3 page 112 — #122

CORRIGÉS_{112}

4  MÉTHODE

Quand on résout une inéquation où x apparaît au dénominateur, le grand principe est de tout rassembler dans le même membre et de mettre les différents termes au même dénominateur, et de ne pas faire de produits « en croix ».

On a ici :

\frac{x^{2}}{1 − 2x} < −1 ⟺ \frac{x^{2}}{1 − 2x} C 1 < 0

⟺ \frac{x^{2} C 1 − 2x}{1 − 2x} < 0

⟺ \frac{▷x − 1◁^{2}}{1 − 2x} < 0.

On a le choix entre deux méthodes. La meilleure est probablement le tableau de signes. Ce n’est peut-être pas la façon la plus « frime », mais c’est certainement la plus sûre :

\begin{matrix}x & −∞ & & \frac{1}{2} & & 1 & & C∞ \\ ▷x − 1◁^{2} & & C & & C & 0 & C \\ 1 − 2x & & C & 0 & − & & − \\ \frac{▷x − 1◁^{2}}{1 − 2x} & & C & & − & 0 & − \end{matrix}

D’où l’ensemble des solutions :

S D ] \frac{1}{2} I 1[ ∪U1 I C∞T.

Autre méthode : le numérateur est un carré, toujours positif, donc la frac-

tion est négative lorsque 1 − 2x est négatif, donc pour x ⩾ \frac{1}{2}.

On doit enlever les valeurs \frac{1}{2} (où la fraction n’est pas définie), et 1 (où

la fraction s’annule), d’où l’ensemble :

S D ] \frac{1}{2} I C∞[ \ \{1\}.

(c’est le même ensemble que celui que nous avions trouvé). 5 Même si des x apparaissent au dénominateur, on a tout de même le droit

de simplifier les fractions avant de commencer d’autres calculs, d’où l’inéquation :

\frac{1}{▷5 − x◁^{2}} ⩽ \frac{3x}{▷5 − x◁^{2}}.

Encadrement — v. 1.0 9 juin 2025 — Chapitre 3 page 113 — #123 CALCUL LITTÉRAL, ÉQUATIONS ET INÉQUATIONS CHAP. 3_{113} CORRIGÉS INTERROS COURS

Ne pas oublier que, même si la valeur 0 ne semble plus intervenir, nous continuons à résoudre l’inéquation dans ℝ \ {0 I 5}. La valeur 0 ne doit pas apparaître dans l’ensemble des solutions. Ici, le dénominateur est strictement positif, quelle que soit la valeur de x. On peut donc simplifier et résoudre :

1 ⩽ 3x.

La « simplification » revient à multiplier les deux membres par ▷5 − x◁^{2}. Comme ▷5 − x◁^{2} > 0, le sens de l’inégalité ne change pas. Noter que x D 5 est exclu de l’ensemble de définition, (c’est ce qui permet d’affirmer ▷5 − x◁^{2} > 0 et pas seulement ▷5 − x◁^{2} ⩾ 0).

On obtient donc x ⩾ \frac{1}{3}. Pensez à retirer la valeur 5 (0 ne convient pas de toute façon); l’ensemble des solutions est donc :

S D [ \frac{1}{3} I C∞[ \ \{5\} D [ \frac{1}{3} I 5[ ∪U5 I C∞T.

29Encadrement_{Lycée Hélène Boucher, Paris} {Énoncé \atop p. 83}

1 Il suffit de simplifier le deuxième membre :

1 − x C \frac{x^{2}}{1 C x} D \frac{▷1 − x◁▷1 C x◁}{1 C x}C \frac{x^{2}}{1 C x}

D \frac{1 − x^{2}}{1 C x} C \frac{x^{2}}{1 C x}

D \frac{1}{1 C x} .

2 Si x ⩾ −\frac{1}{2}, il est clair que x C 1 > 0, donc \frac{1}{1 C x} ⩾ 0. De plus on a :

x ⩾ −\frac{1}{2} ⟺ x C 1 ⩾ \frac{1}{2}

⟺ \frac{1}{x C 1} ⩽ 2 puisque x C 1 > 0.

On a pu passer aux inverses dans l’inégalité car les deux membres étaient strictement positifs! D’où le résultat :

0 ⩽ \frac{1}{1 C x} ⩽ 2.

3 L’encadrement précédent peut être multiplié par x^{2}, réel positif. L’ordre n’est pas modifié :

0 ⩽ \frac{x^{2}}{1 C x} ⩽ 2x^{2}.

Un calcul astucieux — v. 1.0 9 juin 2025 — Chapitre 3 page 114 — #124 CORRIGÉS_{114}

On en déduit :

1 − x ⩽ 1 − x C \frac{x^{2}}{1 C x} ⩽ 1 − x C 2x^{2} (en ajoutant 1 − x) .

Or, d’après la première question :

1 − x C \frac{x^{2}}{1 C x} D \frac{1}{1 C x}

donc :

1 − x ⩽ \frac{1}{1 C x} ⩽ 1 − x C 2x^{2}.

30Inéquations_{Lycée Lacordaire, Marseille} {Énoncé \atop p. 83}
1 \begin{matrix}A▷x◁ & D x^{3} − x^{2} C 4x^{2} − 4 \\ D x^{2}▷x − 1◁ C 4▷x^{2} − 1◁ \\ D x^{2}▷x − 1◁ C 4▷x C 1◁▷x − 1◁ \\ D ▷x − 1◁Tx^{2} C 4▷x C 1◁U \\ D ▷x − 1◁▷x^{2} C 4x C 4◁ \\ D ▷x − 1◁▷x C 2◁^{2}. \end{matrix}

2 Factorisons le numérateur :

▷x − 1◁^{2} − 2x C 2 D ▷x − 1◁^{2} − 2▷x − 1◁
D ▷x − 1◁▷x − 1 − 2◁
D ▷x − 1◁▷x − 3◁.

L’inéquation devient donc :

\frac{▷x − 1◁▷x − 3◁}{▷x − 1◁▷x C 2◁^{2}} ⩾ 0.

L’inéquation est définie seulement sur ℝ − {−2 I 1} (à cause du dénominateur). Maintenant que nous avons éliminé 1, nous pouvons simplifier la fraction :

\frac{x − 3}{▷x C 2◁^{2}} ⩾ 0.

Le dénominateur étant toujours strictement positif pour tout x de ℝ − {−2 I 1}, on se ramène à x − 3 ⩾ 0, donc x ⩾ 3. Un coup d’œil suffit à vérifier que les valeurs interdites ne posent pas de problème :

S D [3 I C∞[ .

Trouver la bonne expression — v. 1.0 9 juin 2025 — Chapitre 3 page 115 — #125

CALCUL LITTÉRAL, ÉQUATIONS ET INÉQUATIONS CHAP. 3_{115} CORRIGÉS INTERROS COURS

31Un calcul astucieux_{Lycée Hoche, Versailles} {Énoncé \atop p. 84}

1 On développe :

▷3x C \sqrt{2}◁^{3}D ▷3x C \sqrt{2}◁^{2} × ▷3x C \sqrt{2}◁

D ▷9x^{2} C 6x\sqrt{2} C 2◁ × ▷3x C \sqrt{2}◁

D 27x^{3} C 9x^{2}\sqrt{2} C 18x^{2}\sqrt{2} C 12x C 6x C 2\sqrt{2}

D 27x^{3} C 27x^{2}\sqrt{2} C 18x C 2\sqrt{2}.

2 Posons N D 875 683. On doit calculer X D N^{2} − ▷N C 1◁▷N − 1◁, ce qui donne facilement :

X D N^{2} − ▷N^{2} − 1◁ D 1.

3 Le facteur commun ▷2x − 3◁ apparaît dans E :

E D ▷2x − 3◁^{2} C ▷3 − 2x◁▷x − 1◁ − 6 C 4x

D ▷2x − 3◁^{2} − ▷2x − 3◁▷x − 1◁ C 2▷2x − 3◁ D ▷2x − 3◁T▷2x − 3◁ − ▷x − 1◁ C 2U D ▷2x − 3◁▷2x − 3 − x C 1 C 2◁ D ▷2x − 3◁x.

F est la différence de deux carrés :

F D ▷a C 2◁^{2} − 4▷5a − 3◁^{2}

D ▷a C 2◁^{2} − T2▷5a − 3◁U^{2} D T▷a C 2◁ − 2▷5a − 3◁UT▷a C 2◁ C 2▷5a − 3◁U D ▷−9a C 8◁▷11a − 4◁.

G est également la différence de deux carrés :

G D a^{4} − 1 D ▷a^{2} − 1◁▷a^{2} C 1◁ D ▷a − 1◁▷a C 1◁▷a^{2} C 1◁.

32Trouver la bonne expression_{Lycée Pasteur, Neuilly-sur-Seine} {Énoncé \atop p. 84}
1 \begin{aligned}f ▷x◁ & D ▷2x − 3◁^{2} C ▷x − 1◁▷3 − 2x◁ \\ & D [▷2x◁^{2} − 2 × 3 × 2x C 3^{2}] C [3x − 2x^{2} − 3 C 2x] \\ & D 4x^{2} − 12x C 9 C 3x − 2x^{2} − 3 C 2x \\ & D 2x^{2} − 7x C 6. \end{aligned}

2 \begin{aligned}f ▷x◁ & D ▷2x − 3◁^{2} C ▷x − 1◁▷3 − 2x◁ \\ & D ▷2x − 3◁▷2x − 3◁ − ▷2x − 3◁▷x − 1◁ \\ & D ▷2x − 3◁▷2x − 3 − x C 1◁ \\ & D ▷2x − 3◁▷x − 2◁. \end{aligned}

Inéquations — v. 1.0 9 juin 2025 — Chapitre 3 page 116 — #126

CORRIGÉS_{116}

3 (a) Pour résoudre l’équation f ▷x◁ D 6, il faut prendre la forme déve-

loppée de f ▷x◁ :

f ▷x◁ D 6 ⟺ 2x^{2} − 7x C 6 D 6

⟺ 2x^{2} − 7x D 0 ⟺ x▷2x − 7◁ D 0 ⟺ x D 0 ou 2x − 7 D 0

⟺ x D 0 ou x D \frac{7}{2}.

L’ensemble solution de l’équation f ▷x◁ D 6 est donc :

S D \{0I \frac{7}{2}\} .

(b) Pour résoudre l’équation f ▷x◁ D 0, il faut prendre la forme factori-

sée de f ▷x◁ :

f ▷x◁ D 0 ⟺ ▷2x − 3◁▷x − 2◁ D 0

⟺ 2x − 3 D 0 ou x − 2 D 0

⟺ x D \frac{3}{2} ou x D 2.

L’ensemble solution de l’équation f ▷x◁ D 0 est donc :

S D \{ \frac{3}{2}I 2\} .

4 Pour calculer f (2 C \sqrt{2}), nous pouvons prendre l’expression de f ▷x◁ que l’on veut. Prenons par exemple la forme développée, qui semble peut-être plus appropriée pour un calcul avec radical :

f (2 C \sqrt{2}) D 2(2 C \sqrt{2})^{2} − 7(2 C \sqrt{2}) C 6
D 2▷4 C 4\sqrt{2} C 2◁ − 14 − 7\sqrt{2} C 6
D 12 C 8\sqrt{2} − 14 − 7\sqrt{2} C 6
D 4 C \sqrt{2}.

33Inéquations_{Lycée Murat, Issoire} {Énoncé \atop p. 84}

1 f ▷x◁ D x^{2} C 2x\sqrt{3} C 3 − 5 D x^{2} C 2x\sqrt{3} − 2. 2 On reconnaît une expression du type A^{2} − B^{2} :

f ▷x◁ D ▷x C \sqrt{3} C \sqrt{5}◁▷x C \sqrt{3} − \sqrt{5}◁.

3 On utilise la forme développée pour calculer :

f ▷\sqrt{2}◁ D 2 C 2\sqrt{6} − 2 D 2\sqrt{6}.
f ▷0◁ D −2.

Traduction en valeurs absolues — v. 1.0 9 juin 2025 — Chapitre 3 page 117 — #127 CALCUL LITTÉRAL, ÉQUATIONS ET INÉQUATIONS CHAP. 3_{117} CORRIGÉS INTERROS COURS

La forme factorisée est plus adaptée pour calculer :

f ▷\sqrt{5} − \sqrt{3}◁ D ▷\sqrt{5} − \sqrt{3} C \sqrt{3} C \sqrt{5}◁▷\sqrt{5} − \sqrt{3} C \sqrt{3} − \sqrt{5}◁ D 0.

Enfin, la forme de l’énoncé permet de voir facilement :

f ▷−\sqrt{3}◁ D −5.

4 On doit résoudre :

▷x C \sqrt{3} C \sqrt{5}◁▷x C \sqrt{3} − \sqrt{5}◁ D 0.

Un produit s’annule lorsqu’au moins l’un de ses facteurs est nul, d’où deux solutions :

S D \{\sqrt{5} − \sqrt{3} I −\sqrt{5} − \sqrt{3}\}.

5 On se sert de l’étude précédente pour dresser un tableau de signes. On note au passage que −\sqrt{5} − \sqrt{3} < \sqrt{5} − \sqrt{3} (car −\sqrt{5} < \sqrt{5}).

x  −∞  −\sqrt{5} − \sqrt{3}  \sqrt{5} − \sqrt{3}  C∞
x C \sqrt{3} C \sqrt{5}  −  0  C  C
x C \sqrt{3} − \sqrt{5}  −  −  0  C
f ▷x◁  C  0  −  0  C

D’après le tableau :

S DU − ∞ I −\sqrt{5} − \sqrt{3}U ∪ T\sqrt{5} − \sqrt{3} I C∞T.

6 L’inéquation ▷x C \sqrt{3}◁^{2} − 5 ⩽ −5 s’écrit :

▷x C \sqrt{3}◁^{2} ⩽ 0.

Le carré d’un réel est toujours positif ou nul. On ne peut avoir ▷x C\sqrt{3}◁^{2} ⩽ 0 qu’à la seule condition : ▷x C\sqrt{3}◁^{2} D 0. D’où une solution unique :

S D \{−\sqrt{3}\} .

7 S’il y avait une solution x, on aurait ▷x C \sqrt{3}◁^{2} ⩽ −1, ce qui est impossible (car un carré est toujours positif). D’où S D ∅.

34Traduction en valeurs absolues_{Lycée Loquidy, Nantes} {Énoncé \atop p. 85}

1 La distance de x à −3 est strictement supérieure à 7 ⟺ | x C 3 | > 7 .

2 x ∈ T−8I −4U ⟺ | x C 6 | ⩽ 2 (explications page suivante).

Points et distance — v. 1.0 9 juin 2025 — Chapitre 3 page 118 — #128 CORRIGÉS_{118}

Pour compléter ici, nous avons avant tout trouvé le milieu de l’intervalle

T−8I −4U en effectuant le calcul : \frac{−8 − 4}{2} D −6, puis nous avons calculé la distance entre −6 et −4 (par exemple) en effectuant l’opération : −4 − ▷−6◁◁ D 2.

3 x ∈U − ∞I −7U ∪ T5I C∞T ⟺ | x C 1 | ⩾ 6.

Pour compléter ici, nous avons avant tout trouvé le milieu de l’intervalle

T−7I 5U en effectuant le calcul : \frac{−7 C 5}{2} D −1, puis nous avons calculé la distance entre −1 et 5 (par exemple) en effectuant l’opération : 5 − ▷−1◁ D 6.

4 x ∈ E ⟺ |x − \sqrt{8} | ⩽ 0,1.

En effet, si x appartient à l’ensemble des valeurs approchées de \sqrt{8} à 10^{−1} près, alors la distance qui sépare x de \sqrt{8} est nécessairement plus petite que 10^{−1} , soit 0,1.

35Équations et inéquations_{Lycée Loquidy, Nantes} {Énoncé \atop p. 85}

1 | x − 2 | D 7.

Pour résoudre cette équation, on interprète la valeur absolue comme la distance de 2 à x. Ainsi, la distance de 2 à x doit être égale à 7, ce qui signifie :

x D 2 − 7 D −5 ou x D 2 C 7 D 9.

L’ensemble des solutions de l’équation | x − 2 | D 7 est donc : S D {−5I 9}

2 \begin{aligned}| − x − π | D 3π & ⟺ | − ▷x C π◁ | D 3π \\ & ⟺ | x C π | D 3π \\ & ⟺ | x − ▷−π◁ | D 3π \\ & ⟺ ( \begin{matrix}x D −π − 3π D −4π \\ ou \\ x D −π C 3π D 2π. \end{matrix} \end{aligned}

Ainsi, l’ensemble des solutions de l’équation | − x − π | D 3π est : S D {−4πI 2π}.

3 | x −π | < 0,001 ⟺ x ∈ Uπ −0,001I π C0,001T, donc l’ensemble

des solutions de cette inéquation est :

S DUπ − 0,001I π C 0,001T.

4 | x C π | ⩾ 1 ⟺ x ⩽ −π − 1 ou x ⩾ −π C 1. L’ensemble des

solutions de cette inéquation est donc :

S DU − ∞I −π − 1U ∪ T−π C 1I C∞T.

IL2M — v. 1.0 9 juin 2025 — Chapitre 3 page 119 — #129 CALCUL LITTÉRAL, ÉQUATIONS ET INÉQUATIONS CHAP. 3_{119} CORRIGÉS INTERROS COURS
36Points et distance_{Lycée Notre-Dame, Boulogne} {Énoncé \atop p. 85}

1 | x C 3 | D | x − ▷−3◁ | , donc | x − 3 | représente la distance entre M et A. De même, | x − 1 | représente la distance entre M et B.

2 De la question précédente, nous pouvons dire que l’égalité | x C 3 | D | x − 1 | signifie que MA D MB et donc que M est le milieu de TABU. Son abscisse x est donc le centre de l’intervalle T−3I 1U. Ainsi,

x D \frac{−3 C 1}{2} D −1.

37Diverses questions_{Lycée Notre-Dame, Boulogne} {Énoncé \atop p. 85}

1 Écrire le nombre | 3π − 12 | sans valeurs absolues.

On cherche pour cela le signe de 3π − 12 : on sait que 3 < π < 4 donc 9 < 3π < 12. Ainsi, 3π − 12 < 0. On en conclut alors que :

| 3π − 12 | D −▷3π − 12◁ D 12 − 3π.

2 Sur une droite graduée, M et N sont les points d’abscisses respectives −4 et −2,5. Quelle est la distance MN? Convenons de noter x_{M} et x_{N} les abscisses respectives des points M et N. On a x_{N} > x_{M}. Pour déterminer la distance MN, on effectue le calcul :

MN D x_{N} − x_{M} D −2,5 − ▷−4◁ D −2,5 C 4 D 1,5.

À RETENIR

Quels que soient les points A et B sur l’axe gradué,

d▷A,B◁ D | x_{A} − x_{B} | D | x_{B} − x_{A} | .

3 Le tableau complété est le suivant :

Intervalle Encadrement Centre Rayon

Valeur absolue

x ∈U0I 10T  0 < x < 10  5  5  | x − 5 | < 5
x ∈ [−\frac{1}{2}I \frac{3}{4}]  −\frac{1}{2} ⩽ x ⩽ \frac{3}{4}  \frac{1}{8}  \frac{5}{8}  |x − \frac{1}{8}| ⩽ \frac{5}{8}
x ∈U − 0,53I −0,51T −0,53 < x < −0,51  −0,52  0,01 | x C 0,52 | < 10^{−2}

IL2M — v. 1.0 9 juin 2025 — Chapitre 3 page 120 — #130

Configurations du plan

Plan du chapitre

1. Le triangle

2. Projections et symétries

3. Le cercle

4. Trigonométrie

Soit C un cercle de diamètre TABU, de centre O et C un point de C distinct de A et B. Soit I le milieu de TBCU et J celui de TOAU. La droite ▷CJ ◁ coupe ▷OI◁ en K. 1 Montrer que ▷OI◁ et ▷BC◁ sont perpendiculaires. Que dire de BCK? 2 Montrer que COKA est un parallélogramme. 3 Montrer que O est le centre de gravité de BCK.

Exercice type

Lycée Janson de Sailly, Paris

Voir corrigé page 131

1 Le triangle

Dans un triangle (non aplati), nous avons les propriétés suivantes : Les trois hauteurs sont concourantes. Le point de concours H s’appelle l’orthocentre du triangle.

IL2M — v. 1.0 9 juin 2025 — Chapitre 4 page 122 — #132 COURS_{122}

Les trois médiatrices des côtés sont concourantes. Le point de concours O est le centre du cercle circonscrit du triangle.

Les trois médianes sont concourantes. Le point de concours G est le centre de gravité (situé aux deux-tiers de chaque médiane en partant du sommet).

Si une droite passe par les milieux de deux côtés alors elle est parallèle au troisième côté.

Si une droite passe par le milieu d’un côté et est parallèle à un deuxième côté alors elle passe par le milieu du troisième côté.

Si I est le milieu de TABU et si ▷IJ ◁ // ▷AC◁, alors J est le milieu de TBCU.

IL2M — v. 1.0 9 juin 2025 — Chapitre 4 page 123 — #133 CONFIGURATIONS DU PLAN CHAP. 4_{123} CORRIGÉS INTERROS COURS

1.1 Le triangle rectangle

Dans un triangle rectangle, l’hypoténuse est un diamètre du cercle circonscrit.

(Réciproque) Si B appartient au cercle de diamètre TACU, alors le triangle ABC est rectangle en B.

1.2 Le théorème de Thalès

Soient D_{1} et D_{2} deux droites sécantes en O. Soient deux droites parallèles ne passant pas par O qui coupent D_{1} respectivement en A_{1} et B_{1}, et D_{2} respectivement en A_{2} et B_{2}. On a deux configurations possibles :

Alors :

\frac{OA_{2}}{OB_{2}} D \frac{OA_{1}}{OB_{1}} D \frac{A_{1}A_{2}}{B_{1}B_{2}}.

Remarque : ne cherchez pas à apprendre ces formules par cœur. Vous risquez la catastrophe si les noms des points ne sont pas les mêmes dans votre énoncé. Faites plutôt une figure, remarquez bien quels sont les triangles semblables, quelles sont les longueurs proportionnelles, quels sont les angles égaux, et n’oubliez pas de citer le nom de Thalès.

IL2M — v. 1.0 9 juin 2025 — Chapitre 4 page 124 — #134 COURS_{124}

1.3 La réciproque du théorème de Thalès

Théorème 1

Si D_{1} et D_{2} sont deux droites sécantes en O. A_{1} et B_{1} deux points de D_{1}, distincts de O. A_{2} et B_{2} deux points de D_{2}, distincts de O. Si

\frac{OA_{2}}{OB_{2}} D \frac{OA_{1}}{OB_{1}}

et si les points O, A_{1}, B_{1} et les points O, A_{2}, B_{2} sont alignés dans le même ordre, alors les droites ▷A_{1}A_{2}◁ et ▷B_{1}B_{2}◁ sont parallèles.

Remarque : on est alors dans une des deux configurations de Thalès. On peut en déduire :

\frac{OA_{2}}{OB_{2}} D \frac{OA_{1}}{OB_{1}} D \frac{A_{1}A_{2}}{B_{1}B_{2}}.

2 Projections et symétries

2.1 Projection orthogonale

Définition 1

Soient D une droite et M un point du plan, il existe une unique droite D′passant par M et perpendiculaire à D. La droite D′coupe D au point H. Le point H est le projeté orthogonal de M sur la droite D.

IL2M — v. 1.0 9 juin 2025 — Chapitre 4 page 125 — #135 CONFIGURATIONS DU PLAN CHAP. 4_{125} CORRIGÉS INTERROS COURS

Par exemple, dans un triangle, les « pieds » des hauteurs sont les projetés orthogonaux de chaque sommet sur le côté opposé :

Si A est un point de D, alors le triangle AHM est rectangle en H. D’après le théorème de Pythagore,

AM^{2} D AH^{2} C HM^{2}.

Comme AH^{2} ⩾ 0, on constate que :

AM^{2} ⩾ HM^{2}, donc AM ⩾ HM : la distance entre M et un point de D est toujours supérieure ou égale à HM;

AM D HM si et seulement si AH^{2} D AM^{2}−HM^{2} D 0, c’est-à-dire AH D 0, et donc A D H.

On peut ainsi caractériser le projeté orthogonal par la distance au point M :

Propriété 1

Le projeté orthogonal H de M sur D est le point de D qui est le plus proche de M.

2.2 Symétrie orthogonale d’axe 1

Définition 2

On considère deux points distincts A et A′et une droite ▷1◁. On dit que les points A et A′sont symétriques par rapport à ▷1◁ si ▷1◁ est la médiatrice du segment TAA′U.

Dans le cas où les points A et A′sont confondus, A et A′sont symétriques par rapport à toute droite passant par A.

Propriétés 2

Dans une symétrie d’axe 1,

la droite 1 est invariante point par point;

toute droite perpendiculaire à 1 est globalement invariante;

les images de deux droites parallèles sont deux droites parallèles.

Remarque : ne pas confondre la propriété : « les images de deux droites parallèles sont deux droites parallèles » (valable pour toutes les transformations que vous connaissez) et : « l’image d’une droite est une droite parallèle » (ce qui n’est vrai, sauf cas particuliers, que pour les symétries centrales et les translations). Dans le cas d’une symétrie d’axe 1, par exemple, si D_{1} et D_{2} sont deux droites parallèles, que D′_{1} est l’image de D_{1} et D′_{2} l’image de D_{2}, alors D′_{1} // D′_{2}. Pourtant, comme on peut le voir sur la figure, il n’y a pas de raison que D_{1} et D′_{1} soient parallèles.

IL2M — v. 1.0 9 juin 2025 — Chapitre 4 page 127 — #137 CONFIGURATIONS DU PLAN CHAP. 4_{127} CORRIGÉS INTERROS COURS

2.3 Symétrie de centre O

Définition 3

On considère deux points distincts A et A′et un troisième point O. A′est le symétrique de A par rapport à O si O est le milieu de TAA′U. Si A et A′sont confondus, ils sont symétriques par rapport à A lui-même.

Propriétés 3

Dans une symétrie centrale, les angles sont conservés; l’image d’une droite est une droite parallèle; le centre de symétrie est l’unique point invariant; les droites qui passent par le centre de symétrie sont globalement invariantes.

2.4 Propriétés communes aux symétries

Les symétries orthogonales (ou axiales) et les symétries centrales vérifient les propriétés suivantes (A′, B′, C′désignent les images des points A, B et C).

Des points alignés ont pour images des points alignés. L’image de la droite ▷AB◁ est la droite ▷A′B′◁. L’image du segment TABU est le segment TA′B′U. Conservation des distances : AB D A′B′. L’image du milieu de TABU est le milieu de TA′B′U. L’image d’un cercle de centre A est le cercle de centre A′, de même rayon (vient de la conservation des distances).

IL2M — v. 1.0 9 juin 2025 — Chapitre 4 page 128 — #138 COURS_{128}

Conservation du parallélisme : les images de deux droites parallèles sont deux droites parallèles.

Conservation des angles : { \atop ABC} D { \atop A′B′C′}. Conservation de l’orthogonalité : les images de deux droites perpendiculaires sont deux droites perpendiculaires (vient de la conservation des angles).

Remarque : un point invariant est un point qui est sa propre image (la transformation ne le change pas, ne le fait pas « varier »). Si une droite a pour image elle-même, on dit qu’elle est globalement invariante. Si de plus tous ses points sont invariants, on dit que la droite est invariante point par point.

3 Le cercle

Définition 4

Le cercle de centre O et de rayon r est l’ensemble des points M tels que :

OM D r.

Remarque : on dit que tous les points d’un cercle sont équidistants de son centre.

Définition 5 : tangente à un cercle

Soit C un cercle de centre O, et soit A un point appartenant à C. On appelle tangente à C au point A l’unique droite dont l’intersection avec C est le point A.

Propriété 4

Soit C un cercle de centre O. Soient A un point de C et T_{A} la tangente à C au point A. Alors, ▷OA◁ est perpendiculaire à T_{A}.

IL2M — v. 1.0 9 juin 2025 — Chapitre 4 page 129 — #139 CONFIGURATIONS DU PLAN CHAP. 4_{129} CORRIGÉS INTERROS COURS

Le point A est ici le projeté orthogonal du centre O sur la tangente. Inversement, si on projette orthogonalement un point O sur une droite D au point A, le cercle de centre O et passant par A est alors tangent à la droite D au point A.

4 Trigonométrie

4.1 Formule fondamentale

On considère dans un triangle rectangle, un angle θ autre que l’angle droit.

Le cosinus, le sinus et la tangente de θ sont donnés par :

cosθ D \frac{côté adjacent}{hypoténuse}, sinθ D \frac{côté opposé}{hypoténuse} et tanθ D \frac{sinθ}{cosθ} D \frac{côté opposé}{côté adjacent}.

Notons que cosθ et sinθ sont des éléments de U0,1T, car l’hypoténuse est le plus grand des trois côtés. En revanche, tanθ peut prendre n’importe quelle valeur strictement positive. On peut exprimer les longueurs des côtés à partir de l’hypoténuse : AB D BC cos▷θ◁ et AC D BC sin▷θ◁. Or d’après le d’après le théorème de Pythagore, AB^{2} C AC^{2} D BC^{2}, c’est-à-dire BC^{2}▷cosθ◁^{2}CBC^{2}▷sinθ◁^{2} D BC^{2}. En simplifiant par BC, on obtient la relation fondamentale :

▷cosθ◁^{2} C ▷sinθ◁^{2} D 1.

Supposons, par exemple, qu’on connaisse sinθ D \frac{1}{3}.

À l’aide de la formule ▷cosθ◁^{2} C ▷sinθ◁^{2} D 1, on peut retrouver :

▷cosθ◁^{2} D 1 − ▷sinθ◁^{2} D 1 − \frac{1}{9} D \frac{8}{9},

donc cosθ D \frac{2\sqrt{2}}{3} (car cosθ ⩾ 0) et tanθ D \frac{1}{2\sqrt{2}} D \frac{\sqrt{2}}{4}.

IL2M — v. 1.0 9 juin 2025 — Chapitre 4 page 130 — #140 COURS_{130}

4.2 Quelques valeurs exactes

Angle de 45^{∘} : on considère un triangle ABC rectangle en A et isocèle tel que :

AB D AC D 1.

Alors O BD O CD 45^{∘}.

D’après le théorème de Pythagore :

BC^{2} D AB^{2} C AC^{2} D 2,

donc BC D \sqrt{2}.

Il vient :

cos O BD \frac{AB}{BC} D \frac{1}{\sqrt{2}}

et

sin O BD \frac{AC}{BC} D \frac{1}{\sqrt{2}}.

On en déduit que cos45^{∘} D sin45^{∘} D \frac{1}{\sqrt{2}} D \frac{\sqrt{2}}{2}.

Angles de 30^{∘} et 60^{∘} : on considère un triangle ABC équilatéral de côté 1 et H le milieu de TBCU. Vous savez que, comme ABC est équilatéral, ▷AH◁ est également la hauteur issue de A, la médiatrice de TBCU, et la bissectrice de { \atop BAC}. En particulier :

{ \atop HAB} D \frac{1}{2}{ \atop CAB} D \frac{60}{2} D 30^{∘}
{ \atop ABH} D { \atop ABC} D 60^{∘}.

En appliquant le théorème de Pythagore au triangle ABH, rectangle en H, il vient :

BA^{2} D BH^{2}CAH^{2} ⟺ 1 D \frac{1}{4}CAH^{2} ⟺ \frac{3}{4} D AH^{2} ⟺ \frac{\sqrt{3}}{2} D AH.

IL2M — v. 1.0 9 juin 2025 — Chapitre 4 page 131 — #141 CONFIGURATIONS DU PLAN CHAP. 4_{131} CORRIGÉS INTERROS COURS

Dans ce même triangle ABH, on a :

cos60^{∘} D cos O BD \frac{BH}{AB} D \frac{1}{2}
sin60^{∘} D sin O BD \frac{AH}{AB} D \frac{\sqrt{3}}{2}
cos30^{∘} D cos O AD \frac{AH}{AB} D \frac{\sqrt{3}}{2}
sin30^{∘} D sin O AD \frac{BH}{AB} D \frac{1}{2}

1 Dans le triangle ABC, IB D IC et OB D OC donc ▷IO◁ est la médiatrice de TBCU. Ainsi, ▷IO◁ est perpendiculaire à ▷BC◁. K appartenant à la médiatrice de TBCU, on a KB D KC et donc BCK est isocèle en K.

2 Les droites ▷OI◁ et ▷AC◁ sont parallèles, donc les triangles ACJ et OJ K sont en configuration de Thalès. Il vient :

\frac{J K}{J C} D \frac{J O}{J A} D 1

(car J O D J A), donc J K D J C et J est le milieu de TCKU.

…

Solution de l’exercice type

Lycée Janson de Sailly, Paris

Les diagonales de COKA se coupent en leur milieu J donc COKA est un parallélogramme. Autre méthode : Dans le triangle ABC, ▷OI◁ joint le milieu O de TABU et le milieu I de TBCU, donc ▷OI◁ // ▷AC◁. De là, la translation qui transforme C en A transforme O en un point M qui est aligné d’une part avec O et I, et de l’autre aligné avec J et C (car J est le milieu de TOAU) et donc de TCMU. On en déduit que M et K sont confondus.

3 J est le milieu de TCKU, donc ▷BJ ◁ est une médiane de BCK. I est le milieu de TBCU donc ▷IK◁ est une autre médiane de BCK. Ces deux médianes se coupent en O, donc O est le centre de gravité de BCK (intersection des médianes).

Solution de l’exercice type (suite)

Lycée Janson de Sailly, Paris Voir énoncé page 121

IL2M — v. 1.0 9 juin 2025 — Chapitre 4 page 133 — #143 CONFIGURATIONS DU PLAN CHAP. 4_{133} CORRIGÉS INTERROS COURS
1_{QCM} Projeté orthogonal Corrigé p. 139 2 min

1 Si EF G est un triangle rectangle en F alors :

a E est le projeté orthogonal de F sur ▷EG◁. b E est le projeté orthogonal de G sur ▷EF ◁. c F est le projeté orthogonal de G sur ▷EF ◁. d G est le projeté orthogonal de F sur ▷EG◁.

2 Si ABCD est un rectangle de centre O tel que BD D 10 cm et AB D 8 cm alors la distance entre O et TABU vaut :

a 5 cm  b 4 cm  c 3 cm  d 1 cm

3 Si ABC est un triangle isocèle en B alors :

a le milieu de TBCU est le projeté orthogonal de A sur TBCU. b le milieu de TACU est le projeté orthogonal de B sur TACU. c le milieu de TABU est le projeté orthogonal de C sur TABU.

2_{V/F} Propriétés du triangle Corrigé p. 139 5 min

Indiquer si les propositions suivantes sont vraies ou fausses. Dans un triangle :

a Le centre de gravité est l’intersection des médiatrices.
b L’orthocentre est l’intersection des hauteurs.
c Si l’un des côtés est le diamètre d’un cercle, alors le triangle est rectangle.
3_{V/F} Propriétés du cercle Corrigé p. 139 5 min

Indiquer si les propositions suivantes sont vraies ou fausses. Soit C un cercle de centre O. A et B sont deux points de C.

a Le triangle OAB est équilatéral.

b Si A et B sont diamétralement opposés alors les tangentes à C en A et B sont parallèles.

4Nature d’un triangle_{Lycée Fernand Daguin, Mérignac} Corrigé ; p. 139 ; 5 min ; ⋆

Les côtés d’un triangle IJ K ont pour longueurs IJ D 3 C 2\sqrt{5}, J K D \sqrt{78} et IK D 3\sqrt{5} − 2. Quelle est la nature du triangle IJ K?

IL2M — v. 1.0 9 juin 2025 — Chapitre 4 page 134 — #144 INTERROS_{134}
5Trouver un sinus et un angle_{Lycée Pierre Caraminot, Egletons} Corrigé ; p. 140 ; 5 min ; ⋆

Soit α la mesure d’un angle aigu telle que cosα D \frac{\sqrt{5}}{3}.

1 Calculer la valeur exacte de sinα. 2 Donner la valeur approchée de α arrondie au degré près.

6Démontrer la perpendicularité_{Lycée Romain Rolland, Ivry-sur-Seine} Corrigé ; p. 140 ; 10 min ; ⋆

BAC est un triangle rectangle en A. H est le projeté orthogonal de A sur TBCU. I est un point de TAHU. La droite parallèle à ▷AB◁ passant par I coupe ▷BC◁ en J et ▷AC◁ en K. Démontrer que ▷CI◁ est perpendiculaire à ▷AJ ◁.

7Dans l’espace_{Lycée Pierre Caraminot, Egletons} Corrigé ; p. 141 ; 10 min ; ⋆ ; ⋆

ST UABC est un prisme droit et SABC est une pyramide à base triangulaire. La base ABC est un triangle rectangle en A. On donne, en centimètres, les longueurs suivantes :

AC D 4 I AB D 7,5 I SB D 10.

1 Calculer une valeur arrondie au mm près de la longueur AS. 2 Calculer la mesure arrondie au degré près de l’angle { \atop ABC}. 3 Soit I le projeté orthogonal de A sur ▷BC◁.

Calculer une valeur arrondie de la longueur AI au mm près.

IL2M — v. 1.0 9 juin 2025 — Chapitre 4 page 135 — #145 CONFIGURATIONS DU PLAN CHAP. 4_{135} CORRIGÉS INTERROS COURS
8Théorème de Thalès_{Lycée Kléber, Strasbourg} Corrigé ; p. 142 ; 15 min ; ⋆ ; ⋆

ABCD est un trapèze avec ▷AB◁ // ▷CD◁. Par E, intersection des diagonales ▷AC◁ et ▷BD◁, on mène 1, parallèle à ▷AD◁ et qui coupe TDCU en F, ainsi que 1′, parallèle à ▷BC◁ et qui coupe TDCU en G. 1 Faire une figure.

2 Montrer que GC D DF.

9À l’intérieur d’un cercle_{Lycée Français, Bruxelles} Corrigé ; p. 143 ; 15 min ; ⋆ ; ⋆

Soit C un cercle de centre O, de rayon R, et TABU un diamètre. Soit M un point de C, distinct de A et B, m le milieu de TAMU et N le symétrique de m par rapport à O. 1 Montrer que m appartient au cercle de diamètre TAOU.

2 Montrer que N appartient au cercle de diamètre TBOU.

10Avec deux cercles_{Lycée Louis-le-Grand, Paris} Corrigé ; p. 143 ; 15 min ; ⋆ ; ⋆

Deux cercles C et C′sont sécants en A et B. Soient P et Q les points diamétralement opposés à A sur chacun des cercles. Faire une figure et montrer que P, B et Q sont alignés.

11Aire de rectangles_{Lycée Chateaubriand, Rennes} Corrigé ; p. 144 ; 15 min ; ⋆ ; ⋆

Un triangle ABC de hauteur TAHU est tel que AB D 5, BC D 8, et AH D 4 (unité : le cm). Construire ce triangle. Par un point K de TAHU, on mène la parallèle à ▷BC◁. Elle coupe TABU en M et TACU en N. P et Q sont les projetés orthogonaux de M et N sur ▷BC◁. On note AK D x. 1 Calculer en fonction de x l’aire a▷x◁ du rectangle MNQP.

2 Pour quelle valeur de x ce rectangle a-t-il une aire maximale? Quel est ce maximum?

IL2M — v. 1.0 9 juin 2025 — Chapitre 4 page 136 — #146 INTERROS_{136}
12À la recherche d’une aire_{Lycée Camille Jullian, Bordeaux} Corrigé ; p. 145 ; 15 min ; ⋆ ; ⋆

Soient C_{A} et C_{B} deux cercles de centres respectifs A et B et de rayon 3 cm tels que C_{A} passe par B et C_{B} par A.

On note C et D les points d’intersection de ces deux cercles et E l’intersection de ▷CD◁ et ▷AB◁.

On souhaite calculer l’aire du domaine coloré.

1 Montrer que le domaine coloré est symétrique par rapport à E.

2 En vous aidant de la nature du triangle ABD, déterminer son aire.

3 Calculer l’aire exacte, en cm^{2}, du secteur angulaire { \atop ABD} à l’intérieur

de C_{A}. 4 En déduire l’aire exacte du domaine coloré, puis en donner une valeur

approchée au dixième.

13Aire d’un triangle_{Lycée Raspail, Paris} Corrigé ; p. 146 ; 20 min ; ⋆ ; ⋆

Soit ABC un triangle rectangle en A. Soit M un point de TABU. La parallèle à ▷AC◁ passant par M coupe TBCU en N ; la parallèle à ▷AB◁ passant par N coupe TACU en P. On note A l’aire du triangle ABC.

1 Montrer que AP NM est un rectangle.

2 On pose x D \frac{AM}{AB}. Donner l’aire de P NC en fonction de x et A.

3 Donner l’aire de MBN en fonction de x et A.

4 Exprimer l’aire du rectangle AMNP en fonction de x et A.

5 Résoudre l’inéquation 2x▷1 − x◁ ⩾ \frac{1}{2} et montrer que l’aire du rectangle est maximum quand M est le milieu de TABU.

IL2M — v. 1.0 9 juin 2025 — Chapitre 4 page 137 — #147 CONFIGURATIONS DU PLAN CHAP. 4_{137} CORRIGÉS INTERROS COURS
14Thalès et Pythagore_{Lycée Pasteur, Strasbourg} Corrigé ; p. 148 ; 20 min ; ⋆ ; ⋆

Les points A, B, C et D sont alignés, dans cet ordre, de sorte que AB D BC D CD D 4 cm. On note ▷C_{1}◁, ▷C_{2}◁, ▷C_{3}◁ les cercles de diamètres TABU, TBCU, TCDU et O_{1}, O_{2} et O_{3} leurs centres respectifs. Soit ▷C_{4}◁ le cercle de diamètre TAO_{3}U et T un des points d’intersection des cercles ▷C_{3}◁ et ▷C_{4}◁. 1 Faire une figure.

2 Prouver que la droite ▷AT ◁ est tangente au cercle ▷C_{3}◁.

3 La droite ▷AT ◁ coupe le cercle ▷C_{2}◁ en P et Q. Soit I le milieu du segment TP QU.

(a) Montrer que les droites ▷O_{2}I◁ et ▷AT ◁ sont perpendiculaires.

(b) Calculer la longueur O_{2}I.

(c) En déduire la longueur P Q.

15Théorème de Thalès_{Lycée Blaise Pascal, Clermont-Ferrand} Corrigé ; p. 149 ; 15 min ; ⋆ ; ⋆ ; ⋆

Soit ABC un triangle, I le milieu de TBCU. Une droite 1 parallèle à ▷AI◁ coupe ▷BC◁, ▷CA◁ et ▷AB◁, respectivement en A′, B′et C′. Montrer que :

\frac{AC}{AB} D \frac{AB′}{AC′}.

16Une formule avec des sinus_{Lycée Henri IV, Paris} Corrigé ; p. 151 ; 15 min ; ⋆ ; ⋆ ; ⋆

Un triangle ABC est tel que la hauteur issue de A a une longueur qui est la somme des longueurs des deux autres hauteurs. Montrer :

\frac{1}{sin Â} D \frac{1}{sin B̂} C \frac{1}{sin Ĉ}.

17Théorème de Thalès_{Lycée Pasteur, Neuilly-sur-Seine} Corrigé ; p. 151 ; 15 min ; ⋆ ; ⋆ ; ⋆

On considère la figure cicontre, où ▷CC′′◁ et 1 sont parallèles. ABC est un triangle quelconque, et 1 est une transversale quelconque. Montrer que :

\frac{A′B}{A′C} × \frac{B′C}{B′A} × \frac{C′A}{C′B} D 1.

IL2M — v. 1.0 9 juin 2025 — Chapitre 4 page 138 — #148 INTERROS_{138}
18Étude d’une configuration_{Lycée Pierre de Fermat, Toulouse} Corrigé ; p. 153 ; 15 min ; ⋆ ; ⋆ ; ⋆

A, B, C sont trois points sur un cercle de centre O. D est le point diamétralement opposé à A sur le cercle. I est le milieu de TBCU et TAMU, TBNU, TCP U les trois hauteurs du triangle ABC. H est l’orthocentre de ABC et ▷AM◁ recoupe le cercle en H′. 1 Justifier que { \atop ABD}, { \atop AH′D}, { \atop ACD} sont trois angles droits. 2 Montrer que BDCH est un parallélogramme et que I est le milieu de

TDHU. 3 Montrer que M est le milieu de THH′U.

19Jouer au géomètre_{Lycée Jacques Decour, Paris} Corrigé ; p. 153 ; 20 min ; ⋆ ; ⋆ ; ⋆

Retrouvez le corrigé de cet exercice en vidéo.

Afin de mesurer la hauteur d’un bâtiment de sommet S, deux géomètres disposent leurs appareils de mesure en A et B. Les mesures qu’ils connaissent sont reportées sur le schéma ci-dessus. Déterminer la hauteur du bâtiment (arrondie au mètre).

Indication : exprimer SH de deux façons différentes.

20Théorème de Thalès_{Lycée Louis-le-Grand, Paris} Corrigé ; p. 154 ; 40 min ; ⋆ ; ⋆ ; ⋆

ABCD est un carré. E ∈ ▷AB◁, F ∈ ▷BC◁, G ∈ ▷CD◁, H ∈ ▷AD◁ tels qu’on ait ▷EG◁ perpendiculaire à ▷F H◁. 1 Soit I, intersection de ▷EG◁ et ▷BC◁, et J, celle de ▷F H◁ et ▷AB◁.

Montrer que ▷EF ◁ et ▷IJ ◁ sont perpendiculaires. 2 Comment choisir ▷EG◁ et ▷F H◁ pour que EF GH soit un carré?

Nature d’un triangle — v. 1.0 9 juin 2025 — Chapitre 4 page 139 — #149

CONFIGURATIONS DU PLAN CHAP. 4_{139} CORRIGÉS INTERROS COURS

1_{QCM} Projeté orthogonal {Énoncé \atop p. 133}

1 Réponse c . F est le projeté orthogonal de G sur ▷EF ◁.

2 Réponse c . En effet, O est le milieu de TBDU, donc OB D 5 cm. De plus, la distance entre O et TABU est la longueur OI, où I est le milieu de TABU. OIB est un triangle rectangle en I donc, d’après le théorème de Pythagore,

OI^{2} D OB^{2} − IB^{2} D 5^{2} − 4^{2} D 25 − 16 D 9.

soit OI D \sqrt{9} D 3. 3 Réponse b . En effet, si ABC est isocèle en B alors la médiane issue

de B est aussi la hauteur issue de B. Si I est le milieu de TACU ▷BI◁ est donc perpendiculaire à ▷AC◁ et donc, par définition, I est le projeté orthogonal de B sur TACU.

2_{V/F} Propriétés du triangle {Énoncé \atop p. 133}

a Faux. C’est l’intersection des médianes (droites qui lient un sommet et le milieu du côté opposé).

b Vrai. Une hauteur passe par un sommet et est perpendiculaire au côté opposé.

c Faux. N’importe quel segment est le diamètre d’un cercle (et d’un seul). Cependant, si le troisième sommet se trouve sur ce cercle, alors le triangle est rectangle.

3_{V/F} Propriétés du cercle {Énoncé \atop p. 133}

a Faux. Si A et B sont sur un même cercle de centre O, alors OA D OB donc OAB est isocèle, mais il existe des configurations où AB D̸ OA, auquel cas OAB n’est pas équilatéral.

b Vrai. Si A et B sont diamétralement opposés alors TABU est un diamètre de C. Les tangentes à C en A et B sont perpendiculaires respectivement à TOAU et TOBU, donc au diamètre TABU. Or, si deux droites sont perpendiculaires à une même droite alors elles sont parallèles entre elles, donc les tangentes sont bien parallèles.

4Nature d’un triangle_{Lycée Fernand Daguin, Mérignac} {Énoncé \atop p. 133}

Calculons :

IJ^{2} D (3 C 2\sqrt{5})^{2} D 9 C 12\sqrt{5} C 20 D 29 C 12\sqrt{5}.

J K^{2} D (\sqrt{78})^{2} D 78.

IK^{2} D (3\sqrt{5} − 2)^{2} D 45 − 12\sqrt{5} C 4 D 49 − 12\sqrt{5}.

Démontrer la perpendicularité — v. 1.0 9 juin 2025 — Chapitre 4 page 140 — #150

CORRIGÉS_{140}

On peut alors remarquer que IJ^{2} C IK^{2} D J K^{2}. Le triangle est donc rectangle (en I). De plus, il n’est pas isocèle ni équilatéral car les trois côtés ont des mesures différentes.

5Trouver un sinus et un angle_{Lycée Pierre Caraminot, Egletons} {Énoncé \atop p. 134}

1 D’après le cours,

cos^{2} α C sin^{2} α D 1 ⟺ ( \frac{\sqrt{5}}{3}) ^{2} C sin^{2} α D 1

⟺ \frac{5}{9} C sin^{2} α D 1

⟺ sin^{2} α D 1 − \frac{5}{9} D \frac{4}{9}

⟺ sinα D \sqrt{\frac{4}{9}}

⟺ sinα D \frac{2}{3}.

2 À la calculatrice, on trouve :

α D arccos( \frac{\sqrt{5}}{3}) ≈ 42^{∘}.

6Démontrer la perpendicularité_{Lycée Romain Rolland, Ivry-sur-Seine} {Énoncé \atop p. 134}

Commençons par faire une figure :

On considère le triangle AJ C; ▷AH◁ en est la hauteur issue de A. Comme ▷J K◁ et ▷AB◁ sont parallèles et que ▷AB◁ et ▷AC◁ sont perpendiculaires, on en déduit que ▷J K◁ et ▷AC◁ sont perpendiculaires. ▷J K◁ est donc une hauteur de AJ C.

Dans l’espace — v. 1.0 9 juin 2025 — Chapitre 4 page 141 — #151

CONFIGURATIONS DU PLAN CHAP. 4_{141} CORRIGÉS INTERROS COURS

Finalement, I étant l’intersection des deux hauteurs ▷J K◁ et ▷AH◁, I est donc l’orthocentre du triangle AJ C. En particulier, ▷CI◁ est une hauteur donc ▷CI◁ et ▷AJ ◁ sont perpendiculaires.

7Dans l’espace_{Lycée Pierre Caraminot, Egletons} {Énoncé \atop p. 134}

1 Le triangle ABS est rectangle en A donc, d’après le théorème de Pythagore :

BS^{2} D AB^{2} C AS^{2}
⟺ 10^{2} D ▷7,5◁^{2} C AS^{2}
⟺ AS^{2} D 100 − 56,25
⟺ AS D \sqrt{43,75}
⟺ AS ≈ 6,6 cm.

� ATTENTION

Les longueurs sont données en centimètres donc arrondir au millimètre signifie qu’il faut prendre le résultat arrondi au dixième.

2 Dans le triangle ABC, rectangle en A,

tan { \atop ABC} D \frac{AC}{AB} D \frac{4}{7,5}

d’où :

{ \atop ABC} D arctan( \frac{4}{7,5}) ≈ 28^{∘}.

3 I est le projeté orthogonal de A sur ▷BC◁ donc le triangle AIB est rectangle en I. Par conséquent,

sin { \atop ABC} D \frac{AI}{AB} ⟺ AI D AB × sin { \atop ABC}
⟺ AI ≈ 7,5 × sin(28^{∘})
⟺ AI ≈ 3,5 cm.

MÉTHODE

Bien que l’on soit dans un contexte de géométrie dans l’espace, les concepts de géométrie du plan peuvent être utilisés. Pour cela, il suffit de se placer dans le plan qui nous convient le mieux autant de fois que nécessaire.

Théorème de Thalès — v. 1.0 9 juin 2025 — Chapitre 4 page 142 — #152 CORRIGÉS_{142}
8Théorème de Thalès_{Lycée Kléber, Strasbourg} {Énoncé \atop p. 135}

1

2 Les triangles ACD et EF C sont en configuration de Thalès, donc :

\frac{DF}{DC} D \frac{AE}{AC}, d’où \frac{ED}{BE} D \frac{EC}{AE} (en inversant).

En fait, l’énoncé classique du théorème donne seulement l’égalité :

\frac{CF}{CD} D \frac{CE}{AC}.

Mais :

\frac{DF}{DC} D \frac{DC − F C}{CD} D 1 − \frac{F C}{CD}

et

\frac{AE}{AC} D \frac{AC − EC}{AC} D 1 − \frac{EC}{AC}.

On a donc bien :

\frac{DF}{DC} D \frac{AE}{AC}.

Les triangles CDE et ABE sont en configuration de Thalès, donc :

\frac{BE}{DE} D \frac{AE}{EC}.

Or :

\frac{AC}{AE} D \frac{AE C EC}{AE} D 1 C \frac{EC}{AE}

et :

\frac{BD}{BE} D \frac{BE C ED}{BE} D 1 C \frac{EC}{AE}.

On en déduit :

\frac{AC}{AE} D \frac{BD}{BE}

et en inversant :

\frac{AE}{AC} D \frac{BE}{BD}.

Avec deux cercles — v. 1.0 9 juin 2025 — Chapitre 4 page 143 — #153 CONFIGURATIONS DU PLAN CHAP. 4_{143} CORRIGÉS INTERROS COURS

Enfin, les triangles DGE et DCB étant en configuration de Thalès, il vient comme ci-dessus :

\frac{BE}{BD} D \frac{CG}{CD}.

En rassemblant nos résultats, il vient :

\frac{DF}{CD} D \frac{AE}{AC} D \frac{BE}{BD} D \frac{CG}{CD}

et donc GC D DF.

9À l’intérieur d’un cercle_{Lycée Français, Bruxelles} {Énoncé \atop p. 135}

1 Pour montrer que m appartient au cercle de diamètre TAOU, il suffit de montrer que AOm est rectangle en m. Dans le triangle AMB, O est le milieu de TABU et m est le milieu de TAMU, donc la droite ▷Om◁ est parallèle à ▷MB◁ (théorème de Thalès).

Or M est sur le cercle de diamètre TABU, donc AMB est rectangle en M.

On a ▷Om◁ // ▷MB◁ et ▷MB◁ ⊥ ▷AM◁ donc ▷Om◁ ⊥ ▷AM◁, ce qui montre que AOm est bien rectangle en m, et donc m est sur le cercle de diamètre TAOU.

2 Comme O est le milieu de TABU, les cercles de diamètre TOAU et TOBU sont symétriques par rapport à O. Or N est le symétrique de m par rapport à O, donc N appartient au cercle de diamètre TOBU.

10Avec deux cercles_{Lycée Louis-le-Grand, Paris} {Énoncé \atop p. 135}

B appartenant au cercle de diamètre TAP U, le triangle ABP est rectangle en B, donc ▷BP ◁ ⊥ ▷AB◁. B appartenant au cercle de diamètre TAQU, ABQ est rectangle en B, donc ▷BQ◁ ⊥ ▷AB◁.

