\begin{questions}
\item
$\begin{aligned}[t]
x^2+5x+9 &<(x-1)x+12\\
x^2+5x+9 &<x^2-x+12\\
5x+x&<12-9\\
6x &<3\\
x &<\dfrac{1}{2}.
\end{aligned}$

L'ensemble des solutions est donc : $S=\left]-\infty~;\dfrac{1}{2}\right[$.
\item Il faut d'abord résoudre chaque partie de l'inéquation indépendamment,
après avoir remarqué que la valeur $5$ n'est pas autorisée.
\begin{align*}
2<\dfrac{x-3}{x-5}
&\iff \dfrac{2x-10}{x-5}<\dfrac{x-3}{x-5}\\
&\iff \dfrac{2x-10}{x-5}-\dfrac{x-3}{x-5}<0\\
&\iff \dfrac{2x-10-x+3}{x-5}<0\\
&\iff \dfrac{x-7}{x-5}<0.
\end{align*}
On construit un tableau de signes :
\renewcommand{\arraystretch}{1.8}
\[\begin{array}{|R|lcccccr|}
\hline\tabulartitle
x            & -\infty & & 5  &  & 7 &  & +\infty \\ \hline
x-7            &       & - & \vline  & - & 0 & + &  \\\hline
x-5            &        & - & 0  & + & \vline & + &  \\ \hline
\dfrac{x-7}{x-5} &        & + & \dvline & - & 0 & + &  \\[3pt] \hline
\end{array}\]
\renewcommand{\arraystretch}{1}

La première inégalité n'est donc vérifiée que si : $5<x<7$.

\begin{align*}
\dfrac{x-3}{x-5}<3
&\iff \dfrac{x-3}{x-5}<\dfrac{3x-15}{x-5}\\
&\iff 0<\dfrac{3x-15}{x-5}-\dfrac{x-3}{x-5}\\
&\iff 0<\dfrac{3x-15-x+3}{x-5}\\
&\iff 0<\dfrac{2x-12}{x-5}\\
&\iff 0<\dfrac{x-6}{x-5}.
\end{align*}

Là encore, on a le tableau de signes suivant :
\renewcommand{\arraystretch}{1.8}

\[\begin{tabular}{|R|lcccccr|}
\hline\tabulartitle
$x$              & $-\infty$ &  & $5$  &  & $6$ &  & $+\infty$ \\ \hline
$x-6$            &        & $-$ & \vline  & $-$ & $0$ & $+$ &  \\\hline
$x-5$            &        & $-$ & $0$  & $+$ & \vline & $+$ &  \\ \hline
$\dfrac{x-6}{x-5}$ &        & $+$ & \dvline & $-$ & $0$ & $+$ & \\[3pt] \hline
\end{tabular}\]
\renewcommand{\arraystretch}{1}


La deuxième inégalité n'est vérifiée que si : $x<5$ ou $x>6$.

Les deux inégalités ne sont donc vérifiées en même temps que si
$x>6$ et $x<7$, donc l'ensemble des solutions est :
\[S=]6~;7[.\]
\end{questions}
