Pour construire le triangle, on commence par tracer le segment $[AH]$
puis la perpendiculaire à $(AH)$ en $H$.
On place le point $B$ à l'une des intersections de cette droite et du
cercle de centre $A$ et de rayon 5. Il n'y a plus qu'à placer le
point $C$, sur la perpendiculaire à $(AH)$, et à huit unités de $B$.

\Par

\begin{center}
\includegraphics{144_05-16}
\end{center}

\begin{questions}
\item Calculons en fonction de~$x$~les longueurs $MN$ et $MP$.
Il est clair que ${MP=KH=4-x}$.
Appliquons le théorème de Pythagore dans $ABH$. On en tire : $BH=3$, donc
$HC=5$. En appliquant le théorème de Thalès comme en troisième, on montre
sans difficulté :
\[\dfrac{MK}{BH}=\dfrac{AK}{AH}=\dfrac{KN}{HC}.\]

Il vient : $MK=\dfrac{3x}{4}$ et $KN=\dfrac{5x}{4}$, d'où
$MN=2x$.

On calcule donc facilement l'aire du rectangle :
\[a(x)=MN \times MP=2x(4-x).\]

\item  Il suffit d'écrire :
\[
a(x)=-2(x^2-4x).
\]
On reconnaît dans $x^2-4x$ le début d'un produit remarquable.
\begin{align*}
a(x) &=-2[x^2-4x+4-4]\\
&=-2[(x-2)^2-4]\\
&=8-2(x-2)^2.
\end{align*}

Cette dernière écriture fait apparaître que $a(x)$ est toujours
inférieure à 8, avec égalité si $(x-2)^2=0$, c'est-à-dire
si $x=2$. L'aire du rectangle atteint alors son maximum : $a(2)=8$.
\end{questions}
