\begin{questions}
\item Soit $k$ un entier compris entre $1$ et $n$.
$p_k$ divise le produit $p_1\times \dots\times p_n$,
donc si $p_k$ divisait $a$, alors $p_k$
serait diviseur de $a-p_1\times\dots\times p_n=1$.

Or $1$ n'a pas de diviseur premier, à part lui-même...

Conclusion~: aucun des $p_k$ n'est diviseur de $a$.

\item Euclide raisonne par l'absurde, c'est-à-dire qu'il
suppose que son résultat est faux, en espérant aboutir à une
contradiction. Il suppose que l'ensemble des nombres premiers
est fini, et qu'on peut énumérer tous les nombres
premiers~: $p_1$, $p_2$, ..., $p_n$.

D'après la première question, $a$ n'admet aucun diviseur premier.

Or on voit que $a\geq 2$, donc $a$ admet nécessairement un
diviseur premier. Nous avons une contradiction. L'ensemble des
nombres premiers est donc infini.
\end{questions}

\begin{plusloin}
Pourquoi un entier $a\geq 2$ admet-il toujours au moins un
diviseur premier~?

\Par

La démonstration est difficile. Nous empruntons une méthode
appelée par Fermat~: la \emph{descente infinie} (tout un programme !)

\Par

Supposons, par l'absurde, que $a$ n'ait
pas de diviseur premier. Alors $a$ n'est pas premier (car
$a$ divise lui-même) donc on peut décomposer $a=bc$ avec
$2\leq b<a$, $2\leq c<a$.
Mais alors, ni $b$ ni $c$ ne peuvent
avoir de diviseur premier (car il diviserait $a$).

\Par

On a donc la propriété suivante~:
Si $a\geq 2$ n'a pas de diviseur premier, on peut trouver un entier
$a>b\geq 2$ qui n'a pas de diviseur premier.
Or, si on applique la propriété à $b$, on trouve ainsi une
infinité d'entiers naturels, chacun strictement plus petit que
le précédent, ce qui n'est pas possible car il n'y a que $a$
entiers naturels strictement inférieurs à $a$.
\end{plusloin}

