\begin{questions}
\item \raisebox{-0.5\totalheight+0.8em}{$\begin{cases}
        (AP)~//~(MN) & \text{car }(AP) = (AC) \text{ et } (AC)~//~(MN) \\
        (PN)~//~(AM) & \text{car }(AM) = (AB) \text{ et } (PN)~//~(AB)
        \end{cases}$}
        
        \Par
        
        \begin{minipage}{\dimexpr\linewidth-40mm}
        donc $APNM$ est un parallélogramme.
        
        De plus, il y a un angle droit en $A$,\\
 donc $APNM$ est un rectangle.

 \vspace*{1.5cm}~\par
        \end{minipage}
        \hfill
        \begin{minipage}{30mm}
        \includegraphics{146_05-10}
        \end{minipage}


\item Comme $(NP)~//~(AB)$, le théorème de Thalès donne, dans le triangle $ABC$~:

\[\dfrac{CP}{CA}=\dfrac{PN}{AB}\qquad\text{soit}\qquad\dfrac{CP}{CA}=\dfrac{AM}{AB}=x\text{ car }PN=AM.\]

\Par

Donc $CP=x \times CA$ et $AM=x\times AB$. $CPN$ est rectangle en $P$, donc~:
\begin{align*}
\text{Aire}(PNC) &= \dfrac{1}{2}\textcolor{DR}{CP}\times \textcolor{DG}{PN}\\
& = \dfrac{1}{2}\textcolor{DR}{CP}\times \textcolor{DG}{AM}\\
& = \dfrac{1}{2}\times\textcolor{DR}{x\times CA}\times\textcolor{DG}{x\times AB}\\
& = x^2 \times \mathcal{A}\text{ car }{\cal A}=\dfrac{1}{2}CA\times AB.
\end{align*}

\item  $\begin{aligned}[t]
BM & =AB-AM   & \text{~et~}\quad MN & =AP\\
   & =(1-x)AB &                    & =AC-CP\\
   &          &                    & =(1-x)AC.
   \end{aligned}$

        Par suite :
\begin{align*}
\text{Aire}(BNM) & = \dfrac{1}{2}BM \times MN = \dfrac{1}{2}(1-x)AB \times (1-x)AC\\
                 & = (1-x)^2 \times\dfrac{1}{2} AB \times AC\\
                 & = (1-x)^2 \times \mathcal{A}.
\end{align*}

\item  $\begin{aligned}[t]
\text{Aire}(AMNP) &= \mathcal{A} - \text{Aire}(CPN) - \text{Aire}(BNM) \\
                          &= \mathcal{A} - x^2\mathcal{A} - (1-x)^2\mathcal{A} \\
                          &= \bigl( 1-x^2 - (1-x)^2 \bigr) \mathcal{A} \\
                          &= (1-x^2-1+2x-x^2)\mathcal{A} \\
                          &= 2x(1-x)\mathcal{A}.
\end{aligned}$

\item  $\begin{aligned}[t]
        2x(1-x)\geq \frac{1}{2} &\iff x(1-x)\geq \frac{1}{4} \\[6pt]
                              &\iff x-x^2 - \frac{1}{4}\geq 0 \\[6pt]
                              &\iff -\left( x-\frac{1}{2} \right)^2 \geq 0 \\[6pt]
                              &\iff x-\frac{1}{2} = 0 \text{ (car un carré ne peut être négatif)} \\[6pt]
                              &\iff x = \frac{1}{2}.
\end{aligned}$

L'aire du rectangle est maximale quand $x = \dfrac{1}{2}$, donc quand $M$ est le milieu de $[AB]$.
\end{questions}
\newpage
