 \begin{questions}
        \item {
        Il suffit de simplifier le deuxième membre :
        \begin{equation*}\begin{split}
        1-x+\dfrac{x^2}{1+x}&=\dfrac{(1-x)(1+x)}{1+x}+\dfrac{x^2}{1+x}\\
        &=\dfrac{1-x^2}{1+x}+\dfrac{x^2}{1+x}\\
        &=\dfrac{1}{1+x}.
        \end{split}\end{equation*}
        }
        
        \item Si $x\geq-\dfrac{1}{2}$, il est clair que $x+1>0$, donc $\dfrac{1}{1+x}\geq 0$.
        De plus on a :
\begin{align*}
        x\geq-\dfrac{1}{2} & \iff x+1\geq\dfrac{1}{2}\\
        & \iff \dfrac{1}{x+1}\leq 2 \text{ puisque $x+1>0$.}
        \end{align*}
        On a pu passer aux inverses dans l'inégalité car les deux membres étaient strictement positifs !         D'où le résultat :
        \[0\leq\dfrac{1}{1+x}\leq 2.\]
        
        
        \item
        L'encadrement précédent peut être multiplié par $x^2$, réel positif. L'ordre
        n'est pas modifié :
        \[0\leq\dfrac{x^2}{1+x}\leq 2x^2.\]
        On en déduit :
\[1-x\leq 1-x+\frac{x^2}{1+x}\leq 1-x+2x^2\qquad \text{(en ajoutant $1-x$)}.\]
        Or, d'après la première question :
        \[1-x+\frac{x^2}{1+x}=\frac{1}{1+x}\]
        donc :
\[1-x\leq \frac{1}{1+x} \leq 1-x+2x^2.\]
\end{questions}