Aire de rectangles — v. 1.0 9 juin 2025 — Chapitre 4 page 144 — #154

CORRIGÉS_{144}

On en déduit que ▷BP ◁ et ▷BQ◁ sont parallèles, donc confondues, puisqu’elles contiennent toutes les deux le point B.

Conclusion : B, P et Q sont alignés.

11Aire de rectangles_{Lycée Chateaubriand, Rennes} {Énoncé \atop p. 135}

Pour construire le triangle, on commence par tracer le segment TAHU puis la perpendiculaire à ▷AH◁ en H. On place le point B à l’une des intersections de cette droite et du cercle de centre A et de rayon 5. Il n’y a plus qu’à placer le point C, sur la perpendiculaire à ▷AH◁, et à huit unités de B.

1 Calculons en fonction de x les longueurs MN et MP. Il est clair que MP D KH D 4 − x . Appliquons le théorème de Pythagore dans ABH. On en tire : BH D 3, donc HC D 5. En appliquant le théorème de Thalès comme en troisième, on montre sans difficulté :

\frac{MK}{BH} D \frac{AK}{AH} D \frac{KN}{HC} .

Il vient : MK D \frac{3x}{4} et KN D \frac{5x}{4}, d’où MN D 2x.

À la recherche d’une aire — v. 1.0 9 juin 2025 — Chapitre 4 page 145 — #155 CONFIGURATIONS DU PLAN CHAP. 4_{145} CORRIGÉS INTERROS COURS

On calcule donc facilement l’aire du rectangle :

a▷x◁ D MN × MP D 2x▷4 − x◁.

2 Il suffit d’écrire :

a▷x◁ D −2▷x^{2} − 4x◁.

On reconnaît dans x^{2} − 4x le début d’un produit remarquable.

a▷x◁D −2Tx^{2} − 4x C 4 − 4U
D −2T▷x − 2◁^{2} − 4U
D 8 − 2▷x − 2◁^{2}.

Cette dernière écriture fait apparaître que a▷x◁ est toujours inférieure à 8, avec égalité si ▷x − 2◁^{2} D 0, c’est-à-dire si x D 2. L’aire du rectangle atteint alors son maximum : a▷2◁ D 8.

12À la recherche d’une aire_{Lycée Camille Jullian, Bordeaux} {Énoncé \atop p. 136}

1 C et D sont sur C_{A} et C_{B} donc :

AD D AC D BD D BC.

Ainsi, ACBD est un losange; ses diagonales se coupent donc perpendiculairement en leur milieu E. De plus, l’image d’un cercle est un cercle de même rayon donc l’image de C_{A} par la symétrie de centre E est un cercle de centre le symétrique de A, donc B, et de rayon 3 cm; c’est C_{B}. La figure, est donc le domaine coloré, est donc symétrique par rapport à E.

2 Le triangle ABD est équilatéral (car AB D AD D BD) donc son aire est :

A_{ABD} D \frac{AB × ED}{2} D \frac{AB}{2} × ED D \frac{3}{2} × \frac{3\sqrt{3}}{2} D \frac{9\sqrt{3}}{4} cm^{2}.

Rappel : dans un triangle équilatéral de côté a, chaque hauteur mesure

h D \frac{a\sqrt{3}}{2} (on peut le démontrer à l’aide du théorème de Pythagore).

3 Le secteur angulaire { \atop ABD} à l’intérieur de C_{A} est le domaine coloré sur le schéma ci-dessous. C’est une partir du disque de centre B et de rayon 3 cm. Son angle est { \atop ABD} D 60° car ABD est équilatéral. Pour déterminer son aire, nous allons utiliser le schéma suivant (proportionnalité) :

\begin{matrix}πr^{2} −→ & 360° \\ ? −→ & 60° \end{matrix}

Aire d’un triangle — v. 1.0 9 juin 2025 — Chapitre 4 page 146 — #156

CORRIGÉS_{146}

60°est le sixième de 360°donc :

A{ \atop ABD} D \frac{1}{6} × π × 3^{2} D \frac{3π}{2} cm^{2}.

4 Notons A l’aire cherchée. Pour des raisons de symétrie, on a :

4A{ \atop ABD} − 2A_{ABD} D 4 × \frac{3π}{2} − 2 × \frac{9\sqrt{3}}{4}

D 6π − \frac{9\sqrt{3}}{2} cm^{2} (valeur exacte)

≈ 11,1 cm^{2} (valeur approchée au dixième).

13Aire d’un triangle_{Lycée Raspail, Paris} {Énoncé \atop p. 136}
1 \{ \begin{matrix}▷AP ◁ // ▷MN◁ & car ▷AP ◁ D ▷AC◁ et ▷AC◁ // ▷MN◁ \\ ▷P N◁ // ▷AM◁ & car ▷AM◁ D ▷AB◁ et ▷P N◁ // ▷AB◁ \end{matrix}

donc AP NM est un parallélogramme. De plus, il y a un angle droit en A, donc AP NM est un rectangle.

2 Comme ▷NP ◁ // ▷AB◁, le théorème de Thalès donne, dans le triangle ABC :

\frac{CP}{CA} D \frac{P N}{AB}  soit  \frac{CP}{CA} D \frac{AM}{AB} D x car P N D AM.

Aire d’un triangle — v. 1.0 9 juin 2025 — Chapitre 4 page 147 — #157

CONFIGURATIONS DU PLAN CHAP. 4_{147} CORRIGÉS INTERROS COURS

Donc CP D x ×CA et AM D x ×AB. CP N est rectangle en P, donc :

Aire▷P NC◁D \frac{1}{2}CP × P N

D \frac{1}{2}CP × AM

D \frac{1}{2} × x × CA × x × AB

D x^{2} × A car A D \frac{1}{2}CA × AB.

3 \begin{aligned}BM & D AB − AM & et MN & D AP \\ & D ▷1 − x◁AB & & D AC − CP \\ & & & D ▷1 − x◁AC. \end{aligned}

Par suite :

Aire▷BNM◁D \frac{1}{2}BM × MN D \frac{1}{2}▷1 − x◁AB × ▷1 − x◁AC

D ▷1 − x◁^{2} × \frac{1}{2}AB × AC

D ▷1 − x◁^{2} × A.

4 Aire▷AMNP ◁D A − Aire▷CP N◁ − Aire▷BNM◁

D A − x^{2}A − ▷1 − x◁^{2}A
D (1 − x^{2} − ▷1 − x◁^{2})A
D ▷1 − x^{2} − 1 C 2x − x^{2}◁A
D 2x▷1 − x◁A.

5 2x▷1 − x◁ ⩾ \frac{1}{2} ⟺ x▷1 − x◁ ⩾ \frac{1}{4}

⟺ x − x^{2} − \frac{1}{4} ⩾ 0

⟺ − ( x − \frac{1}{2}) ^{2} ⩾ 0

⟺ x − \frac{1}{2} D 0 (car un carré ne peut être négatif)

⟺ x D \frac{1}{2}.

L’aire du rectangle est maximale quand x D \frac{1}{2}, donc quand M est le milieu de TABU.

Théorème de Thalès — v. 1.0 9 juin 2025 — Chapitre 4 page 148 — #158 CORRIGÉS_{148}
14Thalès et Pythagore_{Lycée Pasteur, Strasbourg} {Énoncé \atop p. 137}

1

2 T est sur le cercle de diamètre TAO_{3}U donc AT O_{3} est rectangle en T. La droite ▷AT ◁ est donc perpendiculaire à ▷O_{3}T ◁, qui est un rayon de ▷C_{3}◁. C’est donc la tangente à ▷C_{3}◁ issue de T.

3 (a) P et Q sont deux points du cercle ▷C_{2}◁ de centre O_{2} donc P O_{2} D QO_{2}, et O_{2} appartient à la médiatrice de TP QU. Comme I est le milieu de TP QU, on en déduit que ▷O_{2}I◁ est la médiatrice de TP QU, et comme ▷P Q◁ D ▷AT ◁, ▷O_{2}I◁ et ▷AT ◁ sont perpendiculaires.

(b) Comme ▷O_{2}I◁ et ▷O_{3}T ◁ sont toutes deux perpendiculaires à ▷AT ◁, elles sont parallèles, et les triangles AO_{2}I et AO_{3}T sont dans une configuration de Thalès. En particulier :

\frac{O_{2}I}{O_{3}T} D \frac{AO_{2}}{AO_{3}}.

O_{3}T D 2 (rayon de ▷C_{3}◁) ; AO_{2} D AB C BO_{2} D 4 C 2 D 6 et AO_{3} D 10, d’où :

O_{2}I D O_{3}T × \frac{AO_{2}}{AO_{3}} D 2 × \frac{6}{10} D 1,2 cm.

(c) Appliquons le théorème de Pythagore dans le triangle O_{2}IP, rectangle en I :

IP^{2} D O_{2}P^{2} − O_{2}I^{2} D 2^{2} − 1,2^{2} D 2,56 D 1,6^{2}

D’où IP D 1,6 et P Q D 2IP D 3,2 cm.

Théorème de Thalès — v. 1.0 9 juin 2025 — Chapitre 4 page 149 — #159 CONFIGURATIONS DU PLAN CHAP. 4_{149} CORRIGÉS INTERROS COURS
15Théorème de Thalès_{Lycée Blaise Pascal, Clermont-Ferrand} {Énoncé \atop p. 137}

Telle quelle, l’égalité est assez difficile à comprendre, mais on peut la transformer en :

\frac{AC′}{AB} D \frac{AB′}{AC}.

Ce qui fait apparaître des rapports de longueurs entre des points alignés. Il suffit d’appliquer correctement le théorème de Thalès.

En considérant les triangles AIC et B′CA′, en configuration de Thalès, où ▷AI◁ // ▷B′A′◁ :

\frac{CA}{CB′} D \frac{CI}{CA′} D \frac{AI}{B′A′}.

Comme les points C, A etB′sont alignés dans cet ordre, on a :

CB′D CA C AB′
De même, CA′D CI C IA′

Une formule avec des sinus — v. 1.0 9 juin 2025 — Chapitre 4 page 150 — #160 CORRIGÉS_{150}

Les égalités suivantes sont équivalentes :

\frac{CA}{CB′} D \frac{CI}{CA′}

\frac{CB′}{CA} D \frac{CA′}{CI}(en inversant les quotients)

\frac{CA C AB′}{CA} D \frac{CI C IA′}{CI}

1 C \frac{AB′}{CA} D 1 C \frac{IA′}{CI}

\frac{AB′}{AC} D \frac{IA′}{IC}.  ▷1◁

I est le milieu de TBCU, donc IC D BI, d’où :

\frac{AB′}{AC} D \frac{IA′}{BI}.

Les triangles BC′A′et BAI sont également en configuration de Thalès, où ▷C′A′◁ // ▷AI◁, donc :

\frac{BA′}{BI} D \frac{BC′}{BA} D \frac{A′C′}{IA}.

Comme les points B, A′et I sont alignés dans cet ordre, on a :

BI D BA′C A′I
De même, BA D BC′C C′A.

Les égalités suivantes sont équivalentes :

\frac{BA′}{BI} D \frac{BC′}{BA}

\frac{BA′CA′I − A′I}{BA′CA′I} D \frac{BC′CC′A − C′A}{BC′CC′A}

1 − \frac{A′I}{BA′C A′I} D 1 − \frac{C′A}{BC′C C′A}

1 − \frac{A′I}{BI} D 1 − \frac{C′A}{BA}

\frac{A′I}{BI} D \frac{C′A}{BA}.  ▷2◁

Les égalités ▷1◁ et ▷2◁ entraînent :

\frac{AB′}{AC} D \frac{AC′}{AB}, et donc \frac{AC}{AB} D \frac{AB′}{AC′}.

Théorème de Thalès — v. 1.0 9 juin 2025 — Chapitre 4 page 151 — #161 CONFIGURATIONS DU PLAN CHAP. 4_{151} CORRIGÉS INTERROS COURS
16Une formule avec des sinus_{Lycée Henri IV, Paris} {Énoncé \atop p. 137}

Notons h_{A} la hauteur issue de A, h_{C} celle issue de C et h_{B} celle issue de B, et notons A′, B′et C′les pieds des hauteurs issues de A, B, et C. En considérant le triangle ABA′, rectangle en A′, on constate :

sin B̂ D \frac{h_{A}}{AB}.

En considérant le triangle ACA′, rectangle en A′, on a :

sin Ĉ D \frac{h_{A}}{AC}.

Dans le triangle ACC′, rectangle en C′, on a :

sin Â D \frac{h_{C}}{AC}.

Dans le triangle ABB′, rectangle en B′, on a :

sin Â D \frac{h_{B}}{AB}.

Il vient :

\frac{1}{sin B̂} C \frac{1}{sin Ĉ} D \frac{AB}{h_{A}} C \frac{AC}{h_{A}}

D \frac{1}{h_{A}} ( \frac{h_{B}}{sin Â} C \frac{h_{C}}{sin Â})

D \frac{1}{h_{A} sin Â} × ▷h_{B} C h_{C}◁

D \frac{1}{h_{A} sin Â} × h_{A}

D \frac{1}{sin Â}.

17Théorème de Thalès_{Lycée Pasteur, Neuilly-sur-Seine} {Énoncé \atop p. 137}

Il suffit d’appliquer correctement le théorème de Thalès à deux endroits de la figure.

Étude d’une configuration — v. 1.0 9 juin 2025 — Chapitre 4 page 152 — #162 CORRIGÉS_{152}

On remarque que les triangles A′BC′et CBC′′sont en configuration de Thalès, où ▷CC′′◁ // ▷A′C′◁, donc :

\frac{BC}{BA′} D \frac{BC′′}{BC′}D \frac{CC′′}{A′C′}.

Comme les points B, C et A′sont alignés dans cet ordre, on a :

BA′D BC C CA′.
De même, BC′D BC′′C C′′C′.

Les égalités suivantes sont équivalentes :

\frac{BC}{BA′} D \frac{BC′′}{BC′}
\frac{BCCCA′− CA′}{BC C CA′} D \frac{BC′′CC′′C′− C′′C′}{BC′′C C′′C′}
1 − \frac{CA′}{BA′} D 1 − \frac{C′′C′}{BC′}
\frac{CA′}{BA′} D \frac{C′′C′}{BC′}
\frac{BA′}{CA′} D \frac{BC′}{C′′C′}(en prenant les inverses) ▷1◁

De même, les triangles AB′C′et ACC′′sont en configuration de Thalès, où ▷B′C′◁ // ▷CC′′◁, donc :

\frac{AB′}{AC} D \frac{AC′}{AC′′}D \frac{B′C′}{CC′′}.

Comme les points A, B′et C sont alignés dans cet ordre, on a :

AC D AB′C B′C.
De même, AC′′D AC′C C′C′′.

Les égalités suivantes sont équivalentes :

\frac{AB′}{AC} D \frac{AC′}{AC′′}
\frac{AC}{AB′} D \frac{AC′′}{AC′}(en inversant les quotients)
\frac{AB′C B′C}{AB′} D \frac{AC′C C′C′′}{AC′}
1 C \frac{B′C}{AB′} D 1 C \frac{C′C′′}{AC′}
\frac{B′C}{AB′} D \frac{C′C′′}{AC′} ▷2◁

Des égalités ▷1◁ et ▷2◁, on déduit :

\frac{A′B}{A′C} × \frac{B′C}{B′A} × \frac{C′A}{C′B} D \frac{C′B}{C′C′′}× \frac{C′C′′}{C′A}× \frac{C′A}{C′B} D 1.

Jouer au géomètre — v. 1.0 9 juin 2025 — Chapitre 4 page 153 — #163

CONFIGURATIONS DU PLAN CHAP. 4_{153} CORRIGÉS INTERROS COURS

18Étude d’une configuration_{Lycée Pierre de Fermat, Toulouse} {Énoncé \atop p. 138}

1 TADU est un diamètre du cercle donc { \atop ABD}, { \atop AH′D} et { \atop ACD} sont des angles droits.

2 D’après le résultat précédent, ▷CD◁ et ▷AC◁ sont perpendiculaires. En outre ▷BH◁ est perpendiculaire à ▷AC◁, puisque c’est une hauteur du triangle ABC. On en déduit que ▷CD◁ // ▷BH◁. De même, on a vu que ▷BD◁ et ▷AB◁ sont perpendiculaires. Or ▷CH◁ est perpendiculaire à ▷AB◁, comme hauteur de ABC. Il vient ▷BD◁ // ▷CH◁. De là, on a : ▷CD◁ // ▷BH◁ et ▷BD◁ // ▷CH◁, donc BDCH est un parallélogramme. BDCH est un parallélogramme, donc ses diagonales ont même milieu. I est le milieu de TBCU, donc I est le milieu de TDHU.

3 M, pied de la hauteur issue de A, appartient à ▷BC◁, donc ▷MI◁ D ▷BC◁. On a donc : ▷MI◁ ⊥ ▷AM◁. Or, puisque { \atop AH′D} est droit, ▷AM◁ ⊥ ▷H′D◁. D’où ▷MI◁ // ▷H′D◁. Or, I est le milieu de THDU, donc en appliquant le théorème de Thalès, M est le milieu de THH′U.

19Jouer au géomètre_{Lycée Jacques Decour, Paris} {Énoncé \atop p. 138}

Dans le triangle AHS rectangle en H :

tan▷43,02°◁ D \frac{SH}{AH}

donc :

SH D AH × tan▷43,02°◁.

Théorème de Thalès — v. 1.0 9 juin 2025 — Chapitre 4 page 154 — #164 CORRIGÉS_{154}

Dans le triangle BHS rectangle en H :

tan▷47,97°◁ D \frac{SH}{BH}

donc :

SH D BH × tan▷47,97°◁.

Ainsi,

AH × tan▷43,02°◁ D BH × tan▷47,97°◁.

De plus,

AH D 10 C BH

donc, l’égalité devient :

▷10 C BH◁ × tan▷43,02°◁ D BH × tan▷47,97°◁

ou encore :

10 tan▷43,02°◁ D BH▷tan47,97°− tan43,02°◁

et donc :

BH D \frac{10 tan43,02°}{tan47,97°− tan43,02°} ≈ 52,94.

Pour connaître SH, on prend la deuxième égalité :

SH D BH × tan▷47,97°◁ ≈ 58,73.

Ainsi, la hauteur du bâtiment est :

58,7 C 1,2 ≈ 60m.

20Théorème de Thalès_{Lycée Louis-le-Grand, Paris} {Énoncé \atop p. 138}

1 Il faut considérer les hauteurs du triangle EIJ. ▷AB◁ et ▷BC◁ (donc ▷BI◁) sont perpendiculaires, ce qui fait de ▷BI◁ une hauteur de EIJ. ▷EG◁ et ▷HF ◁ sont perpendiculaires, donc ▷EI◁ ⊥ ▷F J ◁ et ▷F J ◁ est une deuxième hauteur de EIJ. Sachant que ▷BI◁ et ▷F J ◁ se coupent en F, F est l’orthocentre de EIJ, et donc ▷EF ◁, hauteur, est perpendiculaire à ▷IJ ◁.

2 Notons K l’intersection des diagonales de EF GH. Si l’on suppose que EF GH est un carré, K est le milieu de TEGU et de TF HU. Montrons que K est le milieu de TACU. En appelant S la symétrie de centre K, on constate que S▷H◁ D F. L’image d’une droite par une symétrie centrale est une droite parallèle, donc l’image de ▷AD◁, droite contenant H, est une droite parallèle qui passe par F, c’est-à-dire ▷BC◁. De même, S▷E◁ D G, et on montre que l’image de ▷AB◁ est ▷DC◁. A est l’intersection de ▷AD◁ et ▷AB◁, donc S▷A◁ est l’intersection de ▷BC◁ et ▷DC◁. Il vient S▷A◁ D C, donc K est le milieu de TACU, et K est le centre du carré ABCD.

Théorème de Thalès — v. 1.0 9 juin 2025 — Chapitre 4 page 155 — #165 CONFIGURATIONS DU PLAN CHAP. 4_{155} CORRIGÉS INTERROS COURS

Dans un deuxième temps, supposons que ▷EG◁ et ▷F H◁ se coupent au centre de ABCD, que nous notons O, et montrons que EF GH est un carré. Montrons que O est le milieu des diagonales de EF GH. Les triangles AOH et OF C sont en configuration de Thalès, donc

\frac{OF}{OH} D \frac{OC}{OA} D 1.

Ce qui montre que OF D OH, donc O est le milieu de TF HU. De même, O est le milieu de TEGU. On sait désormais que EF GH est un parallélogramme dont les diagonales sont perpendiculaires. C’est donc un losange. Pour prouver que c’est un carré, nous allons démontrer que ses diagonales ont même longueur. Les triangles EBI et GCI sont en configuration de Thalès, où ▷EB◁ // ▷GC◁, donc :

\frac{IG}{IE} D \frac{IC}{IB} D \frac{GC}{EB}.

Comme les points I, G et E sont alignés dans cet ordre, on a :

IE D IG C GE.
De même, IB D IC C CB.

IL2M — v. 1.0 9 juin 2025 — Chapitre 4 page 156 — #166 CORRIGÉS_{156}

Les égalités suivantes sont équivalentes :

\frac{IG}{IE} D \frac{IC}{IB}
\frac{IGCGE − GE}{IG C GE} D \frac{ICCCB − CB}{IC C CB}
1 − \frac{GE}{IE} D 1 − \frac{CB}{IB}
\frac{EG}{EI} D \frac{BC}{BI}.

De même, les triangles J AH et J BF sont en configuration de Thalès, où ▷AH◁ // ▷BF ◁, donc, de la même façon que précédemment, on montre que :

\frac{HF}{HJ} D \frac{AB}{AJ}.

On en déduit les égalités :

EG D BC × \frac{EI}{BI} et HF D BA × \frac{HJ}{AJ} .

En calculant l’aire du triangle EIJ de deux façons différentes, on obtient (entre autres) l’égalité :

OJ × EI D BI × EJ

et donc

\frac{EI}{BI} D \frac{EJ}{OJ} .

Il vient :

EG D BC × \frac{EJ}{OJ} .

Observons le triangle EOJ rectangle en O.

On peut écrire cos { \atop EJ O} D \frac{OJ}{EJ} .

Dans le triangle AHJ, rectangle en A, on peut écrire cos { \atop AJ H} D \frac{AJ}{J H} .

{ \atop EJ O} D { \atop AJ H}, donc \frac{OJ}{EJ} D \frac{AJ}{J H} et :

\frac{EJ}{OJ} D \frac{J H}{AJ} .

En utilisant que BC D AB, on écrit :

EG D BC × \frac{J H}{AJ} D AB × \frac{J H}{AJ} D HF.

Le quadrilatère EF GH est un quadrilatère dont les diagonales sont perpendiculaires, se coupent en leur milieu, et ont même longueur, c’est donc un carré.

Généralités sur les fonctions

Plan du chapitre

1. Rappels de collège

2. Variations

3. Parité d’une fonction

Soit f V x ↦ \frac{1 C x^{2}}{x}.

1 Quel est l’ensemble de définition D_{f} de f ?

2 Quelle est l’image de −3? Quel sont les antécédents de 2?

3 Montrer que f est strictement décroissante sur U0 I 1T et strictement croissante sur U1 I C∞T. En déduire le tableau des variations de f sur D_{f} .

4 Représenter le graphe de f dans un repère orthonormal ▷O,I,J ◁.

5 Déterminer graphiquement les solutions de f ▷x◁ D 4.

Exercice type

Lycée Jean Monnet, Franconville

Voir corrigé page 164

1 Rappels de collège

1.1 Qu’est-ce qu’une fonction?

Définition 1

On considère un ensemble D inclus dans ℝ. Une fonction définie sur D et à valeurs dans ℝ est un objet mathématique qui, à tout nombre x de D, associe un unique réel, noté f ▷x◁.

f ▷x◁ est l’image de x par f. D est l’ensemble de définition de f.

On note : \begin{aligned}f V & D → ℝ \\ & x ↦ f ▷x◁ \end{aligned}

IL2M — v. 1.0 9 juin 2025 — Chapitre 5 page 158 — #168 COURS_{158}

Exemples

La fonction qui, à un nombre, associe son carré est la fonction \begin{aligned}f V & ℝ → ℝ \\ & x ↦ x^{2} \end{aligned}.

Cela signifie notamment que « pour tout x réel, f ▷x◁ D x^{2} ».

Si x représente la longueur d’un côté d’un carré alors le périmètre de ce carré est donné par la fonction \begin{matrix}p V \\ ℝ_{C} → ℝ \end{matrix} ; x ↦ 4x car le périmètre d’un carré est obtenu en

multipliant par 4 la longueur d’un côté.

Remarque : dans certains énoncés, on donne une expression littérale et on demande de déterminer le domaine de définition d’une fonction. Dans ce cas, on cherche les valeurs pour lesquelles les images seraient calculées à l’aide de l’expression littérale. Il s’agit de trouver le plus grand sous-ensemble de ℝ pour lequel les nombres sont « calculables » à l’aide de l’expression.

Exemple : le nombre \frac{1}{x − 2} est défini pour tout nombre x différent de 2.

En effet, si x D 2, le dénominateur de l’écriture fractionnaire est égal à 0, ce qui n’est pas possible. Si l’on demande de « déterminer le domaine de définition de la fonction définie par f V x ↦ \frac{1}{x − 2} », le domaine de définition sera alors ℝ − \{2\}; c’est

l’ensemble qui contient tous les nombres réels (ℝ), sauf le réel 2. On peut aussi noter : ℝ \ {2} (on lit alors « ℝ privé du nombre 2 »).

Parfois, dans des exercices mettant en jeu des situations concrètes, on choisit le domaine de définition selon des connaissances de l’objet étudié. Par exemple, si la variable représente une longueur, le domaine de définition ne contient pas les réels négatifs. Dans certains cas, le domaine est imposé par l’énoncé. On peut

ainsi considérer par exemple la fonction x ↦ \frac{1}{x}, définie seulement sur ℝ_{C}^{∗}, c’està-dire sur l’ensemble des nombres réels strictement positifs.

Le domaine de définition est souvent noté D (quand il n’y a qu’une seule fonction dans l’exercice) ou D_{f} , D_{g},... s’il y a plusieurs fonctions f, g,... dans l’exercice.

1.2 Image et antécédent(s)

Si x est un réel, le réel f ▷x◁ est son image. Le réel x est un antécédent de f ▷x◁. Par exemple, si l’on considère la fonction définie sur ℝ par x ↦ x^{2}, 4 est l’image de 2 car 2^{2} D 4, et −3 est un antécédent de 9 (car ▷−3◁^{2} D 9).

Remarquez bien le vocabulaire utilisé : « son » image, « un » antécédent. En effet, f ▷x◁ peut avoir plusieurs antécédents (x, mais peut-être aussi d’autres réels). Cependant, l’image de x est unique, s’il en a une.

IL2M — v. 1.0 9 juin 2025 — Chapitre 5 page 159 — #169 GÉNÉRALITÉS SUR LES FONCTIONS CHAP. 5_{159} CORRIGÉS INTERROS COURS

1.3 Tableau de valeurs

Un tableau de valeurs est un tableau à deux lignes :

sur la 1^{re} sont indiquées les valeurs des x dont on veut trouver l’image;

sur la 2^{nde} sont reportées les images des x.

Exemple : on considère la fonction définie sur ℝ par f V x ↦ −x^{2}C2. Alors, le tableau suivant est un tableau de valeurs pour des valeurs entières de x comprises entre −3 et 3 :

Valeurs de x  −3 −2 −1 0 1 2  3
Valeurs de f ▷x◁ −7 −2 1 2 1 −2 −7

Explications : quand x D −3, pour trouver son image par la fonction f, on remplace x par −3 dans l’expression, ce qui donne :

f ▷−3◁ D −▷−3◁^{2} C 2 D −9 C 2 D −7.

On fait de même pour les autres valeurs de x.

1.4 Courbe représentative d’une fonction

Définition 2

La courbe représentative d’une fonction f est l’ensemble de tous les points qui ont pour coordonnées (x I f ▷x◁) quand x appartient au domaine de définition de f.

Ainsi, à partir d’un tableau de valeurs, on peut représenter sommairement une fonction.

Exemple : Voici un tableau de valeurs de la fonction f V x ↦ x^{2} sur T−3 I 3U :

\begin{matrix}x & −3 & −2 & −1 & 0 & 1 & 2 & 3 \\ f ▷x◁ & 9 & 4 & 1 & 0 & 1 & 4 & 9 \end{matrix}

Ce tableau permet de tracer la courbe cicontre.

IL2M — v. 1.0 9 juin 2025 — Chapitre 5 page 160 — #170 COURS_{160}

2 Variations

2.1 Fonctions croissantes, décroissantes et constantes

Définition 3 : fonction croissante

Une fonction f est croissante sur un intervalle lorsque pour tout élément u et v de l’intervalle, si u ⩽ v, alors f ▷u◁ ⩽ f ▷v◁.

Remarque : cela signifie que les nombres de l’intervalle sont rangés dans le même ordre que leurs images par la fonction f. Lorsque, dans la définition, on remplace les deux inégalités larges (⩽) par deux inégalités strictes (<), on définit ce qu’est une fonction strictement croissante.

Définition 4 : fonction décroissante

Une fonction f est décroissante sur un intervalle lorsque pour tout élément u et v de l’intervalle, si u ⩽ v, alors f ▷u◁ ⩾ f ▷v◁.

Remarque : lorsque, dans la définition, on remplace les deux inégalités larges par deux inégalités strictes, on définit ce qu’est une fonction strictement décroissante.

Définition 5 : fonction constante

Une fonction est constante sur un intervalle lorsqu’il existe un réel a tel que pour tout x de l’intervalle, f ▷x◁ D a.

Autrement dit, une fonction constante prend toujours la même valeur.

Remarque : une fonction est constante si et seulement si elle est à la fois croissante et décroissante.

Fonction croissante  Fonction décroissante  Fonction constante

IL2M — v. 1.0 9 juin 2025 — Chapitre 5 page 161 — #171 GÉNÉRALITÉS SUR LES FONCTIONS CHAP. 5_{161} CORRIGÉS INTERROS COURS

Définition 6 : fonction monotone

Une fonction qui est soit croissante, soit décroissante sur un intervalle est appelée une fonction monotone.

Fonction monotone sur TaI bU  Fonction non monotone sur TaI bU

� ATTENTION

Il ne suffit pas de prendre deux points au hasard dans l’intervalle et de les comparer. Par exemple, pour f : x ↦ x^{2}−5x, il ne s’agit pas de calculer f ▷2◁ et f ▷4◁, puis de voir lequel des deux est le plus grand. Il s’agit de déterminer le signe de l’expression f ▷v◁ − f ▷u◁ en supposant que v > u.

Exemple : Soit la fonction définie sur ℝ par f V x ↦ x^{2} − 5x.

Soient u et v deux nombres appartenant à [−1 I \frac{5}{2}] tels que u < v. Alors :

f ▷v◁ − f ▷u◁ D ▷v^{2} − 5v◁ − ▷u^{2} − 5u◁
D v^{2} − 5v − u^{2} C 5u
D v^{2} − u^{2} − 5v C 5u
D ▷v − u◁▷v C u◁ − 5▷v − u◁
D ▷v − u◁▷v C u − 5◁.

Comme −1 ⩽ u < v ⩽ \frac{5}{2}, on voit que v − u > 0 et v C u − 5 < 0.

On en déduit que f ▷v◁ − f ▷u◁ < 0, et que f est décroissante sur l’intervalle

[−1 I \frac{5}{2}] . On a prouvé une inégalité stricte entre f ▷v◁ et f ▷u◁, donc on peut

ajouter que f est strictement décroissante sur [−1 I \frac{5}{2}] .

Maintenant, si on prend u et v sur [ \frac{5}{2} I 6], toujours avec u < v, alors

v C u − 5 > 0 donc f ▷v◁ − f ▷u◁ > 0, ce qui signifie que f est strictement

croissante sur [ \frac{5}{2} I 6].

IL2M — v. 1.0 9 juin 2025 — Chapitre 5 page 162 — #172 COURS_{162}

On peut représenter graphiquement la fonction f comme sur le graphique suivant.

2.2 Maximum et minimum d’une fonction

Définitions 7

Le maximum d’une fonction f sur son domaine de définition est la valeur la plus haute atteinte par la fonction. Le minimum est la plus basse.

Exemple : reprenons la fonction f V x ↦ x^{2}−5x dont on a trouvé les variations dans le paragraphe précédent.

Elle est décroissante sur [−1 I \frac{5}{2}] puis croissante sur [ \frac{5}{2} I 6] donc l’image de \frac{5}{2}

est le minimum : c’est la plus petite valeur atteinte par f ▷x◁ sur T−1 I 6U.

f ( \frac{5}{2}) D −\frac{25}{4} donc −\frac{25}{4} est le minimum de f sur T−1 I 6U.

Pour avoir la valeur du maximum, il suffit de calculer f ▷−1◁ et f ▷6◁ :

f ▷−1◁ D ▷−1◁^{2} − 5 × ▷−1◁ D 6 et f ▷6◁ D 6^{2} − 5 × 6 D 6

donc « 6 » est le maximum de f sur l’intervalle T−1 I 6U.

Remarque : une fonction n’a pas nécessairement de maximum ou de minimum. Par exemple, la fonction x ↦ x, définie sur ℝ, n’admet aucune plus grande valeur ni aucune plus petite.

IL2M — v. 1.0 9 juin 2025 — Chapitre 5 page 163 — #173 GÉNÉRALITÉS SUR LES FONCTIONS CHAP. 5_{163} CORRIGÉS INTERROS COURS

3 Parité d’une fonction

Définition 8 : fonction paire

Soit f une fonction définie sur un intervalle ou une réunion d’intervalles D. On dit que f est paire si les conditions suivantes sont vérifiées :

∀ x ∈ D, −x ∈ D ( on dit alors que D est symétrique par rapport à 0 );

∀ x ∈ D, f ▷−x◁ D f ▷x◁.

Propriété 1 : conséquence graphique

Soit f une fonction définie sur D et C sa représentation graphique dans un repère orthogonal (O,E ı, E ȷ◁ du plan. Si f est paire alors sa courbe représentative est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées.

Définition 9 : fonction impaire

Soit f une fonction définie sur un intervalle ou une réunion d’intervalles D. On dit que f est impaire si les conditions suivantes sont vérifiées :

∀ x ∈ D, −x ∈ D (D est symétrique par rapport à 0 );

∀ x ∈ D, f ▷−x◁ D −f ▷x◁.

Propriété 2 : conséquence graphique

Soit f une fonction définie sur D et C sa représentation graphique dans un repère orthogonal (O,E ı, E ȷ◁ du plan. Si f est impaire alors sa courbe représentative est symétrique par rapport à l’origine du repère.

1 Le dénominateur de la fraction ne doit pas s’annuler, donc x ne doit pas être égal à zéro. L’ensemble de définition est donc D_{f} D ℝ \ {0}.

Remarque : l’ensemble ℝ \ {0} est aussi noté : ℝ − {0} et ℝ^{∗}.

2 f ▷−3◁ D \frac{1 C 9}{−3} D −\frac{10}{3}.

Pour trouver le ou les antécédents de 2, il suffit de résoudre l’équation :

\frac{1 C x^{2}}{x} D 2 ⟺  1 C x^{2} D 2x, x D̸ 0
⟺  1 − 2x C x^{2} D 0, x D̸ 0
⟺  ▷1 − x◁^{2} D 0, x D̸ 0
⟺  x D 1.

Ainsi, 2 a pour antécédent le nombre 1. 3 Prenons deux réels a et b, strictement positifs et supposons que a < b.

Calculons :

f ▷b◁ − f ▷a◁ D \frac{1 C b^{2}}{b} − \frac{1 C a^{2}}{a}

D \frac{a▷1 C b^{2}◁}{ba}− \frac{b▷1 C a^{2}◁}{ab}

D \frac{a C ab^{2} − b − ba^{2}}{ab}

D \frac{a − b − ba▷a − b◁}{ab}

D ▷a − b◁\frac{1 − ba}{ab} .

…

Solution de l’exercice type

Lycée Jean Monnet, Franconville

IL2M — v. 1.0 9 juin 2025 — Chapitre 5 page 165 — #175 GÉNÉRALITÉS SUR LES FONCTIONS CHAP. 5_{165} CORRIGÉS INTERROS COURS

Si a et b sont tous deux dans U0 I 1T, ba est plus petit que 1 et donc f ▷b◁ − f ▷a◁ est strictement négatif. On en déduit que f ▷b◁ < f ▷a◁, et que f est strictement décroissante sur U0 I 1T. D’un autre côté, si a et b sont tous deux supérieurs à 1, on a a − b < 0 et 1 < ab et donc f ▷b◁ − f ▷a◁ > 0. On en déduit que f est strictement croissante sur U1 I C∞T. Par un raisonnement analogue, on pourrait montrer que f est décroissante sur T−1 I 0T et croissante sur U − ∞ I −1U. On peut alors résumer ces constatations dans un tableau de variations :

\begin{matrix}x & −∞ & & −1 & & 0 & & 1 & & C∞ \\ f ▷x◁ & & ↗ & & ↘ & & ↘ & 2 & ↗ \end{matrix}

4 Représentation graphique :

5 Il suffit de tracer sur le graphique la droite horizontale qui passe par le point de coordonnées ▷0 I 4◁ et regarder l’abscisse des points d’intersection de cette droite avec la courbe. On obtient, en lisant sur le graphique, deux solutions : 0,25 et 3,75.

Solution de l’exercice type (suite)

Lycée Jean Monnet, Franconville Voir énoncé page 157

IL2M — v. 1.0 9 juin 2025 — Chapitre 5 page 166 — #176 INTERROS_{166}
1_{V/F} Image et antécédent Corrigé p. 175 3 min

Dans l’écriture 5 D f ▷2◁ :

a f est un nombre  b f ▷2◁ est un nombre
c 5 est l’image de 2 par f  d 2 est l’image de 5 par f

2_{QCM} Image et antécédent Corrigé p. 175 3 min

9 est antécédent de \sqrt{2} par f s’écrit :

\begin{matrix}a f ▷9◁ D \sqrt{2} & b f ▷\sqrt{2}◁ D 9 \\ c f : \sqrt{2} ↦ 9 \end{matrix}

3_{V/F} Ensembles de définition Corrigé p. 175 3 min

D désignant l’ensemble de définition de f, quelles sont les propositions qui conviennent?

\begin{matrix}a f : x ↦ 5x C 2 & D D ℝ \\ b f : x ↦ \frac{1}{x − 2} & D D ℝ − \{−2\} \\ c f : x ↦ ▷1 C x^{2}◁^{2} & D D ℝ_{C} \\ d f : x ↦ \frac{x − 5}{x C 2} & D D ℝ − \{−2 I 5\} \end{matrix}

4_{V/F} Représentation graphique Corrigé p. 175 5 min

À la lecture du graphique, la fonction définie sur T−3I 3U et représentée cidessous :

(courbe représentative de la fonction f) a est décroissante

b a pour maximum 4 c a pour maximum 0

IL2M — v. 1.0 9 juin 2025 — Chapitre 5 page 167 — #177 GÉNÉRALITÉS SUR LES FONCTIONS CHAP. 5_{167} CORRIGÉS INTERROS COURS
5_{V/F} Représentation graphique Corrigé p. 175 5 min

À la lecture du graphique, la fonction représentée :

a est croissante  b est affine
c est linéaire  d est x ↦ x C 4
6_{V/F} Calculs algébriques Corrigé p. 176 5 min

On considère f : x ↦ x^{2} − x définie sur T0 I 4U. a f ▷0◁ D f ▷1◁. b Le point M▷2 I 2◁ n’appartient pas à la courbe représentative de f. c Le point N▷3 I 9◁ est au-dessus de la courbe représentative de f. d Le point P ▷5 I 20◁ appartient à la courbe représentative de f.

Images et antécédents

7Fonction x^{2}- 4_{Lycée Fustel de Coulanges, Massy} Corrigé ; p. 176 ; 10 min ; ⋆

Soit f la fonction définie, pour tout réel x, par : f ▷x◁ D x^{2} − 4. 1 Calculer l’image par la fonction f des réels 0, 1, −2. 2 Déterminer, lorsque c’est possible, le ou les antécédent(s) par f des réels

5, −7, −4.

IL2M — v. 1.0 9 juin 2025 — Chapitre 5 page 168 — #178 INTERROS_{168}
8Fonction quotient_{Lycée Jean Puy, Roanne} Corrigé ; p. 176 ; 10 min ; ⋆

Soit la fonction f définie par :

f ▷x◁ D \frac{x}{x − 3} .

1 Déterminer le domaine de définition de f. 2 Trouver, si elles existent, les images de −1 et 2 par f. 3 Déterminer les éventuels antécédents de −3 et 1.

9Encore une fraction_{Lycée Saint-Louis, Saint-Nazaire} Corrigé ; p. 177 ; 20 min ; ⋆ ; ⋆

Soit f la fonction donnée par :

f ▷x◁ D \frac{6}{9x^{2} − 16} .

1 Déterminer l’ensemble de définition de f. 2 Calculer l’image de −1. 3 Déterminer les antécédents éventuels de \frac{1}{8}.

Variations

10Imaginer une courbe_{Lycée Albert Chatelet, Douai} Corrigé ; p. 177 ; 10 min ; ⋆

Dans un repère ▷OI I,J ◁, en prenant comme unité le cm, dessiner une courbe possible représentative d’une fonction répondant aux indications suivantes :

f est définie sur T−3 I 4T ; f ▷−3◁ D 1 ; f admet un maximum qui est 3, atteint en −1 ; f est croissante sur T−3 I −1U et décroissante sur T−1 I 4T ; les réels −2 et 1 ont la même image qui est 2,5 ; f ▷3◁ D 0.

IL2M — v. 1.0 9 juin 2025 — Chapitre 5 page 169 — #179 GÉNÉRALITÉS SUR LES FONCTIONS CHAP. 5_{169} CORRIGÉS INTERROS COURS
11À partir de graphiques_{Lycée Molière, Paris} Corrigé ; p. 178 ; 10 min ; ⋆

Examiner les courbes des fonctions f, g et h suivantes : La fonction f

La fonction g

La fonction h

1 Proposer pour chaque fonction un ensemble de définition. 2 Donner le tableau de variations des fonctions f, g et h

IL2M — v. 1.0 9 juin 2025 — Chapitre 5 page 170 — #180 INTERROS_{170}
12Lectures graphiques_{Lycée Louis Vincent, Metz} Corrigé ; p. 178 ; 10 min ; ⋆

Soit f la fonction définie sur l’intervalle T−3I 7U, dont la courbe représentative est donnée ci-dessous.

1 Déterminer l’image de −3 par f. 2 Déterminer les éventuels antécédents de 4 par f. 3 Dresser le tableau de variations de f. 4 Quel est le maximum de f sur T−3I 7U? En quelle valeur est-il atteint? 5 Quel est le minimum de f sur T−3I 7U? En quelle valeur est-il atteint? 6 Dresser le tableau de signes de f. 7 Résoudre graphiquement l’équation f ▷x◁ D 1 (en justifiant votre ré-

ponse). 8 Résoudre graphiquement l’inéquation f ▷x◁ > 1(en justifiant votre ré-

ponse).

13Généralités_{Lycée Louis Vincent, Metz} Corrigé ; p. 179 ; 10 min ; ⋆

Soit f la fonction définie par f ▷x◁ D \frac{3x C 2}{x − 4} On appelle C sa courbe représentative dans un repère orthogonal 1 Quel est l’ensemble de définition de f ? Justifier votre réponse. 2 Calculer l’image de 2 par f puis l’image de −1 par f. 3 Les points suivants sont-ils situés sur C . Justifier votre réponse.

M ( 0I \frac{1}{2})  I  N ▷15I 4,27◁  I  P ( \frac{1}{3}I −\frac{9}{11}) .

IL2M — v. 1.0 9 juin 2025 — Chapitre 5 page 171 — #181 GÉNÉRALITÉS SUR LES FONCTIONS CHAP. 5_{171} CORRIGÉS INTERROS COURS
14Lecture d’un tableau de variations_{Lycée Louis Vincent, Metz} Corrigé ; p. 180 ; 10 min ; ⋆

Le tableau de variations d’une fonction f est donné ci-dessous.

x −5  −2  0  3  5
−4  6  4
f  ↘  ↗  ↘  ↗
−5  0

1 Déterminer le maximum et le minimum de f ainsi que les valeurs pour

lesquels ils sont atteints. 2 Quel est le nombre de solutions de l’équation f ▷x◁ D 4. Justifier votre

réponse. 3 Compléter par <, > ou? si on ne peut pas savoir en justifiant votre ré-

ponse :

f ▷1◁ …f ▷2◁ f ▷−1◁ …f ▷−2◁ f ▷−1◁ …f ▷4◁ f ▷4◁ …f ▷−3◁

15Résolution graphique_{Lycée Montaigne, Bordeaux} Corrigé ; p. 180 ; 15 min ; ⋆ ; ⋆

La courbe ▷C◁ est la courbe représentative dans le repère ▷OI I,J ◁ de la fonction f définie sur ℝ par : f ▷x◁ D x^{2} − 1.

1 Indiquer le signe de f ▷x◁ selon les valeurs de x :

(a) graphiquement;  (b) par le calcul.

2 Quelle est la fonction affine g représentée par la droite D? 3 Résoudre graphiquement, puis par le calcul, l’inéquation f ▷x◁ ⩽ g▷x◁.

IL2M — v. 1.0 9 juin 2025 — Chapitre 5 page 172 — #182 INTERROS_{172}
16Variations_{Lycée Talma, Brunoy} Corrigé ; p. 182 ; 15 min ; ⋆ ; ⋆

Étudier le sens de variation des fonctions suivantes, sur les intervalles I donnés :

1 f ▷x◁ D \frac{−x C 3}{x − 5} , I D ]−∞ I 5[ .

2 g▷x◁ D ▷x − 8◁^{2}, I D [8 I C∞[ .

17Trouver les variations_{Lycée Thiers, Marseille} Corrigé ; p. 183 ; 20 min ; ⋆ ; ⋆

Retrouvez le corrigé de cet exercice en vidéo.

Soit f la fonction définie par :

\begin{aligned}f V & U0 I C∞T & → & ℝ \\ & x & ↦ & x C \frac{1}{x} \end{aligned}

Soit x_{1} et x_{2} tels que 0 < x_{1} < x_{2}.

1 Montrer que f ▷x_{1}◁ − f ▷x_{2}◁ est du signe de ▷1 − x_{1}x_{2}◁.

2 En déduire le sens de variation de f sur U0 I 1U et sur T1 I C∞T.

3 Dresser le tableau de variations de f sur U0 I C∞T.

4 En déduire l’existence d’un extremum.

18Un premier bilan_{Lycée Alphonse Daudet, Nîmes} Corrigé ; p. 183 ; 35 min ; ⋆ ; ⋆

La courbe C est représentative d’une fonction f dans le repère orthogonal ▷OI I,J ◁◁.

IL2M — v. 1.0 9 juin 2025 — Chapitre 5 page 173 — #183 GÉNÉRALITÉS SUR LES FONCTIONS CHAP. 5_{173} CORRIGÉS INTERROS COURS

1 Préciser le domaine de définition D_{f} de f. 2 Sachant qu’elles sont entières, donner les images par f des réels : −\frac{1}{2} ;

1 ; 2 ; 2,5 et 3. 3 Quel est le nombre de solutions de :

l’équation E_{1} : f ▷x◁ D 0?  l’équation E_{2} : f ▷x◁ D 2?

On les représentera sur la figure. 4 f est-elle bornée sur D_{f} ? 5 Sachant que la courbe de f sur T−0,5 I 2U est l’union de deux segments,

exprimer f ▷x◁ pour tout x de T−0,5 I 2U. 6 Résoudre alors l’équation E_{1}, puis l’équation E_{2}.

19Généralités_{Lycée Saint-Louis-de-Gonzague, Paris} Corrigé ; p. 185 ; 45 min ; ⋆ ; ⋆ ; ⋆

On considère les fonctions f et g définies pour tout x réel par :

f ▷x◁ D ▷2x C 1◁^{2} − ▷−x C 3◁^{2}
g▷x◁D x^{2} − 16 − ▷2x C 8◁▷−2x C 1◁

1 Développer et réduire f ▷x◁. 2 Factoriser f ▷x◁ et g▷x◁. 3 Déterminer les antécédents de −8 par f. 4 Résoudre dans ℝ : f ▷x◁ C g▷x◁ D 0. 5 On considère la fonction h : x ↦ g▷x◁ − f ▷x◁ définie sur T−4 I 2U.

Montrer que h▷x◁ D 2[▷x C 1◁^{2} − 9].

Parité

20Parité avec une valeur absolue_{Lycée Pasteur, Neuilly-sur-Seine} Corrigé ; p. 186 ; 5 min ; ⋆

1 Soit h la fonction définie par :

h V x ↦ \frac{4 − | x |}{\sqrt{x^{2} − 9}} .

Montrer que h est une fonction paire.

2 Étudier la parité de la fonction f V x ↦ \frac{x^{2} − 3}{x^{3} C 4x}.

IL2M — v. 1.0 9 juin 2025 — Chapitre 5 page 174 — #184 INTERROS_{174}
21Paire et impaire_{Lycée Jacques Amyot, Auxerre} Corrigé ; p. 187 ; 10 min ; ⋆

Pour chacune des fonctions suivantes, dire si elle est paire ou impaire : 1 Pour x ∈ T −5 I 5 U, f ▷x◁ D \sqrt{x^{2} C 1}

2 Pour x ∈U 0 I C∞ T, f ▷x◁ D \frac{1}{3x}

3 Pour x ∈ ℝ, f ▷x◁ D 4x^{2} C x C 1 4 Pour x ∈ ℝ, f ▷x◁ D 4x^{3} C 2x

22Déduction_{Lycée Jacques Amyot, Auxerre} Corrigé ; p. 187 ; 10 min ; ⋆ ; ⋆

Soit f une fonction impaire sur D . De plus, 0 ∈ D. Démontrer que f ▷0◁ D 0.

Représentation graphique — v. 1.0 9 juin 2025 — Chapitre 5 page 175 — #185

GÉNÉRALITÉS SUR LES FONCTIONS CHAP. 5_{175} CORRIGÉS INTERROS COURS

1_{V/F} Image et antécédent {Énoncé \atop p. 166}
a Faux. f est une application.
b Vrai. C’est l’image de 2 par l’application f.
c Vrai.
d Faux. 2 est un antécédent de 5 par f.

2_{QCM} Image et antécédent {Énoncé \atop p. 166}
a Vrai. \sqrt{2} est l’image de 9 par f.

b Faux. Cette écriture signifie que l’image de \sqrt{2} par f est 9, c’est-à-dire qu’un antécédent de 9 par f est \sqrt{2}.

c Faux. Cette écriture avec ↦ s’emploie au moment où on définit la fonction f. Elle signifie que 9 est l’image de \sqrt{2}.

3_{V/F} Ensembles de définition {Énoncé \atop p. 166}
a Vrai. Par exemple, une fonction affine est définie sur ℝ tout entier.

b Faux. C’est la valeur 2, solution de x − 2 D 0, qu’il faut ôter de l’ensemble de définition : D D ℝ − {2}.

c Vrai. On peut calculer f ▷x◁ pour n’importe quel x de ℝ_{C}. D D ℝ convient également.

d Vrai. À cause du dénominateur x C 2, il faut enlever la valeur −2 de l’ensemble de définition. Mais 5 ne pose pas de problème : f ▷5◁ D 0. Un ensemble de définition est ℝ − {−2}. Mais ℝ − {−2I 5} convient aussi.

4_{V/F} Représentation graphique {Énoncé \atop p. 166}
a Faux. Elle est croissante sur ℝ_{−} , décroissante sur ℝ_{C}.
b Vrai. Ce maximum est atteint en 0.
c Faux. Le maximum est atteint en 0, mais il vaut 4.

5_{V/F} Représentation graphique {Énoncé \atop p. 167}
a Vrai. « La droite monte quand on va de gauche à droite ».

b Vrai. La fonction est représentée par une droite et ne passe pas par l’origine du repère.

c Faux. La droite ne passe pas par l’origine du repère.

d Faux. Si tel était le cas, la droite passerait par y D 4 sur l’axe des ordonnées, ce qui n’est pas le cas.

Fonction quotient — v. 1.0 9 juin 2025 — Chapitre 5 page 176 — #186

CORRIGÉS_{176}

6_{V/F} Calculs algébriques {Énoncé \atop p. 167}
a Vrai. f ▷0◁ D f ▷1◁ D 0

b Faux. f ▷2◁ D 4 − 2 D 2, donc le point M▷2 I 2◁ appartient bien à la courbe.

c Vrai. f ▷3◁ D 6, donc 9 > f ▷3◁, et N▷3 I 9◁ est au-dessus de la courbe.
d Vrai. En effet, f ▷5◁ D 25 − 5 D 20.

7Fonction x^{2}- 4_{Lycée Fustel de Coulanges, Massy} {Énoncé \atop p. 167}

1 Il faut remplacer x par sa valeur dans l’expression de f.

f ▷0◁ D 0^{2} − 4 D −4 ;
f ▷1◁ D 1^{2} − 4 D 1 − 4 D −3 ;
f ▷−2◁ D ▷−2◁^{2} − 4 D 4 − 4 D 0.

2 Nous devons, connaissant la valeur de f ▷x◁, retrouver celle(s) de x :

f ▷x◁ D 5 ⟺ x^{2} − 4 D 5 ⟺ x^{2} D 4 C 5  ⟺ x^{2} D 9
⟺ x ∈ {−3 I 3}.

Les antécédents de 5 par f sont donc −3 et 3.

f ▷x◁ D −7 ⟺ x^{2} − 4 D −7 ⟺ x^{2} D −3

Cette dernière égalité est impossible, puisqu’un carré est toujours positif, −7 n’a donc pas d’antécédent par f.

f ▷x◁ D −4 ⟺ x^{2} − 4 D −4 ⟺ x^{2} D 0 ⟺ x D 0 L’antécédent de −4 par f est donc 0 (et c’est le seul!).

8Fonction quotient_{Lycée Jean Puy, Roanne} {Énoncé \atop p. 168}

1 f ▷x◁ est définie à condition que x − 3 soit différent de zéro. L’ensemble

de définition est donc :

D_{f} D ℝ − {3}.

2 f ▷−1◁ D \frac{−1}{−1 − 3} D \frac{1}{4} et f ▷2◁ D \frac{2}{2 − 3} D −2.

3 On résout l’équation f ▷x◁ D −3 :

−3 D \frac{x}{x − 3} ⟺ −3▷x − 3◁ D x, x D̸ 3

⟺ −3x C 9 D x ⟺ 9 D 4x

⟺ x D \frac{9}{4}.

