\begin{questions}
\item Si vous ne voyez pas de facteur commun, c'est normal, regardez mieux : il n'y a
pas de $x^2$, il s'agit d'une simple équation du premier degré.

Il suffit donc d'effectuer le développement suivant:
\begin{align*}
7(2x+4)-5(4x-3)&=\frac{2}{5}-\frac{3x-5}{2}\\
&\iff 14x+28-20x+15=\frac{4}{10}-\frac{15x-25}{10}\\
&\iff -6x+43=\frac{29-15x}{10}\\
&\iff -60x+430=29-15x\\
&\iff -45x=-401\\
&\iff x=\frac{401}{45}.
\end{align*}
D'où l'ensemble des solutions :
\[S=\left\{\frac{401}{45}\right\}.\]

\item Là non plus, pas de facteur commun évident, et pas de produit remarquable. Il faut se résoudre à développer :
\begin{align*}
(3x-2)(2x-5)&+2(x-5)(7-3x)=0\\
&\iff 6x^2-15x-4x+10+(2x-10)(7-3x)=0\\
&\iff 6x^2-19x+10+14x-6x^2-70+30x=0\\
&\iff 25x-60=0.
\end{align*}
On comprend mieux pourquoi il fallait développer. L'équation est en fait du premier degré (un peu camouflé, il est vrai). L'unique solution est :
\[\frac{60}{25}=\frac{12}{5}.\]
D'où :
\[S=\left\{\frac{12}{5}\right\}.\]

\item Décidément, pas de chance, toujours pas de facteur commun à l'horizon.
Développons, pour voir :
\begin{align*}
(5x+3)(4x-2)=2(x-9)
&\iff 20x^2-10x+12x-6=2x-18\\
&\iff 20x^2+12=0.
\end{align*}
Comme un carré est toujours positif, l'expression $20x^2+12$ ne vaut jamais zéro, il
n'y a donc pas de solution :
\[S=\emptyset.\]
Sur le graphique ci-dessous, nous voyons les courbes représentatives des fonctions
$x\mapsto (5x+3)(4x-2)$ (parabole) et $x\mapsto 2(x-9)$ (droite).
On constate en effet que ces deux courbes n'ont pas de point d'intersection.

\begin{center}
\includegraphics[width=\linewidth]{096_02-08}
\end{center}

\item On rassemble tous les termes du même côté du symbole~\og $=$ \fg{} :
\[9(4x-1)^2-(3x-\frac{1}{2})^2=0.\]
Il faut reconnaître que $9(4x-1)^2$ est un carré. Comme $9=3^2$, on a :
\[9(4x-1)^2=[3(4x-1)]^2=(12x-3)^2.\]
L'équation se ramène donc à :
\[(12x-3)^2-\left(3x-\frac{1}{2}\right)^2=0.\]
Il s'agit de la différence de deux carrés, que l'on factorise :
\[\left(12x-3+3x-\frac{1}{2}\right)\left(12x-3-3x+\frac{1}{2}\right)=0\;,\]
ou encore :
\[\left(15x-\frac{7}{2}\right)\left(9x-\frac{5}{2}\right)=0.\]
Ce produit est nul si et seulement si $15x-\dfrac{7}{2}=0$ ou $9x-\dfrac{5}{2}=0$.

La première équation donne la solution $\dfrac{7}{30}$, la seconde $\dfrac{5}{18}$.

D'où les solutions :
\[S=\left\{\frac{7}{30}~;\frac{5}{18}\right\}.\]

\item Enfin une équation avec un beau facteur commun $(2-x)$ !
\begin{align*}
& (2-x)(5x+3)+(x-2)(3-x)-(2-x)=0\\
\iff\ & (2-x)[(5x+3)-(3-x)-1]=0\\
\iff\ & (2-x)(5x+3-3+x-1)=0\\
\iff\ & (2-x)(6x-1)=0.
\end{align*}
On s'est une nouvelle fois ramené au cas d'un produit nul, les deux solutions sont
$2$ et $\dfrac{1}{6}$ :
\[S=\left\{\frac{1}{6}~;2\right\}.\]
\end{questions}
