\begin{questions}
\item $f(x)=x^2+2x\sqrt{3}+3-5=x^2+2x\sqrt{3}-2$.

\item On reconnaît une expression du type $A^2-B^2$ :
\[f(x)=(x+\sqrt{3}+\sqrt{5})(x+\sqrt{3}-\sqrt{5}).\]

\item On utilise la forme développée pour calculer :\enlargethispage*{\baselineskip}
\begin{itemize}
\item $f(\sqrt{2})=2+2\sqrt{6}-2=2\sqrt{6}$.
\item $f(0)=-2$.
\end{itemize}
La forme factorisée est plus adaptée pour calculer :
\[f(\sqrt{5}-\sqrt{3})=(\sqrt{5}-\sqrt{3}+\sqrt{3}+\sqrt{5})(\sqrt{5}-\sqrt{3}+\sqrt{3}-\sqrt{5})=0.\]
Enfin, la forme de l'énoncé permet de voir facilement :
\[f(-\sqrt{3})=-5.\]

\item On doit résoudre :
\[(x+\sqrt{3}+\sqrt{5})(x+\sqrt{3}-\sqrt{5})=0.\]
Un produit s'annule lorsqu'au moins l'un de ses facteurs est nul, d'où deux solutions :
\[S=\{\sqrt{5}-\sqrt{3}~;-\sqrt{5}-\sqrt{3}\}.\]
\item On se sert de l'étude précédente pour dresser un tableau de signes. On note au passage que $-\sqrt{5}-\sqrt{3}<\sqrt{5}-\sqrt{3}$ (car $-\sqrt{5}<\sqrt{5}$).
{\renewcommand\arraystretch{1.6}
\[\begin{array}{|C|lcccccr|}
\hline\tabulartitle
x & -\infty &  &-\sqrt{5}-\sqrt{3} & & \sqrt{5}-\sqrt{3} &  & +\infty \\\hline
x+\sqrt{3}+\sqrt{5} & & - & 0 & + &\vline & + & \\\hline
x+\sqrt{3}-\sqrt{5}& & - & \vline & - & 0 & + & \\\hline
f(x) & & + &  0 & - & 0 & +  & \\\hline
\end{array}
\]}

D'après le tableau :
\[S=]-\infty~;-\sqrt{5}-\sqrt{3}]\cup[\sqrt{5}-\sqrt{3}~;+\infty[.\]

\item L'inéquation $(x+\sqrt{3})^2-5\leq -5$ s'écrit :
\[(x+\sqrt{3})^2\leq 0.\]
Le carré d'un réel est toujours positif ou nul.

On ne peut avoir $(x+\sqrt{3})^2\leq 0$
qu'à la seule condition : $(x+\sqrt{3})^2=0$.
D'où une solution unique :
\[S=\left\{-\sqrt{3}\right\}.\]

\item S'il y avait une solution $x$, on aurait $(x+\sqrt{3})^2\leq -1$, ce qui est impossible (car
un carré est toujours positif). D'où $S=\emptyset$.
\end{questions}
