 \begin{questions}
\item On commence par factoriser l'expression :
\begin{align*}
(x+6)(x-3)-2x+6\geq 0
&\iff (x+6)(x-3)-2(x-3)\geq 0\\
&\iff (x-3)[(x+6)-2]\geq 0\\
&\iff (x-3)(x+4)\geq 0.
\end{align*}
On utilise un tableau de signes :
\[
\begin{array}{|C|ccccccc|}
\hline\tabulartitle
x & -\infty & & -4  & & 3 & & +\infty\\\hline
x+4 & & -&0 & + & \vline & + & \\\hline
x-3 & & -&\vline & - & 0 &+ & \\\hline
(x-3)(x+4)& & + & 0 & - & 0 & + &  \\\hline
\end{array}
\]
On conclut :
\[S=]-\infty~;-4]\cup[3~;+\infty[.\]

\item On remarque qu'il faudra exclure la valeur $1$ (à cause du dénominateur).
Surtout pas de produits en croix, il faut réduire au même dénominateur puis
rassembler l'expression dans le même membre.

\begin{align*}
\frac{x+3}{1-x}\geq 2
&\iff \frac{x+3}{1-x}\geq \frac{2(1-x)}{(1-x)}\\
&\iff \frac{x+3}{1-x}-\frac{2(1-x)}{(1-x)}\geq 0\\
&\iff \frac{(x+3)-2(1-x)}{1-x}\geq 0\\
&\iff \frac{x+3-2+2x}{1-x}\geq 0\\
&\iff \frac{3x+1}{1-x}\geq 0.
\end{align*}
Les valeurs importantes sont $\dfrac{-1}{3}$ et $1$, on utilise un tableau de signes :
\renewcommand{\arraystretch}{1.5}
\[\begin{array}{|C|ccccccc|}
\hline\tabulartitle
x & -\infty & & -\frac{1\strut}{3\strut}   & & 1 & & +\infty\\\hline
3x+1&& -&0 & + &\vline & + & \\\hline
1-x& & + &\vline & + & 0 & - & \\\hline
\frac{3x+1}{1-x}&& - & 0 & + &\dvline&-& \\\hline
\end{array}\]
On obtient :
\[S=\left[\frac{-1}{3}~;1\right[.\]

\item Ici, pas de calcul à faire : quel que soit le réel $x$, son carré $x^2$ est positif,
donc $25x^2+4\geq 0$. L'ensemble des solutions est donc $\R$.


\item On reconnaît un produit remarquable :
\[25x^2-4=(5x-2)(5x+2).\]
Cette expression s'annule en $\dfrac{2}{5}$ et $\dfrac{-2}{5}$, d'où le tableau de signes :
\[\begin{array}{|C|ccccccc|}
\hline\tabulartitle
x & -\infty & &-\frac{2\strut}{5\strut} & &\frac{2}{5} & & +\infty\\\hline
5x-2 & & - &\vline & - & 0 & + & \\\hline
5x+2& & - & 0 & + &\vline & + &\\\hline
25x^2-4& & + & 0 & -& 0 & + & \\\hline
\end{array}\]
\renewcommand{\arraystretch}{1}

D'où :
\[S=\left]-\infty ~; -\frac{2}{5}\right]\cup\left[\frac{2}{5}~;+\infty\right[.\]
\end{questions}