\frac{9}{4} est donc l’unique antécédent de −3.

Imaginer une courbe — v. 1.0 9 juin 2025 — Chapitre 5 page 177 — #187

GÉNÉRALITÉS SUR LES FONCTIONS CHAP. 5_{177} CORRIGÉS INTERROS COURS

Calculons les antécédents de 1 :

1 D f ▷x◁ ⟺ 1 D \frac{x}{x − 3}
⟺ x − 3 D x
⟺ −3 D 0.

Cette dernière égalité est toujours fausse. 1 n’a donc pas d’antécédent.

9Encore une fraction_{Lycée Saint-Louis, Saint-Nazaire} {Énoncé \atop p. 168}

1 f ▷x◁ existe si 9x^{2} − 16 D̸ 0. On résout :

9x^{2} − 16 D 0 ⟺ ▷3x − 4◁▷3x C 4◁ D 0 ⟺ x D \frac{4}{3} ou x D \frac{−4}{3}

On conclut que l’ensemble de définition de f est :

ℝ − \{ \frac{−4}{3} I \frac{4}{3}\} .

2 On calcule : f ▷−1◁ D \frac{6}{9 − 16} D \frac{−6}{7} .

3 Pour calculer les antécédents de \frac{1}{8} par f, on résout :

\frac{6}{9x^{2} − 16} D \frac{1}{8}
⟺ 48 D 9x^{2} − 16
⟺ 64 D 9x^{2}
⟺ x^{2} D \frac{64}{9}
⟺ x D \frac{8}{3} ou x D −\frac{8}{3}

Les antécédents de \frac{1}{8} sont donc \frac{8}{3} et −\frac{8}{3}.

10Imaginer une courbe_{Lycée Albert Chatelet, Douai} {Énoncé \atop p. 168}

Il y a plusieurs réponses possibles, mais votre dessin doit ressembler à la figure page suivante; n’oubliez pas notamment :

le gros point en ▷−3 I 1◁ qui signale que l’ensemble de définition s’arrête en −3 et contient −3 ;

le crochet à l’abscisse 4 qui signale que 4 est une extrémité (exclue) de l’ensemble de définition.

Lectures graphiques — v. 1.0 9 juin 2025 — Chapitre 5 page 178 — #188

CORRIGÉS_{178}

11À partir de graphiques_{Lycée Molière, Paris} {Énoncé \atop p. 169}

1 (a) L’ensemble de définition est T−3 I 4T. Le gros point à l’abscisse −3 et le crochet à l’abscisse C4 signalent que −3 est inclus alors que C4 est exclu de l’ensemble.

(b) L’ensemble de définition est T−3 I 4T, tout comme pour la première fonction.

(c) L’ensemble de définition peut être ici : T−4 I 3U, ne sachant pas

l’allure de la courbe pour x < −4.

2 (a) \begin{aligned}x & −3 & & −1 & & 4 \\ & & & 3 \\ f ▷x◁ & & ↗ & & ↘ \\ & 1 \end{aligned}

(b) \begin{aligned}x & −3 & & −1 & & C2 & & C4 \\ & & & C3 & & & & 2 \\ g▷x◁ & & ↗ & & ↘ & & ↗ \\ & −1 & & & & −3 \end{aligned}

(c) \begin{aligned}x & −4 & & −2 & & 0 & & C3 \\ & & & & & 3 \\ h▷x◁ & & → & & ↗ & & ↘ \\ & & & C1 & & & & −2 \end{aligned}

12Lectures graphiques_{Lycée Louis Vincent, Metz} {Énoncé \atop p. 170}

1 L’image de −3 par f est f ▷−3◁ D 1. En effet, le point de la courbe

ayant pour abscisse −3 a pour ordonnée 1. 2 La droite horizontale passant par y D 4 est au-dessus de C_{f} ; par consé-

quent, 4 n’a pas d’antécédent par f (il n’existe aucun point de la courbe dont l’ordonnée est égale à 4).

Lecture d’un tableau de variations — v. 1.0 9 juin 2025 — Chapitre 5 page 179 — #189 GÉNÉRALITÉS SUR LES FONCTIONS CHAP. 5_{179} CORRIGÉS INTERROS COURS

3 On a le tableau suivant :

x −3  −2  1  4,5  7
1  3  2
f  ↘  ↗  ↘  ↗
−1  −2,5

4 Le maximum de f sur T−3I 7U est 3, atteint pour x D 1. 5 Le minimum de f sur T−3I 7U est −2,5, atteint pour x D 4,5. 6 D’après le graphique, le tableau de signes de f est le suivant :

x −3  −2,5  −1,5  3  5,5  7
f ▷x◁  C 0 −  0 C 0 − 0 C

7 La courbe représentative de f admet 4 points d’ordonnée égale à 1. Donc l’ensemble solution de l’équation f ▷x◁ D 1 est constitué de leur abscisse : S D {−3I −1I 2I 6}.

8 La courbe C_{f} est au-dessus de la droite d’équation y D 1 entre x D −1 et x D 2, et entre x D 6 et x D 7. Ainsi, l’ensemble solution de l’inéquation f ▷x◁ > 1 est : S DU − 1I 2T∪U6I 7U.

13Généralités_{Lycée Louis Vincent, Metz} {Énoncé \atop p. 170}

1 f est un quotient, dont le dénominateur s’annule uniquement pour x D 4. Ainsi, le domaine de définition de f est ℝ \ {4}.

2 f ▷2◁ D \frac{3 × 2 C 2}{2 − 4} D \frac{8}{−2} D −4.

L’image de 2 par f est −4.

f ▷−1◁ D \frac{−3 C 2}{−1 − 4} D \frac{1}{5}.

L’image de −1 par f est \frac{1}{5}.

3 f ▷0◁ D \frac{3 × 0 C 2}{0 − 4} D \frac{2}{−4} D −\frac{1}{2} D̸ y_{M}. Donc M ∉ C_{f} .

f ▷15◁ D \frac{3 × 15 C 2}{15 − 4} D \frac{47}{11} ≈ 4,2727 … D̸ y_{N}. Donc N ∉ C_{f} .

� ATTENTION

Ce n’est pas parce que \frac{47}{11} est presque égal à 4,27 que c’est exactement égal... Le point sera proche de C_{f} , mais ne sera pas sur la courbe.

f ( \frac{1}{3}) D \frac{3 × \frac{1}{3} C 2}{\frac{1}{3} − 4} D \frac{3}{−\frac{11}{3}} D −\frac{9}{11} D y_{P}. Donc P ∈ C_{f} .

Résolution graphique — v. 1.0 9 juin 2025 — Chapitre 5 page 180 — #190

CORRIGÉS_{180}

14Lecture d’un tableau de variations_{Lycée Louis Vincent, Metz} {Énoncé \atop p. 171}

1 Le maximum de f est 6, et il est atteint pour x D 0.

Le minimum de f est −5, et il est atteint pour x D −2. 2 Sur T−5I −2T, f ▷x◁ passe de −4 à −5, donc ne passe pas par 4;

Sur U − 2I 0T, f ▷x◁ passe de −5 à 6, donc passe par 4;

Sur U0I 3T, f ▷x◁ passe de 6 à 0, donc passe par 4;

Sur U3I 5U, f ▷x◁ passe de 0 à 4, donc passe par 4 (à la fin); Au final, f ▷x◁ passe trois fois par 4; ainsi, l’équation f ▷x◁ D 4 admet trois solutions.

3 1 < 2 et f est strictement décroissante sur T0I 3U.

Donc f ▷1◁ > f ▷2◁.

−1 > −2 et f est strictement croissante sur T−2I 0U. Donc f ▷−1◁ > f ▷−2◁.

On ne peut pas comparer f ▷−1◁ et f ▷4◁ car sur T−1I 4U, f n’est pas strictement monotone et les extrema locaux (6 et 0) ne permettent pas de conclure.

Bien que f ne soit pas strictement monotone sur T−3I 4U, on peut cette fois-ci comparer f ▷4◁ et f ▷−3◁ à l’aide des extrema locaux. En effet, f ▷−3◁ ∈ T−5I −4U, donc f ▷−3◁ < 0, et f ▷4◁ ∈ T0I 4U, donc f ▷4◁ ⩾ 0. Ainsi, f ▷4◁ > f ▷−3◁.

15Résolution graphique_{Lycée Montaigne, Bordeaux} {Énoncé \atop p. 171}

1 (a) On lit sur le graphique les abscisses des points qui sont au-dessus (f ▷x◁ ⩾ 0◁ ou au-dessous (f ▷x◁ ⩽ 0) de l’axe des abscisses. On résume dans un tableau :

x −∞  −1  C1  C∞
f ▷x◁  C 0 − 0 C

(b) Dans ce type d’inéquation, deux méthodes sont possibles.

On peut factoriser f ▷x◁ D ▷x − 1◁▷x C 1◁ puis utiliser un tableau de signes :

x −∞  −1  C1  C∞
x − 1  −  − 0 C
x C 1  − 0 C  C
f ▷x◁  C 0 − 0 C

Variations — v. 1.0 9 juin 2025 — Chapitre 5 page 181 — #191 GÉNÉRALITÉS SUR LES FONCTIONS CHAP. 5_{181} CORRIGÉS INTERROS COURS

On peut aussi remarquer que le signe de f ▷x◁ dépend de la position de x^{2} par rapport à 1, ce qui permet d’utiliser les variations de la fonction x ↦ x^{2} :

x −∞  −1  0  C1  C∞
↘  ↗
x^{2} 1 1
↘ 0 ↗

On lit dans le tableau : x^{2} ⩽ 1 pour x ∈ T−1 I 1U et x^{2} ⩾ 1 pour x ∈U − ∞ I −1U ou x ∈ T1 I C∞T. On retrouve ainsi les résultats précédents.

2 La fonction g est sous la forme x ↦ ax C b. On lit sur le graphique : g▷0◁ D −1 et g▷1◁ D 0, d’où les équations :

\{ \begin{matrix}g▷0◁ D b D −1 \\ g▷1◁ D a C b D 0 \end{matrix} ⟺ \{ \begin{matrix}a D 1 \\ b D −1 \end{matrix}

g est donc la fonction affine définie sur ℝ par :

g▷x◁ D x − 1.

3 Graphiquement, on constate que la parabole ▷C◁ est au-dessous de la droite D pour les points dont les abscisses sont comprises entre 0 et 1. L’inégalité est large, il faut donc inclure les valeurs 0 et 1, d’où :

S D T0 I 1U.

Par le calcul :

f ▷x◁ ⩽ g▷x◁ ⟺ x^{2} − 1 ⩽ x − 1
⟺ ▷x − 1◁▷x C 1◁ ⩽ ▷x − 1◁
⟺ ▷x − 1◁T▷x C 1◁ − 1U ⩽ 0
⟺ x▷x − 1◁ ⩽ 0

On utilise un tableau de signes :

x  −∞  0  C1  C∞
x  − 0 C  C
▷x − 1◁  −  − 0 C
x▷x − 1◁  C 0 − 0 C

On constate que x▷x−1◁ ⩽ 0 pour x ∈ T0 I 1U, ce qui confirme le résultat lu sur le graphique.

Variations — v. 1.0 9 juin 2025 — Chapitre 5 page 182 — #192 CORRIGÉS_{182}
16Variations_{Lycée Talma, Brunoy} {Énoncé \atop p. 172}

1 Prenons dans I deux réels x et x′tels que x′> x et comparons f ▷x′◁ et f ▷x◁. Pour rendre la comparaison plus commode, exprimons :

f ▷x′◁ − f ▷x◁ D \frac{−x′C 3}{x′− 5} − \frac{−x C 3}{x − 5}

D \frac{▷−x′C 3◁▷x − 5◁ − ▷−x C 3◁▷x′− 5◁}{▷x′− 5◁▷x − 5◁}

D \frac{−x′x C 3x C 5x′− 15 − ▷−xx′C 5x C 3x′− 15◁}{▷x′− 5◁▷x − 5◁}

D \frac{−x′x C 3x C 5x′− 15 C xx′− 5x − 3x′C 15}{▷x′− 5◁▷x − 5◁}

D \frac{−2x C 2x′}{▷x′− 5◁▷x − 5◁}

D ▷x′− x◁\frac{2}{▷x′− 5◁▷x − 5◁}.

Comme x′− x > 0, x′− 5 < 0 et x − 5 < 0, on obtient :

f ▷x′◁ − f ▷x◁ > 0, donc f ▷x′◁ > f ▷x◁.

On en déduit que f est strictement croissante sur I. 2 Prenons encore dans I deux réels, x′> x.

Cette fois, plutôt que calculer f ▷x′◁ − f ▷x◁, écrivons directement :

x′> x
x′− 8 > x − 8

et, ces deux réels étant positifs (car x ⩾ 8), on peut élever les deux membres au carré :

▷x′− 8◁^{2} > ▷x − 8◁^{2}

ce qui donne : f ▷x′◁ > f ▷x◁. On en déduit que f est strictement croissante sur I.

Remarque : ce type d’exercice n’est plus vraiment dans l’esprit du programme. Cependant, connaître cette méthode pour déterminer les variations d’une fonction peut être intéressant pour celles et ceux qui ont envie d’aller au-delà du programme.

Un premier bilan — v. 1.0 9 juin 2025 — Chapitre 5 page 183 — #193

GÉNÉRALITÉS SUR LES FONCTIONS CHAP. 5_{183} CORRIGÉS INTERROS COURS

17Trouver les variations_{Lycée Thiers, Marseille} {Énoncé \atop p. 172}

1 Obéissons poliment aux injonctions de l’énoncé, et munissons-nous de x_{1} et x_{2}, tels que 0 < x_{1} < x_{2}. On calcule :

f ▷x_{1}◁ − f ▷x_{2}◁ D x_{1} C \frac{1}{x_{1}} − x_{2} − \frac{1}{x_{2}}

D \frac{1}{x_{1}} − x_{2} C x_{1} − \frac{1}{x_{2}}

D \frac{1}{x_{1}} − \frac{x_{2}x_{1}}{x_{1}} C \frac{x_{1}x_{2}}{x_{2}} − \frac{1}{x_{2}}

D \frac{1}{x_{1}}▷1 − x_{2}x_{1}◁ C \frac{1}{x_{2}}▷x_{1}x_{2} − 1◁

D ▷1 − x_{2}x_{1}◁ ( \frac{1}{x_{1}} − \frac{1}{x_{2}})

Ceci est du signe de ▷1 − x_{2}x_{1}◁, puisque, x_{1} étant inférieur à x_{2}, \frac{1}{x_{1}} est

supérieur à \frac{1}{x_{2}}, donc : \frac{1}{x_{1}} − \frac{1}{x_{2}} est positif.

2 Si l’on se donne deux points x_{1} et x_{2} inférieurs à 1, et tels que nous avons 0 < x_{1} < x_{2}, alors ▷1 − x_{2}x_{1}◁ est positif (si ce point ne vous paraît pas évident, cherchez-en une preuve maintenant, une correction est donnée à la fin de ce paragraphe). Donc f ▷x_{1}◁ − f ▷x_{2}◁ est positif, et f est décroissante sur U0 I 1U (x_{1} est le plus petit et son image est la plus grande). En revanche, si les deux points x_{1} et x_{2} sont supérieurs à 1, alors ▷1 − x_{2}x_{1}◁ est négatif. Donc f ▷x_{1}◁ − f ▷x_{2}◁ est négatif, et f est croissante sur T1 I C∞T (x_{1} est le plus petit et son image est aussi la plus petite). Au sujet de 1 − x_{2}x_{1} > 0 : vous savez que 0 < x_{1} < 1 et 0 < x_{2} < 1, il suffit de multiplier membre à membre ces encadrements (ce que l’on a le droit de faire car ils concernent des nombres tous positifs), et il vient : 0 < x_{1}x_{2} < 1, d’où : 1 − x_{1}x_{2} > 0.

3 À l’aide de la question précédente, on dresse le tableau de variations de f :

\begin{matrix}x & 0 & & 1 & & C∞ \\ f ▷x◁ & & ↘ & 2 & ↗ \end{matrix}

4 D’après le tableau de variations, f admet pour minimum 2 en x D 1.

18Un premier bilan_{Lycée Alphonse Daudet, Nîmes} {Énoncé \atop p. 172}

1 f est définie sur T−1,5 I 3U. 2 On lit sur le graphique : f ▷−0,5◁ D −2, f ▷1◁ D 3, f ▷2◁ D −1,

f ▷2,5◁ D 0 et f ▷3◁ D 2.

Un premier bilan — v. 1.0 9 juin 2025 — Chapitre 5 page 184 — #194

CORRIGÉS_{184}

3 On a indiqué les « points-solutions » sur la figure ci-dessous. Dans les deux cas, il y a trois solutions.

4 f est bornée sur son ensemble de définition, par −2 et 3. 5 D’après l’énoncé, la courbe de f est un segment de droite sur T−0,5 I 1U.

Sur cet intervalle, la fonction s’écrit donc :

f ▷x◁ D ax C b

où a et b sont deux constantes réelles. On peut donc écrire :

f ▷−0,5◁ D −0,5a C b et f ▷1◁ D a C b

En tenant compte de la question 2), il n’y a plus qu’à résoudre le système :

\{ \begin{matrix}−2 D −0,5a C b \\ 3 D a C b \end{matrix}  ⟺ \{ \begin{matrix}3 D a C b \\ 5 D 1,5a \end{matrix}

⟺ \{ \begin{matrix}b D 3 − a \\ a D \frac{10}{3} \end{matrix}

⟺ \{ \begin{matrix}b D −\frac{1}{3} \\ a D \frac{10}{3} \end{matrix}

Ce qui nous donne sur l’intervalle T−0,5 I 1U :

f ▷x◁ D \frac{10}{3}x − \frac{1}{3}.

On utilise la même méthode sur T1 I 2U.

f ▷1◁ D a C b et f ▷2◁ D 2a C b, on résout le système :

\{ \begin{matrix}3 D a C b \\ −1 D 2a C b \end{matrix} ⟺ \{ \begin{matrix}b D 3 − a \\ −4 D a \end{matrix}

⟺ \{ \begin{matrix}b D 7 \\ a D −4 \end{matrix}

f, sur l’intervalle T1 I 2U, a pour expression :

f ▷x◁ D −4x C 7.

Généralités — v. 1.0 9 juin 2025 — Chapitre 5 page 185 — #195 GÉNÉRALITÉS SUR LES FONCTIONS CHAP. 5_{185} CORRIGÉS INTERROS COURS

6 Il y a trois solutions à E_{1}. La première se trouve dans l’intervalle T−0,5 I 1U, il suffit de résoudre :

\frac{10}{3}x − \frac{1}{3} D 0 ⟺ x D \frac{1}{10}.

Il y a une deuxième solution dans T1 I 2U :

−4x C 7 D 0 ⟺ x D \frac{7}{4}.

La troisième solution est parfaitement lisible, puisque f ▷2,5◁ D 0. L’ensemble des solutions de E_{1} est donc :

\{ \frac{1}{10} I \frac{7}{4} I \frac{5}{2}\} .

Ici encore, la première solution de E_{2} se trouve dans T−0,5 I 1U. On résout :

\frac{10}{3}x − \frac{1}{3} D 2 ⟺ \frac{10}{3}x D \frac{7}{3} ⟺ x D \frac{7}{10}.

Il y a une autre solution, dans l’intervalle T1 I 2U :

−4x C 7 D 2 ⟺ −4x D −5 ⟺ x D \frac{5}{4}.

Enfin, nous savons déjà que f ▷3◁ D 2.

L’ensemble des solutions de l’équation est : \{ \frac{7}{10} I \frac{5}{4} I 3\} .

19Généralités_{Lycée Saint-Louis-de-Gonzague, Paris} {Énoncé \atop p. 173}

1 f ▷x◁ D 4x^{2} C 4x C 1 − x^{2} C 6x − 9 D 3x^{2} C 10x − 8.

2  \begin{aligned}f ▷x◁ & D [▷2x C 1◁ C ▷−x C 3◁][▷2x C 1◁ − ▷−x C 3◁] \\ & D ▷2x C 1 − x C 3◁▷2x C 1 C x − 3◁ \\ & D ▷x C 4◁▷3x − 2◁. \end{aligned}

g▷x◁D ▷x − 4◁▷x C 4◁ − 2▷x C 4◁▷−2x C 1◁
D ▷x C 4◁[▷x − 4◁ − 2▷−2x C 1◁]
D ▷x C 4◁▷x − 4 C 4x − 2◁
D ▷x C 4◁▷5x − 6◁.

3 Il suffit de résoudre l’équation :

−8 D 3x^{2} C 10x − 8 ⟺ 0 D 3x^{2} C 10x ⟺ x▷3x C 10◁ D 0.

Les antécédents de −8 par f sont donc : 0 et \frac{−10}{3} .

Paire et impaire — v. 1.0 9 juin 2025 — Chapitre 5 page 186 — #196

CORRIGÉS_{186}

4 Utilisons les expressions factorisées de f et g :

f ▷x◁ C g▷x◁ D 0 ⟺ ▷x C 4◁▷3x − 2◁ C ▷x C 4◁▷5x − 6◁ D 0

⟺ ▷x C 4◁▷3x − 2 C 5x − 6◁ D 0 ⟺ ▷x C 4◁▷8x − 8◁ D 0 ⟺ ▷x C 4◁▷x − 1◁ D 0.

D’où l’ensemble des solutions : S D {−4 I 1}. 5 Utilisons encore les expressions factorisées de f et g :

g▷x◁ − f ▷x◁ D ▷x C 4◁▷5x − 6◁ − ▷x C 4◁▷3x − 2◁

D ▷x C 4◁▷5x − 6 − 3x C 2◁ D ▷x C 4◁▷2x − 4◁ D 2▷x C 4◁▷x − 2◁ D 2▷x C 1 C 3◁▷x C 1 − 3◁ D 2[▷x C 1◁^{2} − 9].

20Parité avec une valeur absolue_{Lycée Pasteur, Neuilly-sur-Seine} {Énoncé \atop p. 173}

1 Pour étudier la parité de la fonction h, calculons :

h▷−x◁ D \frac{4 − | − x |}{\sqrt{▷−x◁^{2} − 9}}

D \frac{4 − | x |}{\sqrt{x^{2} − 9}}

D h▷x◁.

Cette dernière égalité signifie que h est une fonction paire. 2 Calculons :

f ▷−x◁ D \frac{▷−x◁^{2} − 3}{▷−x◁^{3} C 4▷−x◁}

D \frac{x^{2} − 3}{−x^{3} − 4x}

D \frac{x^{2} − 3}{−▷x^{3} C 4x◁}

D −\frac{x^{2} − 3}{x^{3} C 4x}

D −f ▷x◁.

La fonction f est donc impaire.

IL2M — v. 1.0 9 juin 2025 — Chapitre 5 page 187 — #197 GÉNÉRALITÉS SUR LES FONCTIONS CHAP. 5_{187} CORRIGÉS INTERROS COURS
21Paire et impaire_{Lycée Jacques Amyot, Auxerre} {Énoncé \atop p. 174}

1 Pour x ∈ T −5 I 5 U, f ▷x◁ D \sqrt{x^{2} C 1}. ∀ x ∈ T −5 I 5 U, −x ∈ T −5 I 5 U et f ▷−x◁ D \sqrt{▷−x◁^{2} C 1} D \sqrt{x^{2} C 1} D f ▷x◁ donc f est paire.

2 Pour x ∈U 0 I C∞ T, f ▷x◁ D \frac{1}{3x}

L’ensemble de définition de f n’est pas symétrique par rapport à 0 donc f n’est ni paire ni impaire.

3 Pour x ∈ ℝ, f ▷x◁ D 4x^{2} C x C 1 On remarque que f ▷−1◁ D 4 et f ▷1◁ D 6 donc f n’est ni paire ni impaire.

4 Pour x ∈ ℝ, f ▷x◁ D 4x^{3} C 2x

∀ x ∈ ℝ, − x ∈ ℝ et :

f ▷−x◁ D 4 × ▷−x◁^{3} C 2 × ▷−x◁
D −4x^{3} − 2x
D −f ▷x◁.

donc f est impaire.

22Déduction_{Lycée Jacques Amyot, Auxerre} {Énoncé \atop p. 174}

f est impaire , donc :

∀ x ∈ D, f ▷−x◁ D −f ▷x◁.

En particulier, pour x D 0,

f ▷−0◁ D −f ▷0◁

soit :

f ▷0◁ D −f ▷0◁

et donc :

f ▷0◁ C f ▷0◁ D 0

soit :

2f ▷0◁ D 0

d’où :

f ▷0◁ D 0.

IL2M — v. 1.0 9 juin 2025 — Chapitre 5 page 188 — #198

Fonctions de référence

Plan du chapitre

1. Fonctions linéaires et affines

2. Les autres fonctions usuelles

1 Fonctions linéaires et affines

1 Donner les variations des fonctions définies sur ℝ par :

\{ \begin{matrix}f_{1}▷x◁ D 2x C 3 \\ f_{2}▷x◁ D 2x − 3 \\ f_{3}▷x◁ D −2x C 3 \end{matrix}

2 Tracez leur courbe représentative.

Exercice type 1

Lycée Pascal Paoli, Corte

Voir corrigé page 190

1.1 Comment varient les fonctions linéaires et affines?

Une fonction affine s’écrit :

∀ x ∈ ℝ, f ▷x◁ D ax C b

où a et b sont des réels fixés. Les variations de f ▷x◁ et de x sont proportionnelles, car :f ▷x_{2}◁ − f ▷x_{1}◁ D ▷ax_{2} C b◁ − ▷ax_{1} C b◁ D a▷x_{2} − x_{1}◁, soit :

a D \frac{f ▷x_{2}◁ − f ▷x_{1}◁}{x_{2} − x_{1}} .

a est le coefficient de proportionnalité.

On a : b D f ▷0◁ (c’est « l’ordonnée à l’origine »). La « courbe » représentative de f est une droite. L’équation de cette droite est : y D ax C b. La direction de cette droite est indiquée par le réel a, appelé coefficient directeur.

Le signe du coefficient directeur indique le sens de variation de f :

Si a > 0, la fonction est strictement croissante. Si a D 0, la droite est parallèle à l’axe des abscisses, la fonction est constante. Si a < 0, la fonction est strictement décroissante.

Remarque : une fonction linéaire (de la forme x ↦ ax, où a est une constante) est un cas particulier de fonction affine (b D 0).

1 Le coefficient directeur de f_{1} est C2 donc f_{1} est croissante.

Celui de f_{2} est également C2 donc f_{2} est croissante. Les coefficients directeurs étant les mêmes, les droites sont parallèles. Le coefficient directeur de f_{3} est −2, donc f_{3} est décroissante.

2

Solution de l’exercice type 1

Lycée Pascal Paoli, Corte

Voir énoncé page 189

2 Les autres fonctions usuelles

Le plan est rapporté à un repère orthonormé ▷O,E ı, E ȷ◁. 1 Développer l’expression ▷x C 3◁^{2} − 6.

2 En déduire que la courbe d’équation y D x^{2} C 6x C 3 est une parabole, dont on déterminera le sommet S.

3 Écrire l’expression 2 C \frac{3}{x − 1} sous la forme d’une fraction.

4 En déduire l’ensemble de définition et les variations de la fonction f :

x ↦ \frac{2x C 1}{x − 1}.

Exercice type 2

Lycée Chaptal, Paris Voir corrigé page 195

IL2M — v. 1.0 9 juin 2025 — Chapitre 6 page 191 — #201 FONCTIONS DE RÉFÉRENCE CHAP. 6_{191} CORRIGÉS INTERROS COURS

2.1 La fonction « carré »

C’est la fonction définie sur ℝ par x ↦ x^{2}. Son tableau de variations est le suivant :

\begin{matrix}x & −∞ & & 0 & & C∞ \\ x^{2} & & ↘ & 0 & ↗ \end{matrix}

Sa courbe représentative s’appelle une parabole. Au minimum de la fonction, 0, correspond sur la courbe le sommet, placé à l’origine du repère.

La fonction carré n’est croissante que sur T0, C ∞T (également noté ℝ_{C}), on ne peut donc passer au carré dans une inégalité que si les deux membres sont positifs. Par exemple, 3 < 5 donc 9 < 25. En revanche, −2 < 1 et pourtant 4 > 1! Si on note f ▷x◁ D x^{2}, on constate que f ▷−x◁ D f ▷x◁ pour tout x ∈ ℝ: on dit que la fonction est paire (comme l’exposant 2 dans x^{2}). On peut le voir graphiquement car l’égalité f ▷−x◁ D f ▷x◁ signifie que deux points de la courbe qui ont des abscisses opposées ont toujours la même ordonnée : la courbe est donc symétrique par rapport à l’axe ▷Oy◁. Toutes les courbes dont l’équation peut s’écrire, dans un certain repère, sous la forme y D ax^{2} ▷a D̸ 0◁, sont des paraboles, dont le sommet est l’origine du repère. Le signe de a donne l’orientation (branches vers le haut ou vers le bas) de la parabole. Voici par exemple la courbe représentative de x ↦ 3x^{2} :

IL2M — v. 1.0 9 juin 2025 — Chapitre 6 page 192 — #202 COURS_{192}

et celle de la fonction x ↦ −2x^{2} :

2.2 La fonction « cube »

La fonction f : x ↦ x^{3} est strictement croissante sur ℝ. En effet, si a et b sont deux réels tels que a < b, alors a^{3} < b^{3}. On a donc le droit de « passer au cube » une inégalité de réels, même si les deux membres ne sont pas positifs. Voici la courbe représentative de cette fonction :

Si on note f ▷x◁ D x^{3}, on constate que f ▷−x◁ D −f ▷x◁ pour tout x ∈ ℝ : on dit que la fonction est impaire (comme l’exposant 3 dans x^{3}). L’égalité f ▷−x◁ D −f ▷x◁ signifie que deux points de la courbe qui ont des abscisses opposées ont des ordonnées opposées : la courbe est donc symétrique par rapport à O.

2.3 La fonction « racine carrée »

La fonction x ↦ \sqrt{x} n’est définie que sur ℝ_{C} D T0, C ∞T. Elle est croissante, et sa courbe est représentée ci-contre.

IL2M — v. 1.0 9 juin 2025 — Chapitre 6 page 193 — #203 FONCTIONS DE RÉFÉRENCE CHAP. 6_{193} CORRIGÉS INTERROS COURS

Se demander si elle est paire ou impaire n’a pas de sens, car elle n’est définie que sur ℝ_{C}. Si on regarde la figure ci-dessous dans un miroir et qu’on la tourne un peu, la courbe de y D \sqrt{x} devient la branche droite de la parabole.

Ceci montre que les courbes d’équation y D \sqrt{x} et y D x^{2} (pour x ⩾ 0) sont symétriques par rapport à la droite d’équation y D x.

On a cette propriété parce que les fonctions racine et carré (sur T0, C ∞T) sont réciproques l’une de l’autre : si x ⩾ 0, alors \sqrt{x^{2}} D x et ▷\sqrt{x}◁^{2} D x.

� ATTENTION

Si x < 0, alors ▷\sqrt{x}◁^{2} n’existe pas et \sqrt{x^{2}} D −x (par exemple ▷−2◁^{2} D 4 et \sqrt{4} D 2 et non −2). En testant les deux cas x ⩾ 0 et x ⩽ 0, on montre la formule :

\sqrt{x^{2}} D | x | .

IL2M — v. 1.0 9 juin 2025 — Chapitre 6 page 194 — #204 COURS_{194}

2.4 La fonction « inverse »

C’est la fonction f : x ↦ \frac{1}{x}. Elle est définie sur ℝ^{∗}. Cet ensemble est un sousensemble de ℝ, mais ce n’est pas un intervalle. Il est formé de la réunion de deux intervalles : U − ∞,0T et U0, C ∞T. La fonction est décroissante sur ces deux intervalles. Si on inverse les membres d’une inégalité entre nombres de mêmes signes, on obtient une inégalité de sens contraire. Attention! La fonction inverse n’est pas décroissante sur ℝ^{∗} car, par exemple, f ▷−1◁ < f ▷C1◁. Son tableau de variations est le suivant :

x −∞  0  C∞
\frac{1}{x}  ↘  ↘

La courbe représentative est une hyperbole. Elle est formée de deux branches disjointes.

Notons f ▷x◁ D \frac{1}{x}. On constate que, pour tout x ∈ ℝ^{∗}, f ▷−x◁ D −f ▷x◁. La fonction est donc impaire et la courbe admet l’origine du repère comme centre de symétrie.

La courbe se rapproche des deux axes du repère, mais sans les toucher; on dit que les axes sont les asymptotes de l’hyperbole.

Toutes les courbes dont l’équation s’écrit sous la forme y D \frac{a}{x} s’appellent des hyperboles, et l’origine du repère est leur centre.

IL2M — v. 1.0 9 juin 2025 — Chapitre 6 page 195 — #205 FONCTIONS DE RÉFÉRENCE CHAP. 6_{195} CORRIGÉS INTERROS COURS

a < 0  a > 0

1 On développe : ▷x C 3◁^{2} − 6 D x^{2} C 6x C 9 − 6 D x^{2} C 6x C 3.

2 L’équation y D x^{2} C 6x C 3 s’écrit donc aussi : y D ▷x C 3◁^{2} − 6, soit : y C 6 D ▷x C 3◁^{2}. On pose Y D y C 6 et X D x C 3, on obtient l’équation Y D X^{2}, ce qui montre que la courbe est une parabole. Son sommet S est l’origine du nouveau repère. Il est donc donné par X D 0 et Y D 0, c’est-à-dire x D −3 et y D −6. En conclusion, S a pour coordonnées ▷−3I −6◁.

3 On réduit au même dénominateur :

2 C \frac{3}{x − 1} D \frac{2▷x − 1◁ C 3}{x − 1} D \frac{2x − 2 C 3}{x − 1} D \frac{2x C 1}{x − 1}.

4 L’expression \frac{2x C 1}{x − 1} n’est définie que si le dénominateur est différent

de 0, donc pour x D̸ 1. L’ensemble de définition de f est donc ℝ \ {1}, qu’on peut aussi noter U − ∞, C 1T∪U C 1, C ∞T. Pour les variations, considérons deux éléments a et b de UC1,C∞T tels que a < b. On a donc a − 1 < b − 1 et comme ces deux nombres sont

strictement positifs : \frac{1}{a − 1} > \frac{1}{b − 1} . On applique aux deux membres

la fonction x ↦ 3x C 2, qui est une fonction affine strictement crois-

sante sur ℝ, et on en déduit que \frac{3}{a − 1} C 2 > \frac{3}{b − 1} C 2, c’est-à-dire

f ▷a◁ > f ▷b◁. On en déduit que f est strictement décroissante sur U1, C ∞T. Si a et b sont éléments de U − ∞, C 1T, on a de même a − 1 < b − 1 , et comme ces deux nombres sont strictement négatifs, on a encore

\frac{1}{a − 1} > \frac{1}{b − 1} , puis f ▷a◁ > f ▷b◁. La fonction f est donc strictement

décroissante sur U − ∞,1T.

Solution de l’exercice type 2

Lycée Chaptal, Paris Voir énoncé page 190

IL2M — v. 1.0 9 juin 2025 — Chapitre 6 page 196 — #206 INTERROS_{196}
1_{V/F} Fonctions affines et linéaires Corrigé p. 205 5 min

Répondre par « vrai » ou « faux » aux propositions suivantes.

1 On considère la fonction f V x ↦ −\frac{21}{2}x C 7 définie sur ℝ.

a f est une fonction linéaire.
b f est décroissante sur ℝ.
c La courbe représentative de f coupe l’axe des abscisses en −\frac{7}{3}.
d −98 est l’image de 10 par f.

2 Un carré de côté x a un périmètre noté P▷x◁ et une aire notée A▷x◁.

a P est une fonction linéaire.
b A est une fonction affine.
c Il n’existe pas de valeur de x autre que 0 telle que P▷x◁ D A▷x◁.

2_{V/F} Fonctions inverse et carré Corrigé p. 205 5 min

Indiquer si les propositions suivantes sont vraies ou fausses.

a La fonction inverse est décroissante sur ℝ.

b Les courbes représentatives des fonctions inverse et carré se coupent en un seul point.

c La courbe représentative de la fonction x ↦ −x^{2} C 2x − 1 a un sommet de coordonnées ▷1 I 0◁.

Fonctions affines et linéaires

3Fonctions affines_{Lycée Édouard Herriot, Lyon} Corrigé ; p. 206 ; 10 min ; ⋆

Trouver une fonction affine f telle que f ( \frac{1}{2}) D 1 et f ▷1◁ D \frac{1}{4}.

4Alignement de points_{Lycée Les Francs-Bourgeois, Paris} Corrigé ; p. 206 ; 10 min ; ⋆

Dans un repère ▷O,I,J ◁, on considère les points A▷−1 I −5◁, B▷2 I 1◁ et C▷3 I 3◁.

1 Soit f V x ↦ ax C b la fonction affine dont la courbe représentative

passe par A et B. Déterminer a et b. 2 Les points A, B et C sont-ils alignés?

IL2M — v. 1.0 9 juin 2025 — Chapitre 6 page 197 — #207 FONCTIONS DE RÉFÉRENCE CHAP. 6_{197} CORRIGÉS INTERROS COURS
5Dans un trapèze_{Lycée Loquidy, Nantes} Corrigé ; p. 206 ; 20 min ; ⋆

On considère un trapèze ABCD rectangle en A et en D tel que : AB D 8, AD D 5 et CD D 10. M est un point mobile sur le segment TADU. On note AM D x.

1 À quel intervalle appartient x?

2 Soit f la fonction qui, à x, associe l’aire du triangle ABM.

Montrer que f ▷x◁ D 4x. 3 Soit g la fonction qui, à x, associe l’aire du triangle CDM.

Montrer que f ▷x◁ D 25 − 5x. 4 Soit h la fonction qui, à x, associe l’aire du triangle BCM.

On admet que h est une fonction affine telle que f ▷1◁ D 21 et h▷4◁ D 24. En déduire l’expression algébrique de h▷x◁.

5 Pour quelle valeur de x l’aire de ABM est égale à celle de CDM?

6 Pour quelle valeur de x l’aire de BCM est égale à celle de CDM?

6Fonctions affines_{Lycée P. et I. Joliot-Curie, Nanterre} Corrigé ; p. 207 ; 20 min ; ⋆ ; ⋆

Les fonctions suivantes sont-elles des fonctions affines? Si oui, donner le coefficient directeur et l’ordonnée à l’origine de la droite qui les représente ainsi que leur sens de variation :

1 f_{1} V x ↦ \frac{3 C 11x}{6} . ; 2 f_{2} V x ↦ −5. ; 3 f_{3} V x ↦ 7 − x.  4 f_{4} V x ↦ \frac{5x C 4}{x − 8}. ; 5 f_{5} V x ↦ \frac{2}{3}x. ; 6 f_{6} V x ↦ ▷x − 4◁▷x C 2◁ − x^{2} C 10.

IL2M — v. 1.0 9 juin 2025 — Chapitre 6 page 198 — #208 INTERROS_{198}

Fonction carré

7Comparaison de deux carrés_{Lycée Pasteur, Neuilly-sur-Seine} Corrigé ; p. 208 ; 5 min ; ⋆

Comparer (2 − \sqrt{5})^{2} et (2 − \sqrt{7})^{2} sans les calculer.

8Avec la fonction carré_{Lycée Loquidy, Nantes} Corrigé ; p. 209 ; 5 min ; ⋆

Compléter les pointillés suivants. 1 Si 3 ⩽ x ⩽ 5 alors …x^{2} … 2 Si x < −2 alors x^{2} … 3 Si x ∈U − 1I 4U alors x^{2} ∈ … 4 Sachant que x^{2} < 5, on peut dire que x …

9Sous diverses formes_{Lycée Les-Francs-Bourgeois, Paris} Corrigé ; p. 209 ; 15 min ; ⋆

Soit f la fonction définie sur ℝ par f ▷x◁ D 2x^{2} C 3x − 2. 1 Montrer que f ▷x◁ D ▷2x − 1◁▷x C 2◁.

2 Montrer que f ▷x◁ D 2 ( x C \frac{3}{4}) ^{2} − \frac{25}{8}.

3 Déterminer les points d’intersection entre la courbe représentative de f et l’axe des abscisses.

10Étude graphique_{Lycée Vaugelas, Chambéry} Corrigé ; p. 210 ; 20 min ; ⋆

La figure page ci-contre représente la courbe de la fonction f. 1 Quelle semble être la nature de cette courbe? 2 Dresser le tableau de variations de f. 3 En fait, f est une fonction définie sur ℝ par l’une des expressions sui-

vantes :

{(a) f ▷x◁ D \frac{1}{2}x^{2} C 2x C 6 \atop (b) f ▷x◁ D \frac{1}{2}x^{2} C 2x − 2}  (c) f ▷x◁ D −\frac{1}{2}x^{2} C 2x C 6

Laquelle? Donner une justification simple.

11Réciproque et contraposée_{Lycée Parc de Vilgenis, Massy} Corrigé ; p. 210 ; 10 min ; ⋆ ; ⋆

On désigne par f la fonction carré. Soit P la propriété : « si x D −2 alors f ▷x◁ D 4. » 1 La propriété P est-elle vraie? 2 Formuler la propriété réciproque de la propriété P. Est-t-elle vraie? 3 Formuler la propriété contraposée de P. Est-elle vraie?

12Les coins du carré_{Lycée Les-Francs-Bourgeois, Paris} Corrigé ; p. 211 ; 15 min ; ⋆ ; ⋆

Un carré ABCD de côté 4 cm est partagé selon le schéma suivant :

IL2M — v. 1.0 9 juin 2025 — Chapitre 6 page 200 — #210 INTERROS_{200}

Les « coins » sont des carrés de côtés x tel que x ∈ T0 I 2U. On note A_{1} l’aire de la figure hachurée et A_{2} l’aire de ce qui n’est pas hachuré.

1 Exprimer en fonction de x l’aire A_{1}.

2 Exprimer en fonction de x l’aire A_{2}.

3 Montrer que A_{2} D −8▷x − 1◁^{2} C 8. En déduire la valeur de x pour laquelle A_{2} est maximale.

13Variations_{Lycée Geoffroy-Saint-Hilaire, Étampes} Corrigé ; p. 211 ; 20 min ; ⋆ ; ⋆

Soit f la fonction définie sur ℝ par : f ▷x◁ D x^{2} − 4x C 3. 1 Vérifier que f ▷x_{1}◁ − f ▷x_{2}◁ D ▷x_{2} − x_{1}◁▷4 − ▷x_{1} C x_{2}◁◁.

2 Démontrer les deux propriétés suivantes :

si x_{1} < x_{2} ⩽ 2 alors x_{1} C x_{2} < 4 ;
si 2 ⩽ x_{1} < x_{2} alors x_{1} C x_{2} > 4.

3 En déduire que f est strictement décroissante sur U − ∞ I 2U et que f est strictement croissante sur T2 I C∞T. Dresser le tableau de variations de f.

4 Vérifier que x^{2} − 4x C 3 D ▷x − 1◁▷x − 3◁.

5 Résoudre l’équation x^{2} − 4x C 3 D 0.

6 Utiliser les questions 3 et 5 pour résoudre l’inéquation x^{2} ⩾ 4x − 3.

7 Retrouver le résultat de la question 6 en utilisant la question 4.

14Aires et fonctions_{Lycée Paul Langevin, Suresnes} Corrigé ; p. 213 ; 40 min ; ⋆ ; ⋆

Dans un carré ABCD de côté 1, on inscrit quatre figures, comme illustré page ci-contre. 1 Déterminer, dans chaque configuration, l’aire de la partie hachurée en

fonction de x D AM. 2 Déduire des représentations graphiques des quatre aires, selon les va-

leurs de x, quelle est la figure hachurée qui a l’aire la plus grande; la plus petite.

15Algorithmique_{Lycée Stanislas, Paris} Corrigé ; p. 214 ; 15 min ; ⋆ ; ⋆ ; ⋆

Soit f la fonction définie sur ℝ par :

f ▷x◁ D 3x^{2} − 19x − 14.

On admet que l’équation f ▷x◁ D 0 admet une solution entière comprise entre 0 et 20. 1 Écrire un algorithme qui permet de la trouver. 2 Programmer cet algorithme en Python ou sur la calculatrice.

16Aire minimale_{Lycée Jacques Decour, Paris} Corrigé ; p. 215 ; 30 min ; ⋆ ; ⋆ ; ⋆

Dans le carré ABCD de côté 20 cm, on inscrit un carré MNP Q suivant le schéma ci-dessous :

IL2M — v. 1.0 9 juin 2025 — Chapitre 6 page 202 — #212 INTERROS_{202}

On pose x D AM D BN D CP D DQ, avec 0 ⩽ x ⩽ 20.

1 Calculer l’aire du carré MNP Q en fonction de x.

Cette aire, exprimée en cm^{2}, sera notée S▷x◁ et sera donnée sous la forme développée et réduite.

2 Vérifier que 2▷x − 10◁^{2} C 200 D 2x^{2} − 40x C 400.

3 Quelle est l’aire minimale du carré MNP Q?

4 On veut déterminer les valeurs de x pour lesquelles l’aire du carré MNP Q ne dépasse pas 272 cm^{2}. On considère l’algorithme suivant :

 Variables : x, S nombres réels
 Initialisation
   x ← 0
   S ← 400
 Début :
   Tant que S ⩾ 272
     x ← x+0,01
     S ← 2x^{2} - 40x + 400
   Fin Tant que
 Sortie : Afficher x

(a) Expliquer la raison pour laquelle cet algorithme ne répond pas à notre souhait.

(b) On admet que S▷x◁ D 272 pour des valeurs de x entières. Modifier alors l’algorithme afin de répondre à notre problème et programmer-le en Python.

Fonction inverse

17De l’inverse à une fonction carré_{Lycée Camille Jullian, Bordeaux} Corrigé ; p. 216 ; 15 min ; ⋆ ; ⋆

On s’intéresse aux points d’intersection des courbes représentatives des fonctions f et g définies respectivement sur ℝ^{∗} et sur ℝ par :

f ▷x◁ D \frac{1}{x} et g▷x◁ D 2x − 7.

1 Soit h▷x◁ D \frac{−2x^{2} C 7x C 1}{x} , pour x D̸ 0.

Montrer que chercher les abscisses de ces éventuels points revient à résoudre l’équation h▷x◁ D 0.

IL2M — v. 1.0 9 juin 2025 — Chapitre 6 page 203 — #213 FONCTIONS DE RÉFÉRENCE CHAP. 6_{203} CORRIGÉS INTERROS COURS

2 Montrer que :

−2x^{2} C 7x C 1 D −2 ( x − \frac{7}{4}) ^{2} C \frac{57}{8}.

3 En déduire l’abscisse des points d’intersection cherchés initialement.

18Changement de repère_{Lycée Fernand Daguin, Mérignac} Corrigé ; p. 217 ; 20 min ; ⋆ ; ⋆

Retrouvez le corrigé de cet exercice en vidéo. Dans un repère orthonormé ▷O,I,J ◁, on considère la courbe représentative C de la fonction f définie par :

f ▷x◁ D \frac{x − 1}{x − 2} .

1 Quel est le domaine de définition de f ?

2 Montrer que f ▷x◁ D 1 C \frac{1}{x − 2} .

3 On considère les points O′▷2 I 1◁, I′▷3 I 1◁ et J′▷2 I 2◁ et le repère ▷O′,I′,J′◁. On convient de noter ▷X I Y ◁ les coordonnées des points dans ce nouveau repère, et ▷x I y◁ celles des points dans ▷O,I,J ◁.

(a) Expliquer les égalités : x D X C 2 et y D Y C 1.

(b) Montrer que dans ▷O′,I′,J′◁, tout point M▷X I Y ◁ de C est tel que

Y D \frac{1}{X}.

Que peut-on en conclure sur C?

Fonctions racine carrée et cube

19Encadrement par deux entiers_{Lycée Parc de Vilgenis, Massy} Corrigé ; p. 218 ; 2 min ; ⋆

Encadrer le nombre \sqrt{123} par deux entiers sans utiliser la calculatrice.

20Domaine_{Lycée Stanislas, Paris} Corrigé ; p. 218 ; 5 min ; ⋆

Quel est l’ensemble de définition de la fonction :

f V x ↦ \sqrt{\frac{x^{2} − 2}{x C 5}} .

IL2M — v. 1.0 9 juin 2025 — Chapitre 6 page 204 — #214 INTERROS_{204}
21Parité_{Lycée Marcelin Berthelot, Châtellerault} Corrigé ; p. 219 ; 10 min ; ⋆

Déterminer l’ensemble de définition des fonctions suivantes et étudier leur parité.

{1 f_{1}▷x◁ D \frac{x^{3} C x}{\sqrt{x^{2} − 1}} \atop 2 f_{2}▷x◁ D \frac{x^{2} − 5}{x^{3}}}  {3 f_{3}▷x◁ D \sqrt{\frac{x^{2} − 2}{x^{2} C 1}} \atop 4 f_{4}▷x◁ D \frac{x C 1}{x^{2} C 1}.}

Fonctions inverse et carré — v. 1.0 9 juin 2025 — Chapitre 6 page 205 — #215 FONCTIONS DE RÉFÉRENCE CHAP. 6_{205} CORRIGÉS INTERROS COURS
1_{V/F} Fonctions affines et linéaires {Énoncé \atop p. 196}

1

a Faux. f ▷x◁ est de la forme ax C b avec a D −\frac{21}{2} et b D 7 donc f est une fonction affine.

b Vrai. a < 0 donc f est décroissante sur ℝ.

c Faux. Pour connaître l’abscisse du point d’intersection de la courbe représentative de f avec l’axe des abscisses, il faut résoudre l’équation f ▷x◁ D 0.

f ▷x◁ D 0 ⟺ −\frac{21}{2}x C 7 D 0

⟺ −\frac{21}{2}x D −7

⟺ x D −7 × ( −\frac{2}{21})

⟺ x D \frac{2}{3}.

Ainsi, la courbe représentative de f coupe l’axe des abscisses en \frac{2}{3}.

d Vrai. f ▷10◁ D −\frac{21}{2} × 10 C 7 D −21 × 5 C 7 D −98, donc −98 est bien l’image de 10 par la fonction f.

2

a Vrai. P▷x◁ D 4x car le périmètre d’un carré est égal au quadruple de la mesure d’un côté. P▷x◁ est de la forme ax donc P est bien une fonction linéaire.

b Faux. A▷x◁ D x^{2} donc l’aire est la fonction carré.

c Faux. \begin{aligned}P▷x◁ D A▷x◁ & ⟺ 4x D x^{2} \\ & ⟺ x^{2} − 4x D 0 \\ & ⟺ x▷x − 4◁ D 0 \\ & ⟺ x D 0 ou x D 4. \end{aligned}

Donc l’aire est égale au périmètre quand x D 4 et quand x D 0.

2_{V/F} Fonctions inverse et carré {Énoncé \atop p. 196}

a Faux. La fonction inverse est décroissante sur U − ∞ I 0T et sur U0 I C∞T, mais pas sur ℝ.

b Vrai. En effet, il n’existe qu’un nombre dont l’inverse est égal à son carré : x D 1. Donc le seul point d’intersection est le point de coordonnées ▷1 I 1◁.

c Vrai. −x^{2}C2x −1 D −▷x^{2}−2x C1◁ D −▷x −1◁^{2}. Cette dernière forme (a▷x − p◁^{2} C q, forme canonique) nous indique que le sommet de la parabole qui représente la fonction a pour coordonnées ▷p I q◁ D ▷1 I 0◁.

Dans un trapèze — v. 1.0 9 juin 2025 — Chapitre 6 page 206 — #216

CORRIGÉS_{206}

3Fonctions affines_{Lycée Édouard Herriot, Lyon} {Énoncé \atop p. 196}

Une fonction affine est définie de ℝ dans ℝ par : f ▷x◁ D ax C b, où a et b sont deux réels fixés. Dans un premier temps, supposons que f existe, donc que a × \frac{1}{2} C b D 1 et

que a × 1 C b D \frac{1}{4} .

Pour trouver a et b, nous devons donc résoudre le système :

\{ \begin{matrix}\frac{a}{2} C b & D 1 \\ a C b & D \frac{1}{4} \end{matrix} ⟺ \{ \begin{matrix}−\frac{a}{2} & D \frac{3}{4} \\ a C b & D \frac{1}{4} \end{matrix} ⟺ \{ \begin{matrix}a & D −\frac{3}{2} \\ b & D \frac{7}{4} \end{matrix}

La fonction affine f est donc définie par :

f ▷x◁ D −\frac{3}{2}x C \frac{7}{4}.

Vous pouvez vérifier que cette fonction répond à la question.

4Alignement de points_{Lycée Les Francs-Bourgeois, Paris} {Énoncé \atop p. 196}

1 Notons D la droite représentant la fonction f dans ▷O,I,J ◁.

\begin{aligned}A ∈ D & ⟺ f ▷x_{A}◁ D y_{A} \\ & ⟺ f ▷−1◁ D −5 \\ & ⟺ −a C b D −5 \\ & ⟺ b D −5 C aI \end{aligned}  \begin{aligned}B ∈ D & ⟺ f ▷x_{B}◁ D y_{B} \\ & ⟺ f ▷2◁ D 1 \\ & ⟺ 2a C b D 1 \\ & ⟺ 2a C ▷−5 C a◁ D 1 \\ & ⟺ 3a D 6 \\ & ⟺ a D 2. \end{aligned}

Donc a D 2 et b D −5 C 2 D −3.

Finalement, on trouve : f ▷x◁ D 2x − 3. 2 f ▷3◁ D 2 × 3 − 3 D 6 − 3 D 3 donc f ▷x_{C}◁ D y_{C}; par conséquent,

C ∈ D, ce qui signifie que les points A, B et C sont alignés.

5Dans un trapèze_{Lycée Loquidy, Nantes} {Énoncé \atop p. 197}

1 Le point M appartient au segment TADU, avec AD D 5.

Donc x ∈ T0I 5U.

Fonctions affines — v. 1.0 9 juin 2025 — Chapitre 6 page 207 — #217 FONCTIONS DE RÉFÉRENCE CHAP. 6_{207} CORRIGÉS INTERROS COURS

2 ABM est un triangle rectangle en A donc son aire est :

f ▷x◁ D \frac{AB × AM}{2} D \frac{8x}{2} D 4x.

3 CDM est un triangle rectangle en D donc son aire est :

g▷x◁ D \frac{DC × MD}{2} D \frac{10▷5 − x◁}{2} D 5▷5 − x◁ D 25 − 5x.

4 h est une fonction affine, donc il existe deux réels m et p tels que h▷x◁ D mx C p. h▷1◁ D 21 ⇔ m × 1 C p D 21 ⇔ m C p D 21 ⇔ p D 21 − m. h▷4◁ D 24 ⇔ m × 4 C p D 24 ⇔ 4m C p D 24 ⇔ p D 24 − 4m. On en déduit alors que : 21−m D 24−4m ⟺ −mC4m D 24−21 ⟺ 3m D 3 ⟺ m D 1. Ainsi,

p D 21 − m D 21 − 1 D 20.

