\begin{questions}
\item
\begin{itemize}
\item La variable \texttt{i} est initialisée à la valeur $2$, puis est incrémentée tant qu'elle reste inférieure ou égale
à $\sqrt{n}$.
Pour $n=20$, $i$ varie de $2$ à $4$.

\Par

\begin{center}
\begin{tabular}{|C|*4{Zc|}}
\hline
Valeurs de \texttt{i} & - & 2 & 3 & 4\\\hline
Valeurs de \texttt{c} & 0 & 1 & 1 & 2\\\hline
\end{tabular}
\end{center}

\Par

\emph{Explications} : quand $i=2$, on fait la division $20\div2$ et on trouve un nombre entier (10). Donc \texttt{c} va augmenter de 1.

Ensuite, pour $i=3$, comme $20\div3$ n'est pas un entier, \texttt{c} n'augmente pas.

Enfin, pour $i=4$, $20\div4=5$ est un entier donc on ajoute 1 à \texttt{c}.

L'algorithme affiche ici : \og 20 n'est pas un nombre premier \fg{} car \mbox{$\texttt{c}\neq0$}.

\item Pour $n=23$, \texttt{i} varie également de 2 à 4.

\Par

\begin{center}
\begin{tabular}{|C|*4{Zc|}}
\hline
Valeurs de \texttt{i} & - & 2 & 3 & 4\\\hline
Valeurs de \texttt{c} & 0 & 0 & 0 & 0\\\hline
\end{tabular}
\end{center}

\Par

En effet, parmi les nombres 2, 3 et 4, aucun n'est diviseur de 23 donc \texttt{c} n'augmente pas.

L'algorithme affiche donc ici : \og 23 est un nombre premier \fg{} car \mbox{$\texttt{c}=0$}.
\end{itemize}

\item A priori, cet algorithme compte
les diviseurs de $n$ compris entre $2$ et $\sqrt{n}$.
Le résultat est stocké dans le compteur \texttt{c}.
Si \texttt{c} est égal à $0$, l'algorithme
en déduit que $n$ est un nombre premier.

Cet algorithme semble s'appuyer sur une propriété qui pourrait s'écrire ainsi :


Si $a$ est un entier de $]\sqrt{n},n[$
qui divise $n$, alors $b=\frac{n}{a}$
est un entier de $]1,\sqrt{n}]$ qui divise $n$. Par conséquent,
\og
Si un entier $n$ n'admet aucun diviseur dans $[2,\sqrt{n}]$,
alors il est premier.\fg

\end{questions}
