\begin{questions}
\item $C$ et $D$ sont sur ${\cal C}_A$ et ${\cal C}_B$ donc :
\[
AD = AC = BD = BC.
\]
Ainsi, $ACBD$ est un losange; ses diagonales se coupent donc perpendiculairement en leur milieu $E$.

De plus, l'image d'un cercle est un cercle de même rayon donc l'image de ${\cal C}_A$ par la symétrie de centre $E$ est un cercle de centre le symétrique de $A$, donc $B$, et de rayon 3 cm ; c'est ${\cal C}_B$.

\mbox{La figure, est donc le domaine coloré, est donc symétrique par rapport à $E$.}

\item Le triangle $ABD$ est équilatéral (car $AB=AD=BD$) donc son aire est :
\[
{\cal A}_{ABD}=\dfrac{AB \times ED}{2}=\dfrac{AB}{2}\times ED=\dfrac{3}{2}\times\dfrac{3\sqrt3}{2}=\dfrac{9\sqrt3}{4}\text{ cm}^2.
\]
\textit{Rappel :} dans un triangle équilatéral de côté $a$, chaque hauteur mesure $h=\dfrac{a\sqrt3}{2}$ (on peut le démontrer à l'aide du théorème de Pythagore).

\item Le secteur angulaire $\widehat{ABD}$ à l'intérieur de ${\cal C}_A$ est le domaine coloré sur le schéma ci-dessous.

C'est une partir du disque de centre $B$ et de rayon 3 cm. Son angle est $\widehat{ABD}=60\degres$ car $ABD$ est équilatéral. Pour déterminer son aire, nous allons utiliser le schéma suivant (proportionnalité) :
\[
\begin{array}{c@{~\longrightarrow~}c}
\pi r^2 & 360\degres\\
? & 60\degres
\end{array}
\]
$60\degres$ est le sixième de $360\degres$  donc :
\[
{\cal A}_{\widehat{ABD}}=\dfrac{1}{6}\times\pi\times3^2=\dfrac{3\pi}{2}\text{ cm}^2.
\]
\begin{center}
\includegraphics{146_05-26}
\end{center}
\item Notons ${\cal A}$ l'aire cherchée. Pour des raisons de symétrie, on a :
\begin{align*}
4{\cal A}_{\widehat{ABD}}-2{\cal A}_{ABD}
& = 4\times\dfrac{3\pi}{2}-2\times\dfrac{9\sqrt3}{4}\\
& = 6\pi-\dfrac{9\sqrt3}{2}\text{ cm}^2\quad\text{(valeur exacte)}\\
& \approx 11,1\text{ cm}^2\quad\text{(valeur approchée au dixième)}.
\end{align*}
\end{questions}
