\begin{questions}
\item Si $\varphi^2=\varphi+1$ alors il est facile de voir que $\varphi\neq0$ donc on peut diviser cette égalité par $\varphi$ :
\[
\dfrac{\varphi^2}{\varphi}=\dfrac{\varphi}{\varphi}+\dfrac{1}{\varphi}\qquad\text{soit :}\qquad\varphi=1+\dfrac{1}{\varphi}.
\]

\item Dans l'égalité montrée à la question précédente, on remplace le $\varphi$ du membre de droite par ce à quoi il est égal, à savoir $1+\dfrac{1}{\varphi}$ :
\[
\varphi=1+\dfrac{1}{\color{DR}\varphi}=1+\dfrac{1}{\color{DR}1+\frac{1}{\varphi}}.
\]
\newpage
\item Ce que nous avons fait à la question 2 peut être répété à l'infini :

\begin{align*}
\varphi & = 1+\dfrac{1}{1+\frac{1}{\color{DR}\varphi}} = 1+\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{\color{DR}1+\frac{1}{\color{DB}\varphi}}} = 1+\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{\color{DR}1+\frac{1}{\color{DB}1+\frac{1}{\varphi}}}} = \cdots
\end{align*}


Ainsi, en généralisant, on pourrait considérer que :
\[
\varphi = 1+\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\cdots}}}}
\]
Ce résultat se démontre, mais pas en classe de Seconde.

Pour calculer une valeur approchée de $\varphi$, on peut essayer de partir d'une variable \texttt{f} valant 1, puis faire une boucle dans laquelle \texttt{f} deviendra \texttt{1}+$\dfrac{1}{\texttt{f}}$.
\Par

\begin{algorithme}{}
Variables
  n est un nombre
  f est un nombre
Initialisation
  f prend la valeur 1
Début
  Pour n allant de 1 à 100
    f prend la valeur 1+1/f
  Fin Pour
  Afficher f
Fin
\end{algorithme}

\Par

Ici, nous avons souhaité répéter 100 fois l'instruction \og \texttt{f} devient \texttt{1}+$\dfrac{1}{\texttt{f}}$ \fg, mais on peut bien sûr changer cette valeur (100) et mettre 200, 300,...

\NathanLiveProg[]{}{}\vspace*{-2em}
\qrset{height=1.1cm,version=5}\rput(-1,-0.7){
\psframebox{\qrcode{https://idl-live.prepamath.fr/IL2M/01-nombre-or.py}}}
\vspace*{-10pt}

\begin{listing}{En Python}{01-nombre-or.py}\end{listing}

\Par

En exécutant ce programme, la valeur affichée est :
\[
1,618034.
\]
\end{questions}
