\qrset{height=1.1cm,version=5}\rput(-1,-0.6){
\psframebox{\qrcode{https://media.prepamath.fr/IL2Mch10exo12}}}
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\begin{questions}
\item Il s'agit d'une simple traduction de l'énoncé. On obtient
$P(A)=0{,}5$~~; $P(B)=0{,}6$ et $P(A\cap B)=0{,}3$ car $A\cap B$
est l'événement~: \og les deux caisses sont occupées \fg.
\item \og La seconde caisse est libre \fg est $\bar{B}$,
l'événement contraire de $B$. Or $P(\bar{B})=1-P(B)=0{,}4$.
\item \og Au moins une des deux caisses est libre \fg
est l'événement contraire de $A\cap B$. On calcule
$P(\overline{A\cap B})=1-P(A\cap B)=0{,}7$.
\item Considérons l'événement contraire, c'est-à-dire~:
\og au moins une caisse est occupée \fg. Il s'agit de
$A \cup B$. On a~:
\[P(A)+P(B)=P(A\cap B)+P(A\cup B)\]
donc $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$.
L'événement cherché, $\overline{A\cup B}$, a pour probabilité~:
\[P(\overline{A\cup B})=1-P(A\cup B).\]
On en déduit~ que $P(\overline{A\cup B})=1-P(A)-P(B)+P(A\cap B)$, et donc $P(\overline{A\cup B})=1-0{,}5-0{,}6+0{,}3=0{,}2$.
\end{questions}
