La probabilité d'atteindre n'importe quelle zone est proportionnelle à l'aire de la cible entière. Il nous faut donc avant tout déterminer cette dernière:
\[
\mathcal{A}_{\text{cible}} = \pi \times 30^2 = 900\pi~\text{cm}^2.
\]
\begin{questions}
\item L'aire de la zone centrale est:
\[
\mathcal{A}_{\text{centre}} = \pi \times 10^2 = 100\pi~\text{cm}^2.
\]
La probabilité d'atteindre la zone centrale est donc:
\[
p_1=\frac{100\pi}{900\pi}=\frac{1}{9}.
\]

\item L'aire de la zone du milieu est:
\[
\mathcal{A}_{\text{milieu}} = \pi \times 20^2  - \mathcal{A}_{\text{centre}} = 400\pi - 100\pi = 300\pi~\text{cm}^2.
\]
La probabilité d'atteindre la zone du milieu est donc:
\[
p_2=\frac{300\pi}{900\pi}=\frac{1}{3}.
\]

\item L'aire de la zone extérieure est:
\[
\mathcal{A}_{\text{extérieure}} = \mathcal{A}_{\text{cible}}  - (\mathcal{A}_{\text{milieu}}+\mathcal{A}_{\text{centre}}) = 900\pi - 400\pi = 500\pi.
\]
La probabilité d'atteindre la zone extérieure est donc:
\[
p_3=\frac{500\pi}{900\pi}=\frac{5}{9}.
\]
\end{questions}
\begin{Remarques}
\begin{itemize}
\item On vérifie que la somme des probabilités est bien égale à 1:
\[
\frac{1}{9}+\frac{1}{3}+\frac{5}{9} = \frac{1}{9}+\frac{3}{9}+\frac{5}{9}=\frac{9}{9}=1.
\]

\item Pour trouver $p_3$, on aurait aussi pu faire:
\[
p_3 = 1-(p_1+p_2).
\]
\end{itemize}
\end{Remarques}