Finalement, h▷x◁ D x C 20. 5 L’aire de ABM est égale à celle de CDM si :

f ▷x◁ D g▷x◁ ⟺ 4x D 25 − 5x

⟺ 9x D 25

⟺ x D \frac{25}{9}.

De plus, \frac{25}{9} ∈ T0I 5U donc l’aire de ABM est égale à celle de CDM

lorsque M est à une distance de \frac{25}{9} de A. 6 L’aire de BCM est égale à celle de CDM si :

x C 20 D 25 − 5x ⟺ x C 5x D 25 − 20

⟺ 6x D 5

⟺ x D \frac{5}{6}.

De plus, \frac{5}{6} ∈ T0I 5U donc l’aire de BCM est égale à celle de CDM

lorsque M est à une distance de \frac{5}{6} de A.

6Fonctions affines_{Lycée P. et I. Joliot-Curie, Nanterre} {Énoncé \atop p. 197}

1 f_{1} est bien sûr une fonction affine, puisqu’on peut écrire :

∀ x ∈ ℝ, f_{1}▷x◁ D \frac{11}{6}x C \frac{3}{6}.

Comparaison de deux carrés — v. 1.0 9 juin 2025 — Chapitre 6 page 208 — #218

CORRIGÉS_{208}

L’ordonnée à l’origine de la droite qui représente f_{1} est \frac{3}{6}, c’est-à-dire

\frac{1}{2}. Son coefficient directeur est \frac{11}{6}. Il est positif (strictement), donc f_{1} est croissante (strictement).

2 f_{2} est une fonction constante (donc en particulier affine), représentée par une droite parallèle à l’axe des abscisses, d’ordonnée à l’origine −5. Le coefficient directeur de cette droite « horizontale » est bien entendu 0.

3 f_{3} est clairement une fonction affine. L’ordonnée à l’origine de sa droite représentative est 7, son coefficient directeur est −1. Il est négatif et non nul, donc la fonction est strictement décroissante.

4 f_{4} n’est pas une fonction affine. J’espère que cela vous a sauté aux yeux (f_{4}▷x◁ ne peut être mis sous la forme ax C b). La méthode la plus rapide pour prouver que f_{4} n’est pas une fonction affine est de remarquer que f_{4} n’est pas définie en 8, alors que les fonctions affines sont définies sur ℝ tout entier.

5 f_{5} est une fonction affine. Elle est même linéaire : l’ordonnée à l’origine de sa droite représentative est 0. Le coefficient directeur de cette droite

est \frac{2}{3} ; il est positif et non nul, donc f_{5} est strictement croissante.

6 Si on jette un coup d’œil (trop!) rapide sur f_{6}, celle-ci ne paraît pas affine, vue la présence de termes en x^{2}. Néanmoins, si l’on développe la formule, on obtient :

f_{6}▷x◁ D x^{2} C 2x − 4x − 8 − x^{2} C 10 D −2x C 2.

f_{6} est donc bien une fonction affine. L’ordonnée à l’origine de sa droite représentative est 2, son coefficient directeur est −2. f_{6} est donc strictement décroissante.

7Comparaison de deux carrés_{Lycée Pasteur, Neuilly-sur-Seine} {Énoncé \atop p. 198}

Partons du fait que 5 < 7 :

5 < 7 ⟺ \sqrt{5} < \sqrt{7}
⟺ −\sqrt{5} > −\sqrt{7}
⟺ 2 − \sqrt{5} > 2 − \sqrt{7}.

De plus,

4 < 5 ⟺ \sqrt{4} < \sqrt{5}
⟺ 2 < \sqrt{5}
⟺ 2 − \sqrt{5} < 0.

On a donc :

2 − \sqrt{7} < 2 − \sqrt{5} < 0.

Sous diverses formes — v. 1.0 9 juin 2025 — Chapitre 6 page 209 — #219 FONCTIONS DE RÉFÉRENCE CHAP. 6_{209} CORRIGÉS INTERROS COURS

On en conclut alors que :

0 < (2 − \sqrt{5})^{2} < (2 − \sqrt{7})^{2}.

8Avec la fonction carré_{Lycée Loquidy, Nantes} {Énoncé \atop p. 198}

1 Si 3 ⩽ x ⩽ 5 alors 9 ⩽ x^{2} ⩽ 25.

En effet,la fonction carré est strictement croissante sur T0I C∞T donc les images par cette fonction sont rangées dans le même sens que leur antécédent.

2 Si x < −2 alors x^{2} > 4.

En effet, la fonction carré est strictement décroissante sur U−∞I 0U donc les images sont rangées dans le sens inverse de leur antécédent.

3 Si x ∈U − 1I 4U alors x^{2} ∈ T0I 16U.

En effet,

si −1 < x ⩽ 0 alors 0 ⩽ x^{2} < 1;

si 0 ⩽ x ⩽ 4 alors 0 ⩽ x^{2} ⩽ 16.

Au final, on a bien que x^{2} ∈ T0I 16U.

� ATTENTION

Si x ∈ TaI bU avec a < 0 et b > 0, n’oubliez pas que x^{2} transite nécessairement par 0, et donc que la valeur minimale de x^{2} est 0.

4 Sachant que x^{2} < 5, on peut dire que x ∈U − \sqrt{5}I \sqrt{5}T.

En effet, si x^{2} < 5, la partie de la courbe représentative de la fonction carré que l’on regarde est celle située sous la droite d’équation y D \sqrt{5}, c’est-à-dire la partie de la courbe définie pour x variant de −\sqrt{5} à \sqrt{5} (exclus).

9Sous diverses formes_{Lycée Les-Francs-Bourgeois, Paris} {Énoncé \atop p. 198}

1 On développe :

▷2x − 1◁▷x C 2◁ D 2x^{2} C 4x − x − 2 D 2x^{2} C 3x − 2 D f ▷x◁.

Réciproque et contraposée — v. 1.0 9 juin 2025 — Chapitre 6 page 210 — #220

CORRIGÉS_{210}

2 \begin{aligned}2 ( x C \frac{3}{4}) ^{2} − \frac{25}{8} & D 2 ( x^{2} C 2 × \frac{3}{4} × x C \frac{3^{2}}{4^{4}}) − \frac{25}{8} \\ & D 2 ( x^{2} C \frac{3}{2}x C \frac{9}{16}) − \frac{25}{8} \\ & D 2x^{2} C 3x C \frac{9}{8} − \frac{25}{8} \\ & D 2x^{2} C 3x − \frac{16}{8} \\ & D f ▷x◁. \end{aligned}

3 Pour déterminer les points d’intersection entre la courbe représentative de f et l’axe des abscisses, il faut résoudre l’équation f ▷x◁ D 0. Il est donc préférable de prendre la forme factorisée.

f ▷x◁ D 0 ⟺ ▷2x − 1◁▷x C 2◁ D 0

⟺ 2x − 1 D 0 ou x C 2 D 0

⟺ x D \frac{1}{2} ou x D −2.

Les points d’intersection ont donc pour coordonnées ( \frac{1}{2} I 0) et ▷−2 I 0◁.

10Étude graphique_{Lycée Vaugelas, Chambéry} {Énoncé \atop p. 198}

1 La courbe est une parabole.

2 On déduit de la courbe les variations de f :

x  −∞  2  C∞

8

f ▷x◁ ↗ ↘
−∞  −∞

3 f ▷0◁ D 6 et f ▷2◁ D 0. La seule solution est donc :

f ▷x◁ D −\frac{1}{2}x^{2} C 2x C 6.

11Réciproque et contraposée_{Lycée Parc de Vilgenis, Massy} {Énoncé \atop p. 199}

1 La propriété P est vraie. En effet, si x D −2 alors f ▷−2◁ D ▷−2◁^{2} D 4.

2 La propriété réciproque de P peut-être formulée ainsi :

« Si f ▷x◁ D 4 alors x D −2. »

Cette réciproque est fausse car si x^{2} D 4 alors x D −2 ou x D 2.

Variations — v. 1.0 9 juin 2025 — Chapitre 6 page 211 — #221 FONCTIONS DE RÉFÉRENCE CHAP. 6_{211} CORRIGÉS INTERROS COURS

3 La contraposée de P peut se formuler ainsi :

« Si f ▷x◁ D̸ 4 alors x D̸ −2. »

Cette contraposée est vraie. En effet, les deux seuls antécédents à 4 par la fonction carré sont −2 et 2; donc si l’image par f n’est pas égale à 4 alors les antécédents ne sont pas égaux à −2 et à 2, donc a fortiori à −2.

MÉTHODE

Si p et q sont deux propositions et si une propriété s’écrit « p D⇒ q » ou « Si p est vraie alors q est vraie »,

sa réciproque s’écrit :

« q D⇒ p » ou « Si q est vraie alors p est vraie »;

sa contraposée s’écrit :

« non q D⇒ non p » ou « Si q est fausse alors p est fausse. »

12Les coins du carré_{Lycée Les-Francs-Bourgeois, Paris} {Énoncé \atop p. 199}

1 L’aire d’un coin est x^{2} et l’aire du carré central est ▷4 − 2x◁^{2} donc :

A_{1} D 4x^{2} C ▷4 − 2x◁^{2}
D 4x^{2} C 16 − 16x C 4x^{2}
D 8x^{2} − 16x C 16.
2 \begin{aligned}A_{2} & D 4^{2} − A_{1} \\ & D 16 − ▷8x^{2} − 16x C 16◁ \\ & D 16 − 8x^{2} C 16x − 16 \\ & D −8x^{2} C 16x. \end{aligned}

3 \begin{aligned}−8▷x − 1◁^{2} C 8 & D −8[▷x − 1◁^{2} − 1] \\ & D −8▷x^{2} − 2x C 1 − 1◁ \\ & D −8▷x^{2} − 2x◁ \\ & D −8x^{2} C 16x \\ & D A_{2}. \end{aligned}

La courbe de la fonction x ↦ −8▷x − 1◁^{2} C 8 est une parabole qui est maximale pour x D 1, donc A_{2} est maximale pour x D 1. On a alors A_{2} D 8 cm^{2}.

Variations — v. 1.0 9 juin 2025 — Chapitre 6 page 212 — #222 CORRIGÉS_{212}
13Variations_{Lycée Geoffroy-Saint-Hilaire, Étampes} {Énoncé \atop p. 200}

1 On factorise :

f ▷x_{1}◁ − f ▷x_{2}◁ D ▷x_{1}^{2} − 4x_{1} C 3◁ − ▷x_{2}^{2} − 4x_{2} C 3◁
D x_{1}^{2} − 4x_{1} C 3 − x_{2}^{2} C 4x_{2} − 3
D x_{1}^{2} − x_{2}^{2} − 4x_{1} C 4x_{2}
D ▷x_{1} − x_{2}◁▷x_{1} C x_{2}◁ C 4▷x_{2} − x_{1}◁
D ▷x_{2} − x_{1}◁[4 − ▷x_{1} C x_{2}◁].

2 Si x_{1} < x_{2}, on peut écrire x_{1} C x_{2} < 2x_{2}. Avec l’hypothèse : x_{2} ⩽ 2, on obtient x_{1} C x_{2} < 4. Toujours avec x_{1} < x_{2}, on écrit x_{1} C x_{2} > 2x_{1}. Avec x_{1} ⩾ 2, on peut écrire x_{1} C x_{2} > 4.

3 Donnons-nous x_{1} et x_{2} dans U − ∞ I 2U, tels que x_{1} < x_{2}. D’après les questions précédentes, on sait que 4 − ▷x_{1} C x_{2}◁ > 0 et, par ailleurs, x_{2}−x_{1} > 0, donc f ▷x_{1}◁−f ▷x_{2}◁ > 0. On en déduit que f ▷x_{1}◁ > f ▷x_{2}◁, donc f est strictement décroissante sur ]−∞ I 2] . De la même façon, on montre que dans T2 I C∞T, f est strictement croissante. Voici le tableau de variations de f :

x −∞  2  C∞
f ▷x◁  ↘  ↗
−1

4 Il suffit de développer ▷x − 1◁▷x − 3◁.

5 D’après la factorisation précédente, l’égalité est vérifiée pour x D 1 et

x D 3, donc S D {1 I 3}. 6 L’inéquation proposée revient à l’inéquation : f ▷x◁ ⩾ 0. f s’annule

pour x D 1 et x D 3. Sur U − ∞I 1U, f décroît, donc f est positive. Elle devient négative à partir de 1. Sur T2I C∞T, la fonction croît, passe par la valeur 0 en x D 3, puis devient positive. Ces considérations apparaissent plus clairement dans le tableau de variations :

x −∞  1  2  3  C∞
↘  ↗
f ▷x◁ 0 0
↘  ↗
−1

L’ensemble des solutions est donc :

S D ]−∞ I 1] ∪ T3 I C∞T.

Aires et fonctions — v. 1.0 9 juin 2025 — Chapitre 6 page 213 — #223 FONCTIONS DE RÉFÉRENCE CHAP. 6_{213} CORRIGÉS INTERROS COURS

7 L’énoncé vous demande en fait de procéder directement à la résolution de l’inéquation, par un tableau de signes :

x −∞  1  3  C∞
x − 1  − 0 C | C
x − 3  − | − 0 C
f ▷x◁  C 0 − 0 C

On retrouve le résultat de la question précédente.

14Aires et fonctions_{Lycée Paul Langevin, Suresnes} {Énoncé \atop p. 200}

1 Pour la première configuration (bleue), on peut remarquer qu’il faut enlever au carré, d’aire 1, quatre triangles rectangles identiques, de côtés x et 1 − x. L’aire cherchée s’écrit donc :

A_{1}▷x◁ D 1 − 4\frac{x▷1 − x◁}{2} D 2x^{2} − 2x C 1.

On peut retrouver aussi ce résultat en remarquant que l’aire hachurée est un carré, dont le côté est l’hypoténuse des petits triangles, et d’après le théorème de Pythagore :

A_{1}▷x◁ D x^{2} C ▷1 − x◁^{2}, soit encore : A_{1}▷x◁ D 2x^{2} − 2x C 1. Pour la seconde configuration (rouge), il faut enlever deux triangles rectangles isocèles, de côté 1 − x, d’où :

A_{2}▷x◁ D 1 − ▷1 − x◁^{2}.

Pour la troisième configuration (verte), on enlève encore deux triangles rectangles, de côtés 1 et 1 − x, d’où :

A_{3}▷x◁ D 1 − ▷1 − x◁ D x.

On peut appliquer la même méthode au trapèze de la quatrième configuration (violette). Plus astucieusement, si on considère les diagonales du trapèze, on fait apparaître des rectangles, la moitié est hachurée. Le trapèze a donc pour aire la moitié de celle du carré, soit :

A_{4}▷x◁ D \frac{1}{2}.

2 Vu le tracé des quatre courbes, on voit que l’aire la plus petite est A_{3}▷x◁

si x ∈ [0 I \frac{1}{2}], puis A_{4}▷x◁ pour x ∈ [ \frac{1}{2} I 1].

Pour l’aire la plus grande, la compétition est entre A_{1}▷x◁ et A_{2}▷x◁. Vérifions pour quels x ces deux expressions sont égales. On calcule :

A_{1}▷x◁ − A_{2}▷x◁D 2x^{2} − 2x C ▷1 − x◁^{2}
D 2x▷x − 1◁ C ▷1 − x◁^{2}
D ▷1 − x◁▷1 − 3x◁.

Algorithmique — v. 1.0 9 juin 2025 — Chapitre 6 page 214 — #224

CORRIGÉS_{214}

Donc les courbes se coupent au point d’abscisse \frac{1}{3}. On en déduit que

l’aire la plus grande est A_{1}▷x◁ si x ∈ [0 I \frac{1}{3}], et A_{2}▷x◁ si x ∈ [ \frac{1}{3} I 1].

15Algorithmique_{Lycée Stanislas, Paris} {Énoncé \atop p. 201}

1 Puisqu’on nous dit que la racine est un nombre entier compris entre 0 et 20, il suffit de tester chacun de ces nombres.

 Variables x , y : nombres
 Début
   Pour x allant de 0 à 20 Répéter
     y <-- 3*x^2-19*x-14
     Si y = 0 Alors
       Afficher x
     Fin Si
   Fin Pour
 Fin

Aire minimale — v. 1.0 9 juin 2025 — Chapitre 6 page 215 — #225 FONCTIONS DE RÉFÉRENCE CHAP. 6_{215} CORRIGÉS INTERROS COURS
2  En Python

 for x in range(0,21) :
   y = 3 * x**2-19*x-14
   if y == 0 :
     print(y)

Il faut se rappeler qu’en Python, la valeur finale de l’intervalle est exclue, il faut donc écrire range(0,21) si on veut tester toutes les valeurs jusqu’à 20 inclus. Notez également le double signe « = », opérateur qui teste l’égalité (==) et renvoie True ou False, à ne pas confondre avec le signe égale simple, opérateur d’affectation.

16Aire minimale_{Lycée Jacques Decour, Paris} {Énoncé \atop p. 201}

1 Le triangle AMQ est rectangle en A donc d’après le théorème de Pythagore,

QM^{2} D x^{2} C ▷20 − x◁^{2}
D x^{2} C 400 − 40x C x^{2}
D 2x^{2} − 40x C 400.

L’aire du carré MNP Q est égale à QM^{2} donc :

S▷x◁ D 2x^{2} − 40x C 400.

2 On développe :

2▷x − 10◁^{2} C 200 D 2▷x^{2} − 20x C 100◁ C 200
D 2x^{2} − 40x C 400
D S▷x◁.

3 S▷x◁ D 200 C \underbrace{2▷x − 10◁^{2}}_{⩾0} ⩾ 200. L’aire minimale de MNP Q est donc

égale à 200 cm^{2}.

4 (a) Dans l’algorithme, on voit que les instructions de la boucle « Tant que » s’exécutent dès lors que S est supérieur ou égal à 272. La valeur initiale de S étant 400, on entre dans la boucle et on calcule S▷x◁ jusqu’à trouver un résultat inférieur à 272. Quand ce sera le cas, on sortira de la boucle et la valeur de x sera affichée. Cependant, l’algorithme n’affiche qu’une valeur... Et on se doute bien qu’il y en a d’autres! Il ne répond donc pas à notre souhait de trouver toutes les valeurs de x telles que S▷x◁ < 272.

De l’inverse à une fonction carré — v. 1.0 9 juin 2025 — Chapitre 6 page 216 — #226 CORRIGÉS_{216}

(b) Un algorithme possible est le suivant :

Variables : x, S nombres réels
Initialisation
x ← 0
S ← 400
Début :
Tant que x < 20
  x ← x+1
  S ← 2x^{2} - 40x + 400
  Si S = 272 alors
    Afficher x
  Fin Si
Fin Tant que

L’énoncé nous dit que les valeurs de x telles que S▷x◁ D 272 sont entières donc nous allons faire un balayage de l’intervalle [0;20] avec un pas de x égal à 1 (c’est-à-dire que x va augmenter de 1 en 1). Pour chaque valeur de x, on calcule S▷x◁ et si le résultat est égal à 272, on affiche la valeur de x. D’après les variations de S, la première valeur qui s’affiche est la première valeur de x à partir de laquelle S▷x◁ ⩽ 272 et la seconde sera celle à partir de laquelle S▷x◁ ⩾ 272. Ainsi, entre les deux valeurs affichées, on est assuré que S▷x◁ ⩽ 272. Voici le programme Python correspondant :

x = 0
S = 400
while x < 20 :
x = x + 1
S = 2 * x**2 - 40 * x + 400
if S == 272 :
  print(x)

17De l’inverse à une fonction carré_{Lycée Camille Jullian, Bordeaux} {Énoncé \atop p. 202}

1 Notons M▷x I y◁ l’un des éventuels points d’intersection des deux courbes. M est sur la courbe représentative de f donc y D f ▷x◁; de même, M est sur celle de g donc y D g▷x◁ d’où f ▷x◁ D g▷x◁.

f ▷x◁ D g▷x◁ ⇔ \frac{1}{x} D 2x−7 ⇔ ⟺ \frac{1}{x}−2xC7 D 0 ⇔ \frac{−2x^{2} C 7x C 1}{x} D 0.

Changement de repère — v. 1.0 9 juin 2025 — Chapitre 6 page 217 — #227

FONCTIONS DE RÉFÉRENCE CHAP. 6_{217} CORRIGÉS INTERROS COURS

2 Développons la forme donnée dans l’énoncé :

−2 ( x − \frac{7}{4}) ^{2} C \frac{57}{8} D −2 ( x^{2} − \frac{7}{2}x C \frac{49}{16}) C \frac{57}{8}

D −2x^{2} C 7x − \frac{49}{8} C \frac{57}{8}

D −2x^{2} C 7x C 1.

3 Des questions précédentes, on déduit :

f ▷x◁ D g▷x◁ ⟺ −2 ( x − \frac{7}{4}) ^{2} C \frac{57}{8} D 0

⟺ −2 ( x − \frac{7}{4}) ^{2} D −\frac{57}{8}

⟺ ( x − \frac{7}{4}) ^{2} D −\frac{57}{8} × ( −\frac{1}{2})

⟺ ( x − \frac{7}{4}) ^{2} D \frac{57}{16}

⟺ x − \frac{7}{4} D \sqrt{\frac{57}{16}} ou x − \frac{7}{4} D −\sqrt{\frac{57}{16}}

⟺ x D \frac{\sqrt{57}}{4} C \frac{7}{4} ou x D −\frac{\sqrt{57}}{4} C \frac{7}{4}.

Ainsi, il y a deux points d’intersection, d’abscisses x_{1} D \frac{7 − \sqrt{57}}{4} et

x_{2} D \frac{7 C \sqrt{57}}{4}.

18Changement de repère_{Lycée Fernand Daguin, Mérignac} {Énoncé \atop p. 203}

1 L’expression de la fonction f contient un quotient donc f est définie quand le dénominateur de ce dernier est différent de 0. Le domaine de définition de f est donc : ℝ − {2}.

2 \begin{aligned}1 C \frac{1}{x − 2} & D \frac{x − 2}{x − 2} C \frac{1}{x − 2} \\ & D \frac{x − 2 C 1}{x − 2} \\ & D \frac{x − 1}{x − 2} \\ & D f ▷x◁. \end{aligned}

Domaine — v. 1.0 9 juin 2025 — Chapitre 6 page 218 — #228 CORRIGÉS_{218}
3 (a)

On voit alors que x D X C x_{O′} D X C 2 et y D Y C y_{O′} D Y C 1. Sur le schéma, toutes les coordonnées sont positives, mais les égalités sont bien sûr valables quand elles sont négatives.

(b) On sait que dans le repère ▷O,I,J ◁,

y D f ▷x◁ D 1 C \frac{1}{x − 2} I

ainsi, à l’aide des égalités trouvées à la question précédente, on obtient :

Y C 1 D 1 C \frac{1}{X C 2 − 2} soit Y D \frac{1}{X}.

On peut alors conclure que la fonction f est la fonction inverse dans le repère ▷O′,I′,J′◁ et donc que C est une hyperbole.

19Encadrement par deux entiers_{Lycée Parc de Vilgenis, Massy} {Énoncé \atop p. 203}

On sait que 11^{2} D 121 et 12^{2} D 144 donc on peut écrire :

121 < 123 < 144 ⟺ \sqrt{121} < \sqrt{123} < \sqrt{144} ⟺ 11 < \sqrt{123} < 12.

20Domaine_{Lycée Stanislas, Paris} {Énoncé \atop p. 203}

Pour déterminer l’ensemble de définition de f, il faut savoir pour quels x la

fraction g▷x◁ D \frac{x^{2} − 2}{x C 5} existe et est positive.

À cause du dénominateur, il faudra exclure la valeur −5.

Après avoir remarqué que \frac{x^{2} − 2}{x C 5} D \frac{▷x − \sqrt{2}◁▷x C \sqrt{2}◁}{x C 5}, on dresse un

tableau de signes page ci-contre.

Parité — v. 1.0 9 juin 2025 — Chapitre 6 page 219 — #229 FONCTIONS DE RÉFÉRENCE CHAP. 6_{219} CORRIGÉS INTERROS COURS
x  −∞  −5  −\sqrt{2}  \sqrt{2}  C∞
x − \sqrt{2}  −  −  − 0 C
x C \sqrt{2}  −  −  0 C  C
x C 5  − 0 C  C  C
g▷x◁  −  C 0 − 0 C

Ainsi, g▷x◁ ⩾ 0 si −5 < x ⩽ −\sqrt{2} ou x ⩾ \sqrt{2}. L’ensemble de définition de f est donc une réunion de deux intervalles :

D_{f} D ] − 5, − \sqrt{2}] ∪ [\sqrt{2}, C ∞[.

21Parité_{Lycée Marcelin Berthelot, Châtellerault} {Énoncé \atop p. 204}

1 f_{1}▷x◁ est définie quand son dénominateur est non nul, et que l’expression sous le radical est positive. On peut résumer ces deux conditions par : x^{2} − 1 > 0, c’est-à-dire x^{2} > 1. C’est une inégalité entre nombres positifs, on obtient une inégalité équivalente en appliquant la racine carrée : | x | > 1.

Nous écrivons bien \sqrt{x^{2}} D | x | et pas seulement x, sinon nous allons oublier la moitié des solutions! Or | x | > 1 se traduit facilement par x < −1 ou x > 1. L’ensemble de définition est donc D_{1} DU − ∞, − 1T∪U1, C ∞T. Cet ensemble de définition est symétrique par rapport à 0 (si x ∈ D_{1}, alors −x ∈ D_{1}). On peut donc étudier la parité. Prenons x ∈ D_{1} et calculons f_{1}▷−x◁ :

f_{1}▷−x◁ D \frac{▷−x◁^{3} − x}{\sqrt{▷−x◁^{2} − 1}} D \frac{−x^{3} − x}{\sqrt{x^{2} − 1}} D −\frac{x^{3} C x}{\sqrt{x^{2} − 1}} D −f_{1}▷x◁.

La fonction f_{1} est donc impaire. 2 f_{2}▷x◁ est définie dès que son dénominateur est non nul, donc pour

x ∈ ℝ^{∗}. Ainsi, l’ensemble de définition de f_{2} est D_{2} D ℝ^{∗}. Cet ensemble est symétrique par rapport à 0 et pour tout x ∈ D_{2},

f_{2}▷−x◁ D \frac{▷−x◁^{2} − 5}{▷−x◁^{3}}

D −\frac{x^{2} − 5}{x^{3}}

D −f_{2}▷x◁.

La fonction f_{2} est elle aussi impaire.

IL2M — v. 1.0 9 juin 2025 — Chapitre 6 page 220 — #230 CORRIGÉS_{220}

3 Notons g▷x◁ D \frac{x^{2} − 2}{x^{2} C 1}. À cause du radical, f_{3}▷x◁ est définie si et seule-

ment si g▷x◁ est définie et positive. Le dénominateur de g▷x◁ est toujours strictement positif, donc g▷x◁ ⩾ 0 si et seulement si x^{2} − 2 ⩾ 0, c’est à dire x^{2} ⩾ 2. En raisonnant comme à la question 1, on obtient l’inégalité équivalente | x | ⩾ \sqrt{2}, d’où x ⩽ −\sqrt{2} ou x ⩾ \sqrt{2}. Conclusion : D_{3} DU − ∞, − \sqrt{2}U ∪ T\sqrt{2}, C ∞T. Cet ensemble est symétrique par rapport à 0 et si x ∈ D_{3},

g▷−x◁ D \frac{▷−x◁^{2} − 2}{▷−x◁^{2} C 1} D \frac{x^{2} − 2}{x^{2} C 1} D g▷x◁

et donc f_{3}▷−x◁ D \sqrt{g▷−x◁} D \sqrt{g▷x◁}D f_{3}▷x◁. On en déduit que f_{3} est paire.

4 f_{4} est définie sur ℝ, qui est bien entendu symétrique par rapport à 0.

Pour tout x ∈ ℝ, f_{4}▷−x◁ D \frac{−x C 1}{▷−x◁^{2} C 1} D \frac{−x C 1}{x^{2} C 1} . On « sent » que

cette expression n’est pas identique, ni opposée à f_{4}▷x◁ D \frac{x C 1}{x^{2} C 1}, mais

il faut le prouver, d’autant que dans le cas de x D 0, on a une égalité. Deux méthodes sont possibles.

On résout l’équation f_{4}▷−x◁ D f_{4}▷x◁. Comme les dénominateurs sont les mêmes, on est vite ramené à −x C 1 D x C 1, donc 2x D 0 puis x D 0, ce qui montre que l’égalité n’a lieu que pour le cas particulier x D 0 : la fonction f_{4} n’est donc pas paire. On procède ensuite de la même façon avec f_{4}▷−x◁ D −f_{4}▷x◁ pour montrer que f_{4} n’est pas impaire. Il y a mieux. En effet, en résolvant ces équations, on effectue un travail inutile.

Il suffit de trouver un x pour lequel f_{4}▷−x◁ D̸ f_{4}▷x◁ pour affirmer que f_{4} n’est pas paire, de même qu’il suffit de trouver un x pour lequel f_{4}▷−x◁ D̸ −f_{4}▷x◁ pour montrer que f_{4} n’est pas impaire. Par exemple, f_{4}▷−1◁ D 0 et f_{4}▷1◁ D 1. Comme 0 et 1 ne sont ni égaux, ni opposés, f_{4} n’est ni paire, ni impaire.

� ATTENTION

Un entier est soit pair, soit impair. On a donc l’habitude de penser que ces deux mots sont des contraires. Ce n’est pas le cas lorsqu’ils s’appliquent à des fonctions. Une fonction peut être paire (comme f_{3}), impaire (comme f_{1} et f_{2}), ni l’une ni l’autre (comme f_{4}), et la fonction nulle est à la fois paire et impaire!

Vecteurs et coordonnées dans le plan

Plan du chapitre

1. Vecteurs

2. Vecteurs et alignement

1 Vecteurs

Retrouvez le corrigé de cet exercice en vidéo.

Dans le plan muni d’un repère orthonormé ▷O,E ı, E ȷ◁, on considère les points

A▷−3 I 0◁, B▷−6 I −3◁ et C ( \frac{3}{2} I \frac{9}{2}) .

1 Montrer que les points A, B et C sont alignés.

2 Déterminer les coordonnées du point D pour que COBD soit un paral-

lélogramme. 3 Déterminer les coordonnées du point M centre de ce parallélogramme.

Exercice type

Lycée Lavoisier, Paris

Voir corrigé page 228

1.1 Translations

Une figure du plan subit une translation lorsqu’elle est déplacée sans se déformer et sans tourner. Sur la figure page suivante, la courbe rouge P subit une translation et est déplacée en P′.

Au départ, le coin inférieur gauche se trouve en A, qui a pour coordonnées ▷1I 1◁. La translation le déplace en A′, de coordonnées ▷5I 3◁. Notons qu’on ajoute C4 à l’abscisse et C2 à l’ordonnée de A pour obtenir les coordonnées de A′.

Regardons maintenant le coin inférieur droit, qui se trouve initialement en B▷3I 1◁. Il est déplacé jusqu’en B′▷7I 3◁. Ici encore, on ajoute C4 à l’abscisse et C2 à l’ordonnée de B pour obtenir les coordonnées de B′.

Quelle est la position finale du sommet qui était en C▷2I 4◁? Pour lui aussi, il suffit d’ajouter C4 à l’abscisse et C2 à l’ordonnée pour obtenir sa position finale C′▷6I 6◁.

Cette propriété est vérifiée pour n’importe quel point de la figure. Ainsi, le mouvement de translation peut être entièrement décrit par l’algorithme : ajouter C4 à l’abscisse et C2 à l’ordonnée.

On dit que le vecteur de la translation a pour coordonnées \binom{C4}{C2} .

Un vecteur est un objet abstrait : il décrit une translation. On peut le représenter par une flèche qui montre la direction (c’est-à-dire, par exemple, parallèlement à quelle droite?), le sens (il y a deux sens pour une direction donnée) et la longueur du déplacement.

Le mot vecteur vient du latin vehere qui veut dire transporter. Le mot véhicule est de la même famille. Le vecteur montre comment les points sont « transportés » par la translation.

Pour noter un vecteur, on peut utiliser une lettre, en général surmontée d’une flèche : E u, E v. Comme la translation transforme A en A′, on peut également noter \overrightarrow{AA′}le vecteur.

Sur la figure, on a indiqué trois flèches, mais elles représentent le même vecteur puisqu’il s’agit de la même translation.

IL2M — v. 1.0 9 juin 2025 — Chapitre 7 page 223 — #233 VECTEURS ET COORDONNÉES DANS LE PLAN CHAP. 7_{223} CORRIGÉS INTERROS COURS

Autrement dit, les vecteurs \overrightarrow{AA′}, \overrightarrow{BB′}et \overrightarrow{CC′}sont égaux.

On note alors \overrightarrow{AA′}D \overrightarrow{BB′}D \overrightarrow{CC′}.

Un cas particulier : si la translation est l’identité (cas particulier où on n’effectue aucun déplacement), alors le vecteur de translation est le vecteur nul. On le note

E 0. Il a pour coordonnées \binom{0}{0} .

Remarque : il n’est nul besoin de coordonnées pour décrire une translation ou pour définir un vecteur. Par exemple, si on enlève le repère du dessin précédent, on peut tout de même parler du vecteur E u D \overrightarrow{AA′}et dire que la translation de vecteur E udéplace A en A′, B en B′et C en C′.

1.2 Coordonnées d’un vecteur

On considère deux points A▷x_{A},y_{A}◁ et B▷x_{B},y_{B}◁. Il faut ajouter x_{B} − x_{A} à l’abscisse de A et y_{B} − y_{A} à son ordonnée pour obtenir les coordonnées de B.

On en déduit les coordonnées du vecteur \overrightarrow{AB} : ( \begin{matrix}x_{B} − x_{A} \\ y_{B} − y_{A} \end{matrix} ) .

Remarque :

on indique les coordonnées d’un point en ligne : M▷2 I 1◁ ;

on indique celles d’un vecteur en colonne : E u( \begin{matrix}1 \\ 2 \end{matrix}) .

1.3 Somme de vecteurs

Définition 1

Si on enchaîne la translation de vecteur {E \atop u_{2}} à la translation de vecteur {E \atop u_{1}}, on obtient une translation, de vecteur E uD {E \atop u_{1}} C {E \atop u_{2}}.

IL2M — v. 1.0 9 juin 2025 — Chapitre 7 page 224 — #234 COURS_{224}

Si {E \atop u_{1}} ( \begin{matrix}x_{1} \\ y_{1} \end{matrix}) et {E \atop u_{2}} ( \begin{matrix}x_{2} \\ y_{2} \end{matrix}) , la première translation ajoute x_{1} aux abscisses, et la seconde x_{2}, on a donc ajouté x_{1} C x_{2}. De même, on ajoute y_{1}Cy_{2} aux ordonnées, donc E uD {E \atop u_{1}}C{E \atop u_{2}} a pour coordonnées :

E u( \begin{matrix}x_{1} C x_{2} \\ y_{1} C y_{2} \end{matrix}) .

1.3.1 -La relation de Chasles

Si A▷x_{A} I y_{A}◁, B▷x_{B} I y_{B}◁, et C▷x_{C} I y_{C}◁ sont trois points du plan, il suffit de calculer les coordonnées des vecteurs \overrightarrow{AB}, \overrightarrow{BC} et \overrightarrow{AC} pour constater :

\overrightarrow{AB} C \overrightarrow{BC} D \overrightarrow{AC}.

1.3.2 -La règle du parallélogramme

Pour construire la somme de deux vecteurs E uet E v, on a deux méthodes.

On applique la relation de Chasles en trouvant des points A, B, C, tels que E uD \overrightarrow{AB} et E vD \overrightarrow{BC}. Ainsi, E uC E vD \overrightarrow{AC}. On choisit A, B et C tels que \overrightarrow{AB} D E uet \overrightarrow{AD} D E v. On construit le parallélogramme ABCD. Dans ce parallélogramme, on constate \overrightarrow{AD} D \overrightarrow{BC}. Alors la relation de Chasles \overrightarrow{AB} C \overrightarrow{BC} D \overrightarrow{AC} permet de justifier : \overrightarrow{AC} D E uC E v.

Cette relation s’appelle la règle du parallélogramme

1.4 Norme et distance

Dans un repère orthonormé, la longueur du segment TABU (ou distance entre les points A et B) est donnée par :

AB D \sqrt{▷x_{B} − x_{A}◁^{2} C ▷y_{B} − y_{A}◁^{2}}.

(C’est une conséquence du théorème de Pythagore.) Dans cette formule, on reconnaît les coordonnées du vecteur \overrightarrow{AB}. Généralisons : si le vecteur E ua pour coordonnées \binom{X}{Y}, la norme du vecteur E uest, par définition :

| | E u| | D \sqrt{X^{2} C Y^{2}}.

En particulier, si E uD \overrightarrow{AB}, alors | | \overrightarrow{AB} | | D AB : la norme du vecteur \overrightarrow{AB} est la distance entre A et B (c’est donc la distance parcourue par chaque point lors d’une translation).

IL2M — v. 1.0 9 juin 2025 — Chapitre 7 page 225 — #235 VECTEURS ET COORDONNÉES DANS LE PLAN CHAP. 7_{225} CORRIGÉS INTERROS COURS

1.5 Coordonnées du produit d’un vecteur par un réel

Soient k un réel et E uun vecteur de coordonnées ( \begin{matrix}x \\ y \end{matrix}) .

On note k · E ule vecteur de coordonnées : ( \begin{matrix}kx \\ ky \end{matrix}) . C’est le produit de E upar k. On

peut le noter avec ou sans point de multiplication. En particulier, ▷−1◁.E uD −E uest le vecteur opposé de E u, il a pour coordonnées :

( \begin{matrix}−x \\ −y \end{matrix} ) .

Par un calcul direct, ∥kE u∥ D | k | · ∥E u∥.

1.6 Coordonnées du milieu d’un segment

Soient A▷x_{A} I x_{B}◁ et B▷x_{B} I y_{B}◁.

Si M est le milieu de TABU, avec alors : \overrightarrow{AM} D \overrightarrow{MB}. En écrivant les coordonnées des vecteurs, on obtient les égalités : x_{M} −x_{A} D x_{B} −x_{M} et y_{M} −y_{A} D y_{B} −y_{M}, donc

M ( \frac{x_{A} C x_{B}}{2} I \frac{y_{A} C y_{B}}{2} ) .

Remarque : si un point M vérifie \overrightarrow{AM} D \overrightarrow{MB}, alors les droites ▷AM◁ et ▷MB◁ ont la même direction (c’est-à-dire qu’elles sont parallèles), et donc sont confondues, puisqu’elles ont un point commun. Or AM D MB, donc M est nécessairement le milieu de TABU.

1.7 Base orthonormée, repère orthonormé

Deux vecteurs ▷E ı, E ȷ◁ forment une base orthonormée du plan lorsque ces deux vecteurs sont de norme 1 et de directions perpendiculaires. Si on les choisit de même direction et même sens que les axes de coordonnées,

alors E ıa pour coordonnées \binom{1}{0} et E ȷ, \binom{0}{1} .

On vérifie sans peine que tout vecteur E u\binom{x}{y} s’écrit E uD xE ıC y E ȷ.

Si O est l’origine du repère (intersection des axes), on dit que ▷O,E ı, E ȷ◁ est un repère orthonormé du plan.

IL2M — v. 1.0 9 juin 2025 — Chapitre 7 page 226 — #236 COURS_{226}

2 Vecteurs et alignement

2.1 Vecteurs colinéaires

Deux vecteurs sont colinéaires s’ils ont même direction (ils sont « parallèles »).

À RETENIR : (Critère pratique)

Soient {E \atop u_{1}} ( \begin{matrix}x_{1} \\ y_{1} \end{matrix}) et {E \atop u_{2}} ( \begin{matrix}x_{2} \\ y_{2} \end{matrix}) .

{E \atop u_{1}} et {E \atop u_{2}} sont colinéaires si et seulement si un des deux est le vecteur nul ou si on peut trouver un coefficient de proportionnalité k tel que {E \atop u_{2}} D k{E \atop u_{1}}, ce qui s’écrit :

\{ \begin{matrix}x_{2} D kx_{1} \\ y_{2} D ky_{1} \end{matrix}

Exemple : si {E \atop u_{1}} ( \begin{matrix}3 \\ 6 \end{matrix}) et {E \atop u_{2}} ( \begin{matrix}1 \\ 2 \end{matrix}) , dites directement que {E \atop u_{1}} D 3{E \atop u_{2}}, ce qui montre

que les deux vecteurs sont colinéaires.

2.2 Déterminant de deux vecteurs

Si {E \atop u_{1}} ( \begin{matrix}x_{1} \\ y_{1} \end{matrix}) et {E \atop u_{2}} ( \begin{matrix}x_{2} \\ y_{2} \end{matrix}) , leur déterminant est le nombre défini par :

Det▷{E \atop u_{1}},{E \atop u_{2}}◁ D x_{1}y_{2} − y_{1}x_{2}.

Remarque : le déterminant n’est pas symétrique :

Det▷{E \atop u_{2}},{E \atop u_{1}}◁ D x_{2}y_{1} − y_{2}x_{1} D −▷x_{1}y_{2} − y_{1}x_{2}◁ D −Det▷{E \atop u_{1}},{E \atop u_{2}}◁.

En fait, ce n’est pas grave car nous l’utilisons seulement pour vérifier s’il égale ou non 0.

Propriété 1

Deux vecteurs sont colinéaires si et seulement si leur déterminant est nul.

Avec les vecteurs de l’exemple précédent, on pouvait aussi calculer Det▷{E \atop u_{1}},{E \atop u_{2}}◁ D 3 × 2 − 6 × 1 D 0, ce qui confirme que les deux vecteurs étaient colinéaires.

2.3 Montrer que trois points sont alignés

Rappel : « A, B et C » sont alignés signifie qu’ils sont situés sur la même droite,

IL2M — v. 1.0 9 juin 2025 — Chapitre 7 page 227 — #237 VECTEURS ET COORDONNÉES DANS LE PLAN CHAP. 7_{227} CORRIGÉS INTERROS COURS

ou encore que les droites ▷AB◁ et ▷AC◁ sont confondues.

Comme elles ont un point commun, ceci revient à dire qu’elles ont la même direction :

Propriété 2

A, B et C sont alignés si et seulement si \overrightarrow{AB} et \overrightarrow{AC} sont colinéaires.

Exemple : A▷3 I 3◁ ; B▷5 I 4◁ ; C▷−1 I 1◁. On a \overrightarrow{AB}( \begin{matrix}2 \\ 1 \end{matrix}) et \overrightarrow{AC}( \begin{matrix}−4 \\ −2 \end{matrix} ) .

On constate \overrightarrow{AC} D −2\overrightarrow{AB} (ou det▷\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AB}◁ D 0), donc A, B et C sont alignés.

Remarque : il suffit de former deux vecteurs distincts contenant les trois points. On peut remplacer \overrightarrow{AB} et \overrightarrow{AC} par :

\overrightarrow{AC} et \overrightarrow{BC} ;

\overrightarrow{AB} et \overrightarrow{BC}, etc.

2.4 Vecteurs directeurs d’une droite

Définition 2

Un vecteur non nul est un vecteur directeur de la droite D si et seulement si sa direction est celle de D (le vecteur est « parallèle » à la droite).

On dit que c’est un vecteur directeur car il indique sa direction.

Exemple : si le plan est rapporté au repère ▷O,E ı, E ȷ◁, alors E ıest un vecteur directeur de l’axe des abscisses, E ȷest un vecteur directeur de l’axe des ordonnées.

IL2M — v. 1.0 9 juin 2025 — Chapitre 7 page 228 — #238 COURS_{228}

Remarques

\overrightarrow{AB} est un vecteur directeur de ▷AB◁.

Une droite admet une infinité de vecteurs directeurs, qui sont tous colinéaires.

Si A est un point de la droite D, E uun vecteur directeur de ▷AB◁ et B l’image de A par la translation de vecteur E u, alors B est un point de D.

En revanche, \overrightarrow{EF} peut être un vecteur directeur de D sans que ni E, ni F ne soient sur D.

1 \overrightarrow{AB}( \begin{matrix}−6 C 3 \\ −3 − 0 \end{matrix} ) , soit \overrightarrow{AB}( \begin{matrix}−3 \\ −3 \end{matrix} ) . \overrightarrow{AC}( \begin{matrix}\frac{3}{2} C 3 \\ \frac{9}{2} − 0 \end{matrix}) , soit \overrightarrow{AC}( \frac{9}{2} \frac{9}{2}) .

Les deux vecteurs sont bien colinéaires (on a \overrightarrow{AC} D −\frac{3}{2}\overrightarrow{AB}), donc les trois points sont alignés.

2 COBD est un parallélogramme si et seulement si \overrightarrow{OC} D \overrightarrow{BD}. Comme O est l’origine du repère, les coordonnées du vecteur \overrightarrow{OC} sont, par définition, celles de C :

\overrightarrow{OC} ( \frac{3}{2} \frac{9}{2}) .

Notons provisoirement ▷x_{D} I y_{D}◁ les coordonnées de D. Le vecteur \overrightarrow{BD} a pour coordonnées :

\overrightarrow{BD} ( \begin{matrix}x_{D} C 6 \\ y_{D} C 3 \end{matrix}) .

Il suffit de résoudre l’équation :

\overrightarrow{BD} D \overrightarrow{OC} ⟺ \{ \begin{matrix}x_{D} C 6 D \frac{3}{2} \\ y_{D} C 3 D \frac{9}{2} \end{matrix} ⟺ \{ \begin{matrix}x_{D} D −\frac{9}{2} \\ y_{D} D \frac{3}{2} \end{matrix}

D’où : D ( −\frac{9}{2} I \frac{3}{2}) .

3 Le centre du parallélogramme est le milieu commun des diagonales TBCU et TODU. Comme O▷0,0◁, il est préférable d’utiliser le segment TODU, il vient facilement :

M ( −\frac{9}{4} I \frac{3}{4}) .

Solution de l’exercice type

Lycée Lavoisier, Paris Voir énoncé page 221

IL2M — v. 1.0 9 juin 2025 — Chapitre 7 page 229 — #239 VECTEURS ET COORDONNÉES DANS LE PLAN CHAP. 7_{229} CORRIGÉS INTERROS COURS
1_{QCM} Relation de Chasles Corrigé p. 238 5 min

Parmi les propositions faites une seule est correcte. Laquelle? Soient A, B et C trois points du plan. 1 a \overrightarrow{AB} C \overrightarrow{AC} D \overrightarrow{BC}.

b \overrightarrow{AB} C \overrightarrow{BC} D \overrightarrow{AC}.

c \overrightarrow{BC} C \overrightarrow{BA} D \overrightarrow{AC}.

2 a \overrightarrow{AC} − \overrightarrow{CB} D \overrightarrow{AB}.

b \overrightarrow{BA}− \overrightarrow{BC} D \overrightarrow{AC}.

c \overrightarrow{BA}− \overrightarrow{BC} D \overrightarrow{CA}.

3 a \overrightarrow{AB} − \overrightarrow{CB} C \overrightarrow{CA} D \overrightarrow{0} .

b \overrightarrow{AB} C \overrightarrow{CB} − \overrightarrow{CA} D \overrightarrow{0} .

c \overrightarrow{AB} − \overrightarrow{BC} − \overrightarrow{CA} D \overrightarrow{0} .
2_{QCM} Test de connaissances générales Corrigé p. 238 10 min

Parmi les propositions aux questions suivantes, une ou plusieurs sont correctes. Lesquelles? 1 Quels que soient les points A, B et C :

\begin{matrix}a \overrightarrow{AC} C \overrightarrow{BC} D \overrightarrow{AB} & b \overrightarrow{AB} C \overrightarrow{BC} D \overrightarrow{AC} \\ c \overrightarrow{AB} C \overrightarrow{AC} D \overrightarrow{BC} & d \overrightarrow{AB} − \overrightarrow{BC} D 3\overrightarrow{AC} \end{matrix}

2 Si 2\overrightarrow{BC} a pour coordonnées \binom{10}{4} alors :

\begin{matrix}a \overrightarrow{BC}\binom{−5}{−2} & b \overrightarrow{CB}\binom{−10}{−4} \\ c \overrightarrow{CB}\binom{−5}{−2} & d \overrightarrow{BC}\binom{5}{2} \end{matrix}

3 ABCD est un parallélogramme. Alors :

\begin{matrix}a \overrightarrow{AB} D \overrightarrow{CD} & b \overrightarrow{AB} C \overrightarrow{AD} D \overrightarrow{AC} \\ c \overrightarrow{AB} − \overrightarrow{AD} D \overrightarrow{DB} & d \overrightarrow{AB} D \overrightarrow{DC} \end{matrix}

IL2M — v. 1.0 9 juin 2025 — Chapitre 7 page 230 — #240 INTERROS_{230}
3_{V/F} Coordonnées des vecteurs Corrigé p. 238 5 min

Dans le repère orthonormé ▷O,I,J ◁ , on donne A▷3 I 2◁ et B▷5 I 1◁. Parmi les affirmations suivantes, lesquelles sont exactes?

a \overrightarrow{AB} a pour coordonnées \binom{8}{3}

b \overrightarrow{AB} a pour coordonnées \binom{2}{−1}

c AB D 2^{2} C 1^{2} D 5 d Le milieu de TABU a pour coordonnées ( 4 I \frac{3}{2}) .

Géométrie non analytique

4Construction d’un point_{Lycée Pasteur, Neuilly-sur-Seine} Corrigé ; p. 238 ; 5 min ; ⋆

Soit ABC un triangle. Construire le point I tel que \overrightarrow{AI} D 2\overrightarrow{BC} − 3\overrightarrow{BA}.

5Transformations_{Lycée Colbert, Paris} Corrigé ; p. 239 ; 5 min ; ⋆

ABCD étant un parallélogramme de centre O, I et J milieux de TODU et TOBU, comparer IC et J A.

6Que de vecteurs!_{Lycée Fénelon, Paris} Corrigé ; p. 240 ; 5 min ; ⋆

On considère la figure ci-contre. Compléter les égalités suivantes : \overrightarrow{NP} C \overrightarrow{DE} D … \overrightarrow{AB} \overrightarrow{HB} C \overrightarrow{EJ} D \overrightarrow{H …} \overrightarrow{NK} − \overrightarrow{EF} C \overrightarrow{CH} D … \overrightarrow{J B} − \overrightarrow{KM} C \overrightarrow{BC} D \overrightarrow{L …}

IL2M — v. 1.0 9 juin 2025 — Chapitre 7 page 231 — #241 VECTEURS ET COORDONNÉES DANS LE PLAN CHAP. 7_{231} CORRIGÉS INTERROS COURS
7Somme de vecteurs_{Lycée Maurice Genevoix, Montrouge} Corrigé ; p. 240 ; 10 min ; ⋆

On considère la figure suivante. 1 Quelles sont les coordonnées de E u, E v, E w? 2 Placer le point A tel que \overrightarrow{OA} D E uC E vC E w.

Quelles sont les coordonnées de A?

8Calcul vectoriel_{Lycée Eugène Delacroix, Maisons-Alfort} Corrigé ; p. 240 ; 15 min ; ⋆

Sur la figure suivante, les points sont équidistants. Compléter les égalités par des nombres réels :

1 \overrightarrow{BD} D … \overrightarrow{AB} ; 2 \overrightarrow{CD} D … \overrightarrow{BF} ; 3 \overrightarrow{F C} D … \overrightarrow{DE}  4 \overrightarrow{EC} D … \overrightarrow{AG} ; 5 \overrightarrow{AB} C 2\overrightarrow{CE} − \overrightarrow{AC} D … \overrightarrow{AB} ; 6 \frac{1}{2}\overrightarrow{BF} − \frac{1}{4}\overrightarrow{AE} C \overrightarrow{F G} D … \overrightarrow{BD}
9Relation de Chasles_{Lycée Fénelon, Paris} Corrigé ; p. 241 ; 15 min ; ⋆

ABCD est un parallélogramme. Les points E et H sont tels que :

\overrightarrow{AE} D \frac{3}{2}\overrightarrow{AD} et \overrightarrow{CH} D \frac{2}{3}\overrightarrow{CD}.

IL2M — v. 1.0 9 juin 2025 — Chapitre 7 page 232 — #242 INTERROS_{232}

1 Recopier et compléter :

\overrightarrow{BE} D … C \overrightarrow{AE} et \overrightarrow{BH} D … C \overrightarrow{CH}.

2 Exprimer \overrightarrow{BE} et \overrightarrow{BH} en fonction de \overrightarrow{AB} et \overrightarrow{AD}. 3 Démontrer que \overrightarrow{BE} et \overrightarrow{BH} sont colinéaires. Conclure.

10Alignement de points_{Lycée Pasteur, Neuilly-sur-Seine} Corrigé ; p. 241 ; 10 min ; ⋆ ; ⋆

Soit ABCD un parallélogramme de centre O. Soit G le centre de gravité du triangle ACD. Soit E le point tel que \overrightarrow{BE} D 2\overrightarrow{BC}. Soit A′le milieu de TCDU.

1 Faire une figure. 2 Exprimer \overrightarrow{AE} en fonction de \overrightarrow{AB} et \overrightarrow{BC}. 3 Exprimer \overrightarrow{AG} en fonction de \overrightarrow{AB} et \overrightarrow{BC}. 4 Montrer que les points A, G et E sont alignés.

11Alignement de points_{Lycée Fénelon, Paris} Corrigé ; p. 242 ; 10 min ; ⋆ ; ⋆

ABC est un triangle quelconque. Soit D le point défini par :

\overrightarrow{AD} D 3\overrightarrow{AB} − 2\overrightarrow{AC}.

Montrer que \overrightarrow{BD} D −2\overrightarrow{BC} et conclure sur l’alignement de trois points.

12Alignement de points_{Lycée Jacques Decour, Paris} Corrigé ; p. 243 ; 15 min ; ⋆ ; ⋆

Soit ABCD un parallélogramme. Soient E et F deux points définis par les égalités suivantes :

\overrightarrow{EB} D \frac{1}{2}\overrightarrow{BA} et \overrightarrow{AF} D 3\overrightarrow{AD}.

1 Faire une figure. 2 Montrer que C, E et F sont alignés.

IL2M — v. 1.0 9 juin 2025 — Chapitre 7 page 233 — #243 VECTEURS ET COORDONNÉES DANS LE PLAN CHAP. 7_{233} CORRIGÉS INTERROS COURS
13Parallélisme_{Lycée Jacques Decour, Paris} Corrigé ; p. 243 ; 15 min ; ⋆ ; ⋆ ; ⋆

ABC est un triangle non aplati. Les points I et O sont tels que :

\overrightarrow{AI} D \frac{1}{2}\overrightarrow{AC} et \overrightarrow{OP} D \overrightarrow{OA} − 2\overrightarrow{OB} C \overrightarrow{OC}.

