\begin{questions}
\item ~\par

\begin{center}
\includegraphics[width=\linewidth]{148_05-15}
\end{center}

\item  $T$ est sur le cercle de diamètre $[AO_3]$ donc $ATO_3$ est rectangle en $T$. La droite $(AT)$
est donc perpendiculaire à $(O_3T)$, qui est un rayon de $(C_3)$. C'est donc la tangente à $(C_3)$
issue de $T$.
\item
\begin{questions}
\item $P$ et $Q$ sont deux points du cercle $(C_2)$ de centre $O_2$ donc\linebreak\mbox{$PO_2=QO_2$}, et $O_2$ appartient à la médiatrice de $[PQ]$. Comme $I$ est le milieu de $[PQ]$, on en déduit que $(O_2I)$ est  la médiatrice de $[PQ]$, et comme $(PQ)=(AT)$, $(O_2I)$ et $(AT)$ sont perpendiculaires.
\item Comme $(O_2I)$ et $(O_3T)$ sont toutes deux perpendiculaires à $(AT)$, elles sont parallèles,
et les triangles $AO_2I$ et $AO_3T$ sont dans une configuration de Thalès. En particulier~:
\[\frac{O_2I}{O_3T}=\frac{AO_2}{AO_3}.\]
$O_3T=2$ (rayon de $(C_3)$)~~; $AO_2=AB+BO_2=4+2=6$ et $AO_3=10$,
d'où~:
\[O_2I=O_3T\times \frac{AO_2}{AO_3}=2\times \frac{6}{10}=1,2\text{ cm}.\]
\item Appliquons le théorème de Pythagore dans le triangle $O_2IP$, rectangle en $I$~:
\[IP^2=O_2P^2-O_2I^2=2^2-1{,}2^2=2{,}56=1{,}6^2\]
D'où $IP=1{,}6$ et $PQ=2IP=3{,}2$~cm.
\end{questions}
\end{questions}
