\begin{questions}
\item $\begin{aligned}[t]
(x-1)(2x-3)^2 = 4(x-1) & \iff (x-1)(2x-3)^2 - 4(x-1) = 0\\
                       & \iff (x-1)\big[ (2x-3)^2 - 4 \big] = 0\\
                       & \iff (x-1)\big[ (2x-3)^2 - 2^2 \big] = 0\\
                       & \iff (x-1) \big[ (2x-3) - 2 \big] \big[ (2x-3) + 2\big] = 0\\
                       & \iff (x-1)(2x-5)(2x-1) = 0\\
                       & \iff x-1=0 \text{ ou } 2x-5=0 \text{ ou } 2x-1=0\\
                       & \iff x=1 \text{ ou } x=\frac{5}{2} \text{ ou } x = \frac{1}{2}.
\end{aligned}$

L'ensemble solution de l'équation $(x-1)(2x-3)^2 = 4(x-1)$ est donc:
\[
S = \left\{ \frac{1}{2} ; 1 ; \frac{5}{2} \right\}.
\]

\item $x^2 + 4= 0 \iff x^2 = -4$. Or, un carré est toujours positif ou nul. Par conséquent, il n'y a pas de solution à l'équation $x^2 + 4 = 0$. Son ensemble solution est alors:
\[
S = \varnothing.
\]

\item Avant de résoudre l'équation $\frac{3x^2+4x-4}{x^2-4}=1$, il faut en déterminer l'ensemble de définition (car il y a une fraction).

La fraction est définie pour tout réel $x$ tel que $x^2-4 \neq 0$, soit pour $x \neq -2$ et $x \neq 2$. L'ensemble de définition de l'équation est alors: $\R\setminus\{-2;2\}$.

\Par

Résolvons maintenant l'équation:
\begin{align*}
\frac{3x^2+4x-4}{x^2-4}=1 & \iff 3x^2+4x-4 = x^2-4\\
                          & \iff 2x^2 + 4x = 0\\
                          & \iff 2x(x+2) = 0\\
                          & \iff x = 0 \text{ ou }x = -2.
\end{align*}
Il y a donc potentiellement deux solutions: 0 et $-2$. Or, $-2$ n'est pas dans l'ensemble de définition de l'équation.

La seule solution est alors 0.
\[
S = \{ 0 \}.
\]

\item L'ensemble de définition de l'équation $\frac{3}{x+1} - \frac{2}{x-2} = \frac{-6}{(x+1)(x-2)}$ est l'ensemble des réels $x$ tels que les fractions sont définies, c'est-à-dire tels que $x+1 \neq 0$ et $x-2\neq0$, soit $x\neq-1$ et $x\neq2$.

L'ensemble de définition est donc $\R\setminus\{-1;2\}$.

\Par

Résolvons l'équation:
\begin{align*}
\frac{3}{x+1} - \frac{2}{x-2} = \frac{-6}{(x+1)(x-2)}
& \iff \frac{3(x-2) - 2(x+1)}{(x+1)(x-2)} = \frac{-6}{(x+1)(x-2)}\\
& \iff \frac{3x-6 - 2x-2}{(x+1)(x-2)} = \frac{-6}{(x+1)(x-2)}\\
& \iff \frac{x-8}{(x+1)(x-2)} = \frac{-6}{(x+1)(x-2)}\\
& \iff x-8 = -6\\
& \iff x = 2.
\end{align*}

Or, 2 n'appartient pas à l'ensemble solution de l'équation.

Par conséquent, l'ensemble solution de l'équation est:
\[
S = \varnothing.
\]
\end{questions}