Montrer que les droites ▷OP ◁ et ▷IB◁ sont parallèles.

14Exercice de recherche_{Lycée Gustave Eiffel, Bordeaux} Corrigé ; p. 244 ; 15 min ; ⋆ ; ⋆ ; ⋆

On considère un parallélogramme ABCD. On définit alors les points M et N par :

\overrightarrow{AM} D x\overrightarrow{AC} et \overrightarrow{DN} D −x^{2}\overrightarrow{AB} C 2x\overrightarrow{AD} ,

où x est un nombre réel.

Existe-t-il au moins une valeur de x pour laquelle M et N sont confondus?

Géométrie analytique

15Avec une symétrie_{Lycée Fernand Daguin, Mérignac} Corrigé ; p. 245 ; 10 min ; ⋆

On considère la figure suivante, où ABCD est un carré et FDCE un quadrilatère.

IL2M — v. 1.0 9 juin 2025 — Chapitre 7 page 234 — #244 INTERROS_{234}

1 Donner, dans le repère ▷D,I,J ◁, les coordonnées des points de la figure. 2 Calculer les coordonnées du point K milieu de TAEU. 3 Donner les coordonnées du point symétrique de B par rapport à K.

16Calculs de longueurs_{Lycée Claude Debussy, Saint-Germain-en-Laye} Corrigé ; p. 246 ; 15 min ; ⋆

Le triangle ABC est équilatéral de côté 2 et BD D CE. On note O le pied de la hauteur issue de A dans ABC et on choisit un repère ▷O,C,J ◁ de sorte que A ait une ordonnée positive.

1 Quelle est la distance OA? 2 Déterminer les coordonnées des vecteurs \overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC} et \overrightarrow{BC} dans le repère

orthonormé ▷O,C,J ◁. 3 On suppose \overrightarrow{BD} D k\overrightarrow{AB} et \overrightarrow{CE} D k\overrightarrow{BC}. Montrer que AE D CD.

17Nature d’un triangle et cercle_{Lycée Jacques Decour, Paris} Corrigé ; p. 247 ; 15 min ; ⋆

Dans un repère ▷O,I,J ◁ orthonormé du plan, on considère les points A▷−1 I 0◁, B▷3 I −2◁ et C▷1 I 4◁. 1 Quelle est la nature du triangle ABC? Justifier votre réponse. 2 Déterminer par le calcul les coordonnées du centre K du cercle circons-

crit C au triangle ABC, puis son rayon r. 3 Le point D▷3 I 4◁ appartient-il à C? Justifier votre réponse.

IL2M — v. 1.0 9 juin 2025 — Chapitre 7 page 235 — #245 VECTEURS ET COORDONNÉES DANS LE PLAN CHAP. 7_{235} CORRIGÉS INTERROS COURS
18Avec un cercle_{Lycée Champollion, Grenoble} Corrigé ; p. 248 ; 20 min ; ⋆

Soient A▷2 I 1◁, B▷5 I 3◁, C▷7 I 0◁ et E ( \frac{9}{2} I \frac{1}{2}) dans un repère orthonormé.

1 Montrer que ABC est un triangle rectangle isocèle.

2 Soit C le cercle de centre E et de rayon \frac{\sqrt{26}}{2}.

(a) Vérifier que A, B et C sont des points de C et que E est le milieu de TACU.

(b) Construire C. 3 Quelle est la mesure de l’angle { \atop ACB}?

19Alignement de points_{Lycée Buffon, Paris} Corrigé ; p. 248 ; 20 min ; ⋆

On se place dans un repère orthonormé et on donne : A▷−5 I 6◁, B▷−1 I 1◁, C▷7 I −8◁ et D▷9 I 9◁.

1 Calculer les coordonnées des vecteurs \overrightarrow{AB}, \overrightarrow{BC} et \overrightarrow{BD}. 2 Les points A, B et C sont-ils alignés? (justifier) 3 Le triangle ABD est-il rectangle en B? (justifier)

20Parallélogramme et triangle_{Lycée Montesquieu, Le Mans} Corrigé ; p. 249 ; 10 min ; ⋆ ; ⋆

Le plan est muni d’un repère orthonormé ▷O,I,J ◁. On considère les points A▷−1 I −1◁, B▷1 I 3◁ et C▷4 I −1◁. 1 Déterminer les coordonnées du point D de manière à ce que ABCD soit

un parallélogramme. 2 Déterminer les coordonnées du centre de ABCD. 3 Quelle est la nature du triangle ABC? Justifier.

21Récapitulatif_{Lycée Fernand Daguin, Mérignac} Corrigé ; p. 250 ; 15 min ; ⋆ ; ⋆

Le plan est rapporté au repère orthonormé (O,I,J). On considère les points A▷1I 5◁, B▷−2I −1◁, C▷7I −1◁ et H▷1I 2◁. 1 Calculer les coordonnées du point D tel que ABCD soit un parallélo-

gramme. 2 Soit E▷4I −7◁. Montrer que ABEC est un parallélogramme. 3 Montrer que le triangle HCE est rectangle en C.

IL2M — v. 1.0 9 juin 2025 — Chapitre 7 page 236 — #246 INTERROS_{236}
22Alignement de points_{Lycée Fénelon, Paris} Corrigé ; p. 251 ; 20 min ; ⋆ ; ⋆

Soit ABCD un carré. Les triangles DCE et BCF sont équilatéraux de hauteurs HE et KF. On considère le repère ▷AI \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD}◁.

1 Donner, sans justification, les coordonnées des points A, B, C, D, H et K.

2 Calculer les hauteurs HE et KF. 3 En déduire les coordonnées des points E et F. 4 Montrer que E, F et A sont alignés.

23En s’aidant des vecteurs_{Lycée Fénelon, Paris} Corrigé ; p. 252 ; 20 min ; ⋆ ; ⋆

Le plan est muni d’un repère orthonormé ▷O,I,J ◁. On considère les points A▷3 I 5◁, B▷−6 I 2◁ et C▷−4 I −4◁. 1 Calculer les coordonnées du point D tel que ABCD soit un parallélo-

gramme. 2 (a) Calculer AC et BD.

(b) Quelle est la nature du quadrilatère ABCD? 3 (a) Calculer les coordonnées du point M milieu de TABU.

(b) Les droites ▷BC◁ et ▷OM◁ sont-elles parallèles? 4 Soit N un point sur l’axe des abscisses. Déterminer l’abscisse de N pour

que les droites ▷AO◁ et ▷MN◁ soient parallèles.

IL2M — v. 1.0 9 juin 2025 — Chapitre 7 page 237 — #247 VECTEURS ET COORDONNÉES DANS LE PLAN CHAP. 7_{237} CORRIGÉS INTERROS COURS
24Triangles et droites parallèles_{Lycée Saint-Aspais, Fontainebleau} Corrigé ; p. 253 ; 30 min ; ⋆ ; ⋆

Dans un plan muni d’un repère orthonormé ▷O,I,J ◁, on considère les points : A▷3 I 3◁, B▷5 I 2◁, C▷1 I −1◁, E▷11 I 2◁, F ▷7 I 4◁.

1 Faire une figure.

2 Montrer que les droites ▷AB◁ et ▷EF ◁ sont parallèles.

3 Montrer que le triangle ABC est rectangle.

4 Soit G▷7 I −6◁ (a) Calculer F G, EF et EG.

(b) Montrer que les triangles ABC et EF G ont leurs côtés proportionnels.

25Un peu de recherche_{Lycée Victor Louis, Talence} Corrigé ; p. 254 ; 30 min ; ⋆ ; ⋆

Dans un repère orthonormé, on considère les points M▷−1 I 1◁, N▷1 I −5◁ et P ▷−4 I 0◁. 1 Démontrer que le triangle MNP est rectangle.

2 Les points R, S, T et U ont pour coordonnées R▷7 I −3◁, S▷5 I 3◁,

T ▷−2 I 4◁ et U▷−5 I 3◁. Démontrer que MNRS est un parallélogramme. 3 Soit L le milieu de TST U. Déterminer les coordonnées du point V, symé-

trique de M par rapport à L. 4 Le point H a pour coordonnées ▷−3 I −1◁. Démontrer que les points M,

V, H d’une part et N, P et H d’autre part, sont alignés. Que peut-on en conclure?

5 Démontrer que ▷MV ◁ est perpendiculaire à ▷NP ◁.

6 Démontrer l’égalité : MH^{2} D HN × HP.

Construction d’un point — v. 1.0 9 juin 2025 — Chapitre 7 page 238 — #248

CORRIGÉS_{238}

1_{QCM} Relation de Chasles {Énoncé \atop p. 229}

1 Réponse b : \overrightarrow{AB} C \overrightarrow{BC} D \overrightarrow{AC}. 2 Réponse c : \overrightarrow{BA}− \overrightarrow{BC} D \overrightarrow{BA}C \overrightarrow{CB} D \overrightarrow{CB} C \overrightarrow{BA} D \overrightarrow{CA}. 3 Réponse a : \overrightarrow{AB} − \overrightarrow{CB} C \overrightarrow{CA} D \overrightarrow{AB} C \overrightarrow{BC} C \overrightarrow{CA} D \overrightarrow{AA} D \overrightarrow{0} .

2_{QCM} Test de connaissances générales {Énoncé \atop p. 229}

1 Réponse b : \overrightarrow{AB} C \overrightarrow{BC} D \overrightarrow{AC}. Les autres égalités sont fausses. 2 Réponses c et d . Pour les coordonnées de \overrightarrow{BC}, il suffit de diviser par

deux celles de 2\overrightarrow{BC}et ensuite, pour les coordonnées de \overrightarrow{CB}, on multiplie

par −1.

3 Réponses b , c et d . En effet,

\overrightarrow{AB} C \overrightarrow{AD} D \overrightarrow{AC}

(c’est une diagonale du parallélogramme).

De plus,

\overrightarrow{AB} − \overrightarrow{AD} D \overrightarrow{AB} C \overrightarrow{DA} D \overrightarrow{DB}

d’après la relation de Chasles.

Enfin, \overrightarrow{AB} D \overrightarrow{DC} (c’est une caractéristique des parallélogrammes).

3_{V/F} Coordonnées des vecteurs {Énoncé \atop p. 230}

a Faux. Il faut calculer la différence des coordonnées (celles de B moins celles de A). Les coordonnées de \overrightarrow{AB} sont : \binom{2}{−1} .

b Vrai. En effet, \overrightarrow{AB}\binom{5 − 3}{1 − 2} , soit \overrightarrow{AB}\binom{2}{−1} .
c Faux : AB D \sqrt{2^{2} C ▷−1◁^{2}} D \sqrt{5}.
d Vrai. Le milieu de TABU a pour coordonnées ( \frac{x_{A} C x_{B}}{2} I \frac{y_{A} C y_{B}}{2} ) .
4Construction d’un point_{Lycée Pasteur, Neuilly-sur-Seine} {Énoncé \atop p. 230}

Pour construire facilement, le point I, il est préférable de simplifier l’égalité qui le définit.

Transformations — v. 1.0 9 juin 2025 — Chapitre 7 page 239 — #249 VECTEURS ET COORDONNÉES DANS LE PLAN CHAP. 7_{239} CORRIGÉS INTERROS COURS
\overrightarrow{AI} D 2\overrightarrow{BC} − 3\overrightarrow{BA}
D 2\overrightarrow{BC} C 3\overrightarrow{AB}
D \overrightarrow{AB} C 2\overrightarrow{AB} C 2\overrightarrow{BC}
D \overrightarrow{AB} C 2(\overrightarrow{AB} C \overrightarrow{BC})
D \overrightarrow{AB} C 2\overrightarrow{AC}.

Ainsi, pour construire le point I, on part du point A, on se déplace jusqu’à B, puis on effectue deux fois de suite le même déplacement que pour passer du point A au point C.

5Transformations_{Lycée Colbert, Paris} {Énoncé \atop p. 230}

J est le milieu de TOBU donc \overrightarrow{OJ} D \frac{1}{2}\overrightarrow{OB}. On en déduit :

\overrightarrow{AJ} D \overrightarrow{AO} C \overrightarrow{OJ} D \overrightarrow{AO} C \frac{1}{2}\overrightarrow{OB}.

De même, on montre \overrightarrow{IC} D \overrightarrow{OC} C \frac{1}{2}\overrightarrow{DO}.

Or, O est le milieu de TACU et TBDU, donc \overrightarrow{DO} D \overrightarrow{OB} et \overrightarrow{AO} D \overrightarrow{OC}. On en déduit \overrightarrow{AJ} D \overrightarrow{IC}, et donc AJ D IC.

Relation de Chasles — v. 1.0 9 juin 2025 — Chapitre 7 page 240 — #250 CORRIGÉS_{240}
6Que de vecteurs!_{Lycée Fénelon, Paris} {Énoncé \atop p. 230}
{\overrightarrow{NP} C \overrightarrow{DE} D 3\overrightarrow{AB} \atop \overrightarrow{HB} C \overrightarrow{EJ} D \overrightarrow{HE}}  {\overrightarrow{NK} − \overrightarrow{EF} C \overrightarrow{CH} D \overrightarrow{0} \atop \overrightarrow{J B} − \overrightarrow{KM} C \overrightarrow{BC} D \overrightarrow{LC}}
7Somme de vecteurs_{Lycée Maurice Genevoix, Montrouge} {Énoncé \atop p. 231}

1 De l’origine à l’extrémité de E u, on effectue un déplacement de 1 unité vers la gauche (donc −1 en abscisse) et un déplacement de 1 unité vers le haut (donc C1 en ordonnée). On en déduit les coordonnées E u( \begin{matrix}−1 \\ 1 \end{matrix} ) .

De même, E v( \begin{matrix}2 \\ 1 \end{matrix}) et E w( \begin{matrix}2 \\ −1 \end{matrix} ) .

2 On en déduit les coordonnées de E uC E vC E w: ( \begin{matrix}3 \\ 1 \end{matrix}) , et les coordonnées de A▷3 I 1◁.

8Calcul vectoriel_{Lycée Eugène Delacroix, Maisons-Alfort} {Énoncé \atop p. 231}

Comme les points sont équidistants, on peut exprimer chaque vecteur en fonction, par exemple, de \overrightarrow{AB}, ce qui permet de les comparer facilement. 1 \overrightarrow{BD} D 2\overrightarrow{AB} (car \overrightarrow{BD} D \overrightarrow{AC}).

2 \overrightarrow{CD} D \frac{1}{4}\overrightarrow{BF} car \overrightarrow{CD} D \overrightarrow{AB} et \overrightarrow{BF} D \overrightarrow{AE} D 4\overrightarrow{AB}.

3 \overrightarrow{F C} D −3\overrightarrow{DE} car \overrightarrow{F C} D −\overrightarrow{CF} D −3\overrightarrow{AB} et \overrightarrow{DE} D \overrightarrow{AB}.

4 \overrightarrow{EC} D −\frac{1}{3}\overrightarrow{AG} car \overrightarrow{EC} D −2\overrightarrow{AB} et \overrightarrow{AG} D 6\overrightarrow{AB}.

5 \overrightarrow{AB} C 2\overrightarrow{CE} − \overrightarrow{AC} D 3\overrightarrow{AB} car \overrightarrow{CE} D 2\overrightarrow{AB} et \overrightarrow{AC} D 2\overrightarrow{AB}.

6 \frac{1}{2}\overrightarrow{BF} − \frac{1}{4}\overrightarrow{AE} C \overrightarrow{F G} D \overrightarrow{BD} car :

\overrightarrow{BF} D 4\overrightarrow{AB},

\overrightarrow{AE} D 4\overrightarrow{AB},
\overrightarrow{F G} D \overrightarrow{AB}

et

\overrightarrow{BD} D 2\overrightarrow{AB}.

Alignement de points — v. 1.0 9 juin 2025 — Chapitre 7 page 241 — #251

VECTEURS ET COORDONNÉES DANS LE PLAN CHAP. 7_{241} CORRIGÉS INTERROS COURS

9Relation de Chasles_{Lycée Fénelon, Paris} {Énoncé \atop p. 231}

1 \overrightarrow{BE} D \overrightarrow{BA}C \overrightarrow{AE} et \overrightarrow{BH} D \overrightarrow{BC} C \overrightarrow{CH}.

2  \begin{aligned}\overrightarrow{BE} & D \overrightarrow{BA}C \overrightarrow{AE} \\ & D −\overrightarrow{AB} C \frac{3}{2}\overrightarrow{AD}. \end{aligned}

\overrightarrow{BH} D \overrightarrow{BC} C \overrightarrow{CH}

D \overrightarrow{BC} C \frac{2}{3}\overrightarrow{CD}

D \overrightarrow{AD} − \frac{2}{3}\overrightarrow{AB}.

(car ABCD est un parallélogramme) 3 Nous avons exprimé \overrightarrow{BE} et \overrightarrow{BH} en fonction des mêmes vecteurs; de

plus, on voit le coefficient −\frac{2}{3} devant \overrightarrow{AB} dans l’expression de \overrightarrow{BH}, ce

qui nous pousse à calculer \frac{2}{3}\overrightarrow{BE} :

\frac{2}{3}\overrightarrow{BE} D −\frac{2}{3}\overrightarrow{AB} C \frac{2}{3} × \frac{3}{2}\overrightarrow{AD} D \overrightarrow{BH}.

Ainsi, \overrightarrow{BE} et \overrightarrow{BH} sont colinéaires. Ils ont un point en commun donc les points B, H et E sont alignés.

10Alignement de points_{Lycée Pasteur, Neuilly-sur-Seine} {Énoncé \atop p. 232}

1 Rappel : le centre de gravité d’un triangle est le point d’intersection de

ses médianes. La figure est alors celle représentée page suivante.

2 \begin{aligned}\overrightarrow{BE} D 2\overrightarrow{BC} & ⟺ \overrightarrow{BA}C \overrightarrow{AE} D 2\overrightarrow{BC} \\ & ⟺ \overrightarrow{AE} D \overrightarrow{AB} C 2\overrightarrow{BC}. \end{aligned}

Alignement de points — v. 1.0 9 juin 2025 — Chapitre 7 page 242 — #252

CORRIGÉS_{242}

3 \begin{aligned}\overrightarrow{AG} & D \frac{2}{3}\overrightarrow{AA′} \\ & D \frac{2}{3}(\overrightarrow{AB} C \overrightarrow{BC} C \overrightarrow{CA′}) \\ & D \frac{2}{3} ( \overrightarrow{AB} C \overrightarrow{BC} C \frac{1}{2}\overrightarrow{BA}) \\ & D \frac{2}{3} ( \frac{1}{2}\overrightarrow{AB} C \overrightarrow{BC}) \\ & D \frac{1}{3}\overrightarrow{AB} C \frac{2}{3}\overrightarrow{BC}. \end{aligned}

4 D’après les question précédentes,

\overrightarrow{AG} D \frac{1}{3}\overrightarrow{AE}. Par conséquent, les

vecteurs \overrightarrow{AG} et \overrightarrow{AE} sont colinéaires. Ils ont de plus un point commun : A. Les points A, G et E sont donc alignés.

11Alignement de points_{Lycée Fénelon, Paris} {Énoncé \atop p. 232}

MÉTHODE

Pour démontrer que les points B, C et D sont alignés, il suffit de démontrer que deux vecteurs quelconques formés par ces trois points sont colinéaires.

\overrightarrow{BD} D \overrightarrow{BA}C \overrightarrow{AD}

D −\overrightarrow{AB} C 3\overrightarrow{AB} − 2\overrightarrow{AC}

D 2\overrightarrow{AB} − 2\overrightarrow{AC}

D 2(\overrightarrow{AB} − \overrightarrow{AC})

D 2(\overrightarrow{AB} C \overrightarrow{CA})

D 2\overrightarrow{CB}.

Ainsi, \overrightarrow{BD} et \overrightarrow{CB} sont colinéaires; or, ils ont un point en commun donc les points B, C et D sont alignés.

Parallélisme — v. 1.0 9 juin 2025 — Chapitre 7 page 243 — #253 VECTEURS ET COORDONNÉES DANS LE PLAN CHAP. 7_{243} CORRIGÉS INTERROS COURS
12Alignement de points_{Lycée Jacques Decour, Paris} {Énoncé \atop p. 232}

1 La figure est la suivante :

2 Exprimons en fonction de \overrightarrow{AB} et \overrightarrow{AD} les vecteurs \overrightarrow{EC} et \overrightarrow{EF} par exemple.

\begin{aligned}\overrightarrow{EC} & D \overrightarrow{EB} C \overrightarrow{BC} \\ & D \frac{1}{2}\overrightarrow{BA}C \overrightarrow{BC} \\ & D −\frac{1}{2}\overrightarrow{AB} C \overrightarrow{AD}. \end{aligned}  \begin{aligned}\overrightarrow{EF} & D \overrightarrow{EA} C \overrightarrow{AF} \\ & D \frac{3}{2}\overrightarrow{BA}C 3\overrightarrow{AD} \\ & D −\frac{3}{2}\overrightarrow{AB} C 3\overrightarrow{AD}. \end{aligned}

On constate alors que 3\overrightarrow{EC} D \overrightarrow{EF}, donc \overrightarrow{EC} et \overrightarrow{EF} sont colinéaires, ce qui prouve que E, C et F sont alignés.

13Parallélisme_{Lycée Jacques Decour, Paris} {Énoncé \atop p. 233}

Même si cela n’est pas demandé, nous pouvons appuyer notre raisonnement sur une figure (que nous vous proposons page suivante).

Pour démontrer que les droites ▷OP ◁ et ▷IB◁ sont parallèles, nous allons montrer que \overrightarrow{IB} et \overrightarrow{OP} sont colinéaires.

Plaçons-nous dans le repère (AI \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}).

\begin{aligned}\overrightarrow{IB} & D \overrightarrow{IA} C \overrightarrow{AB} \\ & D −\frac{1}{2}\overrightarrow{AC} C \overrightarrow{AB}. \end{aligned}

Exercice de recherche — v. 1.0 9 juin 2025 — Chapitre 7 page 244 — #254 CORRIGÉS_{244}
\overrightarrow{OP} D \overrightarrow{OA} − 2\overrightarrow{OB} C \overrightarrow{OC}

D \overrightarrow{OA} − \overrightarrow{OB} − \overrightarrow{OB} C \overrightarrow{OC}

D \overrightarrow{OA} C \overrightarrow{BO} C \overrightarrow{BO} C \overrightarrow{OC}

D \overrightarrow{BA}C \overrightarrow{BC}

D −\overrightarrow{AB} C \overrightarrow{BA}C \overrightarrow{AC}

D −2\overrightarrow{AB} C \overrightarrow{AC}.

Ainsi, −2\overrightarrow{IB} D \overrightarrow{AC} − 2\overrightarrow{AB} D \overrightarrow{OP}, donc \overrightarrow{OP} et \overrightarrow{IB} sont colinéaires, ce qui signifie que ▷OP ◁ et ▷IB◁ sont parallèles.

Remarque : on peut aussi écrire :

\overrightarrow{OP} D \overrightarrow{OA} C 2\overrightarrow{BO} C \overrightarrow{OC}
D \overrightarrow{OI} C \overrightarrow{IA} C 2\overrightarrow{BI} C 2\overrightarrow{IO} C \overrightarrow{OI} C \overrightarrow{IC}
D \overrightarrow{IA} C \overrightarrow{IC} C 2\overrightarrow{BI}
D 2\overrightarrow{BI}

pour démontrer que \overrightarrow{OP} et \overrightarrow{BI} sont colinéaires.

14Exercice de recherche_{Lycée Gustave Eiffel, Bordeaux} {Énoncé \atop p. 233}

\begin{aligned}\overrightarrow{AM} & D x\overrightarrow{AC} \\ & D x(\overrightarrow{AB} C \overrightarrow{AD}) \\ & D x\overrightarrow{AB} C x\overrightarrow{AD}. \end{aligned}  \begin{aligned}\overrightarrow{AN} & D \overrightarrow{AD} C \overrightarrow{DN} \\ & D \overrightarrow{AD} − x^{2}\overrightarrow{AB} C 2x\overrightarrow{AD} \\ & D −x^{2}\overrightarrow{AB} C ▷1 C 2x◁\overrightarrow{AD}. \end{aligned}

Calculs de longueurs — v. 1.0 9 juin 2025 — Chapitre 7 page 245 — #255

VECTEURS ET COORDONNÉES DANS LE PLAN CHAP. 7_{245} CORRIGÉS INTERROS COURS

M et N sont confondus si et seulement si \overrightarrow{AM} D \overrightarrow{AN}.

\overrightarrow{AM} D \overrightarrow{AN} ⟺ x\overrightarrow{AB} C x\overrightarrow{AD} D −x^{2}\overrightarrow{AB} C ▷1 C 2x◁\overrightarrow{AD}

⟺ \{ \begin{matrix}x D −x^{2} \\ x D 1 C 2x \end{matrix}

⟺ \{ \begin{matrix}−x^{2} − x D 0 \\ x D −1 \end{matrix}

x D −1 est solution de la première équation car −▷−1◁^{2} − ▷−1◁ D −1 C 1 D 0 . Il existe donc bien une valeur de x pour laquelle les deux points sont confondus.

15Avec une symétrie_{Lycée Fernand Daguin, Mérignac} {Énoncé \atop p. 233}

1 Attention : l’unité en abscisses (1 carreau) n’est pas la même qu’en ordonnées (2 carreaux). On a alors : A▷2 I 4◁, B▷10 I 3◁, C▷8 I −1◁, D▷0 I 0◁, E▷8 I −4◁ et F ▷−4 I −4◁.

2 K ( \frac{x_{A} C x_{E}}{2} I \frac{y_{A} C y_{E}}{2} ) soit K▷5 I 0◁.

3 Notons B′▷x I y◁ le symétrique de B par rapport à K. Alors, K est le milieu de TBB′U et donc :

\{ \begin{matrix}5 D \frac{10 C x}{2} \\ 0 D \frac{3 C y}{2} \end{matrix} ⟺ \{ \begin{matrix}10 D 10 C x \\ 0 D 3 C y \end{matrix} ⟺ \{ \begin{matrix}x D 0 \\ y D −3 \end{matrix}

Ainsi, B′▷0 I −3◁.

Calculs de longueurs — v. 1.0 9 juin 2025 — Chapitre 7 page 246 — #256

CORRIGÉS_{246}

16Calculs de longueurs_{Lycée Claude Debussy, Saint-Germain-en-Laye} {Énoncé \atop p. 234}

Notons sur la figure les longueurs égales :

1 Plaçons le point O. Le triangle OAC est rectangle en O. On sait que AC D 2 et OC D 1 (car dans un triangle équilatéral, le pied de la hauteur est le milieu de la base). On applique le théorème de Pythagore dans le triangle OAC, il vient :

AC^{2} D AO^{2} C OC^{2} ,

donc OA^{2} D AC^{2} − OC^{2} D 4 − 1 D 3 et OA D \sqrt{3}.

2 Dans ce repère, on calcule les coordonnées des vecteurs \overrightarrow{AB}\binom{−1}{−\sqrt{3}} ,

\overrightarrow{BC}\binom{2}{0} et \overrightarrow{AC}\binom{1}{−\sqrt{3}} .

3 On constate \overrightarrow{CD} D \overrightarrow{CB} C \overrightarrow{BD} (relation de Chasles). On en déduit :

\overrightarrow{CD} D \overrightarrow{CB} C k\overrightarrow{AB} D k\overrightarrow{AB} − \overrightarrow{BC}.

De même, \overrightarrow{AE} D \overrightarrow{AC} C \overrightarrow{CE} D \overrightarrow{AC} C k\overrightarrow{BC}.

On en déduit les coordonnées de \overrightarrow{CD}\binom{−k − 2}{−k\sqrt{3}} et donc :

CD^{2} D ▷−k − 2◁^{2} C 3k^{2} D 4k^{2} C 4k C 4.

Les coordonnées de \overrightarrow{AE}\binom{1 C 2k}{−\sqrt{3}} donnent :

AE^{2} D ▷1 C 2k◁^{2} C 3 D 4k^{2} C 4k C 4.

On constate : AE D CD.

Avec un cercle — v. 1.0 9 juin 2025 — Chapitre 7 page 247 — #257 VECTEURS ET COORDONNÉES DANS LE PLAN CHAP. 7_{247} CORRIGÉS INTERROS COURS
17Nature d’un triangle et cercle_{Lycée Jacques Decour, Paris} {Énoncé \atop p. 234}

1  MÉTHODE

Quand on nous demande la nature d’un triangle, il faut penser à : « rectangle », « isocèle » et « équilatéral. » Connaître la mesure des trois côtés, ou leurs carrés, est donc suffisant.

AB^{2} D (3 − ▷−1◁)^{2} C ▷−2 − 0◁^{2}
D 4^{2} C ▷−2◁^{2}
D 20.
AC^{2} D (1 − ▷−1◁)^{2} C ▷4 − 0◁^{2}
D 2^{2} C 4^{2}
D 20.
BC^{2} D ▷1 − 3◁^{2} C (4 − ▷−2◁)^{2}
D ▷−2◁^{2} C 6^{2}
D 40.

On constate donc que : AB^{2} D AC^{2}, donc AB D AC; BC^{2} D AB^{2} C AC^{2}. Ainsi, ABC est un triangle rectangle isocèle en A.

2 Nous savons que le centre du cercle circonscrit à un triangle rectangle est le milieu de son hypoténuse. Ainsi, K est le milieu de TBCU; donc :

x_{K} D \frac{x_{B} C x_{C}}{2} D \frac{3 C 1}{2} D 2 et y_{K} D \frac{y_{B} C y_{C}}{2} D \frac{−2 C 4}{2} D 1.

Donc K▷2 I 1◁.

Le rayon de C est la moitié de BC donc :

r D \frac{BC}{2} D \frac{\sqrt{40}}{2}.

Remarque : on peut aller plus loin dans la simplification de cette dernière fraction en remarquant que 40 D 2^{2} × 10 et donc que :

\sqrt{40} D \sqrt{4 × 10} D \sqrt{4} × \sqrt{10} D 2\sqrt{10}.

Ainsi, r D \sqrt{10}.

3 Afin de voir si D appartient à C, nous pouvons calculer par exemple DK et vérifier si le résultat est égal à r, ou bien (ce qui est plus simple), vérifier que DK^{2} D r^{2} D 10.

DK^{2} D ▷2 − 3◁^{2} C ▷1 − 4◁^{2} D ▷−1◁^{2} C ▷−3◁^{2} D 10. D appartient donc à C.

Alignement de points — v. 1.0 9 juin 2025 — Chapitre 7 page 248 — #258

CORRIGÉS_{248}

18Avec un cercle_{Lycée Champollion, Grenoble} {Énoncé \atop p. 235}

1 Nous allons calculer les longueurs des trois côtés de ABC. Utilisons la

formule de calcul de la distance :

AB D \sqrt{▷5 − 2◁^{2} C ▷3 − 1◁^{2}} D \sqrt{3^{2} C 2^{2}} D \sqrt{9 C 4} D \sqrt{13}.
AC D \sqrt{▷7 − 2◁^{2} C ▷0 − 1◁^{2}} D \sqrt{5^{2} C 1} D \sqrt{25 C 1} D \sqrt{26}.
BC D \sqrt{▷7 − 5◁^{2} C ▷0 − 3◁^{2}} D \sqrt{2^{2} C 3^{2}} D \sqrt{4 C 9} D \sqrt{13}.

Il devient clair que ABC est isocèle en B. De plus, on a :

AB^{2} C BC^{2} D 13 C 13 D 26 D AC^{2}.

D’après la réciproque du théorème de Pythagore, ABC est rectangle en B.

2 (a) En s’y prenant par le bon bout, on évite quelques calculs. En effet, il n’est pas difficile de constater que E est bien le milieu de TACU

car \frac{9}{2} D \frac{2 C 7}{2} et \frac{1}{2} D \frac{1 C 0}{2}.

Or, le milieu de l’hypoténuse d’un triangle rectangle est aussi le centre de son cercle circonscrit, donc EA D EB D EC. Puisque AC D \sqrt{26}, on a :

AE D EC D \frac{\sqrt{26}}{2}.

Finalement, A, B et C sont des points de C.

(b) C n’est autre que le cercle de centre E passant par A :

3 Comme ABC est isocèle et rectangle en B, on a nécessairement

{ \atop ACB} D 45^{∘}.

19Alignement de points_{Lycée Buffon, Paris} {Énoncé \atop p. 235}

1 On applique les formules :

\overrightarrow{AB}( \begin{matrix}−1 C 5 \\ 1 − 6 \end{matrix} ) donc \overrightarrow{AB}( \begin{matrix}4 \\ −5 \end{matrix} ) .

Parallélogramme et triangle — v. 1.0 9 juin 2025 — Chapitre 7 page 249 — #259

VECTEURS ET COORDONNÉES DANS LE PLAN CHAP. 7_{249} CORRIGÉS INTERROS COURS

De même :

\overrightarrow{BC}( \begin{matrix}8 \\ −9 \end{matrix} ) et \overrightarrow{BD} ( \begin{matrix}10 \\ 8 \end{matrix}) .

2 Si A, B et C étaient alignés, alors \overrightarrow{AB} et \overrightarrow{BC} seraient colinéaires (ils dirigeraient la droite passant par A, B et C). Or, les coordonnées de \overrightarrow{AB} et \overrightarrow{BC} ne sont pas proportionnelles, donc \overrightarrow{AB} et \overrightarrow{BC} ne sont pas colinéaires, et donc A, B et C ne sont pas alignés.

3 On calcule les carrés des côtés :

AB^{2} D 4^{2} C 5^{2} D 16 C 25 D 41.
BD^{2} D 10^{2} C 8^{2} D 100 C 64 D 164.
AD^{2} D 14^{2} C 3^{2} D 196 C 9 D 205.

On constate AD^{2} D AB^{2} C BD^{2}. D’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle ABD est rectangle en B.

20Parallélogramme et triangle_{Lycée Montesquieu, Le Mans} {Énoncé \atop p. 235}

1 Calculons les coordonnées du vecteur \overrightarrow{BA}: \overrightarrow{BA}( \begin{matrix}−2 \\ −4 \end{matrix} ) .

Comme \overrightarrow{CD} D \overrightarrow{BA} et C▷4 I −1◁, les coordonnées de D sont 4 − 2 et −1 − 4, donc D▷2 I −5◁.

2 Le centre du parallélogramme est le milieu des diagonales. En considérant la diagonale TACU, le centre a pour coordonnées :

( \frac{−1 C 4}{2} I \frac{−1 − 1}{2} ) donc ( \frac{3}{2} I −1) .

Récapitulatif — v. 1.0 9 juin 2025 — Chapitre 7 page 250 — #260

CORRIGÉS_{250}

3 Calculons les longueurs des côtés de ABC :

AB^{2} D 2^{2} C 4^{2} D 20,
BC^{2} D 3^{2} C 4^{2} D 25,
AC^{2} D 5^{2} C 0 D 25.

BC D AC donc ABC est isocèle en C. Il n’est pas rectangle.

21Récapitulatif_{Lycée Fernand Daguin, Mérignac} {Énoncé \atop p. 235}

Avant tout, même si ce n’est pas demandé, faisons une figure complète : 1 On souhaite que ABCD soit un parallélogramme.

Dans ce cas, \overrightarrow{BA} D \overrightarrow{CD}.

\overrightarrow{BA}\binom{x_{A} − x_{B}}{y_{A} − y_{B}} soit \overrightarrow{BA}\binom{1 − ▷−2◁}{5 − ▷−1◁} donc \overrightarrow{BA}\binom{3}{6} .

\overrightarrow{BA} D \overrightarrow{CD} ⟺ \binom{3}{6} D \binom{x_{D} − 7}{y_{D} − ▷−1◁}

⟺ \{ \begin{matrix}3 D x_{D} − 7 \\ 6 D y_{D} C 1 \end{matrix}

⟺ \{ \begin{matrix}x_{D} D 3 C 7 D 10 \\ y_{D} D 6 − 1 D 5 \end{matrix}

Ainsi, D▷10I 5◁.

Alignement de points — v. 1.0 9 juin 2025 — Chapitre 7 page 251 — #261

VECTEURS ET COORDONNÉES DANS LE PLAN CHAP. 7_{251} CORRIGÉS INTERROS COURS

2 E▷4I −7◁ donc \overrightarrow{EC}\binom{7 − 4}{−1 − ▷−7◁} , soit \overrightarrow{EC}\binom{3}{6} .

Ainsi, \overrightarrow{EC} D \overrightarrow{BA}; ABEC est donc un parallélogramme.

3  MÉTHODE

Pour déterminer la nature d’un triangle en géométrie analytique, il est très souvent recommandé de calculer le carré de la longueur des côtés.

Calculons donc : HC^{2} D ▷x_{C}−x_{H}◁^{2}C▷y_{C}−y_{H}◁^{2} D ▷7−1◁^{2}C▷−1−2◁^{2} D 36C9 D 45. CE^{2} D ▷4 − 7◁^{2} C ▷−7 − ▷−1◁◁^{2} D 9 C 36 D 45. HE^{2} D ▷4 − 1◁^{2} C ▷−7 − 2◁^{2} D 9 C 81 D 90. On peut alors remarquer que : HC^{2} D CE^{2}, donc HC D CE, ce qui signifie que HCE est isocèle en C; HE^{2} D HC^{2} C CE^{2}, ce qui signifie que HCE est rectangle en C (d’après la réciproque du théorème de Pythagore). Ainsi, HCE est rectangle isocèle en C.

22Alignement de points_{Lycée Fénelon, Paris} {Énoncé \atop p. 236}

1 A▷0 I 0◁, B▷1 I 0◁, C▷1 I 1◁, D▷0 I 1◁, H ( \frac{1}{2} I 1) et K ( 1 I \frac{1}{2}) .

2 Dans le triangle équilatéral DCE, ▷EH◁ est une hauteur donc le triangle EHC est rectangle en H. Ainsi, d’après le théorème de Pythagore,

\begin{aligned}EC^{2} & D HC^{2} C HE^{2} \\ 1^{2} & D ( \frac{1}{2}) ^{2} C HE^{2} \\ & car EC D DC D 1 \\ 1 & D \frac{1}{4} C HE^{2} \end{aligned}  \begin{matrix}donc EH^{2} & D 1 − \frac{1}{4} \\ EH & D \sqrt{\frac{3}{4}} \\ EH & D \frac{\sqrt{3}}{2}. \end{matrix}

Les triangles BCF et DCE étant identiques, KF D HE D \frac{\sqrt{3}}{2}.

En s’aidant des vecteurs — v. 1.0 9 juin 2025 — Chapitre 7 page 252 — #262 CORRIGÉS_{252}

3 On déduit de la question précédente que :

F ( 1 − \frac{\sqrt{3}}{2} I \frac{1}{2}) et E ( \frac{1}{2} I 1 C \frac{\sqrt{3}}{2}) .

4 \overrightarrow{AF}\binom{1 − \frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2}} et \overrightarrow{AE}\binom{\frac{1}{2}}{1 C \frac{\sqrt{3}}{2}} .

Or,

\underbrace{( 1 − \frac{\sqrt{3}}{2}) ( 1 C \frac{\sqrt{3}}{2})}_{identité remarquable : ▷a − b◁▷a C b◁}−\frac{1}{2} × \frac{1}{2} D 1 − \frac{3}{4} − \frac{1}{4} D 0

donc les vecteurs \overrightarrow{AF} et \overrightarrow{AE} sont colinéaires, ce qui signifie que les points A, F et E sont alignés.

23En s’aidant des vecteurs_{Lycée Fénelon, Paris} {Énoncé \atop p. 236}

1 Notons D▷x I y◁. ABCD est un parallélogramme si et seulement si :

\overrightarrow{AB} D \overrightarrow{DC} ⟺ \binom{−6 − 3}{2 − 5} D \binom{−4 − x}{−4 − y}

⟺ \{ \begin{matrix}−9 D −4 − x \\ −3 D −4 − y \end{matrix}

⟺ \{ \begin{matrix}x D −4 C 9 D 5 \\ y D −4 C 3 D −1 \end{matrix}

Ainsi, D▷5 I −1◁.

2 (a) \begin{aligned}AC^{2} & D ▷−4 − 3◁^{2} C ▷−4 − 5◁^{2} I \\ & D 49 C 81 \\ AC & D \sqrt{130}. \end{aligned} \begin{aligned}BD^{2} & D ▷5 C 6◁^{2} C ▷−1 − 2◁^{2} \\ & D 121 C 9 \\ BD & D \sqrt{130}. \end{aligned}

(b) On constate alors que les diagonales du parallélogramme ABCD ont la même longueur, donc ABCD est un rectangle. De plus, d’après les calculs précédents, AB D \sqrt{81 C 9} D \sqrt{90}, qui est différent de AD, côté du carré, donc ce n’est pas un carré.

3 (a) x_{M} D \frac{x_{A} C x_{B}}{2} D −\frac{3}{2} et y_{M} D \frac{y_{A} C y_{B}}{2} D \frac{7}{2}.

Donc M ( −\frac{3}{2} I \frac{7}{2}) .

Triangles et droites parallèles — v. 1.0 9 juin 2025 — Chapitre 7 page 253 — #263

VECTEURS ET COORDONNÉES DANS LE PLAN CHAP. 7_{253} CORRIGÉS INTERROS COURS

(b) \overrightarrow{BC}\binom{2}{−6} et \overrightarrow{OM}\binom{−\frac{3}{2}}{\frac{7}{2}} . Regardons s’ils sont colinéaires :

2 × \frac{7}{2} − ▷−6◁ × ( −\frac{3}{2}) D 7 − 9 D −2 D̸ 0.

Donc \overrightarrow{BC} et \overrightarrow{OM} ne sont pas colinéaires, ce qui montre que les droites ▷BC◁ et ▷OM◁ ne sont pas parallèles.

4 Notons N▷x I 0◁ (car N est sur l’axe des abscisses, donc son ordonnée est nulle). ▷AO◁ et ▷MN◁ sont parallèles si et seulement si :

\overrightarrow{OA}\binom{3}{5} et \overrightarrow{MN}\binom{x C \frac{3}{2}}{0 − \frac{7}{2}} colinéaires ⟺ 3 ( 0 − \frac{7}{2}) − 5 ( x C \frac{3}{2}) D 0

⟺ −\frac{21}{2} − 5x − \frac{15}{2} D 0

⟺ −\frac{36}{2} − 5x D 0

⟺ x D −\frac{18}{5}.

24Triangles et droites parallèles_{Lycée Saint-Aspais, Fontainebleau} {Énoncé \atop p. 237}

1

2 Méthode 1 : On calcule les coordonnées des vecteurs \overrightarrow{AB}( \begin{matrix}2 \\ −1 \end{matrix} ) et

\overrightarrow{EF} ( \begin{matrix}−4 \\ 2 \end{matrix} ) .

Un peu de recherche — v. 1.0 9 juin 2025 — Chapitre 7 page 254 — #264

CORRIGÉS_{254}

Ces coordonnées sont proportionnelles donc les deux vecteurs sont colinéaires : les droites ▷AB◁ et ▷EF ◁ sont donc parallèles.

Méthode 2 : On calcule le coefficient directeur des droites ▷AB◁ et ▷EF ◁. Pour ▷AB◁, on a :

\frac{y_{B} − y_{A}}{x_{B} − x_{A}} D \frac{2 − 3}{5 − 3} D \frac{−1}{2} .

On obtient le même coefficient directeur pour la droite ▷EF ◁, donc ▷AB◁ // ▷EF ◁.

3 On calcule les longueurs AB, AC et BC, par la formule habituelle :

AB D \sqrt{▷x_{B} − x_{A}◁^{2}▷y_{B} − y_{A}◁^{2}} D \sqrt{4 C 1} D \sqrt{5}.

De même, AC D 2\sqrt{5} et BC D 5. On applique alors la réciproque du théorème de Pythagore :

AB^{2} C AC^{2} D 5 C 20 D 25 D BC^{2}

donc le triangle ABC est rectangle en A. 4 (a) On obtient : F G D 10, EF D 2\sqrt{5} et EG D 4\sqrt{5}.

(b) On constate :

\frac{AB}{EF} D \frac{\sqrt{5}}{2\sqrt{5}} D \frac{1}{2} , \frac{AC}{EG} D \frac{2\sqrt{5}}{4\sqrt{5}} D \frac{1}{2} , \frac{BC}{F G} D \frac{5}{10} D \frac{1}{2}.

Les côtés des triangles ABC et EF G sont donc proportionnels.

25Un peu de recherche_{Lycée Victor Louis, Talence} {Énoncé \atop p. 237}

Dans cet exercice, on utilise à plusieurs reprises la formule permettant de calculer la distance entre deux points A et B dans un repère orthonormé :

AB^{2} D ▷x_{B} − x_{A}◁^{2} C ▷y_{B} − y_{A}◁^{2}.

On commence par une figure, où l’on place les points au fur et à mesure (voir page ci-contre).

1 Nous allons appliquer la réciproque du théorème de Pythagore. On calcule les carrés des côtés :

MN^{2} D ▷1 − ▷−1◁◁^{2} C ▷−5 − 1◁^{2} D 2^{2} C 6^{2} D 4 C 36 D 40.
MP^{2} D ▷−4 − ▷−1◁◁^{2} C ▷−1◁^{2} D 3^{2} C 1^{2} D 9 C 1 D 10.
P N^{2} D ▷1 − ▷−4◁◁^{2} C ▷0 − ▷−5◁◁^{2} D 5^{2} C 5^{2} D 25 C 25 D 50.

On constate : MN^{2}CMP^{2} D P N^{2} donc le triangle MNP est rectangle en M.

Un peu de recherche — v. 1.0 9 juin 2025 — Chapitre 7 page 255 — #265

VECTEURS ET COORDONNÉES DANS LE PLAN CHAP. 7_{255} CORRIGÉS INTERROS COURS

2 Pour montrer que MNRS est un parallélogramme, on a deux méthodes possibles utilisant les coordonnées : Avec les vecteurs. On calcule les coordonnées de :

\overrightarrow{MN} ( \begin{matrix}2 \\ −6 \end{matrix} ) et \overrightarrow{SR} ( \begin{matrix}2 \\ −6 \end{matrix} ) .

On constate \overrightarrow{MN} D \overrightarrow{SR} donc MNRS est un parallélogramme. Avec les milieux. Le milieu de TMRU a pour coordonnées : ( \frac{−1 C 7}{2} I \frac{1 − 3}{2} ) , donc ▷3 I −1◁. Le milieu de TSNU a les mêmes coordonnées. TMRU et TSNU ont même milieu, on en déduit que MNRS est un parallélogramme.

3 Là encore, deux méthodes possibles :

Avec les vecteurs. L est le milieu de TST U et de TMV U donc MT V S est un parallélogramme, et \overrightarrow{MS} D \overrightarrow{T V}. On calcule :

\overrightarrow{MS} ( \begin{matrix}6 \\ 2 \end{matrix}) .

Notons V ▷x,y◁. Les coordonnées de \overrightarrow{T V}sont :

\overrightarrow{T V}( \begin{matrix}x C 2 \\ y − 4 \end{matrix}) .

Il n’y a plus qu’à résoudre le système :

\{ \begin{matrix}x C 2 D 6 \\ y − 4 D 2 \end{matrix}

D’où x D 4 et y D 6. Il vient : V ▷4,6◁.

Un peu de recherche — v. 1.0 9 juin 2025 — Chapitre 7 page 256 — #266

CORRIGÉS_{256}

Avec les milieux. On calcule les coordonnées de L, milieu de TST U :

L ( \frac{5 − 2}{2} I \frac{3 C 4}{2}) .

donc L ( \frac{3}{2} I \frac{7}{2}) .

Notons V ▷x,y◁ ; L étant le milieu de TMV U, ses coordonnées s’écrivent également :

L ( \frac{x − 1}{2} I \frac{y C 1}{2}) .

On identifie, on obtient le système :

\{ \begin{matrix}\frac{x − 1}{2} D \frac{3}{2} \\ \frac{y C 1}{2} D \frac{7}{2} \end{matrix}

On obtient x D 4 et y D 6, et donc V ▷4 I 6◁.

4 On calcule les coordonnées des vecteurs \overrightarrow{MV}( \begin{matrix}5 \\ 5 \end{matrix}) et \overrightarrow{MH} ( \begin{matrix}−2 \\ −2 \end{matrix} ) . On

constate que \overrightarrow{MV} et \overrightarrow{MH} sont colinéaires (coordonnées proportionnelles), donc M, V et H sont alignés. De même :

\overrightarrow{NP} ( \begin{matrix}−5 \\ 5 \end{matrix} ) et \overrightarrow{NH} ( \begin{matrix}−4 \\ 4 \end{matrix} ) .

\overrightarrow{NP} et \overrightarrow{NH} sont colinéaires, donc N, P et H sont alignés. On en conclut que les droites ▷MV ◁ et ▷NP ◁ se coupent en H.

5 Montrer que ▷MV ◁ est perpendiculaire à ▷NP ◁ revient à montrer que MHP est un triangle rectangle. On calcule comme à la première question :

MH^{2} D 8,
P H^{2} D 2,
MP^{2} D 10.

MP^{2} D MH^{2}CP H^{2}. D’après la réciproque du théorème de Pythagore, MP H est un triangle rectangle en H. Donc ▷MV ◁ est perpendiculaire à ▷NP ◁.

6 On calcule encore HN^{2} D 32. L’égalité demandée ne concerne que des nombres positifs, on obtient une égalité équivalente en élevant au carré. Montrons donc que :

MH^{4} D HN^{2} × HP^{2}.

On a HN^{2} D 32, HP^{2} D 2 et MH^{2} D 8 donc MH^{4} D 64. On a bien 64 D 32 × 2, donc l’égalité MH^{4} D HN^{2} × HP^{2} est vraie, et donc :

MH^{2} D HN × HP.

Équations de droites. Systèmes linéaires

Plan du chapitre

1. Équations de droites

2. Système d’équations linéaires

1 Équations de droites

Dans un repère orthonormé ▷O,E ı, E ȷ◁, soient trois points A▷−1 I −1◁, B▷−3 I 0◁ et C▷3 I 2◁. Donner une équation de ▷AB◁, puis de la parallèle à ▷AB◁ passant par C.

Exercice type 1

Lycée Paul Valéry, Sète

Voir corrigé page 263

1.1 Qu’est-ce qu’une équation de droite?

Au collège, vous avez rencontré des fonctions affines, de la forme f ▷x◁ D mx Cp. Si on se donne un repère ▷O,E ı, E ȷ◁ du plan, on peut la représenter graphiquement par une droite D, qui contient tous les points de coordonnées ▷xI y◁ où y D mx C p. Prenons l’exemple de f ▷x◁ D −3x C 2. On calcule :

f ▷1◁ D −1, f ▷−3◁ D 11, f ▷2◁ D −4,

donc la droite D contient, entre autres, les points de coordonnées :

▷1I −1◁, ▷−3I 11◁, ▷2I −4◁.

Inversement, si A▷−1I 5◁, alors A ∈ D car f ▷−1◁ D 5; si B▷2I 5◁, alors B ∉ D car f ▷2◁ D̸ 5. Pour tout point M de coordonnées ▷xI y◁ :

si y D −3x C 2, alors M est un point de D;

si y D̸ −3x C 2, alors M n’est pas un point de D.

Autrement dit, les coordonnées des points de D sont les solutions de l’équation à deux inconnues y D −3x C 2.

IL2M — v. 1.0 9 juin 2025 — Chapitre 8 page 258 — #268 COURS_{258}

On dit donc que y D −3x C 2 est une équation réduite de la droite D. Pourquoi « réduite »? Parce que sous sa forme la plus générale (appelée « équation cartésienne »), une équation de droite s’écrit ax C by C c D 0.

Si b D̸ 0, cette équation se ramène à la forme réduite : y D mx Cp, avec m D −\frac{a}{b}

et p D −\frac{c}{b}.

Si b D 0 et a D̸ 0, l’équation se ramène à x D −\frac{c}{a}. La droite D ne représente

plus une fonction affine, mais contient tous les points qui ont l’abscisse −\frac{c}{a} : il s’agit donc d’une droite parallèle à l’axe des ordonnées (dite droite « verticale »).

Si A et B sont deux points distincts sur la droite D, la direction du vecteur \overrightarrow{AB} ne dépend pas des points A et B. On dit que \overrightarrow{AB} est un vecteur directeur de D. La droite D possède une infinité de vecteurs directeurs, non nuls, tous colinéaires, qui caractérisent la direction de D : deux droites sont parallèles si et seulement si elles ont les mêmes vecteurs directeurs.

1.2 Équation réduite y D mx C p

On considère une droite D qui n’est pas parallèle à l’axe ▷Oy◁. Elle admet une équation réduite y D mx C p.

p s’appelle l’ordonnée à l’origine, car le point de coordonnées ▷0 I p◁ appartient à la droite D. p est l’ordonnée du point de D situé à la verticale de l’origine O (d’où son nom).

m s’appelle la pente de la droite. Ce coefficient caractérise l’inclinaison de D par rapport à ▷Ox◁, et deux droites sont parallèles si et seulement si elles ont la même pente. Si m D 0, la droite D est parallèle à ▷Ox◁. Si m > 0, la fonction affine x ↦ mx C p est croissante, c’est-à-dire que les ordonnées augmentent quand les abscisses augmentent. Si m < 0, c’est l’inverse. Plus la valeur absolue | m | est grande, plus la direction de la droite D se rapproche de la verticale.

IL2M — v. 1.0 9 juin 2025 — Chapitre 8 page 259 — #269 ÉQUATIONS DE DROITES. SYSTÈMES LINÉAIRES CHAP. 8_{259} CORRIGÉS INTERROS COURS

Pour mieux le comprendre, considérons deux points distincts A▷x_{A}I y_{A}◁ et B▷x_{B}I y_{B}◁ sur D. Comme y_{A} D mx_{A} C p et y_{B} D mx_{B} C p, on a par soustraction : y_{B} − y_{A} D m▷x_{B} − x_{A}◁. Si on choisit :

x_{B} D x_{A} C 1,

on obtient un vecteur directeur \overrightarrow{AB} de coordonnées ( \begin{matrix}1 \\ m \end{matrix}) .

C’est ce qu’on appelle la méthode « des petits pas », ou de « l’escalier » : à partir d’un point A de D, on ajoute C1 à l’abscisse, il faut ajouter Cm à l’ordonnée pour obtenir un autre point de la droite. On constate que, plus m est grand, plus le vecteur directeur est proche de la direction de ▷Oy◁.

