\begin{questions}
\item Il faut réduire les deux fractions au même dénominateur :
{\allowdisplaybreaks\begin{align*}
A&= \frac{1}{n(n+1)(n+2)}-\frac{1}{(n+1)(n+2)(n+3)}\\
&= \frac{n+3}{n(n+1)(n+2)(n+3)}-\frac{n}{n(n+1)(n+2)(n+3)}\\
&= \frac{n+3-n}{n(n+1)(n+2)(n+3)}\\
&= \frac{3}{n(n+1)(n+2)(n+3)}.
\end{align*}
}

\item Du résultat précédent, il vient :
\[\frac{1}{n(n+1)(n+2)(n+3)}=\frac{1}{3}\left(
\frac{1}{n(n+1)(n+2)}-\frac{1}{(n+1)(n+2)(n+3)}\right).\]

Si on applique cette formule à $n=10$, on obtient :
\[\frac{1}{10\times 11\times 12\times 13}=\frac{1}{3}\left(
\frac{1}{10\times 11\times 12}-\frac{1}{11\times 12\times 13}\right).\]

En l'appliquant à $n=11$ :
\[\frac{1}{11\times 12\times 13\times 14}=\frac{1}{3}\left(
\frac{1}{11\times 12\times 13}-\frac{1}{12\times 13\times 14}\right).\]

Si on additionne ces deux formules membre à membre, on voit que
les termes \[\dfrac{1}{11\times 12\times 13}\] vont s'annuler.
Appliquons de nouveau la formule à $n=12$ :
\[\frac{1}{12\times 13\times 14\times 15}=\frac{1}{3}\left(
\frac{1}{12\times 13\times 14}-\frac{1}{13\times 14\times 15}\right).\]

Nous constatons que si nous ajoutons cette expression aux deux autres, le
terme $\dfrac{1}{12\times 13\times 14}$ disparaît.

Finalement, si nous répétons l'opération jusqu'à $n=19$ et que
nous simplifions, il ne restera que le tout premier terme
$\dfrac{1}{10\times 11\times 12}$ ainsi que le tout dernier, qui est le
$\dfrac{1}{(n+1)(n+2)(n+3)}$ avec $n=19$.

Il vient (attention aux signes
et au facteur $\dfrac{1}{3}$ !) :
{\allowdisplaybreaks\begin{align*}
B&=\frac{1}{3}\left(\frac{1}{10\times 11\times 12}
-\frac{1}{20\times 21\times 22}\right)\\
&=\frac{1}{3}\left(\frac{1}{5\times 2\times 11\times 4\times 3}
-\frac{1}{5\times 4\times 3\times 7\times 2\times 11}\right)\\
&=\dfrac{1}{3}\dfrac{7-1}{20\times 21\times 22}\\
&=\dfrac{1}{3}\dfrac{6}{20\times 21\times 22}\\
&=\dfrac{2}{20\times 21\times 22}\\
&=\dfrac{1}{10\times 21\times 22}\\
&=\dfrac{1}{\text{\numprint{4620}}}.
\end{align*}}
\newpage
\end{questions}
