\begin{questions}
\item L'expression $(3x+1)(2-4x)$ est un produit, qui s'annule si $3x+1=0$ ou si $2-4x=0$,
donc pour $x=-\dfrac{1}{3}$ ou $x=\dfrac{1}{2}$.


On dresse un tableau de signes :
{\renewcommand\arraystretch{1.8}
\[\begin{array}{|C|lcccccr|}
\hline\tabulartitle
x & -\infty & & -\dfrac{1}{3} & & \dfrac{1}{2} & &+\infty \\[3pt]\hline
3x+1 & & - &0 & + & \vline & + & \\\hline
2-4x & & + & \vline & + & 0 & -  & \\\hline
(3x+1)(2-4x)& & - & 0 & + & 0 & - & \\\hline
\end{array}\]
}
D'après le tableau de signes, $(3x+1)(2-4x)\leq 0$ pour $x\leq -\dfrac{1}{3}$ et $x\geq \dfrac{1}{2}$,
d'où l'ensemble des solutions :
\[S=\left]-\infty~;-\frac{1}{3}\right]\cup\left[\dfrac{1}{2},+\infty\right[.\]
\item
On utilise la méthode habituelle : on rassemble tous les termes dans le même membre, et
on résout :
\[0<(3x+1)^2-\left(\frac{1}{2}x-7\right)^2.\]
Le membre de droite est la différence de deux carrés, on factorise :
\[0<\left[(3x+1)+\left(\frac{1}{2}x-7\right)\right]\left[(3x+1)-\left(\frac{1}{2}x-7\right)\right].\]
On obtient :
\[0<\left(\frac{7}{2}x-6\right)\left(\frac{5}{2}x+8\right).\]
Le produit s'annule si $\dfrac{7}{2}x-6=0$ ou si $\dfrac{5}{2}x+8=0$,
donc pour $x=\dfrac{12}{7}$ ou $x=-\dfrac{16}{5}$.
On dresse un tableau de signes :
{\renewcommand{\arraystretch}{1.8}
\[\begin{array}{|C|lcccccr|}
\hline\tabulartitle
x & -\infty & & -\dfrac{16}{5} & &\dfrac{12}{7}  & &+\infty \\[3pt]\hline
\dfrac{7}{2}x-6&  & - & \vline & - &0 & + & \\[3pt]\hline
\dfrac{5}{2}x+8&  & - &0 & + & \vline & + & \\[3pt]\hline
\left(\dfrac{7}{2}x-6\right)\left(\dfrac{5}{2}x+8\right)& &+ & 0 & - & 0 & + & \\[3pt]\hline
\end{array}\]}

D'après le tableau de signes, $\left(\dfrac{7}{2}x-6\right)\left(\dfrac{5}{2}x+8\right)>0$ pour $x<-\dfrac{16}{5}$ ou $x>\dfrac{12}{7}$, d'où l'ensemble des solutions : \mbox{$S=\left]-\infty~;-\frac{16}{5}\right[\cup\left]\frac{12}{7}~;+\infty\right[$.}

\item Du point de vue du signe, un quotient se comporte comme un produit. Il faut en plus tenir compte de l'ensemble de définition. Le numérateur s'annule en $1$, le dénominateur en $7$, dressons un tableau de signes :
\[\begin{array}{|C|lcccccr|}
\hline\tabulartitle
x & -\infty & & 1& & 7 & &+\infty \\\hline
-2(x-1)& & + & 0 & - & \vline & - & \\\hline
7-x && + & \vline & + & 0 & -  & \\\hline
\dfrac{-2(x-1)}{(7-x)}& &+ & 0 & - & \dvline& + & \\\hline
\end{array}\]
(Attention à la présence du $-2$ pour le signe du numérateur !)

On conclut :
\[S=]-\infty~;1]\cup]7~;+\infty[.\]


\item \begin{methode}
Quand on résout une inéquation où $x$ apparaît au dénominateur, le grand principe est de tout rassembler dans le même membre et de mettre les différents termes au même dénominateur, et de ne pas faire de produits \og en croix \fg.
\end{methode}

On a ici :
\begin{align*}
\frac{x^2}{1-2x}<-1
&\iff \frac{x^2}{1-2x}+1<0\\
&\iff \frac{x^2+1-2x}{1-2x}<0\\
&\iff \frac{(x-1)^2}{1-2x}<0.
\end{align*}
On a le choix entre deux méthodes. La meilleure est probablement le tableau de signes. Ce n'est
peut-être pas la façon la plus \og frime\fg, mais c'est certainement la plus sûre :
\renewcommand{\arraystretch}{1.6}

\[\begin{array}{|C|lcccccr|}
\hline\tabulartitle
x & -\infty & & \frac{1\strut}{2\strut}& & 1 & &+\infty \\\hline
(x-1)^2 & & + & \vline & + & 0 & + & \\\hline
1-2x & & + & 0 & -&\vline & -& \\\hline
 \dfrac{(x-1)^2}{1-2x} & & + & \dvline & -  & 0 & -& \\\hline
\end{array}\]
\renewcommand{\arraystretch}{1}

D'où l'ensemble des solutions :
\[S=\left]\frac{1}{2}~;1\right[\cup]1~;+\infty[.\]

\textit{Autre méthode:} le numérateur est un carré, toujours positif, donc la fraction est négative lorsque
$1-2x$ est négatif, donc pour $x\geq \dfrac{1}{2}$.


On doit enlever les valeurs $\dfrac{1}{2}$ (où la fraction n'est pas définie), et $1$ (où \\[1em]la fraction s'annule), d'où l'ensemble :
\[S=\left]\frac{1}{2}~;+\infty\right[\setminus\{1\}.\]
(c'est le même ensemble que celui que nous avions trouvé).

\item Même si des $x$ apparaissent au dénominateur, on a tout de même le droit de simplifier
les fractions avant de commencer d'autres calculs, d'où l'inéquation :
\[\frac{1}{(5-x)^2}\leq \frac{3x}{(5-x)^2}.\]
Ne pas oublier que, même si la valeur $0$ ne semble plus intervenir, nous continuons à résoudre
l'inéquation dans $\R\setminus\{0~;5\}$. La valeur $0$ ne doit pas apparaître dans l'ensemble des solutions.\\
Ici, le dénominateur est strictement positif, quelle que soit la valeur de $x$. On peut donc
simplifier et résoudre :
\[1\leq 3x.\]
La \og simplification\fg revient à multiplier les deux membres par $(5-x)^2$. Comme
$(5-x)^2>0$, le sens de l'inégalité ne change pas. Noter que\linebreak $x=5$ est exclu de l'ensemble de définition,
(c'est ce qui permet d'affirmer $(5-x)^2>0$ et pas seulement $(5-x)^2\geq 0$). \\
On obtient donc $x\geq \dfrac{1}{3}$. Pensez à retirer la valeur $5$ ($0$ ne convient pas de toute façon); l'ensemble des solutions est donc :
\[S=\left[\frac{1}{3}~;+\infty\right[\setminus\{5\}=\left[\frac{1}{3}~;5\right[\cup]5~;+\infty[.\]
\end{questions}
