\begin{questions}
\item \begin{questions}
\item ~\par\smallskip\hspace*{-10mm}
\scalebox{0.9}{
\begin{tabular}{|C|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline
$x$ & 0{,}1&0{,}2&0{,}3&0{,}4&0{,}5&0{,}6&0{,}7&0{,}8&0{,}9& 1 \\\hline
$f(x)$ & 10 & 5 &3{,}33 &2{,}5&2 &1{,}67 & 1{,}43& 1{,}25 &1{,}11 & 1 \\\hline
\end{tabular}}

\Par

\item \raisebox{-\totalheight+1em}{\includegraphics{105_02-14}}

\Par

\item Ne vous laissez pas éblouir par tous ces radicaux (les racines carrées). $g$ est une simple fonction... affine, de la forme $g(x)=ax+b$.

Ici $a=-\dfrac{8}{\sqrt{2}}$ et $b=4+\sqrt{2}$. Comme le coefficient directeur $a$ est strictement négatif, la fonction $g$ est strictement décroissante.
Sa courbe représentative $\mathcal{C}_g$ est une droite (c'est pour cela que l'on vous demande de calculer seulement trois images~; en fait, deux suffiraient).

\item \[\begin{array}{|C|c|c|c|}\hline
x & 0 & 0,25 & 0,5 \\\hline
g(x) &4+\sqrt{2}\approx5,41 & 4 & 4-\sqrt{2}\approx 2,59 \\\hline
\end{array}\]

\item Les courbes $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$ se coupent en deux points. Le premier a visiblement pour ordonnée $4$. Son abscisse se trouve dans le tableau de valeurs de $g$ : elle vaut $0,25$ (on peut se contenter de lire cette abscisse sur le graphique).
\newpage
Le deuxième point d'intersection a pour abscisse $0{,}7$ (l'ordonnée n'a pas d'importance). Si vous
avez fait un dessin très précis, vous pouvez vous rendre compte que l'abscisse de ce point d'intersection
est très légèrement plus grande que $0{,}7$. Mais ne trichez pas (le calcul exact est fait à la
fin de l'exercice) ! \\
La lecture graphique donne $0{,}25$ et $0{,}7$ comme abscisses pour les points d'intersection.\\
La courbe $\mathcal{C}_f$ passe en-dessous de la droite $\mathcal{C}_g$ \emph{entre} ces deux points. On obtient
pour ensemble des solutions de $g(x)>f(x)$ :
\[ S=]0,25~;0,7[. \]
\end{questions}
\item \begin{questions}
\item On calcule :
\begin{align*}
g(x)>f(x)
&\iff -\frac{8}{\sqrt{2}}x+4+\sqrt{2}>\frac{1}{x}\\
&\iff \frac{-8x+4\sqrt{2}+2}{\sqrt{2}}-\frac{1}{x}>0\\
&\iff \frac{-8x^2+4x\sqrt{2}+2x}{x\sqrt{2}}-\frac{\sqrt{2}}{x\sqrt{2}}>0\\
&\iff \frac{-8x^2+4x\sqrt{2}+2x-\sqrt{2}}{x\sqrt{2}}>0\\
&\iff \frac{-8x^2+2x(2\sqrt{2}+1)-\sqrt{2}}{x\sqrt{2}}>0\\
&\iff \frac{8x^2-2x(2\sqrt{2}+1)+\sqrt{2}}{x\sqrt{2}}<0.
\end{align*}
\item On développe :
\begin{align*}
P(x)&=-8(x-\frac{1}{4})(\frac{\sqrt{2}}{2}-x)\\
&=(-8x+2)(\frac{\sqrt{2}}{2}-x)\\
&=8x^2-8x\frac{\sqrt{2}}{2}+\sqrt{2}-2x\\
&=8x^2-4x\sqrt{2}-2x+\sqrt{2}.
\end{align*}
On reconnaît dans :
\[P(x)=8x^2-2x(2\sqrt{2}+1)+\sqrt{2}\]
le numérateur de :
\[\frac{8x^2-2x(2\sqrt{2}+1)+\sqrt{2}}{x\sqrt{2}}.\]

\item L'inéquation $g(x)>f(x)$ devient donc :
\[\frac{-8\left(x-\frac{1}{4}\right)\left(\frac{\sqrt{2}}{2}-x\right)}{x\sqrt{2}}<0.\]

Ne perdons pas de vue que cette inéquation est à résoudre sur $]0~;1]$. On a donc $x\sqrt{2}>0$,
et on peut simplifier l'inéquation en :
\[-8\left(x-\frac{1}{4}\right)\left(\frac{\sqrt{2}}{2}-x\right)<0.\]
L'expression s'annule pour $x=\dfrac{1}{4}$ et $x=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$.

Il s'agit des abscisses
des points d'intersection de $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$ :\\
$\dfrac{1}{4}=0{,}25$ et $\dfrac{\sqrt{2}}{2}\approx 0{,}71$.

On dresse un tableau de signes :
{\renewcommand\arraystretch{2}
\[\begin{array}{|C|lcccccr|}
\hline\tabulartitle
x & 0& & \dfrac{1}{4}& &\dfrac{\sqrt{2}}{2}  & &1 \\[3pt]\hline
-8\left(x-\dfrac{1}{4}\right)& & + & 0 & - & \vline & - & \\[3pt]\hline
\dfrac{\sqrt{2}}{2}-x & & + & \vline & +& 0& -& \\[3pt]\hline
P(x) & & + & 0 & -  & 0 & +& \\\hline
\end{array}\]}
D'après le tableau :
\[S=\left]\frac{1}{4}~;\frac{\sqrt{2}}{2}\right[.\]
\end{questions}
\end{questions}
