Pour montrer que $\big(1-\sqrt3\big)^2 + \big(1+\sqrt3\big)^2$ est un entier naturel, nous allons développer les deux carrés à l'aide des identités remarquables:
\begin{itemize}
\item $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ (voir chapitre suivant)
\item $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ (voir chapitre suivant)
\end{itemize}
Développons:
\begin{itemize}
\item $ \begin{aligned}[t]
\big(1-\sqrt3\big)^2 & = 1^2 - 2 \times 1 \times \sqrt3 + \big(\sqrt3\big)^2\\
& = 1 - 2\sqrt3 + 3\\
& = 4 - 2\sqrt3.
\end{aligned}$

\item $ \begin{aligned}[t]
\big(1+\sqrt3\big)^2 & = 1^2 + 2 \times 1 \times \sqrt3 + \big(\sqrt3\big)^2\\
& = 1 + 2\sqrt3 + 3\\
& = 4 + 2\sqrt3.
\end{aligned}$
\end{itemize}

Ainsi,
\[
\big(1-\sqrt3\big)^2 + \big(1+\sqrt3\big)^2 = 4 - 2\sqrt3 + 4 + 2\sqrt3 = 8.
\]
$\big(1-\sqrt3\big)^2 + \big(1+\sqrt3\big)^2$ est donc bien en entier naturel.