1.3 Équation cartésienne d’une droite ax C by C c D 0

Supposons que l’équation de la droite D soit donnée sous la forme générale ax C by C c D 0. Pour trouver des points sur D, on fixe arbitrairement x ou y et on résout l’équation à une inconnue obtenue. Par exemple, si D a pour équation 2x −3y −4 D 0. Pour y D 0, on a : 2x −4 D 0,

donc x D 2. Pour x D 3, on a : −3y C 2 D 0, donc y D \frac{2}{3}. La droite D passe

donc par les points de coordonnées ▷2I 0◁ et ( 3I \frac{2}{3}) .

Si on prend deux points distincts A▷x_{A}I y_{A}◁ et B▷x_{B}I y_{B}◁ sur D, on a :

ax_{A} C by_{A} C c D 0

et

ax_{B} C by_{B} C c D 0,

donc par soustraction :

a▷x_{B} − x_{A}◁ C b▷y_{B} − y_{A}◁ D 0.

Ainsi, si x_{B} − x_{A} D −b, on constate que y_{B} − y_{A} D a convient.

Conclusion : on obtient un vecteur directeur \overrightarrow{AB} de coordonnées ( \begin{matrix}−b \\ a \end{matrix} ) .

Remarque : dans une équation cartésienne de droite, les coefficients a et b ne peuvent pas être tous les deux égaux à zéro (sinon, il n’y a plus d’inconnue dans l’équation!), donc il est certain que ce vecteur n’est pas nul.

Par exemple, si

D V 2x − 3y − 4 D 0,

le vecteur E u( \begin{matrix}3 \\ 2 \end{matrix}) est un vecteur directeur.

IL2M — v. 1.0 9 juin 2025 — Chapitre 8 page 260 — #270 COURS_{260}

On retrouve ce qui a été dit au début : si b D̸ 0, on est ramené à une équation réduite y D mx C p avec m D −\frac{a}{b}, et on connaît le vecteur directeur E v( \begin{matrix}1 \\ m \end{matrix}) .

Remarque : E uD aE vest aussi un vecteur directeur de D, de coordonnées ( \begin{matrix}−b \\ a \end{matrix} ) .

1.4 Pente d’une droite non verticale

1.4.1 -On connaît deux points

On peut calculer la pente à partir de deux points de la droite A▷x_{A} I y_{A}◁ et B▷x_{B} I y_{B}◁ :

m D \frac{y_{B} − y_{A}}{x_{B} − x_{A}} .

1.4.2 -On connaît un vecteur directeur

Si le vecteur directeur est de la forme E u( \begin{matrix}0 \\ b \end{matrix}) , alors la droite est verticale et n’a donc pas de pente (parfois, on dit qu’elle a une pente « infinie »).

Si le vecteur directeur E ua pour coordonnées ( \begin{matrix}a \\ b \end{matrix}) , avec a D̸ 0, alors on re-

marque que le vecteur : \frac{1}{a} E u, qui a pour coordonnées : \binom{1}{\frac{b}{a}} , est aussi un vec-

teur directeur de la droite, dont les coordonnées sont de la forme \binom{1}{m} , donc

m D \frac{b}{a}.

IL2M — v. 1.0 9 juin 2025 — Chapitre 8 page 261 — #271 ÉQUATIONS DE DROITES. SYSTÈMES LINÉAIRES CHAP. 8_{261} CORRIGÉS INTERROS COURS

1.5 Comment déterminer l’équation d’une droite?

1.5.1 -Méthode par identification

Pour plus de clarté, nous allons traiter quelques exemples.

1.5.1.1 -Cas d’une droite passant par un point donné et dirigée par un vecteur non nul

Soit A▷2I 3◁ et E u( \begin{matrix}1 \\ 2 \end{matrix}) .

La droite passant par A et de vecteur directeur E u admet une équation ax C by C c D 0, avec −b D 1, a D 2. Comme A est sur la droite, on a 2a C 3b C c D 0. Ces renseignements permettent de calculer a D 2, b D −1 et c D −1, d’où l’équation 2x − y − 1 D 0.

1.5.1.2 -Cas d’une droite passant par deux points distincts donnés

Soient A▷1I 1◁ et B▷−2I 3◁. Les deux points n’ont pas la même abscisse, la droite ▷AB◁ n’est donc pas verticale et elle admet une équation réduite y D mx C p. Comme les coordonnées de A et B sont solutions, on obtient : 1 D m C p et 3 D −2m C p. En soustrayant, il

vient −2 D 3m, donc m D −\frac{2}{3} et p D \frac{5}{3}.

La droite ▷AB◁ a pour équation y D −\frac{2}{3}x C \frac{5}{3}. On peut multiplier par 3 pour obtenir une équation à coefficients entiers : 2x C 3y − 5 D 0. On note qu’une droite a une seule équation réduite, mais qu’elle a une infinité d’équations, toutes proportionnelles. En cherchant l’équation réduite, on obtient un problème plus simple avec seulement deux coefficients à trouver.

IL2M — v. 1.0 9 juin 2025 — Chapitre 8 page 262 — #272 COURS_{262}

1.5.2 -Méthode du déterminant 1.5.2.1 -Cas d’une droite passant par un point donné et dirigée par un vecteur non nul

Soit A▷2I 3◁ et E u( \begin{matrix}1 \\ 2 \end{matrix}) .

On considère un point M▷xI y◁. Ce point est sur la droite D si \overrightarrow{AM} et E usont colinéaires. On détermine les coordonnées de \overrightarrow{AM} ( \begin{matrix}x − 2 \\ y − 3 \end{matrix} ) . On sait que \overrightarrow{AM} et E usont colinéaires si et seulement si leur déterminant est égal à zéro. On calcule donc le déterminant de \overrightarrow{AM} et E u:

det▷\overrightarrow{AM},E u◁ D ▷x − 2◁ × 2 − ▷y − 3◁ × 1.

On retrouve, après les simplifications, l’équation de D : 2x − y − 1 D 0.

1.5.2.2 -Cas d’une droite passant par deux points distincts donnés

Soit A▷−4I 2◁ et B▷5I 4◁. Le vecteur \overrightarrow{AB}( \begin{matrix}9 \\ 2 \end{matrix}) est un vecteur directeur de ▷AB◁.

On est ramené au cas précédent. Si M▷xI y◁, alors M est un point de D si et seulement si det▷\overrightarrow{AM},\overrightarrow{AB}◁ D 0, c’est-à-dire : 2▷x C 4◁ − 9▷y − 2◁ D 0, donc l’équation de D est : 2x − 9y C 26 D 0.

IL2M — v. 1.0 9 juin 2025 — Chapitre 8 page 263 — #273 ÉQUATIONS DE DROITES. SYSTÈMES LINÉAIRES CHAP. 8_{263} CORRIGÉS INTERROS COURS

On a d’abord besoin des coordonnées du vecteur \overrightarrow{AB}\binom{−2}{1} . Nous allons utiliser les deux méthodes, assez différentes dans l’esprit. 1 Identification : les coordonnées de \overrightarrow{AB} donnent directement le coeffi-

cient directeur de ▷AB◁ : −\frac{1}{2}. L’équation réduite de ▷AB◁ s’écrit y D −\frac{1}{2}x C p. Comme A▷−1 I −1◁ est un point de ▷AB◁, on a : −1 D \frac{1}{2} C p, d’où p D −\frac{3}{2}. Conclusion : ▷AB◁ a pour équation réduite y D −\frac{1}{2}x − \frac{3}{2}.

2 Vecteurs colinéaires : notons D la droite parallèle à ▷AB◁ et passant par C. Elle a pour vecteur directeur \overrightarrow{AB}. Le point M▷x I y◁ appartient à D si et seulement si les vecteurs \overrightarrow{CM} et \overrightarrow{AB} sont colinéaires. On écrit leurs coordonnées :

\overrightarrow{CM}\binom{x − 3}{y − 2} et \overrightarrow{AB}\binom{−2}{1} .

En exprimant que les deux vecteurs sont colinéaires, on a :

▷x − 3◁ × 1 − ▷y − 2◁ × ▷−2◁ D 0,

ce qui donne x C 2y − 7 D 0 et donc, en simplifiant :

y D −\frac{1}{2}x C \frac{7}{2}.

Solution de l’exercice type 1

Lycée Paul Valéry, Sète Voir énoncé page 257

IL2M — v. 1.0 9 juin 2025 — Chapitre 8 page 264 — #274 COURS_{264}

2 Système d’équations linéaires

Résoudre le système suivant :

\{ \begin{matrix}x^{2} C y^{2} D 13 \\ 2x^{2} − 3y^{2} D −19 \end{matrix}

Exercice type 2

Lycée Fustel-de-Coulanges, Massy

Voir corrigé page 267

2.1 Cas d’équations sans carrés

On utilise deux méthodes de résolution : substitution ou combinaison.

2.1.1 -Substitution

Il s’agit de calculer l’une des inconnues en fonction des autres grâce à l’une des équations, et de remplacer, de substituer ce que l’on a trouvé dans les autres équations.

Concrètement, dans le système :

\{ \begin{matrix}x − y D −16 \\ 3x C 5y D 40 \end{matrix} ,

on peut calculer grâce à la première équation (x D y − 16), et remplacer dans la seconde :

\{ \begin{matrix}x D y − 16 \\ 3▷y − 16◁ C 5y D 40 \end{matrix} .

Après simplifications, on a :

\{ \begin{matrix}x D y − 16 \\ 8y − 48 D 40 \end{matrix} .

Pour que chaque système que vous écrivez soit équivalent au précédent (c’est-à-dire qu’il aie les mêmes solutions), il faut bien veiller à garder l’équation donnant la valeur de x. On la recopie dans chaque système, sans la modifier. Avec la dernière équation, on obtient : 8y D 88, donc y D 11. On remplace y par 11 dans la première équation :

\{ \begin{matrix}x D 11 − 16 D −5 \\ y D 11 \end{matrix} .

Il y a une (unique) solution : ▷−5 I 11◁. Attention si vous donnez l’ensemble des solutions : il ne contient qu’un seul élément.

On note :

S D {▷−5 I 11◁}.

IL2M — v. 1.0 9 juin 2025 — Chapitre 8 page 265 — #275 ÉQUATIONS DE DROITES. SYSTÈMES LINÉAIRES CHAP. 8_{265} CORRIGÉS INTERROS COURS

2.1.2 -Combinaison

Vous avez le droit, dans un système d’équations, de multiplier les équations par un réel non nul et d’ajouter une des équations à une autre, dans le but de supprimer une inconnue. On obtient alors un système équivalent. N’oubliez pas d’indiquer en marge de votre système les opérations que vous avez réalisées, ce qui permet au correcteur de mieux suivre votre raisonnement. Par exemple, pour le système

\{ \begin{matrix}x − y D −16 \\ 3x C 5y D 40 \end{matrix} .

On peut se débarrasser de y dans la deuxième équation en multipliant la première ligne par 5, et en ajoutant le résultat à la deuxième ligne. Notez ceci : L_{2} ← L_{2} C 5L_{1}. On obtient :

L_{2} ← L_{2} C 5L_{1} \{ \begin{matrix}x − y D −16 \\ 3x C 5y C 5▷x − y◁ D 40 − 5 × 16 \end{matrix} .

On simplifie :

\{ \begin{matrix}y D x C 16 \\ 8x D −40 \end{matrix}

et enfin :

\{ \begin{matrix}y D 11 \\ x D −5 \end{matrix} .

On retrouve :

S D {▷−5 I 11◁}.

2.2 Lien avec les équations de droites

2.2.1 -Interprétation géométrique

Examinons de nouveau le système :

\{ \begin{matrix}x − y D −16 \\ 3x C 5y D 40 \end{matrix} .

Le système ne contenant que des sommes et produits de constantes par x et y, on parle de système linéaire. Chaque ligne peut être interprétée comme une équation de droite. Notons D_{1} la droite d’équation x−yC16 D 0 et D_{2} la droite d’équation 3x C 5y − 40 D 0. Les point M▷xI y◁ dont les coordonnées sont solutions du système sont les points qui sont à la fois sur D_{1} et D_{2}. Si les droites ne sont pas parallèles, il n’y en a qu’un.

Comment vérifier si les droites sont parallèles? On sait trouver un vecteur direc-

teur {E \atop u_{1}} ( \begin{matrix}1 \\ 1 \end{matrix}) pour D_{1}, et {E \atop u_{2}} ( \begin{matrix}−5 \\ 3 \end{matrix} ) pour D_{2}. Or ces vecteurs ne sont pas colinéaires

(parce que leurs coordonnées ne sont pas proportionnelles, ou parce que leur déterminant n’est pas 0). Dans cet exemple, il est donc certain qu’il existe une solution et une seule.

2.2.2 -Nombre de solutions en fonction du type de système

On considère un système sous la forme :

\{ \begin{matrix}a_{1}x C b_{1}y D c_{1} \\ a_{2}x C b_{2}y D c_{2}. \end{matrix}

Sauf dans des cas très particuliers où l’une des lignes ne contient pas d’inconnue (par exemple si a_{1} D b_{1} D 0), les deux lignes sont, comme dans l’exemple précédent, les équations de deux droites D_{1} et D_{2}. On considère leurs vecteurs

directeurs respectifs : {E \atop u_{1}} ( \begin{matrix}−b_{1} \\ a_{1} \end{matrix} ) et {E \atop u_{2}} ( \begin{matrix}−b_{2} \\ a_{2} \end{matrix} ) .

Si a_{1}b_{2} − a_{2}b_{1} D̸ 0, les deux vecteurs sont non colinéaires, donc les deux droites sont sécantes, et le système admet un unique couple solution. Si a_{1}b_{2} − a_{2}b_{1} D 0, les droites D_{1} et D_{2} sont parallèles.

Si les deux équations sont proportionnelles, D_{1} et D_{2} sont confondues et le système admet une infinité de solutions (les coordonnées des points de D_{1}); sinon, les droites D_{1} et D_{2} sont strictement parallèles, et le système n’admet aucune solution.

À RETENIR

Un système linéaire possède soit aucune solution, soit une seule solution, soit une infinité de solutions.

IL2M — v. 1.0 9 juin 2025 — Chapitre 8 page 267 — #277 ÉQUATIONS DE DROITES. SYSTÈMES LINÉAIRES CHAP. 8_{267} CORRIGÉS INTERROS COURS

Pour se ramener à un système linéaire, on pose X D x^{2} et Y D y^{2}. On obtient :

\{ \begin{matrix}x^{2} C y^{2} D 13 \\ 2x^{2} − 3y^{2} D −19 \end{matrix} ⟺ \{ \begin{matrix}X C Y D 13 \\ 2X − 3Y D −19 \end{matrix}

⟺ \{ \begin{matrix}X C Y D 13 \\ 5X D 20 & L_{2} ← L_{2} C 3L_{1} \end{matrix}

⟺ \{ \begin{matrix}X C Y D 13 \\ X D 4 \end{matrix}

⟺ \{ \begin{matrix}Y D 13 − 4 D 9 \\ X D 4 \end{matrix} .

On obtient enfin :

Y D 9 et X D 4,

ce qui donne x D 2 ou x D −2, et y D 3 ou y D −3. En tenant compte de tous les cas, on obtient l’ensemble de solutions suivant :

S D {▷2 I 3◁,▷−2 I 3◁,▷2 I −3◁,▷−2 I −3◁} .

Solution de l’exercice type 2

Lycée Fustel-de-Coulanges, Massy Voir énoncé page 264

IL2M — v. 1.0 9 juin 2025 — Chapitre 8 page 268 — #278 INTERROS_{268}
1_{V/F} Équations de droites Corrigé p. 276 5 min

Les affirmations suivantes sont-elles vraies ou fausses?

1 La droite D d’équation y D 3x C 2 passe par A▷1 I 2◁.

2 Si A▷2 I 1◁ et B▷−1 I 2◁, alors ▷AB◁ a pour coefficient directeur −3.

3 Les droites D : y D −2x − 3 et D′: y D 5x − 3 sont parallèles.

4 E u\binom{1}{−3} est un vecteur directeur de D : y D −3x C 6.

2_{QCM} Systèmes d’équations Corrigé p. 276 10 min

Quels sont, parmi les systèmes suivants, ceux qui admettent au moins une solution?

\begin{matrix}a \{ \begin{matrix}2x C 3y D 0 \\ 5x − y D 0 \end{matrix} & b \{ \begin{matrix}y D 2x C 5 \\ y D −x C 3 \end{matrix} \\ c \{ \begin{matrix}2x − 3y D 1 \\ 4x − 6y D 3 \end{matrix} & d \{ \begin{matrix}2x − 5y D 4 \\ 4x − 10y D 8 \end{matrix} \end{matrix}

Équations de droites

3Équations de droites_{Lycée François I^{er}, Le Havre} Corrigé ; p. 276 ; 5 min ; ⋆

Soit D la droite d’équation : y D −3x C 1. On munit le plan d’un repère ▷O,I,J ◁. Soient E u D 2E ıC E ȷ, et t la translation de vecteur E u. Trouver une équation de l’image de D par t.

4Équations de droites_{Lycée Carnot, Dijon} Corrigé ; p. 276 ; 15 min ; ⋆

Le plan est rapporté à un repère orthonormé. On donne les points A▷1 I 0◁ et B▷4 I 2◁. Écrire une équation de la médiatrice du segment TABU.

IL2M — v. 1.0 9 juin 2025 — Chapitre 8 page 269 — #279 ÉQUATIONS DE DROITES. SYSTÈMES LINÉAIRES CHAP. 8_{269} CORRIGÉS INTERROS COURS
5Équations de droites_{Lycée Lacordaire, Marseille} Corrigé ; p. 277 ; 15 min ; ⋆

1 Dans un repère ▷O,I,J ◁, déterminer une équation de la droite D passant

par A et de coefficient directeur −1 avec A▷2 I 3◁. 2 Donner une équation de 1, la droite passant par B▷0 I 2◁ et parallèle à

D. 3 Construire D et 1.

6Équations de droites_{Lycée Voltaire, Paris} Corrigé ; p. 278 ; 15 min ; ⋆

On se place dans un repère orthonormé et on donne : A▷1 I −1◁, B▷3 I 3◁ et C▷1 I 6◁.

1 Déterminer une équation de la droite ▷AB◁.

2 Déterminer une équation de la droite ▷d◁ qui passe par le point C et qui est parallèle à la droite ▷AB◁

7Équations de droites_{Lycée Chaptal, Paris} Corrigé ; p. 278 ; 20 min ; ⋆

Le plan étant rapporté à un repère ▷O,I,J ◁, on considère les points A▷4 I −1◁ et B▷3 I −8◁.

1 Montrer que la droite ▷AB◁ a pour équation y D 7x − 29.

2 Déterminer une équation de la droite D passant par C▷0 I −1◁ et paral-

lèle à ▷AB◁. 3 Soient E▷3 I −2◁ et F ▷2 I 2◁. Déterminer une équation de la droite

▷EF ◁. 4 Les droites D et ▷EF ◁ sont-elles sécantes? Justifier. Si oui, déterminer

les coordonnées de leur point d’intersection G.

8Équations de droites_{Lycée du Parc, Lyon} Corrigé ; p. 279 ; 15 min ; ⋆ ; ⋆

Dans les deux cas suivants, déterminer une équation de la droite 1, parallèle à ▷D◁ et passant par A.

1 A▷2 I 1◁. ▷D◁ a comme équation y D −x C 2.

2 A▷2 I −3◁. ▷D◁ D ▷BC◁, avec B▷−1 I 0◁ et C▷−1 I 3◁.

IL2M — v. 1.0 9 juin 2025 — Chapitre 8 page 270 — #280 INTERROS_{270}
9Coordonnées_{Lycée Montesquieu, Bordeaux} Corrigé ; p. 280 ; 20 min ; ⋆ ; ⋆

Soit un trapèze ABCD, de bases TABU et TCDU. On suppose que les droites ▷AD◁ et ▷BC◁ se coupent en O. On note I et J les milieux respectifs des segments TABU et TCDU et K le point d’intersection des diagonales ▷AC◁ et ▷BD◁.

Soit k le réel tel que \overrightarrow{OD} D k\overrightarrow{OA}. On se place dans le repère ▷O,\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB}◁.

1 Quelles sont les coordonnées de O, A, B et D dans ce repère?

2 Quelle est l’équation réduite de la droite ▷CD◁ dans ce repère? En dé-

duire que C▷0 I k◁. 3 Calculer les coordonnées de I, J, et K.

4 Montrer que les points O, I, J, et K sont alignés.

10Équations de droites_{Lycée Fénelon, Paris} Corrigé ; p. 281 ; 20 min ; ⋆ ; ⋆

Le plan est muni d’un repère ▷O,I,J ◁.

1 Déterminer une équation cartésienne de l’image de la droite D_{1} par la translation de vecteur E u. On donne D_{1} : y D x − 2 et E uD −E ıC 2 E ȷ.

2 Déterminer une équation cartésienne de l’image de la droite D_{2} par la symétrie centrale de centre .

On donne D_{2} : y D \frac{1}{2}x C \frac{1}{2} et \overrightarrow{O} D −E ıC 2 E ȷ.

11Équations de droites_{Lycée Hoche, Versailles} Corrigé ; p. 283 ; 30 min ; ⋆ ; ⋆

Retrouver, parmi les équations page ci-contre, celles qui correspondent aux droites du dessin (lorsque cela est possible!).

IL2M — v. 1.0 9 juin 2025 — Chapitre 8 page 271 — #281 ÉQUATIONS DE DROITES. SYSTÈMES LINÉAIRES CHAP. 8_{271} CORRIGÉS INTERROS COURS

1 y D \frac{2}{3}x C \frac{8}{3}

2 y D \frac{1}{2}x − 2

3 y D −\frac{2}{3}x C \frac{8}{3}

4 y D 3x − 3

5 y D \frac{1}{2}x C \frac{3}{2}

6 y D \frac{5}{3}x C 5

12Équations de droites avec paramètre_{Lycée Condorcet, Paris} Corrigé ; p. 284 ; 25 min ; ⋆ ; ⋆ ; ⋆

À tout réel m D̸ 3 on associe la droite D_{m} d’équation :

y D \frac{2m − 1}{m − 3} x C \frac{−7m C 6}{m − 3} .

1 Déterminer m et donner une équation de D_{m} pour que :

(a) D_{m} passe par A▷1 I 1◁.

(b) D_{m} passe par O.

(c) D_{m} soit parallèle à l’axe des abscisses. 2 Peut-on trouver m tel que :

(a) D_{m} soit parallèle à l’axe des ordonnées?

(b) D_{m} soit parallèle à 1 d’équation y D 3x − 6?

(c) D_{m} admette ▷−2◁ comme coefficient directeur? 3 Montrer qu’il existe un point K qui appartient à toutes les droites D_{m}.

Systèmes d’équations

13Mise en équations d’un problème_{Lycée Fragonard, L’Isle-Adam} Corrigé ; p. 286 ; 10 min ; ⋆

On considère une classe de seconde dans laquelle il y a, au départ, deux fois plus de garçons que de filles. Six garçons quittent la salle et six filles arrivent. Il y a alors deux fois plus de filles que de garçons. Combien de garçons et de filles y avait-il au début?

IL2M — v. 1.0 9 juin 2025 — Chapitre 8 page 272 — #282 INTERROS_{272}
14Systèmes d’équations_{Lycée Jean Monnet, Franconville} Corrigé ; p. 286 ; 10 min ; ⋆

Une salle de théâtre compte 150 places, les unes à 21 �, les autres à 26 �. Quand elle est pleine, la recette totale est de 3 300 �. Combien y a-t-il de places de chaque sorte?

15Systèmes d’équations_{Lycée Notre-Dame, Saint-Nazaire} Corrigé ; p. 286 ; 10 min ; ⋆

On considère deux capitaux C_{1} et C_{2} vérifiant les propriétés suivantes : Si l’on place C_{1} à un taux d’intérêt annuel de 10 % etC_{2} à un taux d’intérêt annuel de 8 %, on obtient un intérêt total de 200 � au bout d’un an. Si l’on place C_{1} à un taux d’intérêt annuel de 8 % et C_{2} à un taux d’intérêt annuel de 10 %, on obtient un intérêt total de 70 � au bout d’un an.

Déterminer les deux capitaux.

16Systèmes d’équations_{Lycée Auguste Renoir, Asnières-sur-Seine} Corrigé ; p. 287 ; 10 min ; ⋆

Résoudre le système suivant :

\{ \begin{matrix}\sqrt{2} & x & C & 2 & y D & −1 \\ −2 & x & C & 2\sqrt{2} & y D & \sqrt{2} \end{matrix}

17Systèmes d’équations_{Lycée Voltaire, Paris} Corrigé ; p. 287 ; 15 min ; ⋆

Résoudre les systèmes suivants :

1 \{ \begin{matrix}\frac{2x C 3y}{6} − \frac{4x − 3y}{6} D 1 \\ \frac{3x − 2y}{2} − \frac{5x − 3y}{2} D 3 \end{matrix}  2 \{ \begin{matrix}\frac{x}{7} D \frac{y}{5} \\ 3x − y D 24 \end{matrix}

18À la terrasse d’un café_{Lycée Louis Vincent, Metz} Corrigé ; p. 288 ; 10 min ; ⋆ ; ⋆

À la terrasse d’un café, Sandra et ses amis commandent trois chocolats chauds et deux jus d’orange pour 10,80 �. Cinq autres de leurs camarades arrivent. Le groupe annule la commande précédente et commande alors six jus d’orange et quatre chocolats chauds pour 23,40 �. Calculer le prix d’un chocolat chaud et celui d’un jus d’orange. On notera x le prix d’un chocolat chaud et y le prix d’un jus d’orange.

IL2M — v. 1.0 9 juin 2025 — Chapitre 8 page 273 — #283 ÉQUATIONS DE DROITES. SYSTÈMES LINÉAIRES CHAP. 8_{273} CORRIGÉS INTERROS COURS
19Droites concourantes_{Lycée St Thomas d’Aquin, Paris} Corrigé ; p. 289 ; 15 min ; ⋆ ; ⋆

On considère le système ▷S◁ :

\{ \begin{matrix}−5x C y D 13 \\ 2x C 3y D 5 \end{matrix}

1 Indiquer, sans le résoudre, le nombre de solutions de ▷S◁.

2 Résoudre ▷S◁.

3 Les droites D_{1}, D_{2}, D_{3}, d’équations respectives y D 5x C 13,

y D −\frac{2}{3}x C \frac{5}{3}, y D −x C 1, sont-elles concourantes?

20Mise en équations d’un problème_{Lycée Molière, Paris} Corrigé ; p. 290 ; 20 min ; ⋆ ; ⋆

Un canot automobile met cinq heures pour aller, par voie fluviale, de la ville A à la ville B. En conservant la même vitesse propre, il met sept heures et trente minutes pour le trajet inverse.

1 Combien de temps un radeau se déplaçant à la vitesse du courant mettrait-

il pour relier les deux villes? 2 Si la vitesse propre du canot augmentait de 1,6 km/h, il mettrait 45 mi-

nutes de moins pour revenir de B vers A. Calculer la vitesse propre du canot et celle du courant.

21Systèmes d’équations_{Lycée Carnot, Dijon} Corrigé ; p. 291 ; 20 min ; ⋆ ; ⋆

Soit le système :

▷S◁ \{ \begin{matrix}5x C y D 4 \\ −3x C 12y D −12 \end{matrix}

1 Sans résoudre, justifier l’existence d’une (ou de plusieurs) solution(s).

2 Résoudre le système ▷S◁.

3 Déduire des questions précédentes la résolution du système :

▷S′◁  \{ \begin{matrix}\frac{5}{x C 1} C \frac{1}{y − 2} D 4 \\ \frac{−3}{x C 1} C \frac{12}{y − 2} D −12 \end{matrix}

IL2M — v. 1.0 9 juin 2025 — Chapitre 8 page 274 — #284 INTERROS_{274}
22Systèmes d’équations_{Lycée David d’Angers, Angers} Corrigé ; p. 291 ; 20 min ; ⋆ ; ⋆

1 Résoudre le système :

\{ \begin{matrix}7x − 4y D 29 \\ 2x − y D 1 \end{matrix}

2 Soit le système :

\{ \begin{matrix}2x − y  D 9 \\ \frac{10}{3}x − \frac{5}{3}y − 15 D 0 \end{matrix}

(a) Le couple ▷0 I −9◁ est-il solution du système? Même question avec ▷1 I 6◁ et ▷1 I −7◁. Que peut-on en déduire?

(b) Donner l’ensemble des solutions du système.

23Le problème du marché_{Lycée Gustave Eiffel, Bordeaux} Corrigé ; p. 292 ; 20 min ; ⋆ ; ⋆ ; ⋆

Un fermier et son épouse vont au marché échanger leurs poulets pour du bétail au taux de 85 poulets pour un cheval et une vache, 5 chevaux valant exactement autant que 12 vaches.

« John, dit la femme, prenons encore une fois autant de chevaux que nous en avons déjà pris. Nous n’aurons ainsi que 17 chevaux et vaches à nourrir cet hiver. » « Je crois que nous devrions avoir plus de vaches que cela, dit John. D’ailleurs, si nous avions 2 fois plus de vaches que jusqu’à maintenant, cela nous ferait 19 vaches et chevaux en tout et nous aurions juste assez de poulets à donner en échange. »

Combien les paysans ont-ils apporté de poulets au marché?

Pour aller plus loin avec les systèmes...

24Systèmes d’équations_{Lycée Lamartine, Paris} Corrigé ; p. 293 ; 15 min ; ⋆

Soit ▷S◁ le système suivant :

\{ \begin{matrix}3x C 2y D 7 \\ ▷x C y◁^{2} D 9 \end{matrix}

1 Quelles sont les valeurs possibles de la somme x C y?

2 En déduire les solutions du système ▷S◁.

IL2M — v. 1.0 9 juin 2025 — Chapitre 8 page 275 — #285 ÉQUATIONS DE DROITES. SYSTÈMES LINÉAIRES CHAP. 8_{275} CORRIGÉS INTERROS COURS
25Système d’équations avec fractions_{Lycée Jacques Monod, Clamart} Corrigé ; p. 294 ; 20 min ; ⋆ ; ⋆

Résoudre le système suivant :

\{ \begin{matrix}2x^{2} − \frac{9}{y C 1} D 15 \\ 3x^{2} − \frac{24}{y C 1} D 19 \end{matrix}

On posera X D x^{2} et Y D ...

26Système non linéaire_{Lycée Arago, Paris} Corrigé ; p. 294 ; 20 min ; ⋆ ; ⋆

En posant X D \frac{1}{x} et Y D y^{2}, résoudre le système :

\{ \begin{matrix}\frac{3}{x} − 5y^{2} D 2 \\ \frac{7}{x} C 3y^{2} D 12 \end{matrix}

27Avec fractions_{Lycée Hoche, Versailles} Corrigé ; p. 295 ; 15 min ; ⋆ ; ⋆

Résoudre le système suivant en indiquant la méthode utilisée.

\{ \begin{matrix}2u − 3v D 4 \\ 10u C 2v D 3 \end{matrix}

En déduire la résolution du système suivant :

\{ \begin{matrix}\frac{2}{x − 3} − \frac{3}{y C 5} D 4 \\ \frac{5}{x − 3} C \frac{1}{y C 5} D \frac{3}{2} \end{matrix}

28Avec fractions et carrés_{Lycée Hoche, Versailles} Corrigé ; p. 296 ; 10 min ; ⋆ ; ⋆

Résoudre le système :

\{ \begin{matrix}\frac{3}{▷2x C 1◁^{2}}− \frac{4}{3y − 5} D 32 \\ \frac{2}{▷2x C 1◁^{2}}− \frac{5}{3y − 5} D 12 \end{matrix}

Équations de droites — v. 1.0 9 juin 2025 — Chapitre 8 page 276 — #286 CORRIGÉS_{276}
1_{V/F} Équations de droites {Énoncé \atop p. 268}

1 Faux. Si x D 1, 3x C 2 D 5.

2 Faux. Le coefficient directeur de ▷AB◁ est \frac{y_{B} − y_{A}}{x_{B} − x_{A}} D \frac{1}{−3} D −\frac{1}{3}.

3 Faux. Elles n’ont pas le même coefficient directeur.

4 Vrai. En effet, si D V mx C p alors E u\binom{1}{m} est un vecteur directeur de D.

2_{QCM} Systèmes d’équations {Énoncé \atop p. 268}

a Une solution unique. Les deux premières équations représentent des

droites de coefficients directeurs −\frac{2}{3} et 5. Elles ne sont donc pas parallèles.

b Une solution unique. Les deux équations représentent des droites de coefficients directeurs 2 et −1, donc sécantes.

c Aucune solution, car si 2x − 3y D 1, alors 4x − 6y D 2 D̸ 3.

d Une infinité de solutions, car les deux équations sont proportionnelles et représentent donc la même droite.

3Équations de droites_{Lycée François I^{er}, Le Havre} {Énoncé \atop p. 268}

L’image d’une droite par une translation est une droite parallèle, donc une équation de l’image de D est de la forme :

y D −3x C c.

Prenons au hasard un point de D, par exemple le point de coordonnées ▷1 I −2◁, que nous noterons M. L’image de M par la translation de vecteur

E u( \begin{matrix}2 \\ 1 \end{matrix}) , est le point de coordonnées ▷1 C 2 I −2 C 1◁, donc ▷3 I −1◁.

L’image de D passe nécessairement par ce point, donc −1 D −3 × 3 C c, ce qui donne : c D 8. Une équation de l’image de la droite D par la translation t est donc :

y D −3x C 8.

4Équations de droites_{Lycée Carnot, Dijon} {Énoncé \atop p. 268}

La difficulté de cet exercice est de trouver la propriété des médiatrices qu’il faut utiliser. On sait que tout point M de coordonnées ▷x I y◁ appartient à la médiatrice de TABU si et seulement s’il est équidistant de A et B, c’est-à-dire : AM D BM.

Équations de droites — v. 1.0 9 juin 2025 — Chapitre 8 page 277 — #287 ÉQUATIONS DE DROITES. SYSTÈMES LINÉAIRES CHAP. 8_{277} CORRIGÉS INTERROS COURS

En élevant au carré et en tenant compte de A▷1 I 0◁ et B▷4 I 2◁, il vient :

AM^{2} D BM^{2} ⟺ ▷x − 1◁^{2} C y^{2} D ▷x − 4◁^{2} C ▷y − 2◁^{2}

⟺ x^{2} − 2x C 1 C y^{2} D x^{2} − 8x C 16 C y^{2} − 4y C 4 ⟺ −2x C 1 D −8x − 4y C 20 ⟺ 4y D −6x C 19

⟺ y D −\frac{3}{2}x C \frac{19}{4} (car \frac{6}{4} D \frac{3}{2}).

Une équation de la médiatrice est donc :

y D −\frac{3}{2}x C \frac{19}{4}.

5Équations de droites_{Lycée Lacordaire, Marseille} {Énoncé \atop p. 269}

1 D a pour coefficient directeur : −1. Notons y D −x C c son équation. D passe par A▷2 I 3◁, donc 3 D −2 C c. On en déduit c D 5 et une équation de D est :

y D −x C 5.

2 Puisque 1 est parallèle à D, elle a le même coefficient directeur, donc son équation réduite est du type :

y D −x C c.

1 passe par B▷0 I 2◁, donc 2 D −0 C c et c D 2. Une équation est donc :

y D −x C 2.

Équations de droites — v. 1.0 9 juin 2025 — Chapitre 8 page 278 — #288 CORRIGÉS_{278}
6Équations de droites_{Lycée Voltaire, Paris} {Énoncé \atop p. 269}

1 A et B n’ont pas la même abscisse, donc ▷AB◁ n’est pas verticale. On en déduit qu’elle admet une équation de la forme : y D ax C b. En substituant les coordonnées de A et B à x et y dans l’équation, on obtient le système d’inconnues a et b :

\{ \begin{matrix}−1 D a C b \\ 3 D 3a C b \end{matrix}

On tire de la première équation a D −1 − b. En substituant cette valeur dans la deuxième, on obtient :

3 D 3▷−1 − b◁ C b ⟺ 3 D −3 − 3b C b
⟺ 6 D −2b
⟺ −3 D b

et donc a D −1 − b D 2. Autre méthode : on calcule directement le coefficient directeur a.

a D \frac{y_{B} − y_{A}}{x_{B} − x_{A}} D \frac{3 C 1}{3 − 1} D \frac{4}{2} D 2.

L’équation réduite de ▷AB◁ est donc du type y D 2x C b. On substitue les coordonnées de A (par exemple) dans l’équation : −1 D 2.1 C b et on retrouve b D −3. Une équation de ▷AB◁ est donc :

y D 2x − 3.

2 ▷d◁ étant parallèle à ▷AB◁, son équation réduite est de la forme :

y D 2x C c.

Pour calculer c, on utilise les coordonnées de C. C ∈ ▷d◁ donc :

6 D 2 × 1 C c

et donc c D 4. Une équation de ▷d◁ est donc y D 2x C 4.

7Équations de droites_{Lycée Chaptal, Paris} {Énoncé \atop p. 269}

1 Puisqu’on vous donne l’équation, ce n’est pas la peine de vous fatiguer. Vous savez que y D 7x − 29 est l’équation d’une droite. Il suffit de vérifier qu’elle passe par A et B. Remplaçons donc x et y par les coordonnées de A: 7 × 4 − 29 D −1. Cette égalité est vraie, donc A est bien un point de la droite. De même, 7 × 3 − 29 D −8 donc B est bien un point de la droite. Deux points suffisent à déterminer une droite, donc y D 7x − 29 est bien une équation de la droite ▷AB◁.

Coordonnées — v. 1.0 9 juin 2025 — Chapitre 8 page 279 — #289 ÉQUATIONS DE DROITES. SYSTÈMES LINÉAIRES CHAP. 8_{279} CORRIGÉS INTERROS COURS

2 Une parallèle à ▷AB◁ a même coefficient directeur, la droite cherchée

aura donc une équation du type :

y D 7x C b.

Comme elle passe par C▷0 I −1◁, l’ordonnée à l’origine (b) vaut −1. D’où l’équation D : y D 7x − 1.

3 E et F n’ont pas la même abscisse, donc la droite ▷EF ◁ n’est pas parallèle à ▷Oy◁. Elle admet donc une équation du type y D ax C b. Comme elle passe par E▷3 I −2◁ et F ▷2 I 2◁, on obtient les équations :

\{ \begin{matrix}−2 D 3a C b \\ 2 D 2a C b \end{matrix}

⟺ \{ \begin{matrix}−4 D a (en soustrayant) \\ b D 2 − 2a D 2 C 8 D 10 (en substituant la valeur de a) \end{matrix}

D’où l’équation de ▷EF ◁ : y D −4x C 10. 4 Les droites D et ▷EF ◁ sont sécantes car elles n’ont pas le même coeffi-

cient directeur. On calcule leur intersection en résolvant le système :

\{ \begin{matrix}y D 7x − 1 (équation de D) \\ y D −4x C 10 (équation de ▷EF ◁) \end{matrix} ⇔ \{ \begin{matrix}0 D −11x C 11 (en soustrayant) \\ y D 7x − 1 \end{matrix}

⇔ \{ \begin{matrix}x D 1 \\ y D 6 \end{matrix}

Le point d’intersection a donc pour coordonnées G ▷1 I 6◁.

8Équations de droites_{Lycée du Parc, Lyon} {Énoncé \atop p. 269}

1 On veut une droite parallèle à ▷D◁, donc les coefficients directeurs de D

et 1 sont égaux. Écrivons provisoirement l’équation réduite de 1 :

y D −x C b

et calculons b en exprimant que 1 passe par A▷2 I 1◁ :

1 D −2 C b ⟺ 3 D b

L’équation réduite de 1 est :

y D −x C 3.

2 Là, il y a une légère astuce. En effet, B et C ont la même abscisse, donc la droite ▷BC◁ est verticale. La droite 1 est donc également verticale, donc elle admet une équation du type x D c. Comme 1 passe par le point A d’abscisse 2, son équation est :

x D 2.

Coordonnées — v. 1.0 9 juin 2025 — Chapitre 8 page 280 — #290 CORRIGÉS_{280}
9Coordonnées_{Lycée Montesquieu, Bordeaux} {Énoncé \atop p. 270}

1 Dans le repère ▷O,A,B◁, on a : O▷0 I 0◁, A▷1 I 0◁, B▷0 I 1◁ et D▷k I 0◁

(car \overrightarrow{OD} D k\overrightarrow{OA}). 2 ▷CD◁ est parallèle à ▷AB◁. Le coefficient directeur de la droite ▷AB◁

est :

\frac{y_{B} − y_{A}}{x_{B} − x_{A}} D −1.

L’équation réduite de ▷CD◁ est donc de la forme : y D −x C c. ▷CD◁ passe par D▷k I 0◁, donc 0 D −k C c, d’où l’équation réduite de ▷CD◁:

y D −x C k.

C est sur l’axe des ordonnées (car O, B et C sont alignés) donc son ordonnée est l’ordonnée à l’origine de ▷CD◁. On en déduit C▷0 I k◁.

3 I est le milieu de TABU. Or A▷1 I 0◁ et B▷0 I 1◁, d’où :

I ( \frac{1}{2} I \frac{1}{2}) .

J est le milieu de TCDU ; or C▷0 I k◁ et D▷k I 0◁ d’où :

J ( \frac{k}{2} I \frac{k}{2}) .

Pour calculer les coordonnées de K, intersection des droites ▷AC◁ et ▷BD◁, on écrit les équations de ces deux droites. Le coefficient directeur de ▷AC◁ est :

\frac{y_{C} − y_{A}}{x_{C} − x_{A}} D \frac{k}{−1} D −k.

Comme ▷AC◁ passe par C▷0 I k◁, son ordonnée à l’origine est k, d’où ▷AC◁ : y D −kx C k. Le coefficient directeur de ▷BD◁ est :

\frac{y_{D} − y_{B}}{x_{D} − x_{B}} D \frac{−1}{k} .

Comme ▷BD◁ passe par B▷0 I 1◁, son ordonnée à l’origine est 1, d’où

▷BD◁ : y D \frac{−1}{k} x C 1. On résout le système :

\{ \begin{matrix}y D −kx C k \\ y D \frac{−1}{k} x C 1 \end{matrix} ⟺ \{ \begin{matrix}−kx C k D \frac{−1}{k} x C 1 \\ y D −kx C k \end{matrix}

⟺ \{ \begin{matrix}( \frac{1}{k} − k) x D 1 − k \\ y D −kx C k \end{matrix}

⟺ \{ \begin{matrix}\frac{1 − k^{2}}{k} x D 1 − k \\ y D −kx C k \end{matrix}

Équations de droites — v. 1.0 9 juin 2025 — Chapitre 8 page 281 — #291 ÉQUATIONS DE DROITES. SYSTÈMES LINÉAIRES CHAP. 8_{281} CORRIGÉS INTERROS COURS

On sait que 1 − k^{2} D ▷1 − k◁▷1 C k◁, on obtient donc :

x D \frac{k▷1 − k◁}{1 − k^{2}} D \frac{k▷1 − k◁}{▷1 − k◁▷1 C k◁}D \frac{k}{1 C k}

et donc

y D −kx C k D \frac{−k^{2}}{1 C k} C \frac{k C k^{2}}{1 C k} D \frac{k}{1 C k}.

On conclut :

K ( \frac{k}{1 C k} I \frac{k}{1 C k}) .

Remarquons que les valeurs gênantes k D 0, k D 1 ou k D −1 sont impossibles :

Si k D 0, alors \overrightarrow{OD} D E 0donc O D D, mais alors C, B et D sont alignés, ce qui n’est pas possible car ABCD est un trapèze.

Si k D 1, alors \overrightarrow{OD} D \overrightarrow{OA} donc D D A, ce qui contredit également la définition de ABCD.

Si k D −1, alors \overrightarrow{OD} D −\overrightarrow{OA} signifie que O est le milieu de TADU. O serait également, d’après la question 2, le milieu de TBCU, et donc ABDC serait un parallélogramme, ce qui n’est pas possible.

4 Pour les points O, I, J et K, l’ordonnée est égale à l’abscisse, donc ces quatre points sont sur la droite d’équation y D x.

10Équations de droites_{Lycée Fénelon, Paris} {Énoncé \atop p. 270}

1 L’image d’une droite par une translation est une droite parallèle, donc l’image de ▷D_{1}◁ est une droite dont l’équation est de la forme : y D xCc. Pour calculer c, choisissons au hasard un point de D_{1}. Appelons M le point de coordonnées ▷1 I −1◁, qui est bien sur ▷D_{1}◁.

Son image par la translation de vecteur E u\binom{−1}{2} a pour coordonnées

▷1 − 1 I −1 C 2◁, soit : ▷0 I 1◁. On obtient donc 1 D 0 C c, soit : c D 1. Une équation de l’image de ▷D_{1}◁ est donc :

y D x C 1.

2 De même, l’image d’une droite par une symétrie centrale est une droite parallèle. Une équation de l’image de ▷D_{2}◁ est donc de la forme :

y D \frac{1}{2}x C c.

Pour calculer c, on choisit au hasard un point de D_{2}.

Équations de droites — v. 1.0 9 juin 2025 — Chapitre 8 page 282 — #292 CORRIGÉS_{282}

Notons N le point de coordonnées ▷1 I 1◁, qui est sur ▷D_{2}◁. Pour calculer les coordonnées de son image N′▷x I y◁ par la symétrie de centre , écrivons que est le milieu de TNN′U :

\overrightarrow{NN′}D 2\overrightarrow{N} .

Les coordonnées des deux vecteurs sont : \overrightarrow{NN′}\binom{x − 1}{y − 1} et 2\overrightarrow{N} \binom{2▷−1 − 1◁}{2▷2 − 1◁} ,

soit \binom{−4}{2} . On obtient le système :

\{ \begin{matrix}x − 1 D −4 \\ y − 1 D 2 \end{matrix}

qui fournit les coordonnées ▷−3 I 3◁ de N′. L’image de ▷D_{2}◁ passe par N′, donc :

3 D \frac{1}{2} × ▷−3◁ C c ,

d’où c D \frac{9}{2}. On obtient une équation de l’image de D_{2} :

y D \frac{1}{2}x C \frac{9}{2}.

Équations de droites — v. 1.0 9 juin 2025 — Chapitre 8 page 283 — #293 ÉQUATIONS DE DROITES. SYSTÈMES LINÉAIRES CHAP. 8_{283} CORRIGÉS INTERROS COURS
11Équations de droites_{Lycée Hoche, Versailles} {Énoncé \atop p. 270}

Le mieux est de calculer directement les équations de D_{1}, D_{2} et D_{3}.

D_{1} a un vecteur directeur de coordonnées \binom{3}{5} : utilisez la méthode des

« petits pas ». Lorsqu’on avance sur D_{1}, entre le moment où l’on croise l’axe des abscisses et celui où l’on croise celui des ordonnées, on fait trois « pas » vers la droite et cinq « pas » vers le haut.

Son coefficient directeur est donc \frac{5}{3}. On lit sur la figure l’ordonnée à l’origine (c’est-à-dire l’ordonnée du point d’intersection de ▷Oy◁ et de D_{1}) : C5. D’où l’équation réduite de D_{1} :

y D \frac{5}{3}x C 5.

Ce qui correspond à l’équation 6 de l’énoncé.

D_{2} passe par les points de coordonnées ▷−3 I 0◁ et ▷1 I 2◁. Donc (appliquez la méthode des « petits pas »), elle admet un vecteur directeur de coordon-

nées \binom{4}{2} , et comme coefficient directeur : \frac{2}{4} D \frac{1}{2}.

L’équation réduite de D_{2} est donc de la forme :

y D \frac{1}{2}x C c.

Comme elle passe par le point de coordonnées ▷−3 I 0◁, on peut déterminer c en remplaçant dans l’équation :

0 D −\frac{3}{2} C c ⟺ c D \frac{3}{2}.

Finalement D_{2} admet pour équation :

y D \frac{1}{2}x C \frac{3}{2}.

Il s’agit de l’équation 5.

D_{3} admet un vecteur directeur de coordonnées \binom{−1}{1} , donc son coefficient

directeur est −1. L’ordonnée à l’origine vaut C3. L’équation réduite de D_{3} est donc :

y D −x C 3.

D_{3} ne correspond donc à aucune des équations de l’énoncé.

Équations de droites avec paramètre — v. 1.0 9 juin 2025 — Chapitre 8 page 284 — #294 CORRIGÉS_{284}
12Équations de droites avec paramètre_{Lycée Condorcet, Paris} {Énoncé \atop p. 271}

1 (a) Si D_{m} doit passer par A, on doit avoir :

1 D \frac{2m − 1}{m − 3} × 1 C \frac{−7m C 6}{m − 3} ⟺ 1 D \frac{2m − 1 − 7m C 6}{m − 3}

⟺ 1 D \frac{−5m C 5}{m − 3}

⟺ m − 3 D −5m C 5 ⟺ 6m D 8

⟺ m D \frac{4}{3}.

Donc :

D_{m} V y D −x C 2.

(b) Par la même méthode, on remplace x et y par 0 dans l’équation, et

on obtient −7m C 6 D 0, donc m D \frac{6}{7}.

D_{m} V y D −\frac{1}{3}x.

(c) D_{m} est parallèle à l’axe des abscisses quand son coefficient direc-

teur est nul, donc quand \frac{2m − 1}{m − 3} D 0, d’où : m D \frac{1}{2}.

D_{m} V y D −1.

2 (a) L’équation réduite de D_{m} est du type y D ax C b (et non x D c), il s’agit toujours d’une droite dite « oblique », c’est-à-dire qu’elle n’est pas parallèle à l’axe des ordonnées.

(b) D_{m} et 1 sont parallèles si et seulement si leurs coefficients direc-

teurs sont égaux, il vient : \begin{aligned}& \frac{2m − 1}{m − 3} D 3 \\ ⟺ & 2m − 1 D 3m − 9 \\ ⟺ & 8 D m. \end{aligned}

(c) D_{m} admet −2 comme coefficient directeur si \frac{2m − 1}{m − 3} D −2 et

m D̸ 3. On obtient :

▷2m − 1◁ D −2 × ▷m − 3◁
2m − 1 D −2m C 6
4m D 7
m D \frac{7}{4}.

3 Une méthode simple (et qui marche!), consiste à chercher l’intersection de deux droites particulières, et à vérifier que le point ainsi trouvé est sur toutes les droites D_{m}.

Mise en équations d’un problème — v. 1.0 9 juin 2025 — Chapitre 8 page 285 — #295

ÉQUATIONS DE DROITES. SYSTÈMES LINÉAIRES CHAP. 8_{285} CORRIGÉS INTERROS COURS

Nous vous proposons m D 2 et m D 4, ce qui permet d’avoir des dénominateurs m − 3 peu encombrants. Les équations pour ces droite sont :

D_{2} : y D −3x C 8

D_{4} : y D 7x − 22

Il n’y a plus qu’à résoudre le système :

\{ \begin{matrix}y D −3x C 8 \\ y D 7x − 22 \end{matrix} ⟺ \{ \begin{matrix}−3x C 8 D 7x − 22 \\ y D −3x C 8 \end{matrix}

⟺ \{ \begin{matrix}30 D 10x \\ y D −3x C 8 \end{matrix}

⟺ \{ \begin{matrix}x D 3 \\ y D −1 \end{matrix}

Les droites D_{2} et D_{4} se coupent au point K▷3 I −1◁. Vérifions que ce point appartient bien à toutes les droites D_{m}. Autrement dit, on vérifie que les coordonnées ▷3 I −1◁ sont bien solutions de l’équation de la droite :

\frac{2m − 1}{m − 3} × 3 C \frac{−7m C 6}{m − 3} D \frac{6m − 3 − 7m C 6}{m − 3} D −1 ,

donc K appartient bien à D_{m}, quel que soit m. On peut utiliser une méthode plus « originale » en réorganisant l’équation de la droite D_{m}, non plus comme une équation en x et en y, mais comme une équation en m, ce qui donne, au lieu de :

y D \frac{2m − 1}{m − 3} x C \frac{−7m C 6}{m − 3}

l’équation :

▷2m − 1◁x C ▷3 − m◁y − 7m C 6 D 0.

On développe :

2mx − x C 3y − my − 7m C 6 D 0

et on regroupe les termes :

▷2x − y − 7◁m − x C 3y C 6 D 0.

Cette égalité doit être vraie quel que soit le nombre m D̸ 3. On est en présence d’une fonction affine de m: m ↦ amCb, qui est toujours nulle. Les coefficients a et b sont donc égaux à 0. On est amené à résoudre le système :

\{ \begin{matrix}2x − y − 7 D 0 \\ −x C 3y C 6 D 0 \end{matrix}

Vous pouvez procéder par combinaison et résoudre ce système. On obtient encore les coordonnées de K▷3 I −1◁.

Systèmes d’équations — v. 1.0 9 juin 2025 — Chapitre 8 page 286 — #296

CORRIGÉS_{286}

13Mise en équations d’un problème_{Lycée Fragonard, L’Isle-Adam} {Énoncé \atop p. 271}

Notons x le nombre de filles et y celui de garçons qu’il y a au départ. Il y a à ce moment-là deux fois plus de garçons que de filles, donc y D 2x. Si 6 garçons partent, il en reste y − 6. Si 6 filles arrivent, il y en a alors x C 6. Alors, il y a deux fois plus de filles, c’est-à-dire que x C 6 D 2▷y − 6◁. Il ne reste plus qu’à résoudre le système :

\{ \begin{matrix}y D 2x \\ x C 6 D 2▷y − 6◁ \end{matrix} ⟺ \{ \begin{matrix}y D 2x \\ x C 6 D 2y − 12 \end{matrix}

Par substitution :

\{ \begin{matrix}y D 2x \\ x D 2▷2x◁ − 18 \end{matrix} ⟺ \{ \begin{matrix}y D 2x \\ −3x D −18 \end{matrix}

On obtient facilement x D 6 et y D 12. Comme il s’agit d’un problème « concret », ne donnez pas un ensemble de solutions ; écrivez plutôt : « Il y avait au départ 6 filles et 12 garçons. »

14Systèmes d’équations_{Lycée Jean Monnet, Franconville} {Énoncé \atop p. 272}

Appelons x le nombre de places à 21 � et y le nombre de places à 26 �. Des renseignements de l’énoncé, on tire le système suivant :

\{ \begin{matrix}x C y D 150 \\ 21x C 26y D 3 300 \end{matrix}

On peut procéder par substitution :

\{ \begin{matrix}x D 150 − y \\ 21▷150 − y◁ C 26y D 3 300 \end{matrix}  ⟺  \{ \begin{matrix}x D 150 − y \\ 3150 − 21y C 26y D 3 300 \end{matrix}

⟺  \{ \begin{matrix}x D 150 − y \\ 5y D 150 \end{matrix}

⟺  \{ \begin{matrix}y D 30 \\ x D 120 \end{matrix}

Il y a donc 30 places à 26 � et 120 places à 21 �.

15Systèmes d’équations_{Lycée Notre-Dame, Saint-Nazaire} {Énoncé \atop p. 272}

Notons x le premier capital, et y le second. A dix pour cent, x rapporte \frac{10}{100}x.

