Telle quelle, l'égalité est assez difficile à comprendre, mais on peut la transformer en :
\[\dfrac{AC'}{AB}=\dfrac{AB'}{AC}.\]
Ce qui fait apparaître des rapports de longueurs entre des points {\em alignés.} Il suffit d'appliquer correctement le théorème de Thalès.

En considérant les triangles $AIC$ et $B'CA'$, en configuration de Thalès, où $(AI)~//~(B'A')$:
\[
\dfrac{CA}{CB'}=\dfrac{CI}{CA'}=\dfrac{AI}{B'A'}.\]
Comme les points $C$, $A$ et$ B'$ sont alignés dans cet ordre, on a :
\begin{align*}
CB' & =CA + AB'\\
\text{De même, }CA' & = CI + IA'
\end{align*}

\begin{center}
\includegraphics{149_05-12}
\end{center}

Les égalités suivantes sont équivalentes :
\begin{align*}
\dfrac{CA}{CB'} & =\dfrac{CI}{CA'}\\[6pt]
\dfrac{CB'}{CA} & = \dfrac{CA'}{CI}\text{ (en inversant les quotients)}\\[6pt]
\dfrac{CA+AB'}{CA} & = \dfrac{CI+IA'}{CI}\\[6pt]
1+\dfrac{AB'}{CA} & = 1+\dfrac{IA'}{CI}\\[6pt]
\dfrac{AB'}{AC} & = \dfrac{IA'}{IC}.\qquad(1)
\end{align*}
$I$ est le milieu de $[BC]$, donc $IC=BI$, d'où :
\[\dfrac{AB'}{AC}=\dfrac{IA'}{BI}.\]
Les triangles $BC'A'$ et $BAI$ sont également en configuration de Thalès, où $(C'A')~//~(AI)$, donc~:
\[\dfrac{BA'}{BI}=\dfrac{BC'}{BA}=\dfrac{A'C'}{IA}.\]
Comme les points $B$, $A'$ et $I$ sont alignés dans cet ordre, on a :
\begin{align*}
BI & = BA' + A'I\\
\text{De même, }BA & = BC' + C'A.
\end{align*}
Les égalités suivantes sont équivalentes :
\begin{align*}
\dfrac{BA'}{BI} & =\dfrac{BC'}{BA}\\[6pt]
\dfrac{BA'\textcolor{DR}{+A'I-A'I}}{BA'\textcolor{DR}{+A'I}} & = \dfrac{BC'\textcolor{DG}{+C'A-C'A}}{BC'\textcolor{DG}{+C'A}}\\[6pt]
1-\dfrac{A'I}{BA'+A'I} & = 1- \dfrac{C'A}{BC'+C'A}\\[6pt]
1-\dfrac{A'I}{BI} & = 1- \dfrac{C'A}{BA}\\[6pt]
\dfrac{A'I}{BI} & = \dfrac{C'A}{BA}.\qquad(2)
\end{align*}
Les égalités $(1)$ et $(2)$ entraînent :
\[
\dfrac{AB'}{AC}=\dfrac{AC'}{AB},\quad\text{et donc}\qquad \dfrac{AC}{AB}=\frac{AB'}{AC'}.
\]