Systèmes d’équations — v. 1.0 9 juin 2025 — Chapitre 8 page 287 — #297

ÉQUATIONS DE DROITES. SYSTÈMES LINÉAIRES CHAP. 8_{287} CORRIGÉS INTERROS COURS

De même, y rapporte \frac{8}{100}y. D’après les renseignements de l’énoncé, on obtient le système :

\{ \begin{matrix}\frac{10}{100}x − \frac{8}{100}y D 200 \\ \frac{8}{100}x − \frac{10}{100}y D 70 \end{matrix}  ⟺  \{ \begin{matrix}10x − 8y D 20 000 \\ 8x − 10y D 7 000 \end{matrix}
⟺  \{ \begin{matrix}36y D 90 000 & L_{1} ← 8L_{1} − 10L_{2} \\ 8x − 10y D 7 000 \end{matrix}
⟺  \{ \begin{matrix}y D 2 500 \\ 8x D 32 000 \end{matrix}
⟺  \{ \begin{matrix}y D 2 500 \\ x D 4 000 \end{matrix}

Les deux capitaux sont respectivement de 4 000 � et de 2 500 �.

16Systèmes d’équations_{Lycée Auguste Renoir, Asnières-sur-Seine} {Énoncé \atop p. 272}

On résout par combinaisons :

\{ \begin{matrix}8y D 0 & L_{1} ← 2L_{1} C \sqrt{2}L_{2} \\ −2x C 2\sqrt{2}y D \sqrt{2} \end{matrix}  ⟺  \{ \begin{matrix}y D 0 \\ −2x D \sqrt{2} \end{matrix}

D’où S D \{( −\frac{\sqrt{2}}{2} I 0) \}.

17Systèmes d’équations_{Lycée Voltaire, Paris} {Énoncé \atop p. 272}

1 Commençons par nous débarrasser des dénominateurs, en multipliant la première ligne par 6 et la deuxième par 2 :

\{ \begin{matrix}2x C 3y − 4x C 3y D 6 \\ 3x − 2y − 5x C 3y D 6 \end{matrix}

Ce qui s’écrit aussi :

\{ \begin{matrix}−2x C 6y D 6 \\ −2x C y D 6 \end{matrix}

En ôtant la deuxième ligne à la première, on élimine x :

\{ \begin{matrix}5y D 0 \\ −2x C y D 6 \end{matrix}

À la terrasse d’un café — v. 1.0 9 juin 2025 — Chapitre 8 page 288 — #298 CORRIGÉS_{288}

Il vient y D 0 et x D −3. Conclusion :

S D {▷−3,0◁}.

2 Effectuons d’abord les produits en croix dans la première ligne.

\{ \begin{matrix}5x D 7y \\ 3x − y D 24 \end{matrix}

On utilise la deuxième ligne, sous la forme : y D 3x −24, pour procéder par substitution :

\{ \begin{matrix}5x D 7▷3x − 24◁ \\ y D 3x − 24 \end{matrix}

Donc :

\{ \begin{matrix}5x − 21x D −7 × 3 × 8 \\ y D 3x − 24 \end{matrix}

Il vient :

\{ \begin{matrix}x D \frac{21}{2} \\ y D \frac{63}{2} − \frac{48}{2} D \frac{15}{2} \end{matrix}

et S D \{( \frac{21}{2} I \frac{15}{2}) \}.

18À la terrasse d’un café_{Lycée Louis Vincent, Metz} {Énoncé \atop p. 272}

On note x le prix d’un chocolat chaud et y le prix d’un jus d’orange

« Sandra et ses amis commandent trois chocolats chauds et deux jus d’orange pour 10,80 �. » signifie :

3x C 2y D 10,8.

« Cinq autres de leurs camarades arrivent. Le groupe annule la commande précédente et commande alors six jus d’orange et quatre chocolats chauds pour 23,40 � » signifie :

4x C 6y D 23,4.

Mise en équations d’un problème — v. 1.0 9 juin 2025 — Chapitre 8 page 289 — #299

ÉQUATIONS DE DROITES. SYSTÈMES LINÉAIRES CHAP. 8_{289} CORRIGÉS INTERROS COURS

Nous devons donc résoudre le système :

\{ \begin{matrix}3x C 2y & D 10,8 ▷E_{1}◁ \\ 4x C 6y & D 23,4 ▷E_{2}◁ \end{matrix} ⟺ \{ \begin{matrix}9x C 6y & D 32,4 3▷E_{1}◁ \\ 4x C 6y & D 23,4 ▷E_{2}◁ \end{matrix}

⟺ \{ \begin{matrix}5x & D 9 ▷E_{1}◁ − ▷E_{2}◁ \\ 4x C 6y & D 23,4 \end{matrix}

⟺ \{ \begin{matrix}x & D \frac{9}{5} D 1,8 \\ 6y & D 23,4 − 4 × 1,8 D 16,2 \end{matrix}

⟺ \{ \begin{matrix}x D 1,8 \\ y D 2,7 \end{matrix}

Un chocolat chaud vaut donc 1,8 � et un jus d’orange, 2,7 �.

19Droites concourantes_{Lycée St Thomas d’Aquin, Paris} {Énoncé \atop p. 273}

1 Ré-écrivons les équations sous la forme y D ax C b. Le système est

équivalent à :

y D 5x C 13
y D −\frac{2}{3}x C \frac{5}{3} (tiens, tiens!)

On obtient deux équations de droites non parallèles, puisque les coeffi-

cients directeurs sont différents (5 D̸ −\frac{2}{3}). Les deux droites se coupent en un unique point, dont les coordonnées donnent l’unique solution du système.

2 On substitue y D 5x C 13 dans 2x C 3y D 5, on obtient le système équivalent :

\{ \begin{matrix}y D 5x C 13 \\ 2x C 15x C 39 D 5 \end{matrix}

qui donne facilement :

\{ \begin{matrix}x D −2 \\ y D 3 \end{matrix}

d’où l’ensemble des solutions : {▷−2 I 3◁}. 3 Visiblement, D_{1}, D_{2}, et D_{3} ne sont pas parallèles (les coefficients direc-

teurs sont tous distincts). Elles sont concourantes si elles ont un point commun. Or, les calculs précédents ont montré que D_{1} et D_{2} n’admettaient qu’un seul point commun M▷−2 I 3◁. Il suffit de vérifier si ce point appartient à D_{3}. On remplace x par −2 et y par 3 dans y D −x C 1, on obtient une égalité vraie. On en déduit que les trois droites sont bien concourantes.

Systèmes d’équations — v. 1.0 9 juin 2025 — Chapitre 8 page 290 — #300

CORRIGÉS_{290}

20Mise en équations d’un problème_{Lycée Molière, Paris} {Énoncé \atop p. 273}

1 Il est clair d’après l’énoncé que l’aller s’est effectué vers l’aval, alors que le retour était vers l’amont. À l’aller, il faut ajouter la vitesse de la rivière à la vitesse propre du bateau alors qu’au retour, il faut la soustraire. Notons v la vitesse du canot et v_{R} la vitesse de la rivière. On note t_{1} le temps à l’aller, t_{2} le temps au retour, et t le temps mis par le radeau. Le radeau se déplace à la vitesse v_{R}. La seule constante de l’exercice, c’est la distance entre A et B. On peut l’écrire de trois façons différentes : ▷v C v_{R}◁t_{1}, ▷v − v_{R}◁t_{2} et v_{R}t. On en déduit :

v C v_{R} D \frac{v_{R}t}{t_{1}} et v − v_{R} D \frac{v_{R}t}{t_{2}}.

Soustrayons ces deux égalités membre à membre pour éliminer v.

2v_{R} D \frac{v_{R}t}{t_{1}} − \frac{v_{R}t}{t_{2}}.

En simplifiant par v_{R} et en mettant t en facteur :

2 D t ( \frac{1}{t_{1}} − \frac{1}{t_{2}}) .

On calcule simplement :

\frac{1}{t_{1}} − \frac{1}{t_{2}} D \frac{1}{5} − \frac{1}{7,5} D \frac{3}{15} − \frac{2}{15} D \frac{1}{15}.

On en déduit : t D 30. Le radeau met trente heures pour aller de A à B (remarque : il ne peut pas faire le trajet inverse, n’est-ce-pas?)

2 En notant t_{3} le nouveau temps mis au retour, on obtient :

▷v C 1,6 − v_{R}◁t_{3} D v_{R}t donc v − v_{R} C 1,6 D \frac{v_{R}t}{t_{3}}.

On sait que v − v_{R} D \frac{v_{R}t}{t_{2}}, on a donc :

\frac{v_{R}t}{t_{2}} C 1,6 D \frac{v_{R}t}{t_{3}}.

En factorisant :

1,6 D v_{R}t ( \frac{1}{t_{3}} − \frac{1}{t_{2}}) .

t_{3} D 7h30min − 45min D 7,5 − 0,75 D 6,75. Calculons :

\frac{1}{t_{3}} − \frac{1}{t_{2}} D \frac{1}{6,75} − \frac{1}{7,5} D \frac{4}{27} − \frac{4}{30} D \frac{40}{270} − \frac{36}{270} D \frac{4}{270}.

Il vient :

v_{R} D \frac{1,6 × 270}{4 × 30} D 3,6 km/h.

Pour trouver la vitesse du canot, on utilise ▷v C v_{R}◁t_{1} D v_{R}t ⟺ 5v C 18 D 108 ⟺ 5v D 90 ⟺ v D 18. Le canot se déplace à 18 km/h.

Systèmes d’équations — v. 1.0 9 juin 2025 — Chapitre 8 page 291 — #301

ÉQUATIONS DE DROITES. SYSTÈMES LINÉAIRES CHAP. 8_{291} CORRIGÉS INTERROS COURS

21Systèmes d’équations_{Lycée Carnot, Dijon} {Énoncé \atop p. 273}

1 La première équation équivaut à y D −5xC4 et la seconde à y D \frac{1}{4}x−1. La résolution du système équivaut à la recherche de l’intersection des

deux droites d’équations y D −5x C 4 et y D \frac{1}{4}x − 1. Ces droites n’ayant pas le même coefficient directeur, elles sont sécantes : elles ont un unique point d’intersection, donc le système admet une solution unique.

2 Par substitution :

\{ \begin{matrix}y D 4 − 5x \\ −3x C 12▷4 − 5x◁ D −12 \end{matrix}  ⟺  \{ \begin{matrix}y D 4 − 5x \\ −63x C 48 D −12 \end{matrix}

⟺  \{ \begin{matrix}y D 4 − 5x \\ x D \frac{60}{63} \end{matrix}

Ce qui donne x D \frac{20}{21} et y D −\frac{16}{21}. D’où l’ensemble S D \{( \frac{20}{21} I −\frac{16}{21}) \}.

3 Il suffit de poser X D \frac{1}{x C 1} et Y D \frac{1}{y − 2} pour se ramener au système

précédent. On obtient :

x C 1 D \frac{21}{20} ⟺ x D \frac{1}{20} ,
y − 2 D −\frac{21}{16} ⟺ y D \frac{11}{16}.

Conclusion :

S′D \{( \frac{1}{20} I \frac{11}{16}) \} .

22Systèmes d’équations_{Lycée David d’Angers, Angers} {Énoncé \atop p. 274}

1 Pour résoudre le système :

\{ \begin{matrix}7x − 4y D 29 \\ 2x − y D 1 \end{matrix}

on peut procéder par substitution : la seconde équation donne y D 2x−1, et on obtient le système équivalent :

\{ \begin{matrix}7x − 4▷2x − 1◁ D 29 \\ y D 2x − 1 \end{matrix} ⟺ \{ \begin{matrix}−x C 4 D 29 \\ y D 2x − 1 \end{matrix}

⟺ \{ \begin{matrix}x D −25 \\ y D −51 \end{matrix}

La solution du système est donc ▷−25 I −51◁.

Le problème du marché — v. 1.0 9 juin 2025 — Chapitre 8 page 292 — #302

CORRIGÉS_{292}

2 (a) En remplaçant ▷x I y◁ par ▷0 I −9◁ dans le système, on obtient :

\{ \begin{matrix}9 D 9 \\ 15 − 15 D 0 \end{matrix}

ce qui est vrai, donc ▷0 I −9◁ est solution du système. Essayons maintenant ▷1 I 6◁ :

\{ \begin{matrix}2 − 6 D 9 \\ \frac{10}{3} − 10 − 15 D 0 \end{matrix}

ce qui est évidemment faux. ▷1 I 6◁ n’est pas solution. Avec ▷1 I −7◁ :

\{ \begin{matrix}2 C 7 D 9 \\ \frac{10}{3} C \frac{35}{3} − 15 D 0 \end{matrix}

Ces deux égalités sont vraies (penser à 15 D \frac{45}{3}) donc ▷1 I −7◁ est solution du système. On sait qu’un tel système se ramène au problème de l’intersection de deux droites données par leurs équations. Il y a au moins deux solutions, donc au moins deux points d’intersection. Cela signifie que les deux droites sont confondues, et qu’en fait les équations du système sont proportionnelles. On le vérifie facilement en mul-

tipliant la première équation par \frac{5}{3}. On obtient la seconde.

Le système est donc équivalent à la seule équation : 2x − y D 9.

(b) Écrite sous la forme y D 2x − 9, on reconnaît une équation de droite. Les solutions sont donc les coordonnées des points de cette droite. Ces coordonnées sont sous la forme ▷x I 2x − 9◁. On écrit :

S D {▷x I 2x − 9◁, x ∈ ℝ}.

23Le problème du marché_{Lycée Gustave Eiffel, Bordeaux} {Énoncé \atop p. 274}

La première phrase nous dit que (le symbole « D » est ici abusif, mais cela simplifie les notations) :

85 poulets D 1 cheval C 1 vache et 5 chevaux D 12 vaches.

On en déduit alors :

5 × 85 poulets D 5 chevaux C 5 vaches

soit :

425 poulets D 17 vaches soit 1 vache D 25 poulets.

Systèmes d’équations — v. 1.0 9 juin 2025 — Chapitre 8 page 293 — #303

ÉQUATIONS DE DROITES. SYSTÈMES LINÉAIRES CHAP. 8_{293} CORRIGÉS INTERROS COURS

Et donc,

5 chevaux D 12 vaches D 12 × 25 poulets D 300 poulets donc :

1 cheval D 60 poulets.

Notons maintenant :

x le nombre de chevaux que le couple a déjà achetés; y le nombre de vaches que le couple a déjà achetées.

Le dialogue entre le mari et la femme donne alors le système :

\{ \begin{matrix}2x C y D 17  ▷L_{1}◁ \\ x C 2y D 19  ▷L_{2}◁ \end{matrix}

2▷L_{2}◁ − ▷L_{1}◁ donne : 3y D 38 − 17, soit y D 7. 2▷L_{1}◁ − ▷L_{2}◁ donne : 3x D 34 − 19, soit x D 5. Le couple a donc déjà acheté 5 chevaux et 7 vaches. Ainsi, s’il achète 7 vaches, il lui faut :

7 × 25 poulets D 175 poulets.

Les paysans ont donc amené 175 poulets.

24Systèmes d’équations_{Lycée Lamartine, Paris} {Énoncé \atop p. 274}

1 Puisque le carré de x C y vaut 9, on en déduit que x C y D 3 ou que x C y D −3. Le système proposé peut donc être séparé en deux « soussystèmes » :

\{ \begin{matrix}3x C 2y D 7 \\ x C y D −3 \end{matrix} et \{ \begin{matrix}3x C 2y D 7 \\ x C y D 3 \end{matrix}

Les solutions du système de départ sont celles de l’un ou de l’autre de ces deux sous-systèmes.

2 Résolvons chaque système par substitution. Pour le premier, on écrit :

\{ \begin{matrix}3x C 2y D 7 \\ x C y D −3 \end{matrix}  ⟺  \{ \begin{matrix}3x C 2▷−x − 3◁ D 7 \\ y D −x − 3 \end{matrix}
⟺  \{ \begin{matrix}3x − 2x − 6 D 7 \\ y D −x − 3 \end{matrix}
⟺  \{ \begin{matrix}x D 13 \\ y D −16 \end{matrix}

Système non linéaire — v. 1.0 9 juin 2025 — Chapitre 8 page 294 — #304

CORRIGÉS_{294}

Pour le second système :

\{ \begin{matrix}3x C 2y D 7 \\ x C y D 3 \end{matrix}  ⟺  \{ \begin{matrix}3x C 2▷−x C 3◁ D 7 \\ y D −x C 3 \end{matrix}
⟺  \{ \begin{matrix}3x − 2x C 6 D 7 \\ y D −x C 3 \end{matrix}
⟺  \{ \begin{matrix}x D 1 \\ y D 2 \end{matrix}

On obtient donc :

S D {▷13 I −16◁,▷1 I 2◁}.
25Système d’équations avec fractions_{Lycée Jacques Monod, Clamart} {Énoncé \atop p. 275}

Posons X D x^{2} et Y D \frac{3}{y C 1} (vous pouvez poser Y D \frac{1}{y C 1} mais \frac{3}{y C 1} permet d’obtenir des coefficients plus simples.) Le système devient :

\{ \begin{matrix}2X − 3Y D 15 \\ 3X − 8Y D 19 \end{matrix}  ⟺  \{ \begin{matrix}6X − 9Y D 45 & L_{1} ← 3L_{1} \\ 6X − 16Y D 38 & L_{2} ← 2L_{2} \end{matrix}
⟺  \{ \begin{matrix}7Y D 7 & L_{1} ← L_{1} − L_{2} \\ 6X − 16Y D 38 \end{matrix}

Ce qui permet d’obtenir Y D 1 et X D 9. x^{2} D 9, donc x vaut 3 ou −3. \frac{3}{y C 1} D 1, donc y C 1 D 3 et y D 2. On obtient donc deux solutions :

S D {▷−3 I 2◁,▷3 I 2◁}.

26Système non linéaire_{Lycée Arago, Paris} {Énoncé \atop p. 275}

Notons que la valeur x D 0 est exclue, on peut donc poser X D \frac{1}{x} et Y D y^{2} comme indiqué, et on obtient un système d’équations habituel :

\{ \begin{matrix}3X − 5Y D 2 \\ 7X C 3Y D 12 \end{matrix}

Procédons par substitution. On écrit X en fonction de Y à l’aide de la première équation, et on remplace dans la seconde :

\{ \begin{matrix}X D \frac{5}{3}Y C \frac{2}{3} \\ 7 ( \frac{5}{3}Y C \frac{2}{3}) C 3Y D 12 \end{matrix}

Avec fractions et carrés — v. 1.0 9 juin 2025 — Chapitre 8 page 295 — #305 ÉQUATIONS DE DROITES. SYSTÈMES LINÉAIRES CHAP. 8_{295} CORRIGÉS INTERROS COURS

En simplifiant la seconde équation et en multipliant les deux membres par 3 pour se débarrasser des dénominateurs, il vient :

\{ \begin{matrix}X D \frac{5}{3}Y C \frac{2}{3} \\ 44Y D 22 \end{matrix}

d’où enfin :

\{ \begin{matrix}X D \frac{3}{2} \\ Y D \frac{1}{2} \end{matrix}

Le problème de départ équivaut maintenant au système :

\{ \begin{matrix}\frac{1}{x} D \frac{3}{2} \\ y^{2} D \frac{1}{2} \end{matrix}

que l’on résout facilement :

\{ \begin{matrix}x D \frac{2}{3} \\ y D \frac{1}{\sqrt{2}} ou y D −\frac{1}{\sqrt{2}} \end{matrix}

Finalement, l’ensemble des solutions est S D \{( \frac{2}{3} I \frac{\sqrt{2}}{2}) , ( \frac{2}{3} I \frac{−\sqrt{2}}{2} ) \}.

27Avec fractions_{Lycée Hoche, Versailles} {Énoncé \atop p. 275}

Nous allons résoudre le système par combinaisons :

L_{2} ← L_{2} − 5L_{1} \{ \begin{matrix}2u − 3v D 4 \\ 17v D −17 \end{matrix}  ⟺  \{ \begin{matrix}v D −1 \\ 2u C 3 D 4 \end{matrix}
⟺  \{ \begin{matrix}v D −1 \\ u D \frac{1}{2} \end{matrix}

D’où la solution : ( \frac{1}{2}, − 1) . En posant u D \frac{1}{x − 3} et v D \frac{1}{y C 5}, et en multipliant la deuxième ligne par 2, on transforme le deuxième système proposé en le premier. Les solutions vérifient donc \frac{1}{x − 3} D \frac{1}{2}, soit x − 3 D 2 donc

x D 5, et \frac{1}{y C 5} D −1, soit y C5 D −1 et y D −6. L’ensemble des solutions s’écrit donc :

S D {▷5 I −6◁}.

IL2M — v. 1.0 9 juin 2025 — Chapitre 8 page 296 — #306 CORRIGÉS_{296}
28Avec fractions et carrés_{Lycée Hoche, Versailles} {Énoncé \atop p. 275}

Posons tout de suite : X D \frac{1}{▷2x C 1◁^{2}}et Y D \frac{1}{3y − 5} . Le système devient :

\{ \begin{matrix}3X − 4Y D 32 \\ 2X − 5Y D 12 \end{matrix}  ⟺  L_{1} ← 2L_{1} − 3L_{2} \{ \begin{matrix}7Y D 28 \\ 2X − 5Y D 12 \end{matrix}

⟺  \{ \begin{matrix}Y D 4 \\ 2X D 32 \end{matrix}

⟺  \{ \begin{matrix}Y D 4 \\ X D 16 \end{matrix}

On obtient enfin : \frac{1}{▷2x C 1◁^{2}} D 16 et \frac{1}{3y − 5} D 4. Cherchons x.

▷2x C 1◁^{2} D \frac{1}{16} donc 2x C 1 D \frac{1}{4} ou 2x C 1 D −\frac{1}{4}.

Ainsi, x D −\frac{3}{8} ou x D −\frac{5}{8}. Cherchons y.

3y − 5 D \frac{1}{4} donc y D \frac{1}{3} ( \frac{1}{4} C 5) D \frac{7}{4}.

Conclusion :

S D \{( −\frac{3}{8} I \frac{7}{4}) , ( −\frac{5}{8} I \frac{7}{4}) \} .

Informations chiffrées

Plan du chapitre

1. Pourcentages et évolutions

2. Statistiques

1 Pourcentages et évolutions

Les questions suivantes sont indépendantes. 1 Dans une composition florale, 35% des fleurs sont des roses.

Sachant qu’il y a 28 roses, de combien de fleurs le bouquet est-il composé?

2 Jean a profité des soldes d’hiver et acheté son blouson avec une remise de 15%. Sachant qu’il l’a payé 61,20 euros, quel était son prix initial?

3 Un ticket de cinéma coûtait 7,50 euros avant deux augmentations successives de 3% et de 4,5%.

(a) Déterminer l’évolution globale.

(b) Quel est le prix du billet après ces deux augmentations? (Arrondir au centime près).

Exercice type 1

Lycée Chaptal, Paris

Voir corrigé page 299

1.1 Proportions

À la rentrée 2020, on compte en 2de A : 20 filles et 15 garçons, soit 35 élèves en tout.

La proportion de filles dans la classe est \frac{20}{35} ≈ 0,571.

Pour comparer plus aisément les proportions, on les exprime avec un dénomina-

teur égal à 100 : \frac{20}{35} ≈ \frac{57,1}{100} (le numérateur n’est pas toujours entier).

On dit alors que la proportion est de 57,1%.

IL2M — v. 1.0 9 juin 2025 — Chapitre 9 page 298 — #308 COURS_{298}

À RETENIR

Si n_{total} est l’effectif total d’une population (ici, le nombre d’élèves de 2de A) et n_{partiel} celui d’une sous-population (le nombre de filles de 2de A), alors :

proportion D \frac{n_{partiel}}{n_{total}} D \frac{pourcentage}{100} .

En renversant l’égalité, on obtient :

pourcentage D 100 × \frac{n_{partiel}}{n_{total}}.

On note qu’une proportion exprime un quotient entre des grandeurs de même nature exprimées dans la même unité. Une proportion n’a donc pas d’unité. Si on divise le nombre d’élèves du lycée par le nombre de classes, on obtient une grandeur utile, exprimée en « élèves par classe », mais ce n’est pas une proportion. Si un escargot a parcouru 15 cm sur une barre de 2 m, il faut exprimer ces deux longueurs dans la même unité pour calculer le pourcentage de la barre parcouru

par l’escargot : \frac{15}{200} D 0,075, soit 7,5%.

1.2 Pourcentages de pourcentages

Parmi les 57,1% filles de la 2de A, 37% viennent au lycée à pied. Pour savoir quelle proportion cela représente par rapport à la classe entière, on effectue le calcul :

\frac{37}{100} × \frac{57,1}{100} × 100 D 21,127 ≈ 21,13.

La proportion de filles venant à pied au lycée est alors d’environ 21,13%.

1.3 Évolutions

En 2019, il y avait 36 élèves en 2de A. L’effectif total a donc diminué de 1. La variation absolue de l’effectif est : −1. La variation est ici absolue parce qu’elle n’exprime pas une proportion. On ne confondra pas avec la notion de valeur absolue, qui n’a rien à voir (distance entre un réel et 0). La variation relative exprime quelle proportion de la population initiale représente

la variation absolue. Il y avait 36 élèves en 2019, la baisse représente \frac{1}{36} D 2,8% de l’effectif.

À RETENIR

Variation relative D \frac{Variation absolue}{Valeur initiale} D \frac{Valeur finale− Valeur initiale}{Valeur initiale} .

IL2M — v. 1.0 9 juin 2025 — Chapitre 9 page 299 — #309 INFORMATIONS CHIFFRÉES CHAP. 9_{299} CORRIGÉS INTERROS COURS

On prévoit pour 2021 une augmentation de l’effectif de 8,6%. La valeur de référence est l’effectif de 2020 (n_{2020} D 35) et l’effectif prévu est donc :

n_{2021} D n_{2020} C n_{2020} × \frac{8,6}{100},

ou plus simplement : n_{2021} D 1,086 × n_{2020} ≈ 38. On dit que 1,086 est le coefficient multiplicateur. Pour 2022, on s’attend cette fois à une baisse de 10,5%. Attention, l’effectif de référence a changé : c’est maintenant celui de 2021, soit 38 élèves, puisqu’on parle d’une baisse entre 2021 et 2022. On peut calculer l’effectif de 2022 de deux manières. Premièrement, on peut appliquer la méthode précédente :

n_{2022} D n_{2021} × ▷1 − 0,105◁ D 38 × ▷1 − 0,105◁ ≈ 34.

Une autre méthode est de composer les pourcentages. L’effectif de 2020 est multiplié par 1 C 0,086 pour obtenir n_{2021}, qui lui-même est multiplié par 1 − 0,105. On peut donc calculer directement :

n_{2022} D n_{2020} × ▷1 C 0,086◁ × ▷1 − 0,105◁ D n_{2020} × 1,086 × 0,895 ≈ 34.

On dit que 1,086 × 0,895 D 0,97197 est le coefficient multiplicateur global.

1 Soit x le nombre de fleurs dans le bouquet. 35% de x est égal à 28 roses, donc :

\frac{35}{100} × x D 28 ⟺ x D 28 × \frac{100}{35} D 80.

Il y a donc 80 fleurs dans le bouquet. 2 Posons x le prix initial du blouson avant réduction de 15%. Alors :

( 1 − \frac{15}{100}) x D 61,20 ⟺ x D \frac{61,20}{0,85} D 72.

Le prix initial du blouson est donc 72 �.

3 (a) Posons CM_{1} D 1 C \frac{3}{100} D 1,03 et CM_{2} D 1 C \frac{4,5}{100} D 1,045 les

deux coefficients multiplicateurs correspondant aux deux augmentations successives.

…

Solution de l’exercice type 1

Lycée Chaptal, Paris

Le coefficient multiplicateur global est alors :

CM D CM_{1} × CM_{2} D 1,07635 ,

c’est-à-dire 1 C 0,07635, ou encore 1 C \frac{7,635}{100}.

L’évolution globale est donc une augmentation de 7,635%.

(b) Le prix du billet après les deux augmentations est :

7,50 × 1,07635 ≈ 8,07 � .

Solution de l’exercice type 1 (suite)

Lycée Chaptal, Paris

Voir énoncé page 297

2 Statistiques

Retrouvez le corrigé de cet exercice en vidéo.

Dans une classe de 30 élèves, il y a 12 filles et 18 garçons. Au contrôle de mathématiques, les filles ont obtenu :

7 , 8 , 10 , 11 , 11 , 11 , 12 , 12 , 12 , 14 , 17 , 18

et les garçons :

5 , 7 , 7 , 8 , 8 , 8 , 9 , 9 , 9 , 10 , 10 , 11 , 11 , 11 , 12 , 12 , 14 , 16.

1 Calculer la moyenne des notes pour les deux groupes (on arrondira les

résultats au dixième près). 2 À partir de ces résultats, calculer la moyenne de la classe.

3 Par mesure de clémence, le professeur ajoute 1 point à toutes les notes.

Quelle est la nouvelle moyenne? 4 Le dernier garçon n’avait en fait pas 5, mais 8. Quelle est, finalement, la

moyenne de la classe?

Exercice type 2

Lycée Saint Aspais, Melun

Voir corrigé page 304

2.1 Comment comparer des séries quantitatives?

Un professeur compare les notes de deux élèves :

Paul 19 6 18 5
Pierre 10 10 12 12

On observe deux suites de quatre valeurs, appelées séries statistiques.

IL2M — v. 1.0 9 juin 2025 — Chapitre 9 page 301 — #311 INFORMATIONS CHIFFRÉES CHAP. 9_{301} CORRIGÉS INTERROS COURS

La moyenne de Paul est plus élevée que celle de Pierre.

La moyenne de Paul est :

\frac{19 C 6 C 18 C 5}{4} D 12.

La moyenne de Pierre est :

\frac{10 C 10 C 12 C 12}{4} D 11.

La moyenne reflète la position de la série statistique. On parle également d’indicateur de tendance centrale, ce qui signifie simplement qu’elle indique le « centre » de la série statistique. Dans notre exemple, les notes de Paul sont globalement meilleures. La médiane, qui sépare les valeurs de la série (une fois ordonnée) en deux moitiés, est un autre indicateur de tendance centrale.

Cependant, Pierre est plus régulier que Paul. Paul a complètement raté deux devoirs. Les notes de Pierre sont moins dispersées.

Pour comparer deux séries statistiques, on doit tenir compte de ces deux caractéristiques : position et dispersion. L’étendue e D maxx_{i} − minx_{i} est l’écart entre la plus grande valeur (maxx_{i}) et la plus petite (minx_{i}). C’est un indicateur de dispersion : une faible étendue montre que la série est resserrée autour de sa moyenne. Il est rudimentaire car il ne dépend que des deux valeurs extrêmes de la série.

2.2 Qu’est-ce qu’une moyenne pondérée?

On considère une série statistique de n valeurs réelles. Nous utilisons les notations suivantes :

x_{1}, x_{2},…, x_{k} sont les valeurs observées;

n_{1}, n_{2},…, n_{k} les effectifs correspondants, ce qui signifie que la valeur x_{i} apparaît n_{i} fois dans la série;

f_{1}, f_{2},…, f_{k} les fréquences : f_{i} D \frac{n_{i}}{n} est la proportion (donc, entre 0 et 1) du nombre des valeurs égales à x_{i} par rapport à l’effectif total n.

La moyenne de la série statistique est donnée par :

N xD \frac{x_{1} C ⋯C x_{1} C x_{2} …x_{2} C ⋯C x_{k} C …x_{k}}{n}

où chaque x_{i} est compté n_{i} fois. On peut simplifier la formule :

Calcul à partir des effectifs : N xD \frac{n_{1}x_{1} C n_{2}x_{2} C ⋯C n_{k}x_{k}}{n_{1} C n_{2} C ⋯C n_{k}}.

Calcul à partir des fréquences : N xD f_{1}x_{1} C f_{2}x_{2} C ⋯C f_{k}x_{k}.

IL2M — v. 1.0 9 juin 2025 — Chapitre 9 page 302 — #312 COURS_{302}

Pour calculer la moyenne des valeurs x_{i}, on ne s’est pas contenté de la moyenne

simple \frac{x_{1} C x_{2} C ⋯C x_{k}}{k}. On a donné à chaque valeur x_{i} un poids correspondant à son effectif. On dit qu’on a calculé une moyenne des valeurs x_{i}, pondérée par les effectifs n_{i} ou les fréquences f_{i} (poids et pondéré sont des mots qui viennent du latin pondus, ponderis : le poids).

On peut décider d’accorder un poids qui n’est pas relatif à la fréquence. Par exemple, si on a eu 14 au devoir commun (coefficient 2), 12 au contrôle (coefficient 1) et 18 à l’interrogation surprise (coefficient 0,5), la moyenne pondérée est :

m D \frac{2 × 14 C 1 × 12 C 0,5 × 18}{2 C 1 C 0,5} D 14.

Les coefficients sont choisis pour que la note du devoir commun ait plus d’importance que celle de l’interrogation surprise.

2.3 La linéarité de la moyenne, qu’est-ce que c’est?

Nous étudions une série statistique donnée comme ci-dessus par les valeurs x_{i}, leurs effectifs respectifs n_{i}.

Si on applique une fonction affine aux valeurs x_{i}, c’est-à-dire que l’on calcule, pour chaque i, la valeur y_{i} D mx_{i} C p (où m et p sont deux constantes).

Alors :

N yD \frac{n_{1}y_{1} C n_{2}y_{2} C ⋯C n_{k}y_{k}}{n_{1} C n_{2} C ⋯C n_{k}}

D \frac{n_{1}▷mx_{1} C p◁ C n_{2}▷mx_{2} C p◁ C ⋯C n_{k}▷mx_{k} C p◁}{n_{1} C n_{2} C ⋯C n_{k}}

D \frac{n_{1}mx_{1} C n_{2}mx_{2} C ⋯C n_{k}mx_{k} C n_{1}p C n_{2}p C ⋯C n_{k}p}{n_{1} C n_{2} C ⋯C n_{k}}

D \frac{m▷n_{1}x_{1} C n_{2}x_{2} C ⋯C n_{k}x_{k}◁ C p▷n_{1} C n_{2} C ⋯C n_{k}◁}{n_{1} C n_{2} C ⋯C n_{k}}

D m\frac{n_{1}x_{1} C n_{2}x_{2} C ⋯C n_{k}x_{k}}{n_{1} C n_{2} C ⋯C n_{k}} C p \frac{n_{1} C n_{2} C ⋯C n_{k}}{n_{1} C n_{2} C ⋯C n_{k}}

D m N xC p.

On peut donc retrouver la moyenne N yde la nouvelle série en appliquant la même fonction affine à la moyenne N xde l’ancienne.

On utilise la linéarité de la moyenne sans même y penser lorsque l’on change d’unité. Par exemple, si dans un concours de saut en hauteur, la moyenne des sauts (en mètres) a été de 1,81, il est évident que la moyenne des sauts (en centimètres) a été de 181. Les valeurs x_{i} étaient exprimées en mètres, on obtient les valeurs y_{i} en centimètres en calculant y_{i} D 100x_{i}, et donc N yD 100 N x.

IL2M — v. 1.0 9 juin 2025 — Chapitre 9 page 303 — #313 INFORMATIONS CHIFFRÉES CHAP. 9_{303} CORRIGÉS INTERROS COURS

Remarque : par linéarité, la précision des données se retrouve sur la moyenne. Lorsqu’on calcule une moyenne, on doit donc fournir un résultat raisonnable compte tenu de la précision des données. Donner une moyenne au cm près des distances parcourue en km par des avions n’a pas de sens. En revanche, parler d’une moyenne de 1,96 enfants par femme a un sens car le nombre d’enfants, dans chaque cas, est un entier, donc connu avec une précision infinie. On pourrait donc donner encore plus de chiffres. Cependant, on s’arrête en général à 3 chiffres significatifs car cela suffit pour les comparaisons et interprétations courantes.

2.4 L’écart inter-quartile

On compare deux séries de vingt notes rangées par ordre croissant. La série 1 :

6 6 7 8 8 10 10 10 11 11
12 12 12 14 15 17 17 18 18 20

et la série 2 :

6 12 12 12 12 12 12 12 12 12
12 12 12 12 12 12 12 12 12 20

Ces deux séries ont la même moyenne (12,1) et la même étendue 20 − 6 D 14. Or elles sont très différentes.

Pour mieux caractériser leur dispersion, on parcourt les valeurs dans l’ordre croissant. On atteint un quartile lorsque 25%, 50%, puis 75% des valeurs sont dépassées. Observons que les quartiles sont toujours des valeurs de la série.

La série 1 contient 20 notes. Lorsqu’on atteint la 5^{ème} note, c’est-à-dire 8, on peut affirmer qu’un quart des notes sont inférieures ou égales à 8 : 8 est le premier quartile q_{1} de la série 1.

Le second quartile q_{2} correspond à la 10^{ème} note, 11 (la moitié des notes sont inférieures ou égales à 11). Il est très proche de la médiane de la série (ici, 10 notes sont inférieures à 11, 10 notes supérieures à 12, la médiane est donc 11,5).

Le troisième quartile q_{3} correspond à la 15^{ème} note, 15.

Par définition, l’écart inter-quartile est q_{3} − q_{1}. Plus il est petit, plus la série est resserrée.

Il est moins sensible aux valeurs extrêmes de la série, puisqu’on ne tient compte ni du quart supérieur, ni du quart inférieur de la série.

Dans la série 2, on a : q_{1} D q_{3} D 12, donc l’écart inter-quartile est nul. La série est quasiment constante (les deux valeurs extrêmes 6 et 20 sont aberrantes).

IL2M — v. 1.0 9 juin 2025 — Chapitre 9 page 304 — #314 COURS_{304}

2.5 Écart-type

L’étendue ou l’écart inter-quartile ont l’inconvénient de ne reposer, finalement, que sur deux valeurs particulières de la série. Pour fabriquer un indicateur qui rende compte de tous les écarts | x_{i} − N x| , on pourrait calculer la moyenne de ces écarts. Pour éviter les calculs avec les valeurs absolue, on préfère faire la moyenne des carrés : ▷x_{i} − N x◁^{2}. Une moyenne de carrés est homogène au carré des valeurs de la séries. On obtient une grandeur comparable à celles de la série en revenant à la racine carrée, d’où la formule de l’écart type :

σ D \sqrt{\frac{n_{1}▷x_{1} − N x◁^{2} C ⋯C n_{p}▷x_{p} − N x◁^{2}}{n_{1} C ⋯C n_{p}}} .

Lorsque σ est petit, tous les carrés ▷x_{i} − N x◁^{2} et donc, comme la fonction carré est croissante sur ℝ_{C}, tous les écarts | x_{i} − N x| sont petits, et la série est resserrée autour de sa moyenne. Dans une série « normale », on observe habituellement 66% des données dans T N x− σ, N xC σU et 95% des données dans l’intervalle T N x− 2σ, N xC 2σU.

1 La calculatrice permet de calculer la moyenne des filles : environ 11,9,

et la moyenne des garçons : environ 9,8. 2 On a calculé la moyenne de deux sous-groupes, on peut donc calculer

celle de la classe :

N x≈ \frac{12 × 11,9 C 18 × 9,8}{12 C 18} ≈ 10,6.

3 On avait des notes x_{i}, on ajoute 1 point à chacune, on obtient de nouvelles notes y_{i} D x_{i} C 1. Par linéarité de la moyenne :

N yD N xC 1 ≈ 11,6.

4 On ajoute 3 points au garçon, donc 3 points au total des notes. Dans le calcul de la moyenne, ce total est divisé par 30 (effectif de la classe).

Finalement, on a ajouté \frac{3}{30} D 0,1 à la moyenne, qui devient : 11,7.

Solution de l’exercice type 2

Lycée Saint Aspais, Melun Voir énoncé page 300

IL2M — v. 1.0 9 juin 2025 — Chapitre 9 page 305 — #315 INFORMATIONS CHIFFRÉES CHAP. 9_{305} CORRIGÉS INTERROS COURS
1_{V/F} Variation d’une série statistique Corrigé p. 313 3 min

Les propositions suivantes sont-elles vraies ou fausses?

Si un commerçant augmente tous ses prix de 1 � : a La moyenne des prix ne change pas. b L’étendue des prix ne change pas. c Le prix médian augmente de 1 �. d L’écart inter-quartile augmente de 1 �.

2_{V/F} Jets de dé Corrigé p. 313 5 min

On représente les résultats obtenus en jetant 80 fois un dé à 6 faces.

Parmi les propositions suivantes, lesquelles sont correctes?

a Ce graphique est un histogramme. b La moyenne est 3,1.
c L’écart inter-quartile est 3  d Le mode est 3.
e Le maximum est 3.  f La fréquence de 5 est \frac{4}{80}.

g Le dé est probablement pipé (truqué).

IL2M — v. 1.0 9 juin 2025 — Chapitre 9 page 306 — #316 INTERROS_{306}

Pourcentages

3Trouver la seconde évolution_{Lycée Pasteur, Neuilly-sur-Seine} Corrigé ; p. 313 ; 5 min ; ⋆

Le prix d’un objet subit une augmentation de 50%. Quel doit être le pourcentage d’une deuxième augmentation pour que le prix double par rapport au prix initial?

4Problèmes indépendants_{Lycée Loquidy, Nantes} Corrigé ; p. 314 ; 10 min ; ⋆

Les problèmes suivants sont indépendants.

1 Problème 1 : parmi les 5 600 abonnés à une médiathèque, 4 410 sont des enfants. Calculer le pourcentage d’enfants parmi les abonnées à cette médiathèque.

2 Problème 2 : lors d’un sondage pour une élection, 96% des personnes interrogées ont indiqué leur intention de vote. Parmi celles-ci, 52% ont donné leur préférence au candidat sortant. Quel est le pourcentage d’intentions de vote pour le candidat sortant parmi l’ensemble des personnes interrogées?

3 Problème 3 : pour fêter le 11/11/11, un commerçant a décidé de baisser tous les prix de 11 �. Un jouet se vend alors 111 �. Calculer le pourcentage d’évolution, arrondi à 0,1% près, entre le prix initial et le prix final du jouet.

4 Problème 4 : suite à deux épisodes de grippe aviaire, le prix du foie gras augmente de 10%, puis de 20%. Calculer le taux d’évolution global du prix.

5 Problème 5 : un commerçant décide de baisser ses prix de 7% à l’occasion d’un événement. Au lendemain, il augmente ses prix de 7%. Calculer le taux d’évolution global du prix.

5Pourcentages de pourcentages_{Lycée Chaptal, Paris} Corrigé ; p. 315 ; 10 min ; ⋆

Dans le lycée de Jules, il y a 40% de filles. De plus, on sait que 20% des filles et 35% des garçons mangent à la cantine. Déterminer la proportion (en pourcentage) d’élèves qui mangent à la cantine.

IL2M — v. 1.0 9 juin 2025 — Chapitre 9 page 307 — #317 INFORMATIONS CHIFFRÉES CHAP. 9_{307} CORRIGÉS INTERROS COURS
6Jeunes et tri sélectif_{Lycée Pierre Caraminot, Egletons} Corrigé ; p. 315 ; 10 min ; ⋆

Dans une ville, 80% des jeunes font le tri sélectif des déchets, et parmi ces jeunes 15% ont déjà participé à un nettoyage de rivière dans cette ville.

1 Déterminer le pourcentage que représentent les jeunes qui font le tri sélectif et ayant participé à un nettoyage de rivière par rapport à l’ensemble des jeunes de cette ville.

2 Cette ville est constituée de 2 520 jeunes. Calculer le nombre de jeunes ne faisant pas le tri sélectif des déchets.

7Soldes sur les trottinettes_{Lycée Loquidy, Nantes} Corrigé ; p. 315 ; 10 min ; ⋆

1 Une trottinette électrique soldée à −30% est vendue à 357 �.

Déterminer en justifiant, le prix initial de cette trottinette. 2 En octobre 2021 un abonnement d’entrée de gamme sur Flixnet coûtait

7,99 � mensuel, et en novembre 2021, ce même abonnement coûtait 8,99 � par mois. Déterminer le pourcentage d’évolution du prix de cet abonnement Flixnet entre ces deux dates.

8Tableau à compléter_{Lycée Chaptal, Paris} Corrigé ; p. 316 ; 15 min ; ⋆ ; ⋆

Compléter le tableau suivant :

Valeur initiale Évolution Coefficient multiplicateur

Valeur finale

415  Baisse de 6%

Hausse de 3,6%

3 626

44  0,925
3,2  537,6

9Coefficients multiplicateurs_{Lycée Jacques Amyot, Auxerre} Corrigé ; p. 316 ; 15 min ; ⋆ ; ⋆

Durant la première semaine des soldes, un magasin propose 40% de remise sur tous les articles. Lors de la seconde semaine, le magasin propose 20% de remise supplémentaire sur tous les articles non vendus.

1 Déterminer les coefficients multiplicateurs associés à chacune de ces remises.

IL2M — v. 1.0 9 juin 2025 — Chapitre 9 page 308 — #318 INTERROS_{308}

2 En déduire le coefficient multiplicateur global associé aux deux remises,

puis le taux d’évolution global des prix au cours de ces deux semaines. 3 En déduire de quel pourcentage (arrondi à 0,1% près), il faudrait aug-

menter les prix lors de la troisième semaine pour revenir aux prix initiaux.

10Cinq évolutions successives_{Lycée Alain, Le Vésinet} Corrigé ; p. 316 ; 10 min ; ⋆ ; ⋆ ; ⋆

Au journal télévisé le présentateur dit que le montant de la facture d’électricité va augmenter de 6% par an pendant 5 ans, et ajoute : « soit une hausse de 30% au bout de 5 ans ». Démontrer que le journaliste dit faux.

Statistiques

11Temps de trajet_{Lycée Brizeux, Quimper} Corrigé ; p. 317 ; 10 min ; ⋆

La répartition des 200 salariés d’une entreprise d’après la durée du trajet aller qu’ils effectuent pour se rendre à leur lieu de travail est relevée dans un tableau.

1 Compléter ce tableau :

Durée en minutes

n_{i} (effectifs)

f_{i}

(fréquences) en %

Effectifs cumulés croissants

T5 I 10T  5
T10 I 15T  30
T15 I 20T  110
T20 I 25T  30

T25 I 30T

2 On identifie chaque classe à son centre (ce qui revient, par exemple, à considérer qu’un temps de trajet entre 5 et 10 min. est égal à 7,5 min.) Déterminer la moyenne du temps de trajet. Expliquer pourquoi on peut arrondir à la minute près.

3 Calculer l’écart-type σ du temps de trajet. Pour combien de valeurs, approximativement, l’écart à la moyenne est-il inférieur à σ ?

IL2M — v. 1.0 9 juin 2025 — Chapitre 9 page 309 — #319 INFORMATIONS CHIFFRÉES CHAP. 9_{309} CORRIGÉS INTERROS COURS
12Lait en poudre_{Lycée Alphonse Daudet, Nîmes} Corrigé ; p. 317 ; 10 min ; ⋆

Les quantités de lait en poudre consommées dans une journée par les 45 bébés d’une crèche sont fournies, en grammes, dans le tableau ci-dessous.

Consommation

Effectifs

40  2
45  3
50  5
55  9
60  7
65  8
70  5
75  4
80  2

1 Déterminer la consommation journalière moyenne des bébés.

2 Déterminer les effectifs cumulés croissants et les effectifs cumulés dé-

croissants. 3 En déduire les quartiles et l’écart inter-quartile.

4 Quel pourcentage de bébés consomment dans une journée au moins 60 g

de lait en poudre? 5 Quel pourcentage consomment moins de 70 g de lait en poudre?

13Âge des élèves_{Lycée Jacques Monod, Clamart} Corrigé ; p. 318 ; 15 min ; ⋆

L’âge des élèves d’un lycée, à leur entrée en Seconde, se répartit comme suit :

Âge (ans)  13 14 15 16 17
Répartition (%) 4 12 52 24 8

1 Calculer l’âge moyen à l’entrée en Seconde dans le lycée.

2 Déterminer l’écart inter-quartile et l’écart-type. Que peut-on en dire?

14Notes à un contrôle_{Lycée Montesquieu, Bordeaux} Corrigé ; p. 318 ; 15 min ; ⋆

On relève les notes obtenues au même contrôle par les élèves d’une même classe (voir page suivante).

IL2M — v. 1.0 9 juin 2025 — Chapitre 9 page 310 — #320 INTERROS_{310}

Calculer la moyenne et l’écart inter-quartile de cette série.

11 12 9 15 1 18 7
6 10 7 2 14 2 15
4 7 14 13 16 6 17
13 9 15 5 10 4 5
15 7 5 9 11 14 14

15Lancers de dé_{Lycée Sacré-Cœur, Aix-en-Provence} Corrigé ; p. 319 ; 15 min ; ⋆

On lance deux dés et on ajoute les numéros obtenus à chaque lancer. On remplit le tableau suivant :

Résultats  2  3  4  5  6  7  8  9  1 0 11 12
Effectifs 302 497 904 1 086 1 408 1 640 1 341 1 122 813 575 312

Fréquences (en %)

1 Déterminer pour chaque colonne la fréquence (en %).

2 Quelle est la moyenne et l’écart-type de cette série?

3 Quelle est la fréquence de l’événement : « la somme des deux dés est supérieure ou égale à 5 »?

16Prix de la baguette_{Lycée Descartes, Tours} Corrigé ; p. 319 ; 15 min ; ⋆

Le prix d’une baguette a été relevé dans les boulangeries de Farineville :

Prix (en centimes) 75 80 85 90 95
Effectifs 2 5 8 4 1

Fréquences

1 Compléter le tableau.

2 Déterminer la moyenne de cette série.

3 Quel est son écart inter-quartile?

4 Une boulangerie supplémentaire ouvre et vend sa baguette à 70 centimes. Quel est l’effet sur la moyenne?

IL2M — v. 1.0 9 juin 2025 — Chapitre 9 page 311 — #321 INFORMATIONS CHIFFRÉES CHAP. 9_{311} CORRIGÉS INTERROS COURS
17Série de masses_{Lycée Henri IV, Béziers} Corrigé ; p. 320 ; 20 min ; ⋆

Les masses en kilogrammes d’une série de personnes se répartissent ainsi :

Masses  62  66  70  74  78  82  86
Fréquences 7 % 12 % 36 % 15 % 16 % 10 % 4 %

Fréquences

cumulées

1 Calculer la moyenne des masses de ces personnes. 2 Compléter le tableau par les fréquences cumulées croissantes. 3 Déterminer l’écart inter-quartile. 4 Quel est le pourcentage des personnes pesant moins de 72 kg? 5 Quel est le pourcentage des personnes pesant au moins 80 kg?

18Télévision_{Lycée Paul Lapie, Courbevoie} Corrigé ; p. 320 ; 30 min ; ⋆

Dans une classe de cinquième et une classe de seconde, on a demandé aux élèves le nombre d’heures par semaine consacrées à regarder la télévision. Classe de seconde (32 élèves) :

Temps (h) 2 6 7 8 9 10 11 14 15
Effectifs 1 2 1 1 2 5 1 1 4
Temps (h) 16 17 18 20 21 22 23  24
Effectifs 1 1 4 3 1 1 2  1

Classe de cinquième (27 élèves) :

Temps (h) 0 4 5 8 9 10 11 12  13
Effectifs 1 1 1 1 2 3 2 2  1
Temps (h) 15 16 20 28 30 31 32 40 54 56
Effectifs 3 1 1 1 1 1 1 2 1 1

1 Pour chaque série, calculer la moyenne, et l’écart inter-quartile. 2 Comparer et commenter les résultats des deux séries à l’aide des résul-

tats de la question précédente. 3 Donner la distribution des fréquences en pourcentage de la classe de se-

conde. Quelle est la fréquence en pourcentage de l’événement : « temps inférieur à 14 h »?

4 On regroupe les données des deux séries pour construire une nouvelle série. Calculer la moyenne de la nouvelle série en utilisant les moyennes des deux séries précédentes.

IL2M — v. 1.0 9 juin 2025 — Chapitre 9 page 312 — #322 INTERROS_{312}
19Notes d’un élève_{Lycée Camille Sée, Paris} Corrigé ; p. 321 ; 10 min ; ⋆ ; ⋆

Après 4 devoirs, la moyenne d’un élève est 9,5. Quelle doit être sa cinquième note pour que sa moyenne soit de 10?

20Course à pied_{Lycée Claude Bernard, Paris} Corrigé ; p. 321 ; 20 min ; ⋆ ; ⋆

Dans un groupe de 25 coureurs de 100 m (15 femmes et 10 hommes) : 1 La moyenne des temps des femmes est de 12,32 s ; celle des hommes

est de 11,48 s. Quelle est la moyenne de l’ensemble des coureurs? 2 Après un mois d’entraînement, la moyenne des temps des femmes a

diminué de 0,21 s et celle des hommes a diminué de 0,13 s. De combien la moyenne de l’ensemble a-t-elle varié?

3 L’entraîneur sélectionne alors 10 hommes et 10 femmes. Outre les 10 hommes, il choisit les 10 femmes les plus rapides, dont la moyenne des temps est de 11,97 s. Quelle est la moyenne des temps des femmes qui n’ont pas été sélectionnées?

Problèmes indépendants — v. 1.0 9 juin 2025 — Chapitre 9 page 313 — #323

INFORMATIONS CHIFFRÉES CHAP. 9_{313} CORRIGÉS INTERROS COURS

1_{V/F} Variation d’une série statistique {Énoncé \atop p. 305}
a Faux. La moyenne augmente également de 1 �.

b Vrai. Le prix minimal et le prix maximal augmentent de 1 � donc leur différence ne change pas.

c Vrai. En effet, tous les prix ont augmenté de 1 �.

d Faux. En effet, tous les prix ont augmenté de la même façon, l’écart inter-quartile est inchangé.

2_{V/F} Jets de dé {Énoncé \atop p. 305}
a Faux. C’est un diagramme en bâtons.
b Vrai. \frac{1 × 12 C 2 × 16 C 3 × 32 C 4 × 4 C 5 × 4 C 6 × 12}{12 C 16 C 32 C 4 C 4 C 12}  D 3,1.

c Faux. Dans l’ordre croissant, la 20^{e} valeur vaut 2 et la 60^{e} valeur vaut 3, donc l’écart inter-quartile est 1.

d Vrai. L’effectif le plus grand est atteint pour la valeur 3.

e Faux. Le maximum est 6 (ne pas confondre avec le mode, qui concerne l’effectif maximal).

f Vrai.

g Vrai. On ne peut pas en être absolument certain, mais il est très improbable que la fréquence du 3 soit 8 fois celle du 4 ou du 5 avec un dé normal (on peut calculer qu’avec un dé normal, une telle répartition arrive dans 1 cas sur 1 800 milliards!).

3Trouver la seconde évolution_{Lycée Pasteur, Neuilly-sur-Seine} {Énoncé \atop p. 306}

Notons x le prix de l’objet avant la première augmentation. Notons p le pourcentage de la deuxième augmentation. Nous souhaitons que le prix final soit égal au double du prix initial, donc :

x × ( 1 C \frac{50}{100}) × (1 C \frac{p}{100}) D 2x ⟺ 1,5 (1 C \frac{p}{100}) D 2

⟺ 1 C \frac{p}{100} D \frac{2}{1,5}

⟺ \frac{p}{100} D \frac{4}{3} − 1

⟺ p D \frac{1}{3} × 100

⟺ p ≈ 33,33.

La deuxième augmentation doit être d’environ 33,33% pour que le prix double.

Problèmes indépendants — v. 1.0 9 juin 2025 — Chapitre 9 page 314 — #324

CORRIGÉS_{314}

4Problèmes indépendants_{Lycée Loquidy, Nantes} {Énoncé \atop p. 306}

1 On effectue le calcul suivant :

\frac{4 410}{5600} × 100 D 78,75.

Ainsi, les enfants représentent 78,75% des abonnés à cette médiathèque. 2 On effectue le calcul suivant :

\frac{96}{100} × \frac{52}{100} × 100 D 49,92.

Ainsi, le pourcentage d’intentions de vote pour le candidat sortant est 49,92%.

3 Le prix initial du jouet est 111 C 11 D 122 �.

\frac{11}{122} × 100 ≈ 9.

Le pourcentage d’évolution du prix du jouet est donc −9%.

4 Une hausse de 10% signifie que l’on multiplie par 1 C \frac{10}{100}, soit par 1,1 (premier coefficient multiplicateur). Une hausse de 20% signifie que l’on multiplie par 1,2 (second coefficient multiplicateur).

1,1 × 1,2 D 1,32.

Ce dernier résultat est le coefficient multiplicateur global. Il est supérieur à 1 donc il s’agit d’une augmentation (c’était plutôt évident dès le début ici). Le taux d’évolution global est donc égal à +32%.

5 Une baisse de 7% signifie que l’on multiplie par 1 − \frac{7}{100}, soit par 0,93 (premier coefficient multiplicateur). Une hausse de 7% signifie que l’on multiplie par 1,07 (second coefficient multiplicateur).

0,93 × 1,07 D 0,9951.

Ce dernier résultat est le coefficient multiplicateur global. Il est inférieur à 1 donc il s’agit d’une diminution.

▷0,9951 − 1◁ × 100 D −0,49.

Le taux d’évolution global est donc à peu près égal à −0,5% (arrondi à 0,1 près).

Tableau à compléter — v. 1.0 9 juin 2025 — Chapitre 9 page 315 — #325

INFORMATIONS CHIFFRÉES CHAP. 9_{315} CORRIGÉS INTERROS COURS

5Pourcentages de pourcentages_{Lycée Chaptal, Paris} {Énoncé \atop p. 306}

20% des filles (qui représentent 40% des élèves du collège) mangent à la cantine.

\underbrace{\frac{20}{100} × \frac{40}{100}}_{20% de 40%}×100 D 8.

Cela représente donc 8% des élèves du collège.

De plus, il y a 60% de garçons dans le collège, dont 35% mangent à la cantine.

\frac{35}{100} × \frac{60}{100} × 100 D 21.

Cela représente donc 21% des élèves du collège.

8 C 21 D 29.

Finalement, 29% des élèves du collège mangent à la cantine.

6Jeunes et tri sélectif_{Lycée Pierre Caraminot, Egletons} {Énoncé \atop p. 307}

1 On nous demande ici de calculer 15% de 80% :

\frac{15}{100} × \frac{80}{100} × 100 D 12%.

Il y a donc 12% de jeunes qui ont participé à un nettoyage de rivière. 2 Il y a 100 − 80 D 20% de jeunes ne faisant pas le tri sélectif.

\frac{20}{100} × 2 520 D 504.

Il y a donc 504 jeunes ne faisant pas le tri sélectif.

7Soldes sur les trottinettes_{Lycée Loquidy, Nantes} {Énoncé \atop p. 307}

1 Soit x le prix initial de la trottinette vendue 357 � après réduction de 30%. Alors :

( 1 − \frac{30}{100}) x D 357 ⟺ x D \frac{357}{0,7} D 510.

Le prix initial était donc de 510 �. 2 On a :

\frac{8,99 − 7,99}{7,99} × 100 ≈ 12,5%.

L’augmentation de l’abonnement est donc d’environ 12,5%.

Temps de trajet — v. 1.0 9 juin 2025 — Chapitre 9 page 316 — #326

CORRIGÉS_{316}

8Tableau à compléter_{Lycée Chaptal, Paris} {Énoncé \atop p. 307}

Voici le tableau complété :

Valeur initiale Évolution Coefficient multiplicateur

Valeur finale

415  Baisse de 6%  0,94  390,1

3 500 Hausse de 3,6% 1,036

3 626

44 Baisse de 7,5% 0,925

40,7

168 Hausse de 220% 3,2

537,6

9Coefficients multiplicateurs_{Lycée Jacques Amyot, Auxerre} {Énoncé \atop p. 307}

1 Une remise de 40% correspond à un coefficient multiplicateur de

1 − \frac{40}{100}, soit 0,6.

20% de remise correspond à un coefficient multiplicateur de 1 − \frac{20}{100}, soit 0,8.

2 Le coefficient multiplicateur global associé aux deux remises est :

0,6 × 0,8 D 0,48. Or, 0,48 D 1−0,52; donc l’évolution globale est une réduction de 52%.

3 Le coefficient multiplicateur réciproque de 0,48 est :

\frac{1}{0,48} ≈ 2,0833 D 1 C 1,0833 D 1 C \frac{108,33}{100}.

Les prix devraient alors augmenter d’environ 108,3% pour qu’ils reviennent aux prix initiaux.

10Cinq évolutions successives_{Lycée Alain, Le Vésinet} {Énoncé \atop p. 308}

Cinq augmentations de 6% chacune donne un coefficient multiplicateur global égal à :

( 1 C \frac{6}{100}) ^{5} ≈ 1,3382.

Or, une augmentation de 30% correspond à un coefficient multiplicateur égal à :

1 C \frac{30}{100} D 1,3.

Les deux coefficients multiplicateurs ne sont pas égaux; par conséquent, ils ne traduisent pas la même évolution. Le premier coefficient étant plus grand que le second, les cinq augmentations de 6% augmentent davantage les prix qu’une seule augmentation de 30%

Lait en poudre — v. 1.0 9 juin 2025 — Chapitre 9 page 317 — #327

INFORMATIONS CHIFFRÉES CHAP. 9_{317} CORRIGÉS INTERROS COURS

11Temps de trajet_{Lycée Brizeux, Quimper} {Énoncé \atop p. 308}

1

Durée en minutes

n_{i} (effectifs)

f_{i}

(fréquences) en %

Effectifs cumulés croissants

T5 I 10T  10  5  10
T10 I 15T  30  15  40
T15 I 20T  70  35  110
T20 I 25T  60  30  170
T25 I 30T  30  15  200

2 On calcule N xD ▷10 × 7,5 C ⋯C ⋯C 30 × 27,5◁/200 D 19,25, soit 19 min et 15 s. En assimilant chaque classe à son centre, on a pu faire une erreur de 2,5 min. sur chaque valeur, et donc également sur la moyenne (par linéarité de la moyenne). Une précision à la seconde près est donc un peu exagérée. Cependant, on peut espérer que les erreurs se compensent dans une certaine mesure, donc il est pertinent d’arrondir à 19 min.

3 En utilisant la valeur 19 pour la moyenne, on obtient σ ≈ 5,3. Ceci est cohérent avec la série, où on observe 130 valeurs entre 15 et 25 min. (environ deux tiers des valeurs).

12Lait en poudre_{Lycée Alphonse Daudet, Nîmes} {Énoncé \atop p. 309}

1 On obtient une moyenne d’environ 60,2 g. :

2 × 40 C 3 × 45 C 5 × 50 C 9 × 55 C 7 × 60 C 8 × 65 C 5 × 70 C 4 × 75 C 2 × 80

45 ≈ 60,2.

2

Consommation Effectifs Effectifs cumulés croissants Effectifs cumulés décroissants

40  2  2  45
45  3  5  43
50  5  10  40
55  9  19  35
60  7  26  26
65  8  34  19
70  5  39  11
75  4  43  6
80  2  45  2

Lancers de dé — v. 1.0 9 juin 2025 — Chapitre 9 page 318 — #328 CORRIGÉS_{318}

3 Comme il y a 45 bébés, on dépasse le premier quart au 12^{e} bébé et le troisième au 34^{e} bébé. D’après la colonne des effectifs croissants, q_{1} D 55 g (consommation du 12^{e} bébé) et q_{3} D 65 g, donc l’écart inter-quartile est de 10 g (la série est peu dispersée).

4 D’après les effectifs cumulés décroissants, 26 bébés consomment au moins 60 g de lait en poudre, soit :

\frac{26}{45} × 100 ≈ 58%.

5 D’après les effectifs cumulés croissants, 34 bébés consomment moins de 70 g de lait en poudre soit :

\frac{34}{45} × 100 ≈ 76%.

13Âge des élèves_{Lycée Jacques Monod, Clamart} {Énoncé \atop p. 309}

1 L’âge moyen est N xD 15,2 (donc 15 ans).

2 On dépasse 25% à partir de 15 ans et 75% à partir de 16 ans. L’écart inter-quartile est donc de 1 an. La calculatrice donne un écart-type de 0,89. Ces deux valeurs montrent que la série n’est pas très dispersée. Il fallait s’y attendre puisque la plupart des élèves ont des âges très proches dans une classe.

14Notes à un contrôle_{Lycée Montesquieu, Bordeaux} {Énoncé \atop p. 309}

On peut ranger les différentes notes dans un tableau d’effectifs (on a indiqué également les effectifs cumulés croissants) :

\begin{matrix}x_{i} & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 11 & 12 & 13 & 14 & 15 & 16 & 17 & 18 & 19 \\ n_{i} & 1 & 2 & 0 & 2 & 3 & 2 & 4 & 0 & 3 & 2 & 2 & 1 & 2 & 4 & 4 & 1 & 1 & 1 & 0 \\ s_{i} & 1 & 3 & 3 & 5 & 8 & 10 & 14 & 14 & 17 & 19 & 21 & 22 & 24 & 28 & 32 & 33 & 34 & 35 & 35 \end{matrix}

Les données étaient rangées dans un tableau de 7 colonnes et 5 lignes, donc l’effectif total est n D 35. On calcule la moyenne :

N xD \frac{n_{1}x_{1} C …}{n} ≈ 9,77.

Le premier quart est atteint à partir de la 9^{e} note, donc 6, et le troisième à partir de la 27^{e}, donc 14. On a donc le premier quartile q_{1} D 6, le troisième quartile q_{3} D 14, et l’écart inter-quartile est 8.

Série de masses — v. 1.0 9 juin 2025 — Chapitre 9 page 319 — #329 INFORMATIONS CHIFFRÉES CHAP. 9_{319} CORRIGÉS INTERROS COURS
15Lancers de dé_{Lycée Sacré-Cœur, Aix-en-Provence} {Énoncé \atop p. 310}

1 On calcule l’effectif total : N D 10 000. Le calcul des fréquences se borne donc à « ajouter » une virgule :

Résultats 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0 11 12
Effectifs 302 497 904 1 086 1 408 1 640 1 341 1 122 813 575 312
Fréquences 3,02 4,97 9,04 10,86 14,08 16,40 13,41 11,22 8,13 5,75 3,12

2 Avec la calculatrice, on obtient une moyenne de 7,0 et un écart-type de

2,4 3 On peut se contenter d’ajouter les fréquences, pour les résultats allant de

5 à 12. Essayons une autre méthode. La somme des 2 dés est strictement inférieure à 5 avec la fréquence :

3,02 C 4,97 C 9,04 D 17,03 %.

Elle est donc supérieure ou égale à 5 avec la fréquence :

100 − 17,03 D 82,97 %.

16Prix de la baguette_{Lycée Descartes, Tours} {Énoncé \atop p. 310}

1 L’effectif total est n D 20. Complétons le tableau et ajoutons la ligne

des effectifs cumulés croissants :

Prix (en centimes)  75 80  85  90  95
Effectifs  2  5  8  4  1
Fréquences  0,1 0,25 0,4 0,2 0,05
Fréquences cumulées 0,1 0,35 0,75 0,95 1,00

2 La moyenne est N xD 84,25 centimes. La précision des données est au centime près, on donne donc la moyenne au centime près également :

N x≈ 84 centimes.

3 On dépasse 0,25 en fréquences cumulées à partir de 80 c, et 0,75 à partir

de 85 c. L’écart inter-quartile est donc de 5 c. 4 Tout se passe comme si on avait dans notre nouvelle série deux sous-

groupes. Le premier est le sous-groupe des 20 premières boulangeries, de moyenne 84 c. Le second est le sous-groupe constitué par la seule nouvelle boulangerie, de moyenne 70 centimes. La moyenne finale est donc :

N XD \frac{20 × 84 C 1 × 70}{21} ≈ 83,3.

La moyenne a donc légèrement diminué.

Télévision — v. 1.0 9 juin 2025 — Chapitre 9 page 320 — #330 CORRIGÉS_{320}
17Série de masses_{Lycée Henri IV, Béziers} {Énoncé \atop p. 311}

1 Pour calculer la moyenne N x, on utilise la formule :

N xD f_{1}x_{1} C …

où x_{i} sont les valeurs et f_{i} leur fréquence. On a donc :

N xD 62 × 0,07 C 66 × 0,12 C 70 × 0,36 C 74 × 0,15
C 78 × 0,16 C 82 × 0,10 C 86 × 0,04
≈ 72,7 kg

Comme les valeurs de la série sont visiblement à 2 kg près, donner la moyenne avec une précision beaucoup plus grande est illusoire. Donnons la moyenne au kg près : 73 kg.

2 Pour les fréquences cumulées, on ajoute les fréquences au fur et à mesure des valeurs. Pensez à contrôler que la dernière fréquence cumulée est de 100% ; si ce n’est pas le cas ... vérifiez vos calculs!

Masses  62 66  70  74  78  82  86
Fréquences 7% 12% 36% 15% 16% 10%  4%

Fréquences cumulées 7% 19% 55% 70% 86% 96%

100%

3 La première fréquence cumulée supérieure ou égale à 25 % correspond à 70 kg. Celle où l’on dépasse 75 % correspond à 78 kg. Ces deux valeurs sont donc respectivement les premiers et troisième quartiles de la série, et l’écart inter-quartile est de 8 kg.

4 Le pourcentage de personnes pesant moins de 72 kg est justement la

fréquence cumulée croissante correspondant à 70 kg, soit 55 %. 5 Dans cette série, « au moins 80 kg » signifie 82 ou 86 kg, donc 14 % de

la population totale.

18Télévision_{Lycée Paul Lapie, Courbevoie} {Énoncé \atop p. 311}

1 Pour la classe de seconde : la moyenne est N x≈ 14,4.

Il y a 32 élèves en seconde. Les premiers et troisièmes quartiles correspondent donc à la 8^{e} valeur (10 h) et la 24^{e} (18 h). L’intervalle interquartile est donc de 8 h. Pour la classe de cinquième, on trouve une moyenne de N y≈ 19,1. Il y a 27 élèves en cinquième, on s’intéresse donc à la 7^{e} valeur (10 h) et la 21^{e} (30 h). On obtient donc un intervalle inter-quartile de 20 h.

Course à pied — v. 1.0 9 juin 2025 — Chapitre 9 page 321 — #331

INFORMATIONS CHIFFRÉES CHAP. 9_{321} CORRIGÉS INTERROS COURS

2 Si on regarde la seule moyenne, on voit que les élèves de cinquième regardent la télévision plus longtemps que leurs camarades de seconde. Néanmoins, la comparaison de la dispersion montre que les situations des élèves du collège sont beaucoup plus diverses : un élève ne la regarde pas du tout la télévision, l’un d’entre eux la regarde... 8 heures par jour! C’est ce petit nombre de « téléphages » qui tire la moyenne vers le haut.

3 Donnons le tableau des fréquences :

Temps (h)  2 6  7  8 9 10 11 14 15
Effectifs  1 2  1  1 2  5  1 1  4

Fréquences (%)

3,1 6,3 3,1 3,1 6,3 15,7 3,1 3,1

12,5

Temps (h)  16 17 18 20 21 22 23  24
Effectifs  1 1  4  3 1  1  2  1

Fréquences (%)

3,1 3,1 12,5 9,4 3,1 3,1 6,3

3,1

La somme des fréquences vaut 100 %. Si, pour des raisons d’arrondi, ce n’était pas le cas, l’habitude veut que l’on corrige les résultats en modifiant la fréquence maximale (ce que nous avons d’ailleurs fait). La fréquence cherchée est d’environ 41 %.

4 On connaît les moyennes de deux-sous groupes, la moyenne générale est donnée par :

N XD \frac{32 N xC 27 N y}{32 C 27}≈ 16,6.

19Notes d’un élève_{Lycée Camille Sée, Paris} {Énoncé \atop p. 312}

Pour avoir une moyenne de 10 sur 5 notes, il faut que le total des notes obtenu soit 50. Pour l’instant, l’élève a une moyenne de 9,5 sur 4 notes, soit un total de 4 × 9,5 D 38. Il lui faut donc obtenir 50 − 38 D 12 au prochain devoir pour obtenir 10 de moyenne.

20Course à pied_{Lycée Claude Bernard, Paris} {Énoncé \atop p. 312}

1 On calcule la moyenne pondérée :

m D \frac{15 × 12,32 C 10 × 11,48}{25} D 11,984.

11,984 est le résultat exact donné par la calculatrice. Pour formuler sa réponse, il faut également s’interroger sur la précision des mesures des temps de chaque coureur. Les moyennes sont données au centième près, il faut donc se contenter de ce niveau de précision. Une réponse plus raisonnable est donc : 11,98 s.

IL2M — v. 1.0 9 juin 2025 — Chapitre 9 page 322 — #332 CORRIGÉS_{322}

2 Pour connaître la variation, on calcule la moyenne pondérée des varia-

tions :

1 D \frac{15 × 0,21 C 10 × 0,13}{25} D 0,178.

Au centième près, on calcule donc une amélioration de 0,18 s de l’ensemble des performances.

3 La moyenne de l’ensemble des femmes (on la note F) est donnée par l’énoncé, compte tenu de l’amélioration de leurs performances :

F D 12,32 − 0,21 D 12,11 s.

N xla moyenne des femmes sélectionnées et N ycelle des autres femmes. La moyenne du groupe féminin est la moyenne pondérée de N xet N y, d’où l’équation :

F D \frac{10 N xC 5 N y}{15}

⟺ 15 × F D 10 N xC 5 N y

⟺ \frac{15 × F − 10 N x}{5} D N y.

Comme N xD 11,97 et F D 12,11, il vient : N yD 12,39.

Probabilités

Plan du chapitre

1. Expérience aléatoire

2. Loi de probabilité

3. Probabilité d’un événement

On tire une carte au hasard dans un jeu de 32 cartes. On suppose qu’il y a équiprobabilité. 1 Quelle est la probabilité d’obtenir un as?

2 La carte obtenue est un as. On le remet dans le paquet, on mélange et on tire de nouveau une carte. Quelle est la probabilité d’obtenir encore un as?

3 On a encore obtenu un as! On ne le remet pas dans le paquet et on tire une nouvelle carte. Quelle est la probabilité d’obtenir encore un as?

Exercice type

Lycée Montaigne, Paris

Voir corrigé page 325

1 Expérience aléatoire

Une expérience aléatoire est une expérience (concrète ou abstraite), dont le résultat (appelé issue) n’est pas déterminé à l’avance. Par exemple, le jeu de pile ou face, un lancer de dé, la distribution de cartes à jouer sont des expériences aléatoires.

L’univers est l’ensemble des issues de l’expérience. On le note souvent . Par exemple, si on lance un dé à 6 faces, l’ensemble des issues est :

D {1I 2I 3I 4I 5I 6}.

Un événement regroupe une ou plusieurs issues de l’expérience. C’est un sousensemble de . Il est décrit par une propriété, par ex. A D « le résultat est pair », ou tout simplement par ses éléments : A D {2I 4I 6}.

On considère deux événements A et B.

A ∪ B (lu : « A ou B ») est l’événement qui contient toutes les issues de l’événement A et toutes celles de B.

IL2M — v. 1.0 9 juin 2025 — Chapitre 10 page 324 — #334 COURS_{324}

A ∩ B (lu : « A et B ») est l’événement qui contient les issues communes à A et B. Deux événements sont incompatibles s’ils ne comportent aucune issue commune (par exemple : « le résultat est 2 » et « le résultat est impair »).

N Aest l’événement contraire de A. Il contient exactement toutes les issues qui ne sont pas dans A. En particulier, A et N Asont incompatibles.

\overline{A ∪ B} est le contraire de « A ou B »; c’est donc le contraire de A et le contraire de B :

\overline{A ∪ B} D \overline{A} ∩ \overline{B}.

De même,

\overline{A ∩ B} D \overline{A} ∪ \overline{B}.

2 Loi de probabilité

Soit un univers D {x_{1} I x_{2} I … I x_{n}} contenant n issues. Une loi de probabilité sur est la donnée de n nombres p_{i} associés à chaque valeur x_{i}, pour 1 ⩽ i ⩽ n, avec :

p_{i} ⩾ 0 et p_{1} C p_{2} C ⋯C p_{n} D 1.

On peut donner une loi de probabilité sous la forme d’un tableau :

Valeurs x_{i}  x_{1} x_{2} x_{3} ⋯ x_{n}
Probabilités p_{i} p_{1} p_{2} p_{3} ⋯ p_{n}

Dans le cas où p_{1} D p_{2} D ⋯D p_{n}, on dit que les issues sont équiprobables et

dans ce cas, p_{i} D \frac{1}{n} pour 1 ⩽ i ⩽ n.

Cette situation est souvent indiquée dans l’énoncé par des expressions comme « on choisit au hasard », « le dé n’est pas truqué », etc.

3 Probabilité d’un événement

Si A D {x_{i_{1}},x_{i_{2}}, …,x_{i_{k}}} est un événement, la probabilité de l’événement A est, par définition : P ▷A◁ D p_{i_{1}} C ⋯C p_{i_{k}}.

Dans le cas d’issues équiprobables, tous les p_{i} étant égaux à \frac{1}{n}, on a donc :

P ▷A◁ D \frac{k}{n} D \frac{nombre d’éléments de A}{nombre d’éléments de}.

Il existe deux cas particuliers :

l’événement certain regroupe tous les événements élémentaires. On a donc :

P ▷ ◁ D 1.

IL2M — v. 1.0 9 juin 2025 — Chapitre 10 page 325 — #335 PROBABILITÉS CHAP. 10_{325} CORRIGÉS INTERROS COURS

l’événement impossible ∅ ne contient aucun événement élémentaire. On a donc :

P ▷∅◁ D 0.

En faisant P ▷A◁ C P ▷B◁, on compte deux fois la probabilité des événements élémentaires communs à A et B. On en déduit la formule :

P ▷A◁ C P ▷B◁ D P ▷A ∪ B◁ C P ▷A ∩ B◁.

En particulier :

si A et B sont incompatibles, on a A∩B D ∅, donc P ▷A∪B◁ D P ▷A◁CP ▷B◁;

comme A ∪ N AD , on a : P ▷A◁ C P ▷ N A◁ D 1.

1 Il y a 32 cartes dans le jeu (32 issues possibles), dont 4 as (4 issues

favorables). La probabilité d’obtenir un as est donc \frac{4}{32} D \frac{1}{8}.

2 Comme on remet la carte dans le paquet, le second tirage s’effectue dans les mêmes conditions que le précédent, et la probabilité d’obtenir

un second as est encore de \frac{1}{8}.

3 Cette fois, au moment du second tirage, le paquet contient 31 cartes (31 issues possibles) et seulement 3 as (3 issues favorables) car on n’a pas remis la carte dans le paquet. La probabilité d’obtenir un as est cette

fois : \frac{3}{31}.

Solution de l’exercice type

Lycée Montaigne, Paris Voir énoncé page 323

IL2M — v. 1.0 9 juin 2025 — Chapitre 10 page 326 — #336 INTERROS_{326}
1_{V/F} Jeu de cartes Corrigé p. 332 5 min

Un jeu de 52 cartes contient 4 couleurs : pique, cœur, carreau, trèfle ; chaque couleur possède 13 cartes : as, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, valet, dame et roi.

On tire au hasard une carte et on suppose qu’il y a équiprobabilité.

Les propositions suivantes sont-elles vraies ou fausses?

a La probabilité de tirer l’as de pique est de \frac{1}{52}.

b La probabilité de tirer un as est de \frac{1}{4}.

c La probabilité de tirer un roi ou une reine est de \frac{2}{13}.

2Cartes_{Lycée Marie Curie, Sceaux} Corrigé ; p. 332 ; 10 min ; ⋆

On dispose d’un jeu de 52 cartes. On tire une carte au hasard. On suppose qu’il y a équiprobabilité. On note A l’événement « la carte est un as » et P l’événement « la carte est un pique ».

1 Quelle est la probabilité de A? De P ?

2 Décrire l’événement A ∩ P et donner sa probabilité.

3 Décrire l’événement A ∪ P et donner sa probabilité.

4 Quelle est la probabilité que la carte obtenue ne soit pas un as?

3Jeu de dés_{Lycée Edgar Quinet, Paris} Corrigé ; p. 333 ; 15 min ; ⋆

Les faces d’un dé sont numérotées de 1 à 6. On jette ce dé deux fois de suite et on forme un nombre à 2 chiffres, celui des dizaines étant le chiffre obtenu au premier jet, celui des unités étant celui obtenu au second jet.

1 Reproduire et compléter le tableau page ci-contre, afin d’écrire tous les résultats possibles.

Quelle est la probabilité de chaque résultat?

2 Calculer : la probabilité p_{1} que le résultat soit un multiple de 5, la probabilité p_{2} qu’il soit pair, la probabilité p_{3} qu’il soit supérieur à 30.

IL2M — v. 1.0 9 juin 2025 — Chapitre 10 page 327 — #337 PROBABILITÉS CHAP. 10_{327} CORRIGÉS INTERROS COURS
1 2 3 4 5 6
1 11 12 13
2 21
3 32

4 5 6

4Des urnes_{Lycée La Folie Saint James, Neuilly-sur-Seine} Corrigé ; p. 333 ; 15 min ; ⋆

Une urne contient 100 boules numérotées 00, 01, 02,..., 99. On tire au hasard une boule et on lit le numéro obtenu. On considère les événements A : « Le numéro obtenu contient au moins un 0 » et B : « Le numéro obtenu contient au moins un 9 ».

1 Déterminer la probabilité des événements A et B.

2 Déterminer la probabilité de l’événement A ∩ B.

3 Déterminer la probabilité de l’événement A ∪ B.

5À la sortie du spectacle_{Lycée Chaptal, Paris} Corrigé ; p. 334 ; 15 min ; ⋆

À la sortie d’un spectacle, on demande à une personne adulte, qui est une femme ou un homme, choisie au hasard si elle a aimé ou non le spectacle. On considère les événements suivants :

F : « La personne est une femme »;

O : « La personne répond oui ».

1 Énoncer par des phrases les événements suivants : F ∩ O, \overline{F}, \overline{F ∪ O} et

\overline{F ∩ O}. 2 On donne :

p▷F ◁ D 0,65 I p▷O◁ D 0,9 I p▷F ∪ O◁ D 0,94.

Calculer les probabilités des événements de la question précédente.

6Groupes sanguins_{Lycée Fernand Daguin, Mérignac} Corrigé ; p. 334 ; 10 min ; ⋆ ; ⋆

La répartitions des groupes sanguins dans la population française est présentée dans le tableau suivant :

IL2M — v. 1.0 9 juin 2025 — Chapitre 10 page 328 — #338 INTERROS_{328}

Groupe sanguin

O A B AB Total
Rh+ 37% 39% 7% 2%
Rh- 6%  6% 2% 1%
Total  100%

rhésus

L’expérience aléatoire consiste à choisir au hasard une personne dans cette population. On assimile les probabilités aux fréquences observées. 1 Quel est l’univers de cette expérience aléatoire?

2 Quelle est la probabilité de chacun des événements suivants : (a) A : « la personne est du groupe A »

(b) Rh+ : « la personne a un rhésus positif »

(c) AB- : « la personne est du groupe AB rhésus négatif » 3 La personne que l’on a choisie est rhésus négatif. Quelle est la probabi-

lité qu’elle soit du groupe AB?

7La cible_{Lycée Chaptal, Paris} Corrigé ; p. 335 ; 10 min ; ⋆ ; ⋆

Une cible est constituée de trois cercles concentriques de rayons respectifs 10 cm, 20 cm et 30 cm. Un tireur à l’arc vise la cible avec des flèches et l’atteint à chaque fois! La probabilité d’atteindre chaque zone est proportionnelle à l’aire de la zone.

Calculer la probabilité d’atteindre :

1 la zone au centre;

2 la zone du milieu;

3 la zone extérieure.

IL2M — v. 1.0 9 juin 2025 — Chapitre 10 page 329 — #339 PROBABILITÉS CHAP. 10_{329} CORRIGÉS INTERROS COURS
8Feu tricolore_{Lycée Jacques Amyot, Auxerre} Corrigé ; p. 335 ; 10 min ; ⋆ ; ⋆

Pour se rendre à son travail, un automobiliste rencontre trois feux tricolores. On suppose que les feux fonctionnent de manière indépendante, que l’automobiliste s’arrête s’il voit le feu orange ou rouge et qu’il passe si le feu est vert. On suppose de plus que chaque feu est vert durant un temps égal à rouge et orange (autrement dit, l’automobiliste à autant de chance de passer que de s’arrêter). 1 Faire un arbre représentant toutes les situations possibles. 2 Quelle est la probabilité que l’automobiliste ait :

(a) les trois feux verts?

(b) deux des trois feux verts?

9Probabilités et proportions_{Lycée Chaptal, Paris} Corrigé ; p. 336 ; 15 min ; ⋆ ; ⋆

Parmi les 120 adhérents que compte le club de sport de Quentin, 42 pratiquent le tennis, 67,5% jouent au foot et 24 personnes pratiquent les deux activités. On note :

T : « l’adhérent joue au tennis. »

F : « l’adhérent joue au foot. » On donnera toutes les proportions en pourcentages. 1 Décrire par une phrase ce que représente T ∪ \overline{F}. 2 Calculer le nombre de joueurs de foot. 3 Calculer p▷T ◁, p(\overline{T}) et p▷T ∩ F ◁. 4 Calculer la proportion d’adhérents qui jouent au tennis ou au foot. 5 Calculer la proportion d’adhérents ne jouant ni au tennis, ni au foot. 6 Avec l’ouverture de nouvelles activités, le nombre d’adhérents au club

augmente de 13% tous les ans.

Combien y aura-t-il d’adhérents dans 3 ans? (arrondir à l’unité)

10Le jeu de Luc_{Lycée Chaptal, Paris} Corrigé ; p. 337 ; 15 min ; ⋆ ; ⋆

Luc participe à un jeu de dés dont les règles sont les suivantes : on lance 2 dés cubiques non truqués et on additionne les numéros des faces supérieures.

Si la somme obtenue est impaire, Luc gagne 1 �.

Si la somme obtenue est un multiple de 3, Luc gagne 3 �.

IL2M — v. 1.0 9 juin 2025 — Chapitre 10 page 330 — #340 INTERROS_{330}

Si la somme obtenue est supérieure ou égale à 10, Luc gagne 6 �.

Si aucune des conditions précédentes n’est vérifiée, Luc perd 4 �.

Si plusieurs de ces conditions sont vérifiées, les gains se cumulent.

1 Construire un tableau à double entrée indiquant les gains ou les pertes

de Luc. 2 Quelle est la probabilité que Luc remporte une somme supérieure ou

égale à 4 �?

11Jetons_{Lycée Charlemagne, Paris} Corrigé ; p. 338 ; 15 min ; ⋆ ; ⋆

Une urne contient 4 jetons numérotés de 1 à 4. On tire au hasard un jeton dans l’urne, on note son numéro, on le remet dans l’urne, on tire à nouveau au hasard un jeton dans l’urne et on note son numéro. On forme ainsi une suite ▷J_{1},J_{2}◁ de 2 numéros. Attention, la suite ▷2,1◁, par exemple, est différente de la suite ▷1,2◁.

1 Justifier brièvement que la probabilité de chaque issue est égale à \frac{1}{16}.

2 Soit A l’événement : « J_{1} < J_{2} ». Soit B l’événement : « J_{1} C J_{2} D 4 ».

(a) Écrire les événements A et B comme des ensembles.

(b) Déterminer P ▷A◁, P ▷B◁, P ▷A ∩ B◁, P ▷A ∩ N B◁.

(c) En déduire P ▷ N A◁, P ▷A ∪ B◁, P ▷A ∪ N B◁. 3 Soit E l’événement : « J_{1} et J_{2} sont impairs » et F l’événement :

« J_{1} C J_{2} est impair ». Déterminer P ▷E◁, P ▷F ◁, P ▷E ∩ F ◁, P ▷E ∪ F ◁.

12Au supermarché_{Lycée Marie Curie, Versailles} Corrigé ; p. 339 ; 15 min ; ⋆ ; ⋆

Retrouvez le corrigé de cet exercice en vidéo.

Un supermarché de quartier est ouvert de 9h à 19h. Le gérant a mesuré que la première caisse est occupée 5 h par jour (événement A) et la seconde, 6 heures sur dix (événement B). Les deux sont occupées simultanément 3 h par jour.

1 Donner les probabilités des événements A, B et A ∩ B.

2 Quelle est la probabilité que la seconde caisse soit libre?

3 Quelle est la probabilité qu’au moins une des caisses soit libre?

4 Quelle est la probabilité que les deux caisses soient libres?

IL2M — v. 1.0 9 juin 2025 — Chapitre 10 page 331 — #341 PROBABILITÉS CHAP. 10_{331} CORRIGÉS INTERROS COURS
13Tirages dans un jeu de cartes_{Lycée Charlemagne, Paris} Corrigé ; p. 339 ; 20 min ; ⋆ ; ⋆

Un jeu de 32 cartes contient les cartes 7, 8, 9, 10, Valet, Dame, Roi, As dans les quatre couleurs trèfle, carreau, cœur, pique. Les figures sont les Valets, Dames et Rois. On tire au hasard une carte en supposant qu’il y ait équiprobabilité. Soit C l’événement « tirer un cœur » et H l’événement « tirer une figure ». 1 Définir par une phrase les événements N C, C ∩ H, C ∪ H, C ∩ N H. 2 Calculer la probabilité des événements C, N C, H, N H, C ∩ H, C ∪ H et

C ∩ N H. 3 Écrire C ∩ N Hsous la forme d’un ensemble.

Cartes — v. 1.0 9 juin 2025 — Chapitre 10 page 332 — #342 CORRIGÉS_{332}
1_{V/F} Jeu de cartes {Énoncé \atop p. 326}

a Vrai. Si le jeu n’est pas truqué, le tirage de chaque carte est équiprobable, or le jeu contient 52 cartes, donc la probabilité de tirer une carte particulière est \frac{1}{52}.

b Faux. Il y a 4 as. L’événement « tirer un as » contient les 4 événements élémentaires « tirer l’as de pique », « tirer l’as de cœur », « tirer l’as de trèfle », « tirer l’as de carreau ». La probabilité de tirer un as est donc

4 × \frac{1}{52} D \frac{1}{13}.

c Vrai. Comme dans la question précédente, la probabilité de tirer un roi est de \frac{1}{13}, celle de tirer une reine est de \frac{1}{13}. Comme ces deux événements sont disjoints (incompatibles), leur réunion a pour probabilité

\frac{1}{13} C \frac{1}{13} D \frac{2}{13}.

2Cartes_{Lycée Marie Curie, Sceaux} {Énoncé \atop p. 326}

1 Il y a 4 as dans le jeu, donc 4 issues favorables. Le jeu contient 52 cartes, donc 52 issues possibles. L’événement A a donc pour probabilité la valeur suivante : 4 × \frac{1}{52} D \frac{1}{13}. Chaque couleur ayant le même nombre de cartes, on peut considérer que le tirage de chaque couleur est équiprobable. Il y a 4 couleurs, donc la probabilité de tirer un pique est \frac{1}{4}.

2 L’événement A ∩ P est « la carte est l’as de pique ». Une seule issue favorables pour 52 possibles, donc la probabilité de cet événement est

\frac{1}{52}.

3 A∪B signifie « la carte est un as ou un pique ». Il y a 13 piques, auxquels on ajoute les 3 autres as, donc 16 issues favorables, pour 52 possibles,

donc : P ▷A ∪ P ◁ D \frac{16}{52} D \frac{4}{13}.

On peut également appliquer directement la formule du cours :

P ▷A ∪ P ◁ D P ▷A◁ C P ▷P ◁ − P ▷A ∩ P ◁ D \frac{1}{13} C \frac{1}{4} − \frac{1}{52} D \frac{4}{13}.

4 Il s’agit de l’événement contraire N Adont la probabilité est :

P ▷ N A◁ D 1 − P ▷A◁ D \frac{12}{13}.

Des urnes — v. 1.0 9 juin 2025 — Chapitre 10 page 333 — #343 PROBABILITÉS CHAP. 10_{333} CORRIGÉS INTERROS COURS
3Jeu de dés_{Lycée Edgar Quinet, Paris} {Énoncé \atop p. 326}

1 On complète le tableau :

1 2 3 4 5 6
1 11 12 13 14 15 16
2 21 22 23 24 25 26
3 31 32 33 34 35 36
4 41 42 43 44 45 46
5 51 52 53 54 55 56
6 61 62 63 64 65 66

Si les dés ne sont pas pipés, les 6 valeurs sont équiprobables pour les deux chiffres, donc chaque résultat est équiprobable. On dénombre

6 × 6 D 36 résultats, qui ont donc tous une probabilité de \frac{1}{36}.

2 Le résultat est un multiple de 5 si et seulement si le deuxième jet donne

5, ce qui arrive avec la probabilité p_{1} D \frac{1}{6}.

Le résultat est pair si et seulement si le deuxième jet donne 2, 4, ou 6,

ce qui est la moitié des cas possibles, donc p_{2} D \frac{1}{2}.

Le résultat est supérieur à 30 si et seulement si le premier jet donne 3,

4, 5 ou 6, soit deux tiers des cas possibles, d’où p_{3} D \frac{2}{3}.

4Des urnes_{Lycée La Folie Saint James, Neuilly-sur-Seine} {Énoncé \atop p. 327}

1 On dénombre 100 issues possibles (les 100 numéros). 10 numéros commencent par 0, 10 numéros se terminent par 0. Attention à ne pas compter deux fois 00, qui relève des deux cas. Il y a donc 19 cas favorables. La probabilité de A est donc P ▷A◁ D 0,19. De même, 19 numéros contiennent au moins un 9, donc P ▷B◁ D 0,19.

2 On cherche les numéros qui contiennent au moins un 0 et au moins un 9. Comme les numéros ont deux chiffres, il y a donc deux issues favo-

rables : 09 et 90. On en déduit : P ▷A ∩ B◁ D \frac{2}{100} D 0,02.

3 P ▷A ∪ B◁ D P ▷A◁ C P ▷B◁ − P ▷A ∩ B◁ D 0,36.

La cible — v. 1.0 9 juin 2025 — Chapitre 10 page 334 — #344 CORRIGÉS_{334}
5À la sortie du spectacle_{Lycée Chaptal, Paris} {Énoncé \atop p. 327}

1 F ∩ O : « La personne est une femme qui répond oui ».

\overline{F} : « La personne n’est pas une femme » donc : « La personne est un homme » (car ici, il n’y a que deux genres possibles d’après l’énoncé).

\overline{F ∪ O} : commençons par décrire F ∪O : « La personne est une femme ou répond oui ». Le contraire de cet événement est : « La personne n’est pas une femme et répond non. ». Ainsi, \overline{F ∪ O} : « La personne est un homme qui dit non ».

On cherche le contraire de « La personne est une femme qui répond oui ». Donc : \overline{F ∩ O} : « La personne est un homme ou répond non ».

2 p▷F ∩ O◁ D p▷F ◁ C p▷O◁ − p▷F ∪ O◁ D 0,65 C 0,9 − 0,94 D 0,61.

p(\overline{F}) D 1 − p▷F ◁ D 1 − 0,65 D 0,35.

p(\overline{F ∪ O} ) D 1 − p▷F ∪ O◁ D 1 − 0,94 D 0,06.

p(\overline{F ∩ O} ) D 1 − p▷F ∩ O◁ D 1 − 0,61 D 0,39.

6Groupes sanguins_{Lycée Fernand Daguin, Mérignac} {Énoncé \atop p. 327}

Complétons avant tout le tableau :

Groupe sanguin

O A B AB Total
Rh+ 37% 39% 7% 2% 85%
Rh- 6%  6% 2% 1% 15%
Total  43 45% 9% 3% 100%

rhésus

1 L’univers de l’expérience est la population française.

2 (a) Il y a 45% de personnes qui ont un groupe sanguin A, donc

P ▷A◁ D 0,45.

(b) Il y a 85% de personnes ayant un rhésus positif, donc P ▷RhC◁ D 0,85.

(c) Il y a 1% de personnes ayant un groupe sanguin AB avec un rhésus

négatif, donc P ▷AB−◁ D 0,01. 3 Ici, l’univers change : c’est désormais l’ensemble des personnes ayant

un rhésus négatif. Il y a 1% de personnes du groupe AB sur les 15%,

donc la probabilité demandée est égale à \frac{1}{15}.

Feu tricolore — v. 1.0 9 juin 2025 — Chapitre 10 page 335 — #345 PROBABILITÉS CHAP. 10_{335} CORRIGÉS INTERROS COURS
7La cible_{Lycée Chaptal, Paris} {Énoncé \atop p. 328}

La probabilité d’atteindre n’importe quelle zone est proportionnelle à l’aire de la cible entière. Il nous faut donc avant tout déterminer cette dernière :

A_{cible} D π × 30^{2} D 900π cm^{2}.

1 L’aire de la zone centrale est :

A_{centre} D π × 10^{2} D 100π cm^{2}.

La probabilité d’atteindre la zone centrale est donc :

p_{1} D \frac{100π}{900π} D \frac{1}{9}.

2 L’aire de la zone du milieu est :

A_{milieu} D π × 20^{2} − A_{centre} D 400π − 100π D 300π cm^{2}.

La probabilité d’atteindre la zone du milieu est donc :

p_{2} D \frac{300π}{900π} D \frac{1}{3}.

3 L’aire de la zone extérieure est :

A_{extérieure} D A_{cible} − ▷A_{milieu} C A_{centre}◁ D 900π − 400π D 500π.

La probabilité d’atteindre la zone extérieure est donc :

p_{3} D \frac{500π}{900π} D \frac{5}{9}.

Remarques

On vérifie que la somme des probabilités est bien égale à 1 :

\frac{1}{9} C \frac{1}{3} C \frac{5}{9} D \frac{1}{9} C \frac{3}{9} C \frac{5}{9} D \frac{9}{9} D 1.

Pour trouver p_{3}, on aurait aussi pu faire :

p_{3} D 1 − ▷p_{1} C p_{2}◁.

8Feu tricolore_{Lycée Jacques Amyot, Auxerre} {Énoncé \atop p. 329}

1 On note V l’événement « le feu est vert » et \overline{V} son événement contraire. L’arbre représentant toutes les situations possibles est donné page cicontre.

2 (a) Nous sommes en situation d’équiprobabilité donc la probabilité

qu’il rencontre trois feux verts est \frac{1}{8} car une seule issue sur 8 réalise cet événement.

Probabilités et proportions — v. 1.0 9 juin 2025 — Chapitre 10 page 336 — #346

CORRIGÉS_{336}

(b) D’après l’arbre, dans 3 cas sur 8, deux des feux sont verts donc la probabilité cherchée est \frac{3}{8}.

9Probabilités et proportions_{Lycée Chaptal, Paris} {Énoncé \atop p. 329}

1 T ∪ \overline{F} est l’événement : « l’adhérent joue au tennis ou ne joue pas au

foot ». 2 67,5% des 120 adhérents jouent au foot, ce qui représente :

\frac{67,5}{100} × 120 D 81 adhérents.

3 42 adhérents pratiquent le tennis sur les 120 que compte le club. Donc :

P ▷T ◁ D \frac{42}{120} D \frac{7}{20}.

D’après la formule du cours,

p(\overline{T}) D 1 − p▷T ◁ D 1 − \frac{7}{20} D \frac{13}{20}.

24 personnes pratiquent les deux activités, donc :

P ▷T ∩ F ◁ D \frac{24}{120} D \frac{1}{5}.

Le jeu de Luc — v. 1.0 9 juin 2025 — Chapitre 10 page 337 — #347

PROBABILITÉS CHAP. 10_{337} CORRIGÉS INTERROS COURS

4 D’après la formule du cours,

P ▷T ∪ F ◁D P ▷T ◁ C P ▷F ◁ − P ▷T ∩ F ◁

D \frac{7}{20} C \frac{67,5}{100} − \frac{1}{5}

D 0,825.

Ainsi, la proportion d’adhérents qui jouent au tennis ou au foot est 82,5%,

ou encore \frac{33}{40}.

5 Nous avons :

p(\overline{F} ∩ \overline{T}) D p(\overline{F}) C p(\overline{T}) − p(\overline{F} ∪ \overline{T})

D [1 − p▷F ◁] C [1 − p▷T ◁] − p(\overline{F ∩ T})

D ( 1 − \frac{67,5}{100}) C ( 1 − \frac{7}{20}) − ( 1 − \frac{1}{5})

D 0,175.

Par conséquent, la proportion d’adhérents ne jouant ni au tennis, ni au

foot est 17,5%, soit \frac{7}{40}.

6 Une augmentation de 13% se traduit par un coefficient multiplicateur de :

1 C \frac{13}{100} D 1,13.

Ainsi, après trois augmentations successives de 13%, le nombre d’adhérents sera :

120 × 1,13^{3} ≈ 173.

10Le jeu de Luc_{Lycée Chaptal, Paris} {Énoncé \atop p. 329}

1 Pour construire le tableau à double entrée, il nous faut déterminer les entrées! On lance deux dés cubiques, donc les entrées sont les faces des dés : les nombres entiers de 1 à 6. On a alors le tableau suivant :

\begin{matrix}Dé 2 Dé 1 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ 1 & −4 & 4 & −4 & 1 & 3 & 1 \\ 2 & 4 & −4 & 1 & 3 & 1 & −4 \\ 3 & −4 & 1 & 3 & 1 & −4 & 4 \\ 4 & 1 & 3 & 1 & −4 & 4 & 10 \\ 5 & 3 & 1 & −4 & 4 & 10 & 11 \\ 6 & 1 & −4 & 4 & 10 & 11 & 13 \end{matrix}

Jetons — v. 1.0 9 juin 2025 — Chapitre 10 page 338 — #348 CORRIGÉS_{338}

MÉTHODE

Il est ici nécessaire d’être organisé dans sa façon de penser. On peut, dans un premier temps, construire la table d’addition des deux faces :

Dé 2 Dé 1 1 2 3 4 5 6
1  2 3 4 5 6 7
2  3 4 5 6 7 8
3  4 5 6 7 8 9
4  5 6 7 8 9 10
5  6 7 8 9 10 11
6  7 8 9 10 11 12

et ensuite analyser les résultats un à un pour vérifier s’ils sont impairs, multiples de 3, supérieurs ou égaux à 10. Par exemple, pour « 2 », il n’est ni impair, ni multiple de 3, ni supérieur ou égal à 10, donc le gain est −4.

2 On compte combien d’événements correspondent au fait que le gain est supérieur ou égal à 4 �; il y en a 12.

Ainsi, la probabilité que la somme soit supérieure ou égale à 4 � est \frac{12}{36},

soit \frac{1}{3}, car il y a en tout 36 issues (même si certaines sont identiques).

11Jetons_{Lycée Charlemagne, Paris} {Énoncé \atop p. 330}

1 Une issue est une suite ▷J_{1},J_{2}◁. Il y a donc 4 possibilités pour J_{1}, et pour chaque valeur de J_{1}, 4 possibilités pour J_{2}, soit 16 issues possibles, l’expression « au hasard » signifiant, sauf mention contraire, que les valeurs possibles pour J_{1} ou J_{2} sont équiprobables, les issues ▷J_{1},J_{2}◁ le sont

également, donc la probabilité de chaque issue est \frac{1}{16}.

2 (a) A D {▷1,2◁,▷1,3◁,▷1,4◁,▷2,3◁,▷2,4◁,▷3,4◁}

et B D {▷1,3◁,▷2,2◁,▷3,1◁}.

(b) L’événement A contient 6 issues favorables, donc nous avons

P ▷A◁ D \frac{6}{16} D \frac{3}{8}.

L’événement B contient 3 issues favorables, donc P ▷B◁ D \frac{3}{16}. ▷1,3◁ est la seule issue commune aux deux événements, donc nous

avons P ▷A ∩ B◁ D \frac{1}{16}.

Tirages dans un jeu de cartes — v. 1.0 9 juin 2025 — Chapitre 10 page 339 — #349

PROBABILITÉS CHAP. 10_{339} CORRIGÉS INTERROS COURS

A ∩ N Bcontient toutes les issues de A qui ne sont pas dans B, donc

5 issues favorables, d’où P ▷A ∩ N B◁ D \frac{5}{16}.

(c) P ▷ N A◁ D 1 − P ▷A◁ D \frac{5}{8} (événement contraire), et nous avons

P ▷A ∪ B◁ D \frac{8}{16} D \frac{1}{2} (8 issues favorables distinctes au total),

P ▷A ∪ N B◁ D \frac{14}{16} D \frac{7}{8}.

3 On peut expliciter E D {▷1,1◁,▷1,3◁,▷3,1◁,▷3,3◁} et F D {▷1,2◁,▷1,4◁,▷2,1◁,▷2,3◁,▷3,2◁,▷3,4◁,▷4,1◁,▷4,3◁}. On en déduit

facilement : P ▷E◁ D \frac{4}{16} D \frac{1}{4}, P ▷F ◁ D \frac{8}{16} D \frac{1}{2}, nous avons aussi P ▷E∩F ◁ D 0 (la somme de deux nombres impairs est paire), et l’égalité

suivante P ▷E ∪ F ◁ D P ▷E◁ C P ▷F ◁ D \frac{3}{4} (événements incompatibles).

12Au supermarché_{Lycée Marie Curie, Versailles} {Énoncé \atop p. 330}

1 Il s’agit d’une simple traduction de l’énoncé. On obtient P ▷A◁ D 0,5 ; P ▷B◁ D 0,6 et P ▷A ∩ B◁ D 0,3 car A ∩ B est l’événement : « les deux caisses sont occupées ».

2 « La seconde caisse est libre » est N B, l’événement contraire de B. Or

P ▷ N B◁ D 1 − P ▷B◁ D 0,4. 3 « Au moins une des deux caisses est libre » est l’événement contraire de

A ∩ B. On calcule P ▷\overline{A ∩ B}◁ D 1 − P ▷A ∩ B◁ D 0,7. 4 Considérons l’événement contraire, c’est-à-dire : « au moins une caisse

est occupée ». Il s’agit de A ∪ B. On a :

P ▷A◁ C P ▷B◁ D P ▷A ∩ B◁ C P ▷A ∪ B◁

donc P ▷A ∪ B◁ D P ▷A◁ C P ▷B◁ − P ▷A ∩ B◁. L’événement cherché, \overline{A ∪ B}, a pour probabilité :

P ▷\overline{A ∪ B}◁ D 1 − P ▷A ∪ B◁.

On en déduit que P ▷\overline{A ∪ B}◁ D 1 − P ▷A◁ − P ▷B◁ C P ▷A ∩ B◁, et donc P ▷\overline{A ∪ B}◁ D 1 − 0,5 − 0,6 C 0,3 D 0,2.

13Tirages dans un jeu de cartes_{Lycée Charlemagne, Paris} {Énoncé \atop p. 331}

1 N Cest l’événement « tirer une autre couleur que cœur ».

C ∩ H est l’événement « tirer une figure de cœur ». C ∪ H est l’événement « tirer une figure ou un cœur ». C ∩ N Hest l’événement « tirer un cœur qui n’est pas une figure ».

IL2M — v. 1.0 9 juin 2025 — Chapitre 10 page 340 — #350 CORRIGÉS_{340}

2 Il y a 32 cartes, donc 32 cas possibles. Il suffit de dénombrer pour chaque événement les cas favorables : P ▷C◁ D \frac{1}{4} car un quart des cartes sont des cœurs.

P ▷ N C◁ D 1 − \frac{1}{4} D \frac{3}{4} (événement contraire)

P ▷H◁ D \frac{3}{8} car pour chaque couleur, on dénombre 3 figures sur 8 cartes. P ▷ N H◁ D 1 − \frac{3}{8} D \frac{5}{8} (événement contraire)

P ▷C ∩ H◁ D \frac{3}{32} (trois figures cœurs, donc 3 cas favorables sur 32

cartes possibles). Si vous avez répondu \frac{3}{8}, c’est que vous avez oublié que la carte prise au hasard n’a pas de raison d’être un cœur.

P ▷C ∪ H◁ D \frac{8 C 3 × 3}{32} D \frac{17}{32} (huit cœurs, et trois figures dans les trois autres couleurs, soit 17 cas favorables sur 32 cartes possibles).

P ▷C ∩ N H◁ D \frac{5}{32} (5 cœurs ne sont pas des figures, soit 5 cas favorables sur 32 cartes possibles).

3 Il s’agit de recenser les cartes à cœur qui ne sont pas des figures, donc : C ∩ N HD {7C,8C,9C,10C,AC} (xC désignant la carte x de cœur).

IL2M — v. 1.0 9 juin 2025 — Annexe A page 341 — #351

Annexe_{341}

Liste des vidéos

Chapitre  Titre  Page

Chapitre 2 Cours : 1/3 n’est pas décimal ....................  27
Chapitre 2 Cours : démonstration de l’irrationalité de \sqrt{2} ....  27
Chapitre 3 Exercice 15 : bien choisir son taxi ...............  77
Chapitre 4 Exercice 19 : jouer au géomètre .................  138
Chapitre 5 Exercice 17 : trouver les variations ...............  172
Chapitre 6 Exercice 18 : changement de repère ..............  203
Chapitre 7 Exercice type : exercice type ....................  221
Chapitre 9 Exercice type 2 : exercice type de statistiques .....  300
Chapitre 10 Exercice 12 : au supermarché ...................  330

IL2M — v. 1.0 9 juin 2025 — Annexe A page 342 — #352